মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ৬ষ্ঠ অধ্যায়। এখানে ৬৮৪টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৬৮৪ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ৬
পাতা ৯/৩৫
-
১৬১
পৃথিবীর নিজ অক্ষে ঘূর্ণনের কৌণিক বেগ কত গুণ বাড়ালে বিষুবরেখায় বস্তুর আপাত ওজন শূন্য হয়ে যাবে? (ω = বর্তমান কৌণিক বেগ, ω2R ≈ g289)
- ক 289 গুণ
- খ 17 গুণ
- গ √289 ÷ 2 গুণ
- ঘ 2 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 17 গুণ
আপাত ওজন শূন্য হবে যখন ω′2R = g
বর্তমানে ω2R = g289
ভাগ করে: ω′2ω2 = 289 ⟹ ω′ω = 17
তখন দিনের দৈর্ঘ্য হতো 2417 ≈ 1.4 ঘণ্টা — বিষুবরেখার সব কিছু ভেসে যেত। -
১৬২
একটি গ্রহের ঘনত্ব পৃথিবীর সমান কিন্তু ব্যাসার্ধ পৃথিবীর দ্বিগুণ। ঐ গ্রহে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর কত গুণ?
- ক 2 গুণ
- খ 4 গুণ
- গ 8 গুণ
- ঘ সমান
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 2 গুণ
g = GMR2 এবং M = ρ × 43πR3
g = 43πGρR ⟹ ρ সমান হলে g ∝ R
ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ ⟹ g 2 গুণ
ভর দিয়ে না ভেবে ঘনত্ব দিয়ে ভাবলে সম্পর্কটি অনেক সরল হয়ে যায়। -
১৬৩
একটি গ্রহের ভর পৃথিবীর 9 গুণ এবং ব্যাসার্ধ 3 গুণ। ঐ গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর কত গুণ?
- ক সমান
- খ 3 গুণ
- গ 9 গুণ
- ঘ 13 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) সমান
g ∝ MR2 = 99 = 1
অর্থাৎ সমান।
কিন্তু ঐ গ্রহের ঘনত্ব পৃথিবীর 927 = 13 গুণ — অনেক হালকা, তবু পৃষ্ঠে g একই। বড় কিন্তু হালকা গ্রহে এমনটাই হয়। -
১৬৪
একটি বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে R/2 উচ্চতায় এবং R/2 গভীরতায় নিলে অভিকর্ষজ ত্বরণের অনুপাত কত? (পৃথিবীকে সমসত্ত্ব ধরো)
- ক 8 : 9
- খ 9 : 8
- গ 1 : 1
- ঘ 4 : 9
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 8 : 9
উচ্চতায়: gh = gR2(1.5R)2 = 4g9
গভীরতায়: gd = g(1 − ½) = g2
অনুপাত = 4 ÷ 91 ÷ 2 = 8 : 9
একই দূরত্ব হলেও উপরে g বেশি কমে — বর্গীয় সম্পর্কের কারণে। -
১৬৫
অক্ষাংশ λ-তে পৃথিবীর ঘূর্ণনের কারণে কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণের সঠিক রাশি কোনটি?
- ক g − ω2R sin2λ
- খ g + ω2R cos2λ
- গ g − ω2R cos λ
- ঘ g − ω2R cos2λ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) g − ω2R cos2λ
λ অক্ষাংশে বস্তুটি r = R cos λ ব্যাসার্ধের বৃত্তে ঘোরে।
কেন্দ্রমুখী ত্বরণ ω2R cos λ, যা ঘূর্ণন অক্ষের দিকে।
এর উলম্ব উপাংশ (আরও cos λ গুণ) g থেকে বিয়োগ হয়:
geff = g − ω2R cos2λ
বিষুবে (λ = 0): সর্বোচ্চ হ্রাস। মেরুতে (λ = 90°): cos λ = 0 ⟹ কোনো প্রভাবই নেই — কারণ সেখানে বস্তু ঘূর্ণন অক্ষের ওপরেই, বৃত্তে ঘোরে না। -
১৬৬
চাঁদে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর ছয় ভাগের এক ভাগ। পৃথিবীতে যে ক্রীড়াবিদ 1.5 m উঁচু লাফাতে পারেন, একই প্রারম্ভিক বেগে চাঁদে কত উঁচু লাফাবেন?
- ক 9 m
- খ 6 m
- গ 3 m
- ঘ 1.5 m
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 9 m
H = u22g ⟹ একই u-তে H ∝ 1g
g ছয় ভাগের এক ভাগ ⟹ H 6 গুণ = 6 × 1.5 = 9 m
(বাস্তবে স্পেসস্যুটের ভরের জন্য এতটা হতো না, কিন্তু নীতিটা এটাই।) -
১৬৭
একটি সরল দোলক ভূপৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। দোলকটিকে R উচ্চতায় (পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান) নিয়ে গেলে এর পর্যায়কাল কত গুণ হবে?
- ক 4 গুণ
- খ √2 গুণ
- গ 12 গুণ
- ঘ 2 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2 গুণ
h = R ⟹ g′ = gR2(2R)2 = g4
T ∝ 1g ⟹ g চার ভাগের এক ভাগ হলে T 2 গুণ
ঘড়িটি অর্ধেক গতিতে চলবে — দিনে প্রায় 12 ঘণ্টা পিছিয়ে যাবে। -
১৬৮
ভূপৃষ্ঠে g ও পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R জানা থাকলে পৃথিবীর ভরের সঠিক রাশি কোনটি?
- ক gRG
- খ gR2G
- গ GgR2
- ঘ gR2G2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) gR2G
g = GMR2 ⟹ M = gR2G
সংখ্যায়: 9.8 × (6.4 × 106)26.67 × 10−11 ≈ 6 × 1024 kg
ক্যাভেন্ডিশ G মাপার পরই প্রথমবার পৃথিবীর ভর জানা গেল — এজন্য তাঁর পরীক্ষাকে "পৃথিবীর ওজন করা" বলা হয়। -
১৬৯
পৃথিবীর ঘনত্বের সঠিক রাশি কোনটি? (g, R ও G-এর মাধ্যমে)
- ক 4πGR3g
- খ 3g4πGR2
- গ gGR
- ঘ 3g4πGR
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 3g4πGR
g = GMR2 এবং M = ρ 43πR3
g = 43πGρR
ρ = 3g4πGR ≈ 5500 kg m−3
এই মান পৃষ্ঠের শিলার ঘনত্বের (≈2700) প্রায় দ্বিগুণ — এখান থেকেই বোঝা যায় পৃথিবীর কেন্দ্রে অনেক ভারী কিছু (লোহা-নিকেল) আছে। -
১৭০
একটি খনির 2 km গভীরতায় এবং একটি পাহাড়ের 2 km উচ্চতায় g-এর মানের তুলনা কোনটি সঠিক? (পৃথিবীকে সমসত্ত্ব ধরো)
- ক পাহাড়ে g বেশি
- খ দুইটি সমান
- গ বলা সম্ভব নয়
- ঘ খনিতে g বেশি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) খনিতে g বেশি
অল্প দূরত্বে:
গভীরতায় হ্রাস ≈ gdR
উচ্চতায় হ্রাস ≈ g2hR
d = h = 2 km হলে উচ্চতার হ্রাস দ্বিগুণ ⟹ পাহাড়ে g কম ⟹ খনিতে g বেশি
(বাস্তবে পৃথিবী সমসত্ত্ব নয় — কেন্দ্র অনেক ঘন। সেই কারণে প্রকৃতপক্ষে কিছুটা গভীরে গেলে g সামান্য বেড়ে যায়, প্রায় 2900 km গভীরতা পর্যন্ত।) -
১৭১
পৃথিবীকে সমসত্ত্ব ধরে নিলে কোন গভীরতা d এবং কোন উচ্চতা h-তে অভিকর্ষজ ত্বরণ ঠিক সমান হবে? (আসন্ন মান নয়, সঠিক সম্পর্ক চাই)
- ক d = 2h
- খ d = R − R3(R + h)2
- গ d = h
- ঘ d = h2R
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) d = R − R3(R + h)2
গভীরতায়: gd = g(1 − dR)
উচ্চতায়: gh = gR2(R + h)2
সমান ধরে: 1 − dR = R2(R + h)2
dR = 1 − R2(R + h)2
d = R − R3(R + h)2
যাচাই (h ≪ R): (1 + h/R)−2 ≈ 1 − 2h/R
d ≈ R − R(1 − 2hR) = 2h ✔ — পরিচিত আসন্ন ফলটি বেরিয়ে এলো
কিন্তু h বড় হলে d = 2h আর খাটে না; যেমন h = R হলে d = 3R4, 2R নয় (যা অসম্ভবও)। -
১৭২
দুইটি গ্রহের ঘনত্বের অনুপাত 2 : 3 এবং ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 2। তাদের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের অনুপাত কত?
- ক 4 : 9
- খ 1 : 1
- গ 9 : 4
- ঘ 2 : 3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 1 : 1
g = GMR2 এবং M = ρ × 43πR3
⟹ g = 43πGρR ⟹ g ∝ ρR
g1g2 = ρ1R1ρ2R2 = 2 × 33 × 2 = 1 : 1
g ∝ M/R2 মনে রেখে সরাসরি বসালে ভুল হবে — ভর জানা নেই, ঘনত্ব জানা আছে। তাই আগে M-কে ρ ও R-এ প্রকাশ করতে হয়। -
১৭৩
সমান ভরের দুইটি গ্রহের ঘনত্বের অনুপাত 8 : 1। তাদের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের অনুপাত কত?
- ক 2 : 1
- খ 8 : 1
- গ 4 : 1
- ঘ 1 : 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 4 : 1
ভর সমান ⟹ M = ρ × 43πR3 স্থির
⟹ R ∝ ρ−1/3
g = GMR2 ∝ 1R2 ∝ ρ2/3
g1g2 = 82/3 = (23)2/3 = 22 = 4 : 1। -
১৭৪
পৃথিবীর নিজ অক্ষে ঘূর্ণনের কারণে বিষুবরেখায় g-এর মান প্রায় শতকরা কত কমে? (R = 6.4 × 106 m, দিনের দৈর্ঘ্য 24 h, g = 9.8 m s−2)
- ক 3.5 %
- খ 0.035 %
- গ 1.7 %
- ঘ 0.35 %
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 0.35 %
ω = 2πT = 2π86400 = 7.27 × 10−5 rad s−1
বিষুবরেখায় হ্রাস = ω2R = (7.27 × 10−5)2 × 6.4 × 106 = 0.0338 m s−2
শতকরা = 0.03389.8 × 100 = 0.35 %
এত সামান্য বলেই দৈনন্দিন হিসাবে পৃথিবীর ঘূর্ণন অগ্রাহ্য করা যায়। -
১৭৫
পৃথিবীর সমান ভরের একটি গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর দ্বিগুণ। গ্রহটির ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের কত গুণ?
- ক 12
- খ 1√2
- গ √2
- ঘ 14
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 1√2
g = GMR2, M একই ⟹ g ∝ 1R2
2g = GMR′2 ⟹ R′2 = R22
R′ = R√2 ≈ 0.71 R
ব্যাসার্ধ অর্ধেক করলে g চারগুণ হতো — দ্বিগুণ করতে হলে ব্যাসার্ধ √2 ভাগের এক ভাগ হতে হবে। -
১৭৬
পৃথিবীকে সমসত্ত্ব গোলক ধরে নিলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব r-এর সাথে g-এর পরিবর্তন সম্পর্কে কোনটি সঠিক?
- ক সর্বত্রই g ∝ 1/r2, কেন্দ্রে অসীম
- খ r < R-এ g ধ্রুব, r > R-এ কমে
- গ সর্বোচ্চ মান কেন্দ্রে, পৃষ্ঠে সর্বনিম্ন
- ঘ r < R-এ g ∝ r, r > R-এ g ∝ 1/r2, সর্বোচ্চ মান পৃষ্ঠে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) r < R-এ g ∝ r, r > R-এ g ∝ 1/r2, সর্বোচ্চ মান পৃষ্ঠে
ভেতরে (r < R): কেবল r ব্যাসার্ধের ভেতরের ভরই কাজ করে, বাইরের খোলসের অবদান শূন্য।
M′ = M r3R3 ⟹ g = GM′r2 = GMrR3 ⟹ g ∝ r
বাইরে (r > R): g = GMr2 ⟹ g ∝ 1/r2
দুই রাশি মিলিত হয় ঠিক পৃষ্ঠে — তাই সর্বোচ্চ মান ভূপৃষ্ঠে, কেন্দ্রে শূন্য, অসীমে শূন্য। -
১৭৭
ভূপৃষ্ঠে একটি বস্তুর ওজন 90 N। পৃথিবীকে সমসত্ত্ব ধরে নিলে কেন্দ্র থেকে R3 দূরত্বে এবং ভূপৃষ্ঠ থেকে 2R উচ্চতায় বস্তুটির ওজনের অনুপাত কত?
- ক 1 : 3
- খ 3 : 1
- গ 9 : 1
- ঘ 1 : 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 3 : 1
ভেতরে r = R3 ⟹ g′ = g rR = g3 ⟹ ওজন = 30 N
বাইরে উচ্চতা 2R ⟹ কেন্দ্র থেকে 3R ⟹ g″ = g9 ⟹ ওজন = 10 N
অনুপাত = 30 : 10 = 3 : 1
ভেতরে g ∝ r (রৈখিক), বাইরে g ∝ 1/r2 — দুই দিকে দুই নিয়ম, এটাই এই প্রশ্নের ফাঁদ। -
১৭৮
একটি সমসত্ত্ব নিরেট গোলকের (ভর M, ব্যাসার্ধ R) কেন্দ্র থেকে R2 ও 2R দূরত্বে মহাকর্ষীয় প্রাবল্যের অনুপাত কত?
- ক 1 : 2
- খ 4 : 1
- গ 1 : 4
- ঘ 2 : 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2 : 1
ভেতরে E = GMrR3, r = R2 ⟹ E1 = GM2R2
বাইরে E = GMr2, r = 2R ⟹ E2 = GM4R2
অনুপাত = 1/21/4 = 2 : 1। -
১৭৯
ভূপৃষ্ঠে মহাকর্ষীয় বিভবের মান কত? (g = 9.8 m s−2, R = 6.4 × 106 m)
- ক −9.8 × 106 J kg−1
- খ 6.3 × 107 J kg−1 (ধনাত্মক)
- গ −6.3 × 107 J kg−1
- ঘ −6.3 × 1013 J kg−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) −6.3 × 107 J kg−1
V = −GMR এবং g = GMR2 ⟹ GM = gR2
V = −gR2R = −gR = −9.8 × 6.4 × 106 = −6.3 × 107 J kg−1
বিভব সবসময় ঋণাত্মক — শূন্য ধরা হয় অসীম দূরত্বে, তাই কাছে এলে মান কমে ঋণাত্মক হয়। -
১৮০
নিচের কোন অবস্থানে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য শূন্য কিন্তু মহাকর্ষীয় বিভব শূন্য নয়?
- ক অসীম দূরত্বে
- খ ফাঁপা গোলীয় খোলসের ভেতরের যেকোনো বিন্দুতে
- গ নিরেট গোলকের ঠিক পৃষ্ঠে
- ঘ এমন কোনো বিন্দু সম্ভব নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ফাঁপা গোলীয় খোলসের ভেতরের যেকোনো বিন্দুতে
খোলসের ভেতরে: E = 0 (সব দিকের টান কাটাকাটি হয়ে যায়), কিন্তু V = −GMR — ধ্রুব ও ঋণাত্মক।
কারণ বিভব একটি স্কেলার — সব ভরের অবদান শুধু যোগ হয়, কাটাকাটি হতে পারে না।
সম্পর্কটি E = −dVdr — V ধ্রুব হলে ঢাল শূন্য, তাই E = 0। কিন্তু ধ্রুব মানেই শূন্য নয়।
(অসীমে দুটোই শূন্য, তাই সেটি উত্তর নয়।)
মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।