তপন স্যার — পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্ন ও সমাধান
তপন স্যার ভর্তি পরীক্ষার পদার্থবিজ্ঞান অংশ থেকে ২৫১৯টি প্রশ্ন, প্রতিটির সঠিক উত্তর আর পূর্ণ ব্যাখ্যাসহ।
২৫১৯ প্রশ্ন
পাতা ৭/১২৬
সাল ধরে দেখো
-
১২১
j×(j×k)=?
- ক -k
- খ 0
- গ k
- ঘ i
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) -k
প্রথমে বন্ধনীর ভেতর, j × k = i। এবার j × i = −k। উত্তর −k।
এখানে ক্রমটাই আসল; i × j = k কিন্তু j × i = −k। আয়ত একক ভেক্টরের চক্র i → j → k → i এই ক্রমে ধনাত্মক, আর উল্টো ক্রমে ঋণাত্মক। ক্রস গুণন সংযোগ সূত্র মানে না বলে বন্ধনী কোথায় বসেছে সেটিও খেয়াল রাখতে হয়। -
১২২
|A×B|2+|A.B|2 এর মান-
- ক |A|2+|B|2
- খ |A|2.|B|2
- গ |A2+B2|
- ঘ |A-B|2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) |A|2.|B|2
|A × B|² = A²B²sin²θ এবং |A·B|² = A²B²cos²θ। যোগ করলে A²B²(sin²θ + cos²θ) = A²B², কারণ sin²θ + cos²θ = 1।
তাই ফল |A|²·|B|²। উত্তর খ।
এই অভেদটি বেশ কাজের, কারণ এর মাধ্যমে কোণ না জেনেই দুটি গুণফলের সম্পর্ক বের করা যায়। যেমন ডট গুণফল ও ভেক্টর দুটির মান জানা থাকলে সরাসরি ক্রস গুণফলের মান বের করে ফেলা যায়, আলাদা করে θ বের করার দরকার হয় না। -
১২৩
A ও B ভেক্টর দ্বারা একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় নির্দিষ্ট হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি হবে?
- ক A.B
- খ 12 |A×B|
- গ 12(A.B)
- ঘ |A×B|
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 12 |A×B|
কর্ণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হয় কর্ণ দুটির ক্রস গুণফলের মানের অর্ধেক, অর্থাৎ 12|A × B|। উত্তর খ।
সন্নিহিত বাহু দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল হতো পুরো |A × B|; কর্ণ আর বাহু গুলিয়ে ফেললে উত্তর দ্বিগুণ বা অর্ধেক হয়ে যায়। কারণটি জ্যামিতিক, কর্ণ দুটি সামান্তরিককে চারটি ত্রিভুজে ভাগ করে, আর কর্ণ দিয়ে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল মূলটির দ্বিগুণ হয়। -
১২৪
i.(k×j)=?
- ক 1
- খ -1
- গ 0
- ঘ k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) -1
প্রথমে বন্ধনীর ভেতর, k × j = −i। এবার i·(−i) = −1। উত্তর −১।
ক্রমটি খেয়াল করা জরুরি; j × k = i কিন্তু k × j = −i। এখানে ঋণচিহ্নটি ঐ উল্টো ক্রম থেকেই এসেছে। এ ধরনের স্কেলার ত্রিগুণনের ফল আসলে তিনটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনকের আয়তন নির্দেশ করে, আর চিহ্ন বোঝায় ভেক্টর তিনটি ডান হাতি না বাম হাতি ক্রমে সাজানো। -
১২৫
P=2i+2j-k এবং Q=6i+3j-3k ভেক্টরদ্বয়ের উভয়ের ওপর লম্ব একক ভেক্টর কোনটি হবে?
- ক -j-2k
- খ -3i-6k
- গ -3(i+2k)45
- ঘ -3(i-2k)45
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) -3(i+2k)45
উভয়ের উপর লম্ব দিক পেতে ক্রস গুণন করি। i-উপাংশ = (2)(−3) − (−1)(3) = −6 + 3 = −3, j-উপাংশ = −[(2)(−3) − (−1)(6)] = −(−6 + 6) = 0 এবং k-উপাংশ = (2)(3) − (2)(6) = 6 − 12 = −6।
তাই P × Q = −3i − 6k = −3(i + 2k), যার মান 32 + 62 = 45। ফলে লম্ব একক ভেক্টর −3(i + 2k)45। উত্তর গ।
অপশন ক ও খ-তে কেবল ক্রস গুণফল দেওয়া আছে, মান দিয়ে ভাগ করা হয়নি; একক ভেক্টর চাইলে ভাগ করতেই হবে। আর ঘ-তে চিহ্ন বদলে i − 2k লেখা হয়েছে, যা ভিন্ন দিক নির্দেশ করে। -
১২৬
বিনিময় সূত্র মেনে চলে-
i. দুটি ভেক্টরের যোগ
ii. দুটি ভেক্টরের ডট গুণন
iii. দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) i ও ii
ভেক্টর যোগ বিনিময় সূত্র মানে, A + B = B + A। ডট গুণনও মানে, A·B = B·A, কারণ AB cosθ এ ক্রমের কোনো ভূমিকা নেই। কিন্তু ক্রস গুণন মানে না, A × B = −(B × A)। সঠিক উত্তর i ও ii।
ক্রস গুণনে ক্রম বদলালে মান একই থাকে কিন্তু দিক উল্টে যায়, আর দিক বদলে গেলে ভেক্টর দুটি আর সমান থাকে না। এ কারণেই টর্কের হিসাবে τ = r × F লিখতে হয়, F × r নয়; ক্রম উল্টে দিলে টর্কের দিক উল্টে যাবে। -
১২৭
নিচের চিত্র অনুযায়ী B এর ওপর A এর অভিক্ষেপ কোনটি?
- ক |A×B|A
- খ |A×B|B
- গ A.BB
- ঘ (A.B)A
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A.BB
কোনো ভেক্টরের অভিক্ষেপ পাওয়া যায় ডট গুণফলকে যার উপর অভিক্ষেপ নেওয়া হচ্ছে তার মান দিয়ে ভাগ করে। B এর উপর A এর অভিক্ষেপ = A cosθ, আর A·B = AB cosθ থেকে পাই A cosθ = A·BB। উত্তর গ।
অপশনে হর ও লব নানাভাবে বদলে দেওয়া হয়েছে। লবে ক্রস গুণফল বসালে ফল হতো A sinθ, যা অভিক্ষেপ নয় বরং লম্ব উপাংশ। আর হরে A বসালে A এর উপর B এর অভিক্ষেপ পাওয়া যেত। কোন ভেক্টরের উপর কোনটির অভিক্ষেপ চাওয়া হয়েছে তা দেখে হর ঠিক করতে হয়। -
১২৮
A.(B×C)=0 এর অর্থ হলো-
i. |ABC|=0
ii. A, B ও C ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত
iii. (B×C) ভেক্টরটি, A এর ওপর লম্ব
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ ii ও iii
- গ i ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
A·(B × C) রাশিটিকে বলা হয় স্কেলার ত্রিগুণন এবং একে |ABC| আকারেও লেখা হয়, তাই প্রথম বক্তব্য সঠিক। এর মান আসলে তিনটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনকের আয়তন; আয়তন শূন্য মানে ঘনকটি চ্যাপ্টা হয়ে গেছে, অর্থাৎ তিনটি ভেক্টরই একই সমতলে আছে, তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক।
তৃতীয় বক্তব্যও সঠিক, কারণ ডট গুণফল শূন্য মানেই B × C ভেক্টরটি A এর উপর লম্ব। উত্তর i, ii ও iii।
তিনটি বক্তব্য আসলে একই কথার তিন রূপ। (B × C) ভেক্টরটি B ও C এর তলের উপর লম্ব; সেটি আবার A এরও উপর লম্ব হওয়া মানে A ঐ তলেই আছে। সমতলীয় হওয়ার শর্ত যাচাই করতে তাই স্কেলার ত্রিগুণন শূন্য কিনা দেখাই যথেষ্ট। -
১২৯
দুটি ভেক্টর A এবং B –এর যোগফল তাদের পার্থক্যের ওপর লম্ব। নিচের কোন বিবৃতিটি অবশ্যই সম্ভব?
- ক A=B
- খ A.B=0
- গ A×B=0
- ঘ A=-2B
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A=B
যোগফল ও বিয়োগফল লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য, অর্থাৎ (A + B)·(A − B) = A² − B² = 0, ফলে A = B। অর্থাৎ ভেক্টর দুটির মান অবশ্যই সমান হতে হবে।
অপশনগুলোর মধ্যে কেবল A = B এই শর্ত নিশ্চিত করে, কারণ দুটি ভেক্টর সমান হলে তাদের মানও সমান। অন্যদিকে A = −2B শর্তটি সরাসরি বিরোধিতা করে, কারণ তাতে A এর মান B এর দ্বিগুণ হয়ে যায়। উত্তর ক।
এর জ্যামিতিক রূপটিও মনে রাখার মতো। দুটি ভেক্টর দিয়ে আঁকা সামান্তরিকের কর্ণ হলো যোগফল ও বিয়োগফল; কর্ণ দুটি লম্ব হওয়া মানে সামান্তরিকটি রম্বস, আর রম্বসের চার বাহুই সমান। -
১৩০
নিচের উদ্দীপকটি পড়ো এবং ৪৭ ও ৪৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ একটি দেয়াল ঘড়ি পশ্চিম দেয়ালে টাঙানো আছে। যদি ঘণ্টার কাঁটাকে P এবং মিনিটের কাঁটাকে Q দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাহলে- ১২টা ১৫ মিনিটে P×Q এর দিক হবে-
- ক পূর্ব দিকে
- খ পশ্চিম দিকে
- গ উত্তর দিকে
- ঘ দক্ষিণ দিকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) পশ্চিম দিকে
ঘড়িটি পশ্চিম দেয়ালে টাঙানো, তাই এর পর্দা পূর্ব দিকে মুখ করে আছে এবং দর্শক পশ্চিম দিকে তাকিয়ে ঘড়িটি দেখছেন। পশ্চিমমুখী দর্শকের ডান হাত উত্তর দিকে থাকে, তাই ঘড়ির ৩টার ঘর উত্তর দিকে আর ১২টার ঘর উপরের দিকে।
১২টা ১৫ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা P প্রায় ১২টার ঘরে অর্থাৎ উপরের দিকে, আর মিনিটের কাঁটা Q ৩টার ঘরে অর্থাৎ উত্তর দিকে। ডান হাতের নিয়মে আঙুল P থেকে Q এর দিকে ঘোরালে বুড়ো আঙুল দর্শক থেকে দূরে অর্থাৎ দেয়ালের ভেতরের দিকে যায়, যা পশ্চিম দিক। উত্তর পশ্চিম দিকে।
ক্রস গুণফলের ফল সবসময় দুটি ভেক্টরের তলের উপর লম্ব থাকে; এখানে ঘড়ির পর্দাই সেই তল, তাই ফলটি পূর্ব বা পশ্চিম যেকোনো একটি হতে বাধ্য। কোনটি হবে তা ঠিক করে দেয় কেবল ডান হাতের নিয়ম। -
১৩১
ঘড়িতে যখন ১২টা বাজে ঐ মুহূর্তে –
- ক P×Q=0
- খ P.Q=0
- গ |P×Q|=PQ
- ঘ P.Q=-PQ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) P×Q=0
ঠিক ১২টায় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুটোই ১২টার ঘরে থাকে, অর্থাৎ এদের মধ্যবর্তী কোণ ০°। ক্রস গুণফলের মান PQ sin0° = 0, তাই P × Q = 0। উত্তর ক।
বাকি অপশনগুলো অন্য কোণের কথা বলছে। P·Q = 0 হতো ৯০° কোণে অর্থাৎ ৩টায়, |P × Q| = PQ হতো ৯০° কোণে, আর P·Q = −PQ হতো ১৮০° কোণে অর্থাৎ ৬টার কাছাকাছি সময়ে। কোণ শূন্য হলে ডট গুণফল সর্বোচ্চ আর ক্রস গুণফল শূন্য হয়। -
১৩২
k×(j+k) ভেক্টরটি হবে-
- ক -i
- খ i
- গ k
- ঘ j
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) -i
ক্রস গুণন বণ্টন সূত্র মানে, তাই k × (j + k) = k × j + k × k। এখানে k × j = −i এবং k × k = 0, ফলে ফল দাঁড়ায় −i। উত্তর −i।
এখানে ক্রমটাই মূল কথা; j × k = i কিন্তু k × j = −i। আয়ত একক ভেক্টরের চক্র i → j → k → i এই ক্রমে ধনাত্মক আর উল্টো ক্রমে ঋণাত্মক। নিজের সাথে নিজের ক্রস গুণন শূন্য হওয়ায় দ্বিতীয় পদটি এমনিতেই বাদ যায়। -
১৩৩
কোনো সমান্তরালের দুটি কর্ণ A=4i-4j+2k এবং B=3i-3j+k দ্বারা নির্দেশ করা হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
- ক 26
- খ 8
- গ 22
- ঘ 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2
কর্ণ দেওয়া থাকায় ক্ষেত্রফল হবে 12|A × B|। ক্রস গুণফল বের করি; i-উপাংশ = (−4)(1) − (2)(−3) = −4 + 6 = 2, j-উপাংশ = −[(4)(1) − (2)(3)] = −(4 − 6) = 2 এবং k-উপাংশ = (4)(−3) − (−4)(3) = −12 + 12 = 0।
তাই A × B = 2i + 2j এবং এর মান 22 + 22 = 22। ক্ষেত্রফল = 12 × 22 = 2 বর্গ একক। উত্তর 2।
কর্ণ না বাহু কোনটি দেওয়া আছে সেটি না দেখলে উত্তর দ্বিগুণ হয়ে যেত; অপশনে 22 রাখা হয়েছে ঠিক সেই ভুলের জন্য। k-উপাংশ শূন্য আসা মানে ক্রস গুণফলটি XY তলে আছে, অর্থাৎ কর্ণ দুটি এমন এক তলে আছে যার অভিলম্ব XY তলে পড়ে। -
১৩৪
i×(j×k)=?
- ক i
- খ 0
- গ 1
- ঘ -i
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 0
প্রথমে বন্ধনীর ভেতর, j × k = i। তাই রাশিটি দাঁড়ায় i × i, আর নিজের সাথে নিজের ক্রস গুণন সবসময় শূন্য। উত্তর ০।
ক্রস গুণন সংযোগ সূত্র মানে না, তাই বন্ধনী কোথায় বসেছে সেটি গুরুত্বপূর্ণ। এখানে বন্ধনী সরিয়ে (i × j) × k করলে ফল হতো k × k = 0, সম্পূর্ণ আলাদা উত্তর। এ ধরনের প্রশ্নে সবসময় ভেতর থেকে বাইরে হিসাব করতে হয়। -
১৩৫
ভেক্টর গুণনে প্রাপ্ত একক ভেক্টরের দিক পাওয়ার ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?
- ক গুণনকৃত ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব বরাবর
- খ বামহাতি স্ক্রু নিয়মে প্রথম থেকে দ্বিতীয়টির দিকে
- গ ঘড়ির সমাবর্তীর ক্ষেত্রে ওপরের দিকে
- ঘ ঘড়ির বিষমাবর্তীর ক্ষেত্রে নিচের দিকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) গুণনকৃত ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব বরাবর
ক্রস গুণফলের ফল একটি ভেক্টর, যার দিক গুণনকৃত ভেক্টর দুটির তলের উপর লম্ব বরাবর। একেই n দিয়ে প্রকাশ করা হয় A × B = AB sinθ n সূত্রে। উত্তর ক।
দিক নির্ধারণে ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম ব্যবহার হয়, বাম হাতি নয়; প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয়টির দিকে ঘোরালে স্ক্রু যেদিকে এগোয় সেটিই ফলের দিক। ঘড়ির বিপরীত দিকে ঘুরলে ফল উপরের দিকে আর ঘড়ির দিকে ঘুরলে নিচের দিকে যায়, তাই বাকি তিনটি অপশনে দিক উল্টো করে দেওয়া হয়েছে। -
১৩৬
3i-4j+ak, 4i-2j+k, i+2j-3k ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a এর মান কত?
- ক -2
- খ 2
- গ -4
- ঘ 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 4
তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো এদের স্কেলার ত্রিগুণন শূন্য। নির্ণায়ক বিস্তার করে পাই 3[(−2)(−3) − (1)(2)] + 4[(4)(−3) − (1)(1)] + a[(4)(2) − (−2)(1)]।
সরল করে 3(6 − 2) + 4(−12 − 1) + a(8 + 2) = 12 − 52 + 10a = 10a − 40। এটি শূন্য হলে a = 4। উত্তর ৪।
সমতলীয় হওয়ার এই শর্তটি আসলে আয়তনের শর্ত; তিনটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনকের আয়তন শূন্য হলেই তারা একই সমতলে পড়ে। নির্ণায়ক বিস্তারের সময় মাঝের পদের সামনে ঋণচিহ্ন বসে, সেটি খেয়াল না রাখলে a এর মান ঋণাত্মক এসে যায়। -
১৩৭
R1=3i-2j+7k এবং R2=5i+6j-3k একটি সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ নির্দেশ করলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
- ক 32.14 m2
- খ 18.55 units
- গ 31.68 units
- ঘ 33.64 cm2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 31.68 units
কর্ণ দেওয়া থাকায় ক্ষেত্রফল 12|R1 × R2|। ক্রস গুণফলে i-উপাংশ = (−2)(−3) − (7)(6) = 6 − 42 = −36, j-উপাংশ = −[(3)(−3) − (7)(5)] = −(−9 − 35) = 44 এবং k-উপাংশ = (3)(6) − (−2)(5) = 18 + 10 = 28।
তাই মান = 362 + 442 + 282 = 4016 ≈ 63.37, এবং ক্ষেত্রফল = 12 × 63.37 ≈ 31.68 একক। উত্তর ৩১.৬৮ units।
অপশনে m² ও cm² একক দেওয়া আছে, কিন্তু প্রশ্নে ভেক্টরগুলোর কোনো একক বলা হয়নি; তাই একক ছাড়া মানটিই সঠিক। বর্গমূল নেওয়ার সময় ঋণচিহ্ন মুছে যায়, তাই −36 কে ৩৬ ধরেই বর্গ করতে হয়। -
১৩৮
কোনটি অপারেটর নয়?
- ক sinθ
- গ log
- ঘ ddx
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) sinθ
অপারেটর হলো এমন চিহ্ন যা কোনো রাশির উপর ক্রিয়া করে তাকে বদলে দেয়। বর্গমূল, log এবং ddx তিনটিই অপারেটর, কারণ এদের ডানে কোনো রাশি বসালে তবেই অর্থ পূর্ণ হয়। কিন্তু sinθ কোনো অপারেটর নয়, এটি একটি নির্দিষ্ট কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অর্থাৎ একটি সংখ্যা। উত্তর sinθ।
এখানে sin আর sinθ এর পার্থক্যটাই মূল কথা; sin একা থাকলে সেটি অপারেটর, কিন্তু θ বসিয়ে দিলে সেটি আর ক্রিয়া করার কিছু খুঁজছে না, নিজেই একটি মান হয়ে গেছে। ভেক্টর অধ্যায়ে ∇ একটি গুরুত্বপূর্ণ অপারেটর, যা স্কেলার বা ভেক্টর ক্ষেত্রের উপর ক্রিয়া করে গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স বা কার্ল তৈরি করে। -
১৩৯
কোনো অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষকের ডাইভারজেন্স হচ্ছে-
- ক ∇.V
- খ ∇V
- গ ∇×V
- ঘ V.∇
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) ∇.V
কোনো ভেক্টর অপেক্ষকের ডাইভারজেন্স হলো ∇ অপারেটরের সাথে ঐ ভেক্টরের ডট গুণন, অর্থাৎ ∇·V। উত্তর ক।
ডট গুণনের ফল স্কেলার, তাই ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি। উপাংশ আকারে ∇·V = ∂Vx∂x + ∂Vy∂y + ∂Vz∂z। এটি বোঝায় কোনো বিন্দু থেকে ক্ষেত্রটি কতটা ছড়িয়ে পড়ছে বা কতটা জমা হচ্ছে; তাই একে উৎস বা সিঙ্কের পরিমাপ বলা হয়। -
১৪০
কোনো অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষকের গ্রেডিয়েন্ট হচ্ছে-
- ক ∇ V
- খ ∇ϕ
- গ ∇.V
- ঘ Vϕ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ∇ϕ
গ্রেডিয়েন্ট নেওয়া হয় স্কেলার ক্ষেত্রের উপর, ভেক্টর ক্ষেত্রের উপর নয়। কোনো স্কেলার অপেক্ষক ϕ এর গ্রেডিয়েন্ট হলো ∇ϕ। উত্তর খ।
উপাংশ আকারে ∇ϕ = ∂ϕ∂xi + ∂ϕ∂yj + ∂ϕ∂zk, অর্থাৎ ফলটি একটি ভেক্টর। গ্রেডিয়েন্ট নির্দেশ করে কোন দিকে স্কেলার রাশিটি সবচেয়ে দ্রুত বাড়ছে, আর এর মান বলে দেয় ঐ বৃদ্ধির হার কত। তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্ট বা বিভবের গ্রেডিয়েন্ট এভাবেই বের করা হয়।
তপন স্যার ধাঁচে পরীক্ষা দাও
এই প্রতিষ্ঠানের প্রশ্ন দিয়েই এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।