ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ৯/৩৫
-
১৬১
নাল ভেক্টর সম্পর্কে কোন উক্তিটি সঠিক নয়?
- ক এর মান শূন্য
- খ এর দিক অনির্দিষ্ট
- গ এটি একটি একক ভেক্টর
- ঘ যেকোনো ভেক্টরের সাথে যোগ করলে ঐ ভেক্টরই থাকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) এটি একটি একক ভেক্টর
নাল ভেক্টরের মান শূন্য, একক ভেক্টরের মান ঠিক ১ — দুইটা আলাদা জিনিস।
ধর্ম: A⃗ + 0⃗ = A⃗ এবং λ0⃗ = 0⃗। -
১৬২
একটি বস্তু বৃত্তাকার পথে একবার ঘুরে শুরুর বিন্দুতে ফিরে এলে তার সরণ—
- ক বৃত্তের পরিধির সমান
- খ ব্যাসের সমান
- গ ব্যাসার্ধের সমান
- ঘ নাল ভেক্টর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) নাল ভেক্টর
সরণ = শেষ অবস্থান − শুরুর অবস্থান।
শুরু ও শেষ বিন্দু এক হওয়ায় সরণ শূন্য, অর্থাৎ নাল ভেক্টর।
তবে অতিক্রান্ত দূরত্ব পরিধির সমান — দূরত্ব স্কেলার, সরণ ভেক্টর। -
১৬৩
নাল ভেক্টর পাওয়া যায় না যে ক্ষেত্রে—
- ক দুইটি সমান ও বিপরীত ভেক্টরের যোগফলে
- খ একটি ভেক্টরকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে
- গ দুইটি লম্ব ভেক্টরের ক্রস গুণফলে
- ঘ দুইটি সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফলে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) দুইটি লম্ব ভেক্টরের ক্রস গুণফলে
দুইটি লম্ব ভেক্টরের ক্রস গুণফল সর্বোচ্চ — AB sin90° = AB, শূন্য নয়।
বাকি তিনটিতেই ফল নাল ভেক্টর:
• A⃗ + (−A⃗) = 0⃗
• 0 · A⃗ = 0⃗
• সমান্তরাল হলে sin0° = 0। -
১৬৪
একক ভেক্টর সম্পর্কে কোন উক্তিটি ভুল?
- ক এর একক মূল ভেক্টরের এককের সমান
- খ এর মান সর্বদা ১
- গ এটি রাশির দিক নির্দেশ করে
- ঘ এটি মাত্রাহীন
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) এর একক মূল ভেক্টরের এককের সমান
একক ভেক্টর, Â = A⃗|A⃗|
লব ও হর — দুইটারই একক এক, তাই ভাগ করলে একক কেটে যায়।
ফলে একক ভেক্টর মাত্রাহীন ও এককবিহীন, শুধু দিক বোঝায়। -
১৬৫
একক ভেক্টর নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
- ক Â = A⃗ × |A⃗|
- খ Â = A⃗|A⃗|
- গ Â = |A⃗|A⃗
- ঘ Â = A⃗ + |A⃗|
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) Â = A⃗|A⃗|
যেকোনো ভেক্টরকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করলে ঐ দিকের একক ভেক্টর পাওয়া যায়।
 = A⃗|A⃗| এবং A⃗ = |A⃗| Â। -
১৬৬
î, ĵ, k̂ সম্পর্কে কোনটি সঠিক নয়?
- ক প্রত্যেকের মান ১
- খ এদের মাত্রা দৈর্ঘ্যের সমান
- গ এরা পরস্পর লম্ব
- ঘ এরা ডান-হাতি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গঠন করে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) এদের মাত্রা দৈর্ঘ্যের সমান
î, ĵ, k̂ হলো x, y, z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।
একক ভেক্টর মাত্রাহীন — এদের কোনো মাত্রা নেই, তাই (খ) ভুল।
বাকি তিনটি সঠিক। -
১৬৭
একটি ভেক্টরকে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে কী বদলায়?
- ক শুধু দিক
- খ মান ও দিক দুইটাই
- গ শুধু মান
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) শুধু মান
λ ধনাত্মক হলে λA⃗ এর দিক A⃗ এর মতোই থাকে, শুধু মান λ গুণ হয়।
λ ঋণাত্মক হলে দিক ঠিক উল্টে যায়। -
১৬৮
−3A⃗ ভেক্টরটির বৈশিষ্ট্য কী?
- ক A⃗ এর দিকে, মান ৩ গুণ
- খ A⃗ এর বিপরীত দিকে, মান ৩ গুণ
- গ A⃗ এর দিকে, মান ১/৩ গুণ
- ঘ নাল ভেক্টর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) A⃗ এর বিপরীত দিকে, মান ৩ গুণ
ঋণাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করলে দুইটা কাজ হয় —
• মান |−3| = 3 গুণ হয়
• চিহ্ন ঋণাত্মক হওয়ায় দিক ঠিক ১৮০° উল্টে যায়। -
১৬৯
সমান ভেক্টর বলতে বোঝায় যাদের—
- ক শুধু মান সমান
- খ মান ও দিক দুইটাই এক
- গ শুধু দিক এক
- ঘ শুরুর বিন্দু এক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) মান ও দিক দুইটাই এক
দুইটি ভেক্টর সমান হয় তখনই যখন তাদের মান সমান এবং দিক একই।
শুরুর বিন্দু আলাদা হলেও সমস্যা নেই — মুক্ত ভেক্টরকে সমান্তরালে সরানো যায়। -
১৭০
সদৃশ ভেক্টর (like vectors) কাদের বলে?
- ক দিক এক, মান যেকোনো
- খ মান সমান, দিক এক
- গ মান সমান, দিক বিপরীত
- ঘ দিক পরস্পর লম্ব
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) দিক এক, মান যেকোনো
একই দিকে ক্রিয়াশীল ভেক্টরগুলোকে সদৃশ ভেক্টর বলে — মান সমান হওয়া জরুরি নয়।
মান ও দিক দুইটাই এক হলে সেগুলো সমান ভেক্টর। -
১৭১
একটি ভেক্টরের বিপরীত ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য কোনটি?
- ক মান ও দিক দুইটাই ভিন্ন
- খ মান ভিন্ন, দিক এক
- গ মান সমান, দিক ১৮০° ভিন্ন
- ঘ মান শূন্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) মান সমান, দিক ১৮০° ভিন্ন
−A⃗ হলো A⃗ এর বিপরীত ভেক্টর — মান একই |A⃗|, কিন্তু দিক ঠিক উল্টো।
তাই A⃗ + (−A⃗) = 0⃗। -
১৭২
অবস্থান ভেক্টর কী নির্দেশ করে?
- ক দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
- খ বস্তুর বেগ
- গ মূলবিন্দু থেকে কোনো বিন্দুর অবস্থান
- ঘ বস্তুর ত্বরণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) মূলবিন্দু থেকে কোনো বিন্দুর অবস্থান
মূলবিন্দু O থেকে P বিন্দুতে টানা ভেক্টর r⃗ = xî + yĵ + zk̂ হলো P-এর অবস্থান ভেক্টর।
এটি সবসময় মূলবিন্দু থেকে গণনা করা হয়। -
১৭৩
সহাবস্থ (coplanar) ভেক্টর কাদের বলে?
- ক যারা একই সরলরেখায় থাকে
- খ যাদের মান সমান
- গ যারা পরস্পর লম্ব
- ঘ যারা একই সমতলে থাকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) যারা একই সমতলে থাকে
যে ভেক্টরগুলো একই সমতলে অবস্থান করে তাদের সহাবস্থ ভেক্টর বলে।
একই সরলরেখায় থাকলে বলা হয় সমরেখ (collinear) ভেক্টর। -
১৭৪
স্বাধীন ভেক্টর (free vector) সম্পর্কে সঠিক উক্তি কোনটি?
- ক এর ক্রিয়াবিন্দু নির্দিষ্ট
- খ এর মান শূন্য
- গ এটি সবসময় একক ভেক্টর
- ঘ একে সমান্তরালে যেকোনো জায়গায় সরানো যায়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) একে সমান্তরালে যেকোনো জায়গায় সরানো যায়
স্বাধীন ভেক্টরের ক্রিয়াবিন্দু নির্দিষ্ট নয় — মান ও দিক ঠিক রেখে একে সমান্তরালে যেকোনো জায়গায় সরানো যায়।
অন্যদিকে বদ্ধ ভেক্টরের ক্রিয়াবিন্দু নির্দিষ্ট, যেমন অবস্থান ভেক্টর। -
১৭৫
কোন ভেক্টরটি সবসময় বদ্ধ (localised) ভেক্টর?
- ক সরণ
- খ অবস্থান ভেক্টর
- গ বেগ
- ঘ ত্বরণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) অবস্থান ভেক্টর
অবস্থান ভেক্টর সবসময় মূলবিন্দু থেকে শুরু হয় — একে সরানো যায় না, তাই এটি বদ্ধ ভেক্টর।
সরণ, বেগ ও ত্বরণকে সমান্তরালে সরানো যায়, তাই এগুলো স্বাধীন ভেক্টর হিসেবে ব্যবহার করা হয়। -
১৭৬
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে দুইটি ভেক্টরকে কীভাবে সাজাতে হয়?
- ক একই বিন্দু থেকে
- খ পরস্পর লম্বভাবে
- গ বিপরীত দিকে
- ঘ প্রথমটির শেষ প্রান্তে দ্বিতীয়টির শুরু
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) প্রথমটির শেষ প্রান্তে দ্বিতীয়টির শুরু
ত্রিভুজ সূত্র: প্রথম ভেক্টরের শেষ প্রান্ত থেকে দ্বিতীয় ভেক্টর আঁকতে হয়। তখন প্রথমটির শুরু থেকে দ্বিতীয়টির শেষ পর্যন্ত টানা ভেক্টরই লব্ধি।
সামান্তরিক সূত্রে দুইটি ভেক্টর একই বিন্দু থেকে আঁকা হয়। -
১৭৭
ভেক্টর যোগ সম্পর্কে কোন উক্তিটি সঠিক নয়?
- ক A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗
- খ (A⃗ + B⃗) + C⃗ = A⃗ + (B⃗ + C⃗)
- গ A⃗ − B⃗ = B⃗ − A⃗
- ঘ A⃗ + 0⃗ = A⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A⃗ − B⃗ = B⃗ − A⃗
ভেক্টর যোগ বিনিময় ও বণ্টন সূত্র মানে, কিন্তু বিয়োগ বিনিময় সূত্র মানে না।
A⃗ − B⃗ = −(B⃗ − A⃗)
অর্থাৎ দুইটির মান সমান হলেও দিক ঠিক উল্টো। -
১৭৮
দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত হলে লব্ধির মান সর্বোচ্চ হয়?
- ক 0°
- খ 90°
- গ 180°
- ঘ 270°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 0°
R = √(P2 + Q2 + 2PQ cosθ)
cosθ সর্বোচ্চ (= 1) হয় θ = 0° এ।
∴ Rmax = P + Q। -
১৭৯
দুইটি ভেক্টরের লব্ধির সর্বনিম্ন মান কোনটি?
- ক |P − Q|
- খ P + Q
- গ √(PQ)
- ঘ শূন্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) |P − Q|
θ = 180° হলে cosθ = −1
R = √(P2 + Q2 − 2PQ) = |P − Q|
P = Q না হলে এটি শূন্য হয় না, তাই (ঘ) সবসময় সঠিক নয়। -
১৮০
সামান্তরিকের কর্ণ দুইটি কী নির্দেশ করে?
- ক দুইটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল
- খ শুধু যোগফল
- গ শুধু বিয়োগফল
- ঘ দুইটি ভেক্টরের গুণফল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) দুইটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল
দুইটি বাহু A⃗ ও B⃗ হলে —
• বড় কর্ণ = A⃗ + B⃗
• ছোট কর্ণ = A⃗ − B⃗
তাই কর্ণ দুইটি যোগফল ও বিয়োগফল দুইটাই দেয়।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।