তপন স্যার — পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্ন ও সমাধান

তপন স্যার ভর্তি পরীক্ষার পদার্থবিজ্ঞান অংশ থেকে ২৫১৯টি প্রশ্ন, প্রতিটির সঠিক উত্তর আর পূর্ণ ব্যাখ্যাসহ।

1. ২১

   ভেক্টর তপন স্যার

   দুটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান 28N এবং সর্বনিম্ন মান 4N। বল দুটি পরস্পরের সাথে 90° কোণে কোনো একটি কণার ওপর ক্রিয়া করলে লব্ধি বল হবে-

   • ক 400N
   • খ 32N
   • গ 28.8N
   • ঘ 20N
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) 20N

   সর্বোচ্চ লব্ধি পাওয়া যায় ০° কোণে, তাই P + Q = 28। সর্বনিম্ন লব্ধি পাওয়া যায় ১৮০° কোণে, তাই P − Q = 4। সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই 2P = 32, অর্থাৎ P = 16 N এবং Q = 12 N।
   
   এবার ৯০° কোণে লব্ধি বের করতে হবে। লম্ব হওয়ায় R = P² + Q² = 16² + 12² = 400 = 20 N। উত্তর ২০ N।
   
   অপশনে ৪০০ রাখা হয়েছে যাতে বর্গমূল নিতে ভুলে গেলে সেটাই বেছে নেওয়া হয়, আর ৩২ হলো মাঝপথে পাওয়া 2P এর মান। এ ধরনের প্রশ্নে ৩, ৪, ৫ এর গুণিতক ত্রিভুজগুলো চিনে রাখলে হিসাব দ্রুত হয়; এখানে ১২, ১৬ ও ২০ আসলে ৩, ৪, ৫ এর চার গুণ।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ২২

   ভেক্টর তপন স্যার

   ভেক্টর A, B ও C এর মান যথাক্রমে 12, 5 এবং 13 এবং A+B=C । ভেক্টর A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

   • ক π
   • খ π2
   • গ শূন্য
   • ঘ π4
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) π2

   এখানে A, B ও C এর মান যথাক্রমে ১২, ৫ ও ১৩ এবং A + B = C। লক্ষ করলে দেখা যায় 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13², অর্থাৎ পিথাগোরাসের সম্পর্ক মিলে যাচ্ছে। এর অর্থ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব, কোণ ৯০° বা π2। উত্তর π2।
   
   সূত্র দিয়েও যাচাই করা যায়। C² = A² + B² + 2AB cosθ থেকে 169 = 144 + 25 + 120 cosθ, ফলে cosθ = 0 এবং θ = 90°। কোণ শূন্য হলে C হতো ১৭ আর কোণ π হলে C হতো ৭, দুটির কোনোটিই ১৩ নয়। তিনটি ভেক্টরের মান দিয়ে এভাবে কোণ বের করার পদ্ধতিটি অনেক প্রশ্নেই কাজে লাগে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ২৩

   ভেক্টর তপন স্যার

   5N এবং 10N মানের দুটি বল একটি কণার ওপর প্রযুক্ত হলে নিম্নের কোন বলটি কণাটির ওপর লব্ধি হতে পারে না?

   • ক 5N
   • খ 10N
   • গ 15N
   • ঘ 20N
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) 20N

   দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান সর্বনিম্ন |10 − 5| = 5 N এবং সর্বোচ্চ 10 + 5 = 15 N হতে পারে। অর্থাৎ লব্ধি অবশ্যই ৫ N থেকে ১৫ N এর মধ্যে থাকবে। ২০ N এই সীমার বাইরে, তাই এটি লব্ধি হতে পারে না। উত্তর ২০ N।
   
   ৫ N পাওয়া যাবে ১৮০° কোণে, ১৫ N পাওয়া যাবে ০° কোণে আর ১০ N পাওয়া যাবে মাঝামাঝি কোনো কোণে, তাই বাকি তিনটি সম্ভব। সাধারণভাবে |P − Q| ≤ R ≤ P + Q, একে বলা হয় ত্রিভুজ অসমতা। তিনটি ভেক্টর দিয়ে বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব কিনা সেই প্রশ্নেও একই শর্ত খাটে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ২৪

   ভেক্টর তপন স্যার

   ভেক্টর P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ θ এবং |P+Q|=|P-Q| হলে, θ এর মান কত?

   • ক 0°
   • খ 45°
   • গ 90°
   • ঘ 180°
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 90°

   শর্ত অনুযায়ী |P + Q| = |P − Q|। দুই পাশে বর্গ করলে P² + Q² + 2PQcosθ = P² + Q² − 2PQcosθ, অর্থাৎ 4PQcosθ = 0। P ও Q শূন্য নয়, তাই cosθ = 0 এবং θ = 90°। উত্তর ৯০°।
   
   জ্যামিতিকভাবেও ব্যাপারটা পরিষ্কার। দুটি ভেক্টর দিয়ে সামান্তরিক আঁকলে যোগফল ও বিয়োগফল হয় ঐ সামান্তরিকের দুটি কর্ণ। কর্ণ দুটি সমান হলে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হয়ে যায়, আর আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহু দুটি পরস্পর লম্ব। প্রশ্নে যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান কথাটি যেভাবেই লেখা হোক, উত্তর সবসময় ৯০°।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ২৫

   ভেক্টর ইসহাক স্যার · তপন স্যার

   দুটি সমান ভেক্টর থেকে শূন্য ভেক্টর পেতে হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ হবে—

   • ক 0°
   • খ 45°
   • গ 90°
   • ঘ 180°
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) 180°

   এখানে, P = Q = A, লব্ধি R = 0
   আমরা জানি, R = P² + Q² + 2PQ cosα
   ∴ 0 = 2A² + 2A² cosα, বা cosα = −1
   ∴ α = 180°
   সমান মানের দুটি ভেক্টর পরস্পর বিপরীতমুখী হলে লব্ধি শূন্য ভেক্টর হয়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ২৬

   ভেক্টর তপন স্যার

   ভেক্টর যোগ-
   i. বিনিময় সূত্র মেনে চলে
   ii. সংযোগ সূত্র মেনে চলে
   iii. বণ্টন সূত্র মেনে চলে
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i ও ii
   • খ i ও iii
   • গ ii ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

   ভেক্টর যোগ বিনিময় সূত্র মেনে চলে, অর্থাৎ A + B = B + A। সংযোগ সূত্রও মেনে চলে, অর্থাৎ (A + B) + C = A + (B + C)। কিন্তু বণ্টন সূত্র ভেক্টর যোগের ধর্ম নয়; এটি খাটে স্কেলার দিয়ে গুণ করার ক্ষেত্রে কিংবা ডট ও ক্রস গুণনের ক্ষেত্রে, যেমন m(A + B) = mA + mB। তাই সঠিক i ও ii।
   
   প্রশ্নে যোগের কথা বলা হয়েছে না গুণনের কথা বলা হয়েছে সেটি আগে দেখে নিতে হয়; গুণনের প্রশ্ন হলে বণ্টন সূত্রও সঠিক হতো। আরেকটি বিষয় হলো, ভেক্টর যোগ বিনিময় সূত্র মানলেও ক্রস গুণন তা মানে না; সেখানে A × B = −(B × A)।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ২৭

   ভেক্টর তপন স্যার

   P এবং Q দুটি ভেক্টর কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান হবে-
   (i) P²+Q²
   (ii) P²+Q²+2PQ
   (iii) P²+Q²+2PQcosα
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i
   • খ i ও ii
   • গ ii ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

   লব্ধির সাধারণ সূত্র R = P² + Q² + 2PQ cosα, এটি যেকোনো কোণের জন্য সত্য। এই সূত্রে α = 90° বসালে cosα = 0 হয়ে যায় এবং পাওয়া যায় P² + Q²। আবার α = 0° বসালে cosα = 1 হয় এবং পাওয়া যায় P² + Q² + 2PQ, যা আসলে P + Q। প্রশ্নে কোণ উল্লেখ করা হয়নি, তাই তিনটি রূপই সম্ভাব্য এবং উত্তর i, ii ও iii।
   
   এখানে বোঝার বিষয় হলো প্রথম দুটি আসলে তৃতীয়টিরই বিশেষ ক্ষেত্র। কোণ নির্দিষ্ট করে দেওয়া থাকলে কেবল একটি রূপই সঠিক হতো, যেমন লম্বভাবে ক্রিয়া করলে কেবল P² + Q²। এই একটি সূত্র থেকেই সর্বোচ্চ মান, সর্বনিম্ন মান এবং লম্ব ক্ষেত্রের মান সবই বেরিয়ে আসে, তাই ভেক্টর অধ্যায়ের সংখ্যাগত প্রশ্নের বড় অংশ এই সূত্র দিয়েই সমাধান হয়ে যায়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ২৮

   ভেক্টর তপন স্যার · ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১১

   দুটি সমমানের ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধির মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান। ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?

   • ক 180°
   • খ 120°
   • গ 90°
   • ঘ 0°
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 120°

   সমমানের দুটি ভেক্টর A এর লব্ধি R=A²+A²+2A²cosθ=A2(1+cosθ)। শর্তানুসারে R=A, তাই 2(1+cosθ)=1⇒cosθ=−12⇒θ=120°।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ২৯

   ভেক্টর তপন স্যার

   A ও B এর লব্ধির সর্বোচ্চ মান কোনটি?

   • ক A×B
   • খ A-B
   • গ A ÷B
   • ঘ A+B
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) A+B

   লব্ধির সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় যখন ভেক্টর দুটি একই দিকে থাকে, তখন R = A + B। ভেক্টর যোগফলের মান কখনোই আলাদা আলাদা মানের যোগফলকে ছাড়িয়ে যেতে পারে না, তাই উত্তর A + B।
   
   বাকি অপশনগুলো লব্ধির প্রকাশ নয়। A × B হলো ক্রস গুণন, এর ফল একটি ভেক্টর এবং মান AB sinθ, যোগের সাথে এর সম্পর্ক নেই। A − B হলো সর্বনিম্ন মান, সর্বোচ্চ নয়। আর একটি ভেক্টরকে আরেকটি ভেক্টর দিয়ে ভাগ করার কোনো নিয়ম নেই, তাই A ÷ B রাশিটিই অর্থহীন।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ৩০

    ভেক্টর ইসহাক স্যার · তপন স্যার

    P, Q ও R মানের তিনটি ভেক্টর একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশিত হলে নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক P + Q − R = 0
    • খ P − Q − R = 0
    • গ P − Q + R = 0
    • ঘ P + Q + R = 0
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) P + Q + R = 0

    ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র: তিনটি ভেক্টর ত্রিভুজের তিন বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশিত হলে তাদের লব্ধি শূন্য, অর্থাৎ P + Q + R = 0।
    একটির শীর্ষবিন্দু থেকে পরেরটি শুরু করে ঘুরে পাদবিন্দুতে ফিরে আসায় মোট সরণ শূন্য।
    কোনো কণায় এমন তিনটি বল ক্রিয়া করলে কণাটি সাম্যাবস্থায় থাকে।
    দুই বাহু একই ক্রমে এবং তৃতীয়টি বিপরীত ক্রমে নিলে তৃতীয়টি প্রথম দুটির লব্ধি হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ৩১

    ভেক্টর তপন স্যার

    কোনো ভেক্টর R কে যদি দুটি পরস্পর লম্ব উপাংশে বিভাজিত করা হয় তাহলে R এর সাথে-
    (i) α কোণে উপাংশের মান X=Rcosα
    (ii) (90°-α) কোণে উপাংশের মান Y=Rsinα
    (iii) β কোণে উপাংশের মান Y=Rsinβ
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও ii
    • খ i ও iii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

    কোনো ভেক্টর R কে দুটি পরস্পর লম্ব উপাংশে বিভাজিত করলে, R এর সাথে α কোণে থাকা উপাংশের মান হয় X = R cosα। অন্য উপাংশটি R এর সাথে (90° − α) কোণে থাকে, তাই তার মান R cos(90° − α) = R sinα। এভাবেই প্রথম দুটি বক্তব্য সঠিক হয়।
    
    তৃতীয় বক্তব্যে বলা হয়েছে β কোণে উপাংশের মান R sinβ, যা ঠিক নয়। লব্ধির সাথে যে কোণেই উপাংশ থাকুক, তার মান সবসময় R এবং ঐ কোণের cos এর গুণফল, তাই হতো R cosβ। sin আসে কেবল তখনই, যখন কোণটি ঐ উপাংশ থেকে নয় বরং অন্য উপাংশ থেকে মাপা হয়। সঠিক উত্তর i ও ii।
    
    উপাংশ ঠিক আছে কিনা যাচাই করার সহজ উপায় হলো X² + Y² = R² মিলিয়ে দেখা; এখানে R²cos²α + R²sin²α = R² হওয়ায় হিসাব ঠিক আছে। উপাংশের এই ধারণাটি বল বিশ্লেষণ, নততল, প্রাস ও লন রোলারের প্রশ্নে সরাসরি কাজে লাগে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ৩২

    ভেক্টর তপন স্যার

    একটি লন রোলার ঠেলা বা টানার সময় ভূমি এর হাতলে অনুভূমিকের সাথে 30° কোণে 19.6N বল প্রয়োগ করছো। এটা টানা অপেক্ষাকৃত সহজ কারণ এর ওজন তখন কমে-

    • ক 3 kg
    • খ 19.6 kg
    • গ 1kg
    • ঘ 9.8kg
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 1kg

    লন রোলার টানার সময় প্রযুক্ত বলের উল্লম্ব উপাংশ উপরের দিকে ক্রিয়া করে, ফলে ভূমির উপর বস্তুটির চাপ বা আপাত ওজন কমে যায়। কমে যাওয়ার পরিমাণ F sin30° = 19.6 × 12 = 9.8 N। ভরের এককে প্রকাশ করতে g দিয়ে ভাগ করে পাই 9.8 ÷ 9.8 = 1 kg। উত্তর ১ kg।
    
    প্রশ্নে কত kg কমে জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই নিউটনে পাওয়া মানকে g দিয়ে ভাগ করতেই হবে; না করলে ৯.৮ kg বলে ভুল উত্তর আসে। ঠেলার সময় ঠিক উল্টো ঘটনা ঘটে, উল্লম্ব উপাংশ নিচের দিকে যায় এবং আপাত ওজন ঐ পরিমাণেই বেড়ে যায়। এ কারণেই রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ৩৩

    ভেক্টর তপন স্যার

    দুটি বলের লব্ধির মান 40N । বল দুটির মধ্যে ছোটো বলটির মান 30N এবং এটি লব্ধি বলের লম্ব বরাবর ক্রিয়া করে। বড়ো বলটির মান কত?

    • ক 40N
    • খ 45N
    • গ 50N
    • ঘ 60N
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 50N

    লব্ধি R = 40 N এবং ছোটো বল P = 30 N, আর P লব্ধির উপর লম্ব। যেহেতু P + Q = R, তাই Q = R − P। R ও P পরস্পর লম্ব হওয়ায় Q = R² + P² = 40² + 30² = 2500 = 50 N। উত্তর ৫০ N।
    
    ছবি এঁকে দেখলে ব্যাপারটা আরও পরিষ্কার হয়। R ও P কে সমকোণে বসালে Q হয়ে যায় ঐ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, ফলে Q সবসময় R ও P দুটোর চেয়েই বড় হবে; এই যুক্তিতেই ৪০ N অপশনটি সাথে সাথে বাদ দেওয়া যায়। এখানেও পরিচিত ৩, ৪, ৫ ত্রিভুজের দশ গুণ রূপ পাওয়া গেল।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ৩৪

    ভেক্টর তপন স্যার

    একটি লন রোলার টানা ও ঠেলার জন্য অনুভূমিকের সাথে 30° কোণে 20N বল প্রয়োগ করা হলো। টানার সময় ঠেলা অপেক্ষা কম হবে-

    • ক 20N
    • খ 10N
    • গ 15N
    • ঘ কোনোটিই নয়
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 20N

    টানার সময় আপাত ওজন হয় W − F sin30° = W − 10 আর ঠেলার সময় হয় W + F sin30° = W + 10। দুটির পার্থক্য (W + 10) − (W − 10) = 20 N। উত্তর ২০ N।
    
    এখানে সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো কেবল F sin30° = 10 N বের করে থেমে যাওয়া। প্রশ্নে টানা ও ঠেলার পার্থক্য চাওয়া হয়েছে; একবার ঐ পরিমাণ কমছে আর একবার ঠিক ততটাই বাড়ছে, তাই ব্যবধান দ্বিগুণ হয়। সাধারণভাবে এই পার্থক্য 2F sinθ, যেখানে θ হলো অনুভূমিকের সাথে প্রযুক্ত বলের কোণ।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ৩৫

    ভেক্টর তপন স্যার

    স্রোতের বেগের মানের 2 গুণ মানের বেগে সাঁতার কেটে একজন সাঁতারু নদীর অপর পাড়ে সোজাসুজি গিয়ে পৌঁছালো। নদীর তীরের সাথে সাঁতারুর বেগের কোণ নির্ণয় করো।

    • ক 120°
    • খ 130°
    • গ 135°
    • ঘ 65°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 135°

    স্রোতের বেগ u ধরলে সাঁতারুর বেগ v = 2·u। সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে স্রোতের দিক বরাবর লব্ধি বেগ শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ সাঁতারুর বেগের স্রোতমুখী উপাংশ স্রোতকে নাকচ করে দেবে। তাই u + v cosθ = 0, ফলে cosθ = −uv = −12 এবং θ = 135°। উত্তর ১৩৫°।
    
    কোণটি নদীর তীর বরাবর স্রোতের দিক থেকে মাপা হয়েছে। ১৩৫° মানে সাঁতারু স্রোতের বিপরীত দিকে হেলে ৪৫° কোণে সাঁতরাচ্ছে, বাস্তবেও ঠিক তাই করতে হয়। বেগের অনুপাত বদলালে কোণও বদলায়; v = 2u হলে cosθ = −12 এবং কোণ হয় ১২০°। আর সাঁতারুর বেগ স্রোতের বেগের চেয়ে ছোটো হলে সোজাসুজি পার হওয়া সম্ভবই নয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ৩৬

    ভেক্টর তপন স্যার

    বায়ু উত্তরদিক ও পূর্বদিকের মধ্যে প্রবাহিত হচ্ছে। বায়ুর বেগের উত্তরদিকের অংশক 5km/hr এবং পূর্বদিকের অংশক 12km/hr। লব্ধিবেগ কত?

    • ক 17km/hr
    • খ 13km/hr
    • গ 60km/hr
    • ঘ 7km/hr
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 13km/hr

    উত্তর ও পূর্ব দিক দুটি পরস্পর লম্ব, তাই লব্ধি বেগ v = 5² + 12² = 169 = 13 km/hr। উত্তর ১৩ km/hr।
    
    লম্ব উপাংশ দুটিকে সরাসরি যোগ করলে ১৭ পাওয়া যায়, বিয়োগ করলে ৭ আর গুণ করলে ৬০; অপশনে এই তিনটি মানই রাখা হয়েছে। লম্ব হলে যোগ বা বিয়োগ নয়, বর্গের যোগফলের বর্গমূল নিতে হয়। ৫, ১২ ও ১৩ ত্রিপুটি ভেক্টর অধ্যায়ে বহুবার আসে, মনে রাখলে হিসাবের সময় বাঁচে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ৩৭

    ভেক্টর তপন স্যার

    দুটি দিক রাশির প্রত্যেকটির মান 10 একক। এদের লব্ধির মান 102 একক হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

    • ক 0°
    • খ 60°
    • গ 90°
    • ঘ 120°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 90°

    দুটি সমান ভেক্টরের মান A = 10 এবং লব্ধি R = 102। সূত্রে বসিয়ে পাই 200 = 100 + 100 + 200cosθ, ফলে cosθ = 0 এবং θ = 90°। উত্তর ৯০°।
    
    সমান মানের দুটি ভেক্টরের লব্ধি A2 হলে মধ্যবর্তী কোণ সবসময় ৯০°, কারণ তখন ভেক্টর দুটি একটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু আর লব্ধি তার কর্ণ। সম্পর্কটি জানা থাকলে হিসাব না করেও উত্তর বলে দেওয়া যায়। সমান ভেক্টরের ক্ষেত্রে ০° এ 2A, ৬০° এ A3, ৯০° এ A2, ১২০° এ A এবং ১৮০° এ শূন্য, এই মানগুলো একসাথে মনে রাখা ভালো।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ৩৮

    ভেক্টর তপন স্যার

    A, X- অক্ষের সাথে 30° কোণে ক্রিয়াশীল। Y-অক্ষ বরাবর উপাংশের মান 3 একক হলে X-অক্ষ বরাবর উপাংশের মান-

    • ক 32 একক
    • খ 3 একক
    • গ 33 একক
    • ঘ 6 একক
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 33 একক

    ভেক্টরটি X-অক্ষের সাথে ৩০° কোণে আছে, তাই Y-অক্ষ বরাবর উপাংশ A sin30° এবং X-অক্ষ বরাবর উপাংশ A cos30°। দেওয়া আছে A sin30° = 3, অর্থাৎ A × 12 = 3, ফলে A = 6 একক। এখন X-অক্ষ বরাবর উপাংশ = 6 × cos30° = 6 × 32 = 33 একক। উত্তর 33 একক।
    
    এ ধরনের প্রশ্নে সরাসরি ভাগ করেও উত্তর পাওয়া যায়, কারণ A_xA_y = cot30° = 3। অর্থাৎ একটি উপাংশ জানা থাকলে অন্যটি বের করতে পুরো ভেক্টরের মান বের করার দরকার হয় না, কেবল tan বা cot এর অনুপাত ব্যবহার করলেই চলে। উপাংশ দুটির সম্পর্ক থেকেই মূল ভেক্টরের দিকও পাওয়া যায়, কারণ tanθ = A_yA_x।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ৩৯

    ভেক্টর তপন স্যার

    একটি ভেক্টর রাশি v কে v_x ও v_y কে চিত্রানুযায়ী বিভাজন করা হলো। θ এর মান কত হলে, v_x ও v_y উপাংশগুলো সমান হবে?

    • ক 45°
    • খ 90°
    • গ 120°
    • ঘ 150°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 45°

    ভেক্টরটির উপাংশ দুটি হলো v_x = v cosθ এবং v_y = v sinθ। দুটি উপাংশ সমান হবে যখন cosθ = sinθ, অর্থাৎ tanθ = 1, ফলে θ = 45°। উত্তর ৪৫°।
    
    ৪৫° কোণে ভেক্টরটি দুই অক্ষের ঠিক মাঝ বরাবর থাকে, তাই দুই দিকেই সমান প্রভাব ফেলে। তখন প্রতিটি উপাংশের মান হয় v2, অর্থাৎ মূল ভেক্টরের প্রায় ০.৭০৭ গুণ। লক্ষণীয়, দুটি উপাংশ সমান হলেও তাদের যোগফল মূল ভেক্টরের মানের চেয়ে বেশি হয়ে যায়, কারণ লম্ব উপাংশ যোগ করতে হয় বর্গের যোগফলের বর্গমূল নিয়ে, সরাসরি যোগ করে নয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ৪০

    ভেক্টর তপন স্যার

    θ এর মান 0° থেকে 90° পর্যন্ত বৃদ্ধি করা হলে v_x এবং v_y এর মানের কীরূপ পরিবর্তন হবে?

    • ক v_x কমবে, v_y বাড়বে
    • খ v_x বাড়বে, v_y কমবে
    • গ v_x বাড়বে, v_y বাড়বে
    • ঘ v_x কমবে, v_y কমবে
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) v_x কমবে, v_y বাড়বে

    v_x = v cosθ এবং v_y = v sinθ। θ যখন ০° থেকে ৯০° পর্যন্ত বাড়ে তখন cosθ এর মান ১ থেকে কমে ০ হয় আর sinθ এর মান ০ থেকে বেড়ে ১ হয়। তাই v_x কমতে থাকে এবং v_y বাড়তে থাকে। উত্তর ক।
    
    একটি উপাংশ বাড়লে অন্যটি কমবেই, কারণ ভেক্টরের মান অপরিবর্তিত থাকলে v_x² + v_y² = v² সম্পর্কটি সবসময় বজায় থাকে। প্রাসের গতিতে এই কথাটাই কাজে লাগে; নিক্ষেপণ কোণ বাড়ালে উল্লম্ব বেগ বাড়ে বলে বস্তু বেশি উঁচুতে ওঠে, কিন্তু অনুভূমিক বেগ কমে যাওয়ায় পাল্লা একটা সীমার পর কমতে থাকে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

← পুরো প্রশ্নব্যাংক