তপন স্যার — পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্ন ও সমাধান

তপন স্যার ভর্তি পরীক্ষার পদার্থবিজ্ঞান অংশ থেকে ২৫১৯টি প্রশ্ন, প্রতিটির সঠিক উত্তর আর পূর্ণ ব্যাখ্যাসহ।

1. ১০১

   ভেক্টর তপন স্যার

   চিত্রের ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণন-

   • ক A.B=ABcosθ
   • খ |A×B|=ABcosθ
   • গ A×B=ABsinθη
   • ঘ A.B=ABsinθ
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) A.B=ABcosθ

   স্কেলার গুণন বা ডট গুণনের সংজ্ঞা A·B = AB cosθ, যেখানে θ হলো ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ এবং ফলটি একটি স্কেলার। উত্তর ক।
   
   বাকি অপশনগুলোতে ডট ও ক্রস মিশিয়ে দেওয়া হয়েছে। ক্রস গুণফলের মান AB sinθ, cosθ নয়; আর A × B = AB sinθ n হলো ক্রস গুণনের পূর্ণরূপ, স্কেলার গুণন নয়। ডট গুণনে cos আর ক্রস গুণনে sin, এই একটি পার্থক্যই বেশিরভাগ প্রশ্নের ফয়সালা করে দেয়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ১০২

   ভেক্টর তপন স্যার

   P ও Q ভেক্টর দুটি থেকে পাই-
   i. P×Q≠Q×P
   ii. P+Q=Q+P
   iii. P.Q=Q.P
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i
   • খ i ও ii
   • গ ii ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

   ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না, তাই P × Q ≠ Q × P, প্রথম বক্তব্য সঠিক। ভেক্টর যোগ বিনিময় সূত্র মানে, তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক। ডট গুণনও বিনিময় সূত্র মানে, কারণ AB cosθ এ ক্রমের কোনো ভূমিকা নেই, তাই তৃতীয়টিও সঠিক। উত্তর i, ii ও iii।
   
   অর্থাৎ ভেক্টরের তিনটি ক্রিয়ার মধ্যে কেবল ক্রস গুণনই ক্রম নিয়ে সংবেদনশীল। এর কারণ ক্রস গুণফলের দিক ডান হাতের নিয়মে নির্ধারিত হয়, আর ক্রম বদলালে ঐ দিক উল্টে যায়; মান কিন্তু একই থাকে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ১০৩

   ভেক্টর ইসহাক স্যার · তপন স্যার

   P ও Q পরস্পরের বিপরীত ভেক্টর হলে—
   i. P + Q = 0
   ii. P · Q = 0
   iii. P × Q = 0
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i
   • খ i ও ii
   • গ i ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) i ও iii

   বিপরীত ভেক্টর: মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত, অর্থাৎ Q = −P, মধ্যবর্তী কোণ θ = 180°।
   i. P + Q = P + (−P) = 0 (শূন্য ভেক্টর) — সঠিক।
   ii. P · Q = PQ cos180° = −P² ≠ 0 — ভুল।
   iii. |P × Q| = PQ sin180° = 0 — সঠিক (সমান্তরাল/বিপরীত সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য)।
   সুতরাং i ও iii সঠিক।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ১০৪

   ভেক্টর তপন স্যার

   আয়ত একক ভেক্টরের ক্ষেত্রে-
   (i) i.j=i. k=k. i=0
   (ii) i.i=j.j=k.k=1
   (iii) i×i=j×j=k×k=0
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i ও ii
   • খ i ও iii
   • গ ii ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

   তিনটি বক্তব্যই আয়ত একক ভেক্টরের মৌলিক ধর্ম। ভিন্ন দুটি একক ভেক্টর পরস্পর লম্ব বলে তাদের ডট গুণফল শূন্য, তাই প্রথমটি সঠিক। প্রতিটির মান ১ এবং নিজের সাথে কোণ শূন্য বলে নিজের সাথে ডট গুণফল ১, তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক। আর নিজের সাথে ক্রস গুণফল শূন্য, কারণ sin0° = 0, তাই তৃতীয়টিও সঠিক। উত্তর i, ii ও iii।
   
   এই ধর্মগুলোর উপরেই উপাংশ পদ্ধতিতে ডট ও ক্রস গুণনের পুরো হিসাব দাঁড়িয়ে আছে। ডট গুণনে একই অক্ষের পদগুলো টিকে থাকে আর ভিন্ন অক্ষের পদগুলো মুছে যায়, ক্রস গুণনে ঠিক উল্টোটা ঘটে; এ কারণেই A·B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z আকারের সরল সূত্র পাওয়া যায়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ১০৫

   ভেক্টর তপন স্যার

   চিত্রে কর্ণদ্বয় হচ্ছে (AC)=i ও BD=j ; AB ভেক্টরের সঠিক রুপ কোনটি?

   • ক i+j4
   • খ i+j2
   • গ i-j2
   • ঘ j+i2
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) i-j2

   সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কেন্দ্রকে মূলবিন্দু ধরলে A ও C বিন্দু দুটি থাকবে AC এর দুই প্রান্তে এবং B ও D থাকবে BD এর দুই প্রান্তে, অর্থাৎ A = −i2, B = −j2।
   
   তাই AB = B − A = i − j2। উত্তর গ।
   
   ABCD সামান্তরিকে শীর্ষবিন্দুগুলো ক্রমানুসারে থাকে, তাই কর্ণ হয় AC ও BD; এই ক্রম না ধরলে উত্তর বদলে যেত। কর্ণ থেকে বাহু বের করার সাধারণ নিয়মটি এখানেই দেখা যাচ্ছে, বাহু = কর্ণ দুটির যোগ বা বিয়োগফলের অর্ধেক।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ১০৬

   ভেক্টর তপন স্যার

   কর্ণদ্বয় AC = i ও BD = j হলে ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

   • ক 0.5 একক
   • খ 1.0 একক
   • গ 1.5 একক
   • ঘ 2.0 একক
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 0.5 একক

   কর্ণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হয় কর্ণ দুটির ক্রস গুণফলের মানের অর্ধেক, অর্থাৎ 12|AC × BD|। এখানে i × j = k, তাই ক্ষেত্রফল 12 একক। উত্তর ০.৫ একক।
   
   সন্নিহিত বাহু দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল হয় |A × B|, কিন্তু কর্ণ দেওয়া থাকলে অর্ধেক নিতে হয়; কোনটি দেওয়া আছে সেটি না দেখলে দ্বিগুণ বা অর্ধেক ভুল হয়ে যায়। কারণটি সহজ, কর্ণ দুটি সামান্তরিককে চারটি ত্রিভুজে ভাগ করে ফেলে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ১০৭

   ভেক্টর তপন স্যার

   P ও Q ভেক্টরদ্বয় যে সমতলে অবস্থিত তার অভিলম্ব দিকের ভেক্টরটি হবে-

   • ক 4i+4j+4k
   • খ 4i+8j-4k
   • গ 8i+4j+4k
   • ঘ 4i+4j-8k
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 8i+4j+4k

   কোনো তলের অভিলম্ব দিক পাওয়া যায় ঐ তলে থাকা দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন করে। নির্ণায়ক বিস্তার করে i-উপাংশ = (−3)(−3) − (−1)(−1) = 9 − 1 = 8, j-উপাংশ = −[(2)(−3) − (−1)(2)] = −(−6 + 2) = 4 এবং k-উপাংশ = (2)(−1) − (−3)(2) = −2 + 6 = 4।
   
   তাই P × Q = 8i + 4j + 4k। উত্তর গ।
   
   ফলটি যাচাই করা সহজ; এর সাথে P বা Q এর ডট গুণফল নিলে শূন্য আসবে, কারণ অভিলম্ব ভেক্টর তলের প্রতিটি ভেক্টরের উপর লম্ব। এখানে (8)(2) + (4)(−3) + (4)(−1) = 16 − 12 − 4 = 0, অর্থাৎ হিসাব ঠিক আছে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ১০৮

   ভেক্টর তপন স্যার

   P = 2i − 3j − k এবং Q = 2i − j − 3k হলে ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফলের মান হবে-

   • ক 96
   • খ 16
   • গ 80
   • ঘ 10
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) 10

   P = 2i − 3j − k এবং Q = 2i − j − 3k ভেক্টর দুটির ডট গুণফল = (2)(2) + (−3)(−1) + (−1)(−3) = 4 + 3 + 3 = 10। উত্তর ১০।
   
   তিনটি পদই ধনাত্মক এসেছে, কারণ প্রতিটি জোড়ায় দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল ধনাত্মক হয়েছে। চিহ্ন ভুল করলে ৪ − ৩ − ৩ = −২ এর মতো ফল আসত। ডট গুণফল ধনাত্মক মানে ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ সূক্ষ্মকোণ, অর্থাৎ ৯০° এর কম।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ১০৯

   ভেক্টর তপন স্যার

   M ও N ভেক্টর দ্বারা গঠিত তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর-

   • ক M×N|M×N|
   • খ M.N|M×N|
   • গ M×N|M.N|
   • ঘ | M×N|M×N
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) M×N|M×N|

   M ও N দ্বারা গঠিত তলের উপর লম্ব দিক পাওয়া যায় M × N থেকে, আর একে একক ভেক্টরে পরিণত করতে নিজের মান দিয়ে ভাগ করতে হয়। তাই উত্তর M × N|M × N|।
   
   বাকি অপশনগুলোতে ডট ও ক্রস মিশিয়ে দেওয়া হয়েছে। লবে ডট গুণফল বসালে ফল স্কেলার হয়ে যেত, ভেক্টর নয়; আর হরে ডট গুণফল বসালে মানটি ভুল হতো। নিয়মটি সাধারণ, যেকোনো ভেক্টরকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করলেই সেই দিকের একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ১১০

    ভেক্টর তপন স্যার

    A=-B হয়, তবে A×B এর মান কত?

    • ক A²
    • খ 1
    • গ 0
    • ঘ -A²
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 0

    A = −B মানে ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী, কোণ ১৮০°। ক্রস গুণফলের মান AB sin180° = 0। উত্তর ০।
    
    ক্রস গুণফল শূন্য হওয়ার শর্ত হলো ভেক্টর দুটি একই সরলরেখা বরাবর থাকা, তা একই দিকে হোক বা উল্টো দিকে। অপশনে A² ও −A² রাখা হয়েছে, ঐ মানগুলো আসে ডট গুণফলে; বিপরীতমুখী হলে A·B = −A²। ডট আর ক্রস আলাদা করে মনে রাখাই এখানে মূল কাজ।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ১১১

    ভেক্টর তপন স্যার

    |A×B|=|A.B| হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

    • ক π2
    • খ π4
    • গ π
    • ঘ 2π
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) π4

    |A × B| = AB sinθ এবং |A·B| = AB cosθ। দুটি সমান হলে sinθ = cosθ, অর্থাৎ tanθ = 1 এবং θ = 45° বা π4। উত্তর π4।
    
    ৪৫° কোণে ডট ও ক্রস গুণফলের মান সমান হয়, এই ফলটি মনে রাখার মতো। কোণ ৪৫° এর কম হলে ডট গুণফল বড়ো হয় আর বেশি হলে ক্রস গুণফল বড়ো হয়; ৯০° এ ডট শূন্য এবং ক্রস সর্বোচ্চ, আর ০° এ ঠিক উল্টো।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ১১২

    ভেক্টর তপন স্যার

    যদি A, B ও C তিনটি ভেক্টর রাশি এবং C=A×B হয়, তাহলে C এর দিক হবে-

    • ক A বরাবর
    • খ B বরাবর
    • গ A ও B উভয়ের লম্ব বরাবর
    • ঘ A ও B উভয়ের সমান্তরাল বরাবর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) A ও B উভয়ের লম্ব বরাবর

    ক্রস গুণফলের ফল সবসময় ঐ দুটি ভেক্টরের তলের উপর লম্ব একটি ভেক্টর, যার দিক ডান হাতের নিয়মে নির্ধারিত হয়। তাই C ভেক্টরটি A ও B উভয়ের উপরই লম্ব। উত্তর গ।
    
    যাচাই করার সহজ উপায় হলো ডট গুণফল নেওয়া; C·A এবং C·B দুটোই শূন্য হবে। এই ধর্মের কারণেই টর্ক, কৌণিক ভরবেগ ও চৌম্বক বলের দিক সবসময় সংশ্লিষ্ট দুটি ভেক্টরের তলের বাইরে থাকে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ১১৩

    ভেক্টর তপন স্যার

    দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 18 একক এবং ভেক্টর গুণফল 63 একক হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

    • ক 20°
    • খ 25°
    • গ 30°
    • ঘ 35°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 30°

    AB cosθ = 18 এবং AB sinθ = 63। দ্বিতীয়টিকে প্রথমটি দিয়ে ভাগ করলে tanθ = 6318 = 13, ফলে θ = 30°। উত্তর ৩০°।
    
    ভাগ করার সুবিধা হলো ভেক্টর দুটির মান জানার প্রয়োজনই পড়ে না, কারণ AB কেটে যায়। চাইলে মানও বের করা যায়; বর্গ করে যোগ করলে (AB)² = 18² + (63)² = 324 + 108 = 432, তাই AB = 432 ≈ 20.78।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ১১৪

    ভেক্টর তপন স্যার

    যদি AB=2i+j এবং AC=3i+j+5k হয় তবে AB ও AC কে সন্নিহিত বাহু ধরে অঙ্কিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে-

    • ক 85
    • খ 56
    • গ 314
    • ঘ 65
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 314

    ক্রস গুণফল নির্ণায়ক বিস্তার করে বের করি। i-উপাংশ = (1)(5) − (0)(1) = 5, j-উপাংশ = −[(2)(5) − (0)(3)] = −10 এবং k-উপাংশ = (2)(1) − (1)(3) = −1, তাই AB × AC = 5i − 10j − k।
    
    ক্ষেত্রফল = 5² + 10² + 1² = 126 = 314। উত্তর 314।
    
    বর্গমূলকে সরল করার সময় বড়ো পূর্ণবর্গ উৎপাদক খুঁজতে হয়; এখানে 126 = 9 × 14, তাই 126 = 314। সন্নিহিত বাহু দেওয়া থাকায় সরাসরি ক্রস গুণফলের মানই ক্ষেত্রফল, অর্ধেক নেওয়ার প্রয়োজন নেই।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ১১৫

    ভেক্টর ইসহাক স্যার · তপন স্যার

    A ও B-কে সন্নিহিত বাহু ধরে অঙ্কিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল—

    • ক A · B
    • খ |A × B|
    • গ 12|A × B|
    • ঘ (12)(A · B)
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 12|A × B|

    A ও B-কে সন্নিহিত বাহু ধরে অঙ্কিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = |A × B| = AB sinθ।
    ঐ দুই বাহু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সামান্তরিকের অর্ধেক, তাই ক্ষেত্রফল = 12|A × B|।
    ক্ষেত্রফল ভেক্টরের দিক তলের লম্ব বরাবর; ডট গুণফল A · B ক্ষেত্রফল নয়, এটি স্কেলার গুণফল।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ১১৬

    ভেক্টর তপন স্যার

    n=A×B|A×B| হলে -n সমান কত হবে?

    • ক B×A|A×B|
    • খ A×B|B×A|
    • গ |B×A |A×B
    • ঘ | A×B|B×A
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) B×A|A×B|

    ক্রস গুণনে ক্রম বদলালে দিক উল্টে যায়, অর্থাৎ B × A = −(A × B)। তাই লবে ঋণচিহ্ন বসানোর বদলে ক্রম বদলে দিলেই চলে, −n = B × A|A × B|।
    
    উত্তর ক।
    
    হরে মান বসে, আর ক্রস গুণফলের মান ক্রম বদলালেও একই থাকে, তাই |A × B| ও |B × A| সমান; কেবল লবের দিক বদলায়। অপশন গ ও ঘ-তে লব ও হর উল্টে দেওয়া হয়েছে, ফলে সেগুলো একক ভেক্টরই নয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ১১৭

    ভেক্টর তপন স্যার

    তিনটি ভেক্টর, a, b ও c যাদের মান যথাক্রমে 4, 3 এবং 5 যোগ করলে শূন্য হয় অর্থাৎ a+b+c=0 তাহলে |c×(a×b)| এর মান হলো-

    • ক 12
    • খ 60
    • গ 25
    • ঘ 15
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 60

    a + b + c = 0 থেকে a + b = −c, তাই |a + b| = 5। বর্গ করে পাই a² + b² + 2a·b = 25, অর্থাৎ 16 + 9 + 2a·b = 25 এবং a·b = 0। ডট গুণফল শূন্য মানে a ও b পরস্পর লম্ব।
    
    তাই |a × b| = ab sin90° = 4 × 3 = 12, আর এই ভেক্টরটি a ও b এর তলের উপর লম্ব। যেহেতু c ঐ তলেই আছে, c ও (a × b) পরস্পর লম্ব। ফলে |c × (a × b)| = 5 × 12 × sin90° = 60। উত্তর ৬০।
    
    ৩, ৪, ৫ ত্রিভুজ দেখেই আন্দাজ করা যায় ভেক্টর দুটি লম্ব, কারণ তিনটি ভেক্টর যোগ করে শূন্য হওয়া মানে এরা একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করে; আর ৩, ৪, ৫ বাহুর ত্রিভুজ সমকোণী।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ১১৮

    ভেক্টর তপন স্যার

    দুটি সদৃশ ভেক্টর A ও B যদি একই সময় একই বিন্দুতে ক্রিয়া করে তাহলে-
    i. A.B=0
    ii. A×B=0
    iii. |A|+|B|=A+B
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i
    • খ i ও ii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii

    সদৃশ ভেক্টর মানে একই দিকে ক্রিয়াশীল, তাই মধ্যবর্তী কোণ ০°। তখন A·B = AB cos0° = AB, শূন্য নয়; প্রথম বক্তব্য ভুল। ক্রস গুণফল AB sin0° = 0, তাই দ্বিতীয়টি সঠিক।
    
    তৃতীয় বক্তব্যও সঠিক, কারণ একই দিকে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান হয় মানদ্বয়ের সরল যোগফল A + B। সঠিক উত্তর ii ও iii।
    
    সদৃশ ভেক্টরের ক্ষেত্রে ক্রস গুণফল শূন্য আর ডট গুণফল সর্বোচ্চ; বিসদৃশ হলে ক্রস আবার শূন্যই থাকে কিন্তু ডট সর্বোচ্চ ঋণাত্মক হয়ে যায়। দুই ক্ষেত্রেই ক্রস শূন্য, কারণ ভেক্টর দুটি একই সরলরেখা বরাবর।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ১১৯

    ভেক্টর তপন স্যার

    C×C হচ্ছে-

    • ক C
    • খ C²
    • গ 0
    • ঘ 2C
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 0

    কোনো ভেক্টরের সাথে নিজের ক্রস গুণনে মধ্যবর্তী কোণ শূন্য, আর sin0° = 0, তাই C × C = C·C·sin0° = 0। উত্তর ০।
    
    একই কারণে i × i = 0, j × j = 0 ও k × k = 0। তবে ডট গুণনে ঠিক উল্টো ঘটে, C·C = C², কারণ সেখানে cos0° = 1। নিজের সাথে গুণনে ক্রস শূন্য দেয় আর ডট বর্গ দেয়, এই পার্থক্যটি মনে রাখা জরুরি।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ১২০

    ভেক্টর তপন স্যার

    k.(k×i)=?

    • ক 0
    • খ +1
    • গ 3
    • ঘ -1
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 0

    প্রথমে বন্ধনীর ভেতর, k × i = j। এবার k·j = 0, কারণ ভিন্ন দুটি আয়ত একক ভেক্টর পরস্পর লম্ব এবং লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য। উত্তর ০।
    
    এ ধরনের রাশিকে বলা হয় স্কেলার ত্রিগুণন, আর এর একটি সাধারণ ধর্ম হলো তিনটি ভেক্টরের মধ্যে দুটি একই হলে ফল সবসময় শূন্য। এখানে k দুবার এসেছে, তাই হিসাব না করেও বলা যেত ফল শূন্য।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

← পুরো প্রশ্নব্যাংক