মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ৬ষ্ঠ অধ্যায়। এখানে ৬৮৪টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৬৮৪ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ৬
পাতা ১১/৩৫
-
২০১
a বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের চার শীর্ষে m ভরের চারটি কণা রাখা হলো। সিস্টেমের মোট মহাকর্ষীয় বিভবশক্তির মান কত?
- ক −6 Gm2a
- খ −(4 + 2√2) Gm2a
- গ −(4 + √2) Gm2a
- ঘ −4 Gm2a
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) −(4 + √2) Gm2a
মোট জোড়া = 4C2 = 6
৪টি বাহু — দূরত্ব a ⟹ 4 × (−Gm2a)
২টি কর্ণ — দূরত্ব a√2 ⟹ 2 × (−Gm2a√2) = −√2 Gm2a
মোট = −(4 + √2) Gm2a ≈ −5.41 Gm2a
সাধারণ ভুল: কর্ণ দুইটির দূরত্ব a√2 না ধরে a ধরলে উত্তর আসে −6, আর 2√2-কে সরল না করলে আসে (4 + 2√2) — তিনটি অপশনই ফাঁদ হিসেবে বসানো। -
২০২
ভূপৃষ্ঠের খুব কাছাকাছি বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান একটি উপগ্রহের বেগ 7.9 km s−1। ঐ উচ্চতা থেকে উপগ্রহটিকে পৃথিবীর আকর্ষণ থেকে মুক্ত করতে বেগ কত বাড়াতে হবে?
- ক 7.9 km s−1
- খ 3.3 km s−1
- গ 11.2 km s−1
- ঘ 4.6 km s−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 3.3 km s−1
ve = √2 × vo
= 1.414 × 7.9 = 11.2 km s−1
প্রয়োজনীয় বৃদ্ধি = 11.2 − 7.9 = 3.3 km s−1
ফাঁদ: প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে বেগের বৃদ্ধি, মুক্তিবেগ নয় — তাই 11.2 উত্তর নয়। -
২০৩
পৃথিবীর মহাকর্ষ ক্ষেত্রে একটি বস্তুর মোট যান্ত্রিক শক্তি ঋণাত্মক — এর ভৌত অর্থ কী?
- ক বস্তুটির গতিশক্তি ঋণাত্মক
- খ বস্তুটি অবশ্যই পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে পড়ছে
- গ বস্তুটির বেগ মুক্তিবেগের চেয়ে বেশি
- ঘ বস্তুটি আবদ্ধ; বাইরে থেকে শক্তি না দিলে সে কখনো অসীমে যেতে পারবে না
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) বস্তুটি আবদ্ধ; বাইরে থেকে শক্তি না দিলে সে কখনো অসীমে যেতে পারবে না
E = K + U, যেখানে K সর্বদা ধনাত্মক আর U = −GMmr সর্বদা ঋণাত্মক।
E < 0 ⟹ আবদ্ধ কক্ষপথ (বৃত্ত বা উপবৃত্ত)
E = 0 ⟹ ঠিক মুক্তিবেগ, প্যারাবোলিক পথ, অসীমে বেগ শূন্য
E > 0 ⟹ হাইপারবোলিক পথ, অসীমেও বেগ অবশিষ্ট থাকে
ঋণাত্মক মোট শক্তি মানে বস্তুটি পড়ছে — এমন নয়; চাঁদের মোট শক্তিও ঋণাত্মক, তবু সে পড়ছে না, ঘুরছে। -
২০৪
একটি গ্রহের গড় ঘনত্ব পৃথিবীর সমান কিন্তু ব্যাসার্ধ পৃথিবীর 4 গুণ। গ্রহটির মুক্তিবেগ পৃথিবীর মুক্তিবেগের কত গুণ?
- ক 2 গুণ
- খ 16 গুণ
- গ 4 গুণ
- ঘ 8 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 4 গুণ
ve = 2GMR এবং M = ρ × 43πR3
⟹ ve = R 8πGρ3 ⟹ ve ∝ R√ρ
ρ সমান, R 4 গুণ ⟹ মুক্তিবেগ 4 গুণ
ঘনত্ব দেওয়া থাকলে মুক্তিবেগ ব্যাসার্ধের সমানুপাতিক হয়ে যায় — বর্গমূল আর থাকে না। -
২০৫
m ভরের একটি রকেটকে পৃথিবীর মহাকর্ষ ক্ষেত্র থেকে সম্পূর্ণ মুক্ত করতে যে শক্তি লাগে, তা একই রকেটকে ভূপৃষ্ঠ থেকে R উচ্চতায় তুলতে প্রয়োজনীয় শক্তির কত গুণ?
- ক 4 গুণ
- খ 1.5 গুণ
- গ 2 গুণ
- ঘ 3 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 2 গুণ
মুক্ত করতে: E1 = GMmR = mgR
R উচ্চতায় তুলতে: E2 = GMmR − GMm2R = mgR2
অনুপাত = 2 গুণ
অর্থাৎ এক ব্যাসার্ধ উপরে উঠতেই মুক্তির অর্ধেক শক্তি খরচ হয়ে যায়, বাকি অসীম পথের জন্য লাগে বাকি অর্ধেক। -
২০৬
যদি পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধ দুটোই দ্বিগুণ হয়ে যায়, তবে ভূপৃষ্ঠে মুক্তিবেগের কী পরিবর্তন হবে?
- ক √2 গুণ বাড়বে
- খ 2 গুণ বাড়বে
- গ অর্ধেক হয়ে যাবে
- ঘ অপরিবর্তিত থাকবে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) অপরিবর্তিত থাকবে
ve = 2GMR ⟹ ve ∝ MR
MR → 2M2R = MR — অপরিবর্তিত
অথচ একই শর্তে g = GMR2 অর্ধেক হয়ে যাবে। একই পরিবর্তনে g বদলায় কিন্তু ve বদলায় না — কারণ দুই সূত্রে R-এর ঘাত আলাদা। -
২০৭
একটি বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে v বেগে উল্লম্বভাবে ছুঁড়লে তা সর্বোচ্চ R উচ্চতায় ওঠে (R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ)। একই বস্তুকে 2v বেগে ছুঁড়লে সর্বোচ্চ উচ্চতা কত হবে?
- ক 4R
- খ 2R
- গ 3R
- ঘ বস্তুটি আর ফিরে আসবে না — পৃথিবীর আকর্ষণ থেকে মুক্ত হয়ে যাবে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) বস্তুটি আর ফিরে আসবে না — পৃথিবীর আকর্ষণ থেকে মুক্ত হয়ে যাবে
প্রথম ক্ষেত্র: 12v2 − gR = −gR22R ⟹ 12v2 = gR2 ⟹ v2 = gR
দ্বিতীয় ক্ষেত্র: নতুন বেগ 2v ⟹ বেগের বর্গ = 4gR
মুক্তিবেগের বর্গ ve2 = 2gR
4gR > 2gR ⟹ মোট শক্তি ধনাত্মক ⟹ বস্তুটি মুক্ত হয়ে যাবে, কোনো সর্বোচ্চ উচ্চতা নেই।
অসীমে অবশিষ্ট বেগ = 4gR − 2gR = 2gR — অর্থাৎ মুক্তিবেগের সমান!
ফাঁদ: বেগ দ্বিগুণ ⟹ উচ্চতা চারগুণ (4R) — এই প্রচলিত সূত্র এখানে খাটে না, কারণ g ধ্রুব নয় এবং বস্তুটি মুক্তিবেগ ছাড়িয়ে গেছে। -
২০৮
ভূপৃষ্ঠ থেকে R উচ্চতায় বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান একটি উপগ্রহের বেগ ভূপৃষ্ঠের খুব কাছের কক্ষপথের বেগের কত গুণ?
- ক 1√2
- খ 12
- গ √2
- ঘ 14
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 1√2
vo = GMr ⟹ vo ∝ 1√r
কাছের কক্ষপথে r = R; R উচ্চতায় r = 2R
অনুপাত = R2R = 1√2 ≈ 0.71
উপরের কক্ষপথে উপগ্রহ ধীরে চলে — অথচ শক্তি তার বেশি। এই উল্টো সম্পর্কটাই উপগ্রহ অধ্যায়ের সবচেয়ে বড় ফাঁদ। -
২০৯
একটি উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ ভূস্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধের এক-চতুর্থাংশ। উপগ্রহটির পর্যায়কাল কত?
- ক 3 ঘণ্টা
- খ 6 ঘণ্টা
- গ 12 ঘণ্টা
- ঘ 1.5 ঘণ্টা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 3 ঘণ্টা
কেপলারের তৃতীয় সূত্র: T2 ∝ r3 ⟹ T ∝ r3/2
ভূস্থির উপগ্রহের T = 24 h
r′ = r4 ⟹ T′ = 24 × (14)3/2 = 248 = 3 ঘণ্টা
ব্যাসার্ধ ৪ ভাগের ১ ভাগ হলে পর্যায়কাল ৮ ভাগের ১ ভাগ — কারণ 43/2 = 8। -
২১০
বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান একটি উপগ্রহের গতিশক্তি K হলে তার মোট যান্ত্রিক শক্তি ও মহাকর্ষীয় বিভবশক্তি যথাক্রমে কত?
- ক −K এবং −2K
- খ K এবং −2K
- গ −2K এবং −K
- ঘ −K এবং −K
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) −K এবং −2K
কক্ষপথে mv2r = GMmr2 ⟹ mv2 = GMmr
K = 12mv2 = GMm2r
U = −GMmr = −2K
E = K + U = K − 2K = −K
এই U = −2K, E = −K সম্পর্কটি সব বৃত্তাকার কক্ষপথেই খাটে (ভিরিয়াল উপপাদ্য)। -
২১১
r ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান m ভরের একটি উপগ্রহের বন্ধন শক্তি (binding energy) কত?
- ক GMmr
- খ GMm4r
- গ 2GMmr
- ঘ GMm2r
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) GMm2r
মোট শক্তি E = −GMm2r
উপগ্রহটিকে অসীমে পাঠাতে হলে মোট শক্তি শূন্য করতে হবে ⟹ দিতে হবে +GMm2r
একেই বন্ধন শক্তি বলে।
ফাঁদ: শুধু বিভবশক্তির মান GMmr ধরলে ভুল হবে — উপগ্রহের নিজের গতিশক্তিও কাজে লাগে, তাই বাইরে থেকে অর্ধেকই দিতে হয়। -
২১২
বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান একটি উপগ্রহের বেগ হঠাৎ 10 % বাড়িয়ে দিলে কী ঘটবে?
- ক উপগ্রহটি পৃথিবীর আকর্ষণ থেকে মুক্ত হয়ে যাবে
- খ একই বৃত্তাকার কক্ষপথে 10 % দ্রুত ঘুরবে
- গ উপগ্রহটি মুক্ত হবে না, তবে কক্ষপথ উপবৃত্তাকার হয়ে যাবে
- ঘ সঙ্গে সঙ্গে পৃথিবীপৃষ্ঠে পড়ে যাবে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) উপগ্রহটি মুক্ত হবে না, তবে কক্ষপথ উপবৃত্তাকার হয়ে যাবে
ঐ বিন্দুতে মুক্তিবেগ = √2 × কক্ষীয় বেগ = 1.414 v
নতুন বেগ = 1.10 v < 1.414 v ⟹ মোট শক্তি এখনো ঋণাত্মক ⟹ আবদ্ধই থাকবে।
কিন্তু ঐ বেগ আর ঐ ব্যাসার্ধের বৃত্তের জন্য প্রয়োজনীয় বেগের সমান নয়, তাই বৃত্ত ভেঙে উপবৃত্ত হয়ে যাবে — বৃদ্ধির বিন্দুটি হবে উপবৃত্তের অনুসূর (সবচেয়ে কাছের বিন্দু)।
বেগ 41.4 % বাড়ালে তবেই মুক্ত হতো। -
২১৩
ভূপৃষ্ঠের খুব কাছাকাছি বৃত্তাকার কক্ষপথে একটি উপগ্রহের পর্যায়কাল প্রায় কত? (R = 6.4 × 106 m, g = 9.8 m s−2)
- ক 24 ঘণ্টা
- খ 12 ঘণ্টা
- গ 84 মিনিট
- ঘ 8 মিনিট
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 84 মিনিট
T = 2π r3GM, r = R এবং GM = gR2
⟹ T = 2π Rg = 2π 6.4 × 1069.8
= 2π × 808 = 5077 s ≈ 84.6 মিনিট
মজার ব্যাপার — এই রাশিটি L = R দৈর্ঘ্যের একটি সরল দোলকের পর্যায়কালের সূত্রের হুবহু একই চেহারার। -
২১৪
দুইটি উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1 : 4। তাদের কক্ষীয় বেগ ও পর্যায়কালের অনুপাত যথাক্রমে কত?
- ক 1 : 2 এবং 1 : 8
- খ 2 : 1 এবং 1 : 8
- গ 2 : 1 এবং 8 : 1
- ঘ 4 : 1 এবং 1 : 8
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 2 : 1 এবং 1 : 8
বেগ: v ∝ 1√r ⟹ v1v2 = 41 = 2 : 1
পর্যায়কাল: T ∝ r3/2 ⟹ T1T2 = (14)3/2 = 1 : 8
কাছের উপগ্রহ দ্রুত চলে এবং কম সময়ে ঘোরা শেষ করে — দুই প্রভাবই একই দিকে কাজ করে। -
২১৫
একই কক্ষপথে একটি উপগ্রহের বদলে দ্বিগুণ ভরের একটি উপগ্রহ পাঠালে তার কক্ষীয় বেগ ও পর্যায়কালের কী পরিবর্তন হবে?
- ক বেগ অপরিবর্তিত, পর্যায়কাল দ্বিগুণ
- খ দুটোই অপরিবর্তিত থাকবে
- গ বেগ অর্ধেক, পর্যায়কাল দ্বিগুণ
- ঘ বেগ √2 গুণ, পর্যায়কাল অপরিবর্তিত
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) দুটোই অপরিবর্তিত থাকবে
mv2r = GMmr2
উপগ্রহের ভর m দুই পাশ থেকেই কেটে যায় ⟹ v = GMr
অর্থাৎ কক্ষীয় বেগ ও পর্যায়কাল কেবল পৃথিবীর ভর ও কক্ষপথের ব্যাসার্ধের ওপর নির্ভর করে।
এই কারণেই একজন নভোচারী আর তার মহাকাশযান পাশাপাশি একই কক্ষপথে একই বেগে ভেসে থাকতে পারে। -
২১৬
ভূস্থির (geostationary) উপগ্রহ সম্পর্কে নিচের কোন শর্তগুলো একসাথে সঠিক?
- ক পর্যায়কাল 24 h, কক্ষতল বিষুবরেখার তলে, ঘূর্ণন পশ্চিম থেকে পূর্বে
- খ পর্যায়কাল 24 h, কক্ষতল যেকোনো অক্ষাংশে হতে পারে, ঘূর্ণন পশ্চিম থেকে পূর্বে
- গ পর্যায়কাল 12 h, কক্ষতল বিষুবরেখার তলে, ঘূর্ণন পূর্ব থেকে পশ্চিমে
- ঘ পর্যায়কাল 24 h, কক্ষতল বিষুবরেখার তলে, ঘূর্ণন পূর্ব থেকে পশ্চিমে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) পর্যায়কাল 24 h, কক্ষতল বিষুবরেখার তলে, ঘূর্ণন পশ্চিম থেকে পূর্বে
ভূপৃষ্ঠের কোনো পর্যবেক্ষকের কাছে স্থির দেখাতে হলে উপগ্রহের কৌণিক বেগ পৃথিবীর কৌণিক বেগের হুবহু সমান হতে হবে — মান ও দিক দুটোই।
পর্যায়কাল: 24 h (নভোবিজ্ঞানে 23 h 56 min)
দিক: পৃথিবীর মতোই পশ্চিম → পূর্ব
তল: অবশ্যই বিষুবরেখার তলে — অন্য কোনো তলে কক্ষপথের কেন্দ্র পৃথিবীর কেন্দ্রে থাকলেও উপগ্রহ দিনে দুইবার বিষুবরেখা অতিক্রম করে উত্তর-দক্ষিণে দুলতে থাকবে, স্থির দেখাবে না।
ব্যাসার্ধ = 42400 km, উচ্চতা ≈ 36000 km। -
২১৭
r ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান m ভরের একটি উপগ্রহকে 2r ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার কক্ষপথে তুলতে ন্যূনতম কত শক্তি খরচ করতে হবে?
- ক GMm4r
- খ GMm2r
- গ GMmr
- ঘ 3GMm4r
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) GMm4r
বৃত্তাকার কক্ষপথে মোট শক্তি E = −GMm2r
শুরুতে: E1 = −GMm2r
শেষে: E2 = −GMm2(2r) = −GMm4r
প্রয়োজনীয় শক্তি = E2 − E1 = GMm4r — GMm4r
চমকপ্রদ ব্যাপার: বিভবশক্তি বেড়েছে GMm2r পরিমাণ, কিন্তু গতিশক্তি কমেছে GMm4r পরিমাণ (উপরের কক্ষপথে উপগ্রহ ধীরে চলে)। তাই বাইরে থেকে দিতে হয় মাত্র পার্থক্যটুকু।
শুধু বিভবশক্তির পার্থক্য ধরে হিসাব করলে উত্তর দ্বিগুণ বেশি আসবে — এটাই এখানকার ফাঁদ। -
২১৮
ভূপৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান একটি উপগ্রহের কক্ষীয় বেগের সঠিক রাশি কোনটি? (R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, g = ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ)
- ক gRR + h
- খ R gh
- গ R gR + h
- ঘ g(R + h)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) R gR + h
কেন্দ্রমুখী বল = মহাকর্ষ বল:
mv2R + h = GMm(R + h)2 ⟹ v2 = GMR + h
GM = gR2 বসিয়ে:
v = gR2R + h = R gR + h
h = 0 বসালে v = gR ≈ 7.9 km s−1 — মিলে যায় ✔। -
২১৯
একটি উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ 1 % বাড়ালে তার পর্যায়কাল প্রায় শতকরা কত বাড়বে?
- ক 1.5 %
- খ 1 %
- গ 2 %
- ঘ 3 %
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 1.5 %
T ∝ r3/2
সামান্য পরিবর্তনের জন্য: ΔTT = 32 × Δrr
= 32 × 1 % = 1.5 %
সাধারণ নিয়ম: y ∝ xn হলে শতকরা পরিবর্তনের সম্পর্ক হয় n গুণ — ঘাতটাই গুণক। -
২২০
একটি গ্রহের গড় ঘনত্ব ρ। গ্রহটির পৃষ্ঠের খুব কাছাকাছি ঘূর্ণায়মান একটি উপগ্রহের পর্যায়কালের সঠিক রাশি কোনটি?
- ক 3πGρ
- খ 4π3Gρ
- গ Gρ3π
- ঘ πGρ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 3πGρ
T = 2π R3GM এবং M = ρ × 43πR3
T = 2π R3Gρ · (4/3)πR3 = 2π 34πGρ
T2 = 4π2 × 34πGρ = 3πGρ ⟹ T = 3πGρ
R সম্পূর্ণ কেটে গেছে! অর্থাৎ একই ঘনত্বের ছোট-বড় সব গ্রহেই পৃষ্ঠ-ঘেঁষা উপগ্রহের পর্যায়কাল একই — পৃথিবীর জন্য প্রায় 84 মিনিট।
মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।