মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ৬ষ্ঠ অধ্যায়। এখানে ৬৮৪টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৬৮৪ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ৬
পাতা ১০/৩৫
-
১৮১
a বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের চার শীর্ষে m ভরের চারটি কণা আছে। বর্গের কেন্দ্রে মহাকর্ষীয় বিভবের মান কত?
- ক −4 Gma
- খ −4√2 Gma
- গ 0
- ঘ −2√2 Gma
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −4√2 Gma
কেন্দ্র থেকে প্রতিটি শীর্ষের দূরত্ব = অর্ধ-কর্ণ = a√22 = a√2
V = 4 × (−Gma/√2) = −4√2 Gma
প্রাবল্য এখানে শূন্য (বিপরীত জোড়া কাটাকাটি), কিন্তু বিভব শূন্য নয় — স্কেলার বলে চারটিই যোগ হয়। এই পার্থক্যটাই প্রশ্নের মূল ফাঁদ। -
১৮২
m ও 4m ভরের দুইটি কণা d দূরত্বে আছে। এদের সংযোগ রেখার যে বিন্দুতে লব্ধি মহাকর্ষীয় প্রাবল্য শূন্য, সেই বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভবের মান কত?
- ক −5Gmd
- খ −9Gmd
- গ 0
- ঘ −3Gmd
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −9Gmd
প্রাবল্য শূন্য বিন্দু m থেকে x দূরে হলে Gmx2 = 4Gm(d − x)2 ⟹ d − x = 2x ⟹ x = d3
অর্থাৎ m থেকে d3 এবং 4m থেকে 2d3
V = −Gmd/3 − 4Gm2d/3 = −3Gmd − 6Gmd = −9Gmd
প্রাবল্য শূন্য হলেও বিভব শূন্য নয় — দুইটি ঋণাত্মক রাশি কখনো কাটাকাটি হয় না। -
১৮৩
একটি অঞ্চলে মহাকর্ষীয় বিভব V = −Ar (A একটি ধনাত্মক ধ্রুবক)। ঐ অঞ্চলে r দূরত্বে মহাকর্ষীয় প্রাবল্যের মান কত?
- ক Ar2
- খ Ar
- গ 2Ar2
- ঘ A2r
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) Ar2
E = −dVdr
V = −Ar−1 ⟹ dVdr = Ar−2 = Ar2
⟹ |E| = Ar2, দিক ভরের দিকে
বিভব 1/r হারে কমলে প্রাবল্য সবসময় 1/r2 হারে কমে — একে অন্যের অন্তরজ, তাই ঘাত এক বাড়ে। -
১৮৪
একটি সমসত্ত্ব নিরেট গোলকের কেন্দ্রে মহাকর্ষীয় বিভবের মান তার পৃষ্ঠের বিভবের কত গুণ?
- ক 1 গুণ
- খ 2 গুণ
- গ 1.5 গুণ
- ঘ 0.5 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 1.5 গুণ
পৃষ্ঠে Vs = −GMR
ভেতরে V = −GM(3R2 − r2)2R3
কেন্দ্রে r = 0 ⟹ Vc = −3GM2R = 1.5 Vs
প্রাবল্য কেন্দ্রে শূন্য, কিন্তু বিভব সেখানেই সবচেয়ে ঋণাত্মক — সবচেয়ে গভীর কূপ। -
১৮৫
R ও 2R ব্যাসার্ধের দুইটি সমকেন্দ্রিক ফাঁপা গোলীয় খোলসের ভর যথাক্রমে M ও 2M। সাধারণ কেন্দ্রে মহাকর্ষীয় বিভবের মান কত?
- ক −GMR
- খ −3GM2R
- গ 0
- ঘ −2GMR
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) −2GMR
খোলসের ভেতরে বিভব ধ্রুব, মান = তার নিজ পৃষ্ঠের বিভব।
ছোট খোলস ⟹ −GMR
বড় খোলস ⟹ −G(2M)2R = −GMR
বিভব স্কেলার, তাই যোগ: V = −2GMR
কেন্দ্রে প্রাবল্য কিন্তু শূন্য — দুইটি খোলসের কোনোটিই ভেতরে বল দেয় না। -
১৮৬
m ভরের একটি বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে R উচ্চতায় (R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ) তুলতে ন্যূনতম কত কাজ করতে হবে?
- ক mgR
- খ 2mgR
- গ mgR2
- ঘ mgR4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) mgR2
U = −GMmr
পৃষ্ঠে: U1 = −GMmR
2R দূরত্বে: U2 = −GMm2R
কাজ = U2 − U1 = GMm2R = mgR2 [GM = gR2]
ফাঁদ: mgh = mgR লিখলে ভুল হবে — g ধ্রুব নয়, উচ্চতা এখানে ব্যাসার্ধের সমান। -
১৮৭
পৃথিবীকে সমসত্ত্ব ধরে নিলে কেন্দ্র থেকে R4 ও 3R4 দূরত্বে মহাকর্ষীয় প্রাবল্যের পার্থক্য কত?
- ক g4
- খ 3g4
- গ g2
- ঘ g
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) g2
ভেতরে E = g rR
r = 3R4 ⟹ E2 = 3g4
r = R4 ⟹ E1 = g4
পার্থক্য = 3g4 − g4 = g2। -
১৮৮
পৃথিবীর কেন্দ্র সম্পর্কে নিচের কোন উক্তিটি সঠিক?
- ক প্রাবল্য ও বিভব দুটোই শূন্য
- খ প্রাবল্য সর্বোচ্চ, বিভব শূন্য
- গ বিভব শূন্য কিন্তু প্রাবল্য সর্বোচ্চ ঋণাত্মক
- ঘ প্রাবল্য শূন্য কিন্তু বিভব সেখানেই সবচেয়ে ঋণাত্মক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) প্রাবল্য শূন্য কিন্তু বিভব সেখানেই সবচেয়ে ঋণাত্মক
প্রাবল্য: কেন্দ্রে সব দিকের টান সমান ও বিপরীত ⟹ E = 0
বিভব: Vc = −3GM2R — পৃষ্ঠের বিভবেরও 1.5 গুণ ঋণাত্মক, অর্থাৎ সবচেয়ে গভীর।
E = −dVdr — কেন্দ্রে V–r লেখচিত্রের ঢাল শূন্য (সর্বনিম্ন বিন্দু), তাই E = 0। দুটি তথ্য একে অপরের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। -
১৮৯
পৃথিবী ও চাঁদের ভর যথাক্রমে 81M ও M এবং তাদের কেন্দ্রের দূরত্ব d। সংযোগ রেখার যে বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য শূন্য, সেখানে মহাকর্ষীয় বিভবের মান কত?
- ক −90GMd
- খ −10GMd
- গ −100GMd
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) −100GMd
নিরপেক্ষ বিন্দু পৃথিবী থেকে x দূরে হলে 81x2 = 1(d − x)2 ⟹ x = 9d10, চাঁদ থেকে দূরত্ব d10
V = −G(81M)9d/10 − GMd/10
= −90GMd − 10GMd = −100GMd
লক্ষ করো — দূরের বিশাল ভরটির অবদান (90) কাছের ছোট ভরটির (10) চেয়ে ৯ গুণ বেশি। বল শূন্য হওয়া সত্ত্বেও বিভব এখানে সবচেয়ে বড় ঋণাত্মক মানের কাছাকাছি — কারণ বিভব 1/r হারে কমে, বল 1/r2 হারে। -
১৯০
কোনো বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব–দূরত্ব (V–r) লেখচিত্রের ঢাল 5 J kg−1 m−1 হলে ঐ বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্যের মান কত?
- ক 5 N kg−1
- খ 25 N kg−1
- গ 2.5 N kg−1
- ঘ 0.2 N kg−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 5 N kg−1
E = −dVdr
ঢালের মান 5 ⟹ |E| = 5 N kg−1 (ঋণচিহ্ন কেবল দিক বোঝায় — প্রাবল্য বিভব হ্রাসের দিকে)।
একক মিলিয়ে দেখো: J kg−1 m−1 = N m kg−1 m−1 = N kg−1 ✔ — একক না মিললে বুঝতে হবে হিসাব ভুল। -
১৯১
সমান m ভরের দুইটি কণা পরস্পর থেকে 2a দূরত্বে আছে। তাদের সংযোগ রেখার লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ওপর মধ্যবিন্দু থেকে a দূরত্বের একটি বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব কত?
- ক −2Gma
- খ −Gma
- গ −2√2 Gma
- ঘ −√2 Gma
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) −√2 Gma
প্রতিটি কণা থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্ব = a2 + a2 = a√2
V = 2 × (−Gma√2) = −2Gma√2 = −√2 Gma
এখানে প্রাবল্য শূন্য নয় — দুই বলের লব্ধি মধ্যবিন্দুর দিকে; কিন্তু বিভব বের করতে কোনো দিক লাগে না, শুধু দূরত্ব। -
১৯২
একটি গ্রহের ভর পৃথিবীর 8 গুণ এবং ব্যাসার্ধ পৃথিবীর 2 গুণ। ঐ গ্রহের পৃষ্ঠে মুক্তিবেগ পৃথিবীর মুক্তিবেগের কত গুণ?
- ক 4 গুণ
- খ 2 গুণ
- গ √2 গুণ
- ঘ 8 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 2 গুণ
ve = 2GMR ⟹ ve ∝ MR
v′v = 82 = 4 = 2
ভর 8 গুণ হলেও ব্যাসার্ধও বেড়েছে বলে মুক্তিবেগ 8 গুণ হয়নি — অনুপাতের ভেতরে বর্গমূল আছে। -
১৯৩
মুক্তিবেগ সম্পর্কে নিচের কোন উক্তিটি সম্পূর্ণ সঠিক?
- ক এটি নিক্ষিপ্ত বস্তুর ভর ও নিক্ষেপ কোণের ওপর নির্ভর করে না, কিন্তু গ্রহের ভর ও ব্যাসার্ধের ওপর করে
- খ এটি বস্তুর ভরের সমানুপাতিক
- গ এটি নিক্ষেপ কোণের ওপর নির্ভর করে — উল্লম্বভাবে ছুঁড়লে সবচেয়ে কম লাগে
- ঘ এটি গ্রহের ভরের ওপর নির্ভর করে, কিন্তু ব্যাসার্ধের ওপর করে না
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) এটি নিক্ষিপ্ত বস্তুর ভর ও নিক্ষেপ কোণের ওপর নির্ভর করে না, কিন্তু গ্রহের ভর ও ব্যাসার্ধের ওপর করে
শক্তির সমীকরণ: 12mv2 = GMmR
দুই পাশ থেকে m কেটে যায় ⟹ ve = 2GMR = 2gR
ভরনিরপেক্ষ: পালক আর পাথর — দুটোরই একই মুক্তিবেগ।
কোণনিরপেক্ষ: শক্তি একটি স্কেলার, দিকের সাথে সম্পর্ক নেই। (বাতাস না থাকলে) যেকোনো কোণে ঐ বেগে ছুঁড়লেই বস্তু মুক্ত হবে।
তবে M ও R — অর্থাৎ গ্রহটি কী, তার ওপর অবশ্যই নির্ভরশীল। -
১৯৪
পৃথিবীর ভর অপরিবর্তিত রেখে ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হলে মুক্তিবেগ কত গুণ হবে?
- ক 2 গুণ
- খ √2 গুণ
- গ 4 গুণ
- ঘ 1√2 গুণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) √2 গুণ
ve = 2GMR ⟹ ve ∝ 1√R
R → R2 ⟹ ve → √2 ve
ফাঁদ: একই শর্তে g কিন্তু 4 গুণ হয় (g ∝ 1/R2), মুক্তিবেগ হয় মাত্র √2 গুণ — দুটি সূত্রে R-এর ঘাত আলাদা। -
১৯৫
একটি বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে মুক্তিবেগের অর্ধেক বেগে উল্লম্বভাবে উপরে ছোঁড়া হলো। বস্তুটি সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় উঠবে? (বায়ুর বাধা উপেক্ষণীয়, R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ)
- ক R2
- খ R4
- গ R3
- ঘ 3R
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) R3
v = ve2 ⟹ v2 = 2gR4 = gR2
শক্তির নিত্যতা: 12v2 − gR = −gR2R + h
gR4 − gR = −gR2R + h ⟹ −3gR4 = −gR2R + h
R + h = 4R3 ⟹ h = R3
ফাঁদ: h = v2/2g ব্যবহার করলে ভুল হবে — এত উঁচুতে g ধ্রুব নয়। -
১৯৬
একটি বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে মুক্তিবেগের দ্বিগুণ বেগে নিক্ষেপ করা হলো। পৃথিবী থেকে বহু দূরে গিয়ে বস্তুটির বেগ কত হবে?
- ক √3 ve
- খ 2 ve
- গ ve
- ঘ √2 ve
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) √3 ve
শক্তির নিত্যতা: 12mu2 − GMmR = 12mv2
v2 = u2 − ve2 [যেহেতু 2GMR = ve2]
u = 2ve ⟹ v2 = 4ve2 − ve2 = 3ve2
v = √3 ve ≈ 1.73 ve
বেগ দ্বিগুণ করলেও অসীমে বেগ দ্বিগুণ হয় না — মুক্ত হতেই একটা অংশ খরচ হয়ে যায়। -
১৯৭
ভূপৃষ্ঠ থেকে 3R উচ্চতায় অবস্থিত একটি বস্তুর মুক্তিবেগ ভূপৃষ্ঠের মুক্তিবেগের কত গুণ?
- ক 1√2
- খ 14
- গ 13
- ঘ 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 12
মুক্তিবেগ v = 2GMr ⟹ v ∝ 1√r
উচ্চতা 3R ⟹ কেন্দ্র থেকে দূরত্ব r = 4R
v′ve = R4R = 12
ফাঁদ: উচ্চতা 3R, কিন্তু সূত্রে বসাতে হয় কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4R। -
১৯৮
একটি বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে ঠিক R উচ্চতা পর্যন্ত তুলতে হলে ন্যূনতম কত বেগে উল্লম্বভাবে ছুঁড়তে হবে? (R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ)
- ক gR
- খ 2gR
- গ gR2
- ঘ 4gR
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) gR
শক্তির নিত্যতা (পৃষ্ঠ → 2R দূরত্ব, শেষ বেগ শূন্য):
12mv2 − GMmR = −GMm2R
12v2 = GM2R ⟹ v2 = GMR = gR
v = gR ≈ 7.9 km s−1
এটি মুক্তিবেগের 1√2 অংশ — অর্ধেক পথ পেরোতেই মুক্তিবেগের 71 % লাগে। -
১৯৯
m ভরের দুইটি কণা r দূরত্বে আছে। এদের অসীম দূরত্বে সরিয়ে নিতে বাইরে থেকে কমপক্ষে কত শক্তি দিতে হবে?
- ক Gm22r
- খ 2Gm2r
- গ Gm2r2
- ঘ Gm2r
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) Gm2r
সিস্টেমের বিভবশক্তি U = −Gm2r
অসীমে U′ = 0
প্রয়োজনীয় শক্তি = U′ − U = Gm2r
এই রাশিকেই সিস্টেমের বন্ধন শক্তি (binding energy) বলে। বিভবশক্তি শক্তি — বল নয়, তাই হরে r2 নয়, শুধু r। -
২০০
a বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন শীর্ষে m ভরের তিনটি কণা রাখা হলো। সিস্টেমের মোট মহাকর্ষীয় বিভবশক্তি কত?
- ক −Gm2a
- খ −3Gm2a
- গ −3Gm22a
- ঘ −6Gm2a
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −3Gm2a
কণা জোড়ার সংখ্যা = 3C2 = 3
প্রতিটি জোড়ার দূরত্ব a ⟹ প্রতিটির U = −Gm2a
মোট = 3 × (−Gm2a) = −3Gm2a
বিভবশক্তি গোনা হয় জোড়া ধরে, কণা ধরে নয় — তিনটি কণা মানে তিনটি জোড়া।
মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।