PhysicsVerse ভার্সিটি স্পেশাল — পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্ন ও সমাধান
PhysicsVerse ভার্সিটি স্পেশাল ভর্তি পরীক্ষার পদার্থবিজ্ঞান অংশ থেকে ২১০৬টি প্রশ্ন, প্রতিটির সঠিক উত্তর আর পূর্ণ ব্যাখ্যাসহ।
২১০৬ প্রশ্ন
পাতা ৬/১০৬
-
১০১
A(1, −1, 2), B(2, 1, −1) ও C(3, 3, −4) বিন্দু তিনটি সম্পর্কে কোন বিবৃতিটি সঠিক?
- ক বিন্দু তিনটি সমরেখ এবং B হলো AC-এর মধ্যবিন্দু
- খ বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গড়ে
- গ বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গড়ে
- ঘ বিন্দু তিনটি সমরেখ, তবে B মধ্যবিন্দু নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) বিন্দু তিনটি সমরেখ এবং B হলো AC-এর মধ্যবিন্দু
AB⃗ = (2 − 1)î + (1 + 1)ĵ + (−1 − 2)k̂ = î + 2ĵ − 3k̂
BC⃗ = (3 − 2)î + (3 − 1)ĵ + (−4 + 1)k̂ = î + 2ĵ − 3k̂
AB⃗ = BC⃗ — একই ভেক্টর! তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ এবং AB = BC অর্থাৎ B হলো AC-এর মধ্যবিন্দু।
যাচাই: a⃗ + c⃗2 = (1 + 3)î + (−1 + 3)ĵ + (2 − 4)k̂2 = 2î + ĵ − k̂ = b⃗ ✔। -
১০২
ABCD একটি সামান্তরিক যার A, B, C শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a⃗, b⃗ ও c⃗। D শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর কোনটি?
- ক a⃗ − b⃗ + c⃗
- খ a⃗ + b⃗ − c⃗
- গ a⃗ + b⃗ + c⃗
- ঘ a⃗ + c⃗2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) a⃗ − b⃗ + c⃗
সামান্তরিকে বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল: AB⃗ = DC⃗
b⃗ − a⃗ = c⃗ − d⃗
d⃗ = a⃗ − b⃗ + c⃗
আরেকভাবে: সামান্তরিকের দুই কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ⟹ a⃗ + c⃗2 = b⃗ + d⃗2 — একই ফল। -
১০৩
একটি ত্রিভুজের তিন শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর a⃗, b⃗ ও c⃗ হলে ভরকেন্দ্রের অবস্থান ভেক্টর কোনটি?
- ক a⃗ + b⃗ + c⃗2
- খ a⃗ + b⃗ + c⃗
- গ a⃗ + b⃗ + c⃗3
- ঘ a⃗ + b⃗2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) a⃗ + b⃗ + c⃗3
BC বাহুর মধ্যবিন্দু M-এর অবস্থান ভেক্টর = b⃗ + c⃗2
ভরকেন্দ্র G মধ্যমা AM-কে A থেকে 2 : 1 অনুপাতে ভাগ করে:
g⃗ = 1 × a⃗ + 2 × b⃗ + c⃗23 = a⃗ + b⃗ + c⃗3
তিনটি শীর্ষের অবস্থান ভেক্টরের সাধারণ গড় — সুন্দর ও প্রতিসম ফল। -
১০৪
একটি সুষম ষড়ভুজ ABCDEF-এর কেন্দ্র O। AB⃗ + AC⃗ + AD⃗ + AE⃗ + AF⃗ = ?
- ক 3AD⃗
- খ 2AD⃗
- গ 6AD⃗
- ঘ 0⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 3AD⃗
কেন্দ্র O-কে মূলবিন্দু ধরি। সুষম ষড়ভুজের ছয় শীর্ষের অবস্থান ভেক্টরের যোগফল শূন্য:
a⃗ + b⃗ + c⃗ + d⃗ + e⃗ + f⃗ = 0⃗
এখন প্রতিটি পদ লিখি AX⃗ = x⃗ − a⃗ আকারে। পাঁচটি পদ যোগ করলে:
(b⃗ + c⃗ + d⃗ + e⃗ + f⃗) − 5a⃗ = (−a⃗) − 5a⃗ = −6a⃗
আবার AO⃗ = 0⃗ − a⃗ = −a⃗, তাই যোগফল = 6AO⃗
আর D হলো A-এর ঠিক বিপরীত শীর্ষ ⟹ AD⃗ = −2a⃗ = 2AO⃗
অতএব যোগফল = 6AO⃗ = 3AD⃗
একটিও উপাংশ না লিখেই পুরো উত্তর — প্রতিসাম্যের জোর এখানেই। -
১০৫
A⃗ = 2î + 3ĵ − k̂ এবং B⃗ = î − ĵ + 2k̂ হলে A⃗·B⃗ = ?
- ক 3
- খ −3
- গ 1
- ঘ −1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −3
A⃗·B⃗ = (2)(1) + (3)(−1) + (−1)(2)
= 2 − 3 − 2 = −3
ঋণাত্মক মান মানে মধ্যবর্তী কোণ স্থূলকোণ (90°-এর বেশি)। -
১০৬
a-এর কোন মানের জন্য A⃗ = 2î + aĵ + k̂ এবং B⃗ = î − 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
- ক 52
- খ 25
- গ −52
- ঘ 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 52
লম্ব হলে A⃗·B⃗ = 0
(2)(1) + (a)(−2) + (1)(3) = 0
2 − 2a + 3 = 0 ⟹ 2a = 5 ⟹ a = 52। -
১০৭
একটি বস্তুর ওপর F⃗ = (3î + 4ĵ) N বল প্রয়োগ করলে সরণ হয় d⃗ = (2î − ĵ) m। কৃতকাজের পরিমাণ কত?
- ক 10 J
- খ −2 J
- গ 2 J
- ঘ 5 J
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 2 J
W = F⃗·d⃗ = (3)(2) + (4)(−1)
= 6 − 4 = 2 J
কাজ একটি স্কেলার — দিক নেই, শুধু চিহ্ন আছে। ধনাত্মক মানে বল সরণে সাহায্য করেছে। -
১০৮
দুইটি ভেক্টরের মান 3 ও 4 এবং মধ্যবর্তী কোণ 60° হলে তাদের স্কেলার গুণফল কত?
- ক 12
- খ 6
- গ 6√3
- ঘ 10
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 6
A⃗·B⃗ = AB cos θ = 3 × 4 × cos 60°
= 12 × ½ = 6
(তুলনায় |A⃗ × B⃗| = 12 sin 60° = 6√3 — অপশন (গ) এই ফাঁদটাই পাতা।) -
১০৯
A⃗·A⃗ এর মান কত?
- ক 0
- খ 2A
- গ 1
- ঘ A2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) A2
A⃗·A⃗ = A × A × cos 0° = A2
এজন্যই |A⃗| = A⃗·A⃗ লেখা যায় — ডট গুণন দিয়েই মান বের হয়। -
১১০
B⃗ ভেক্টরের উপর A⃗ ভেক্টরের অভিক্ষেপের (projection) সঠিক রাশি কোনটি?
- ক A⃗·B⃗|B⃗|
- খ A⃗·B⃗|A⃗|
- গ A⃗ × B⃗|B⃗|
- ঘ A⃗·B⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A⃗·B⃗|B⃗|
অভিক্ষেপ = A cos θ
A⃗·B⃗ = AB cos θ ⟹ A cos θ = A⃗·B⃗B
অর্থাৎ যার উপর ফেলা হচ্ছে (B⃗), তার মান দিয়ে ভাগ — এটাই মনে রাখার কথা।
অভিক্ষেপ একটি স্কেলার; ভেক্টর রূপ চাইলে গুণ করতে হবে b̂ দিয়ে। -
১১১
(A⃗ + B⃗)·(A⃗ − B⃗) = ?
- ক A2 − B2
- খ A2 + B2
- গ 2A⃗·B⃗
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A2 − B2
বিস্তার করি:
A⃗·A⃗ − A⃗·B⃗ + B⃗·A⃗ − B⃗·B⃗
ডট বিনিময়যোগ্য বলে মাঝের দুই পদ কাটাকাটি হয়ে যায়:
= A2 − B2
গুরুত্বপূর্ণ ফল: |A⃗| = |B⃗| হলে এই গুণফল শূন্য — অর্থাৎ সমান মানের দুই ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সবসময় পরস্পর লম্ব (রম্বসের কর্ণ)। -
১১২
|A⃗ + B⃗|2 + |A⃗ − B⃗|2 = ?
- ক A2 + B2
- খ 4A⃗·B⃗
- গ 2AB
- ঘ 2(A2 + B2)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2(A2 + B2)
|A⃗ + B⃗|2 = A2 + B2 + 2A⃗·B⃗
|A⃗ − B⃗|2 = A2 + B2 − 2A⃗·B⃗
যোগ করলে ডট পদ কেটে যায়: 2(A2 + B2)
এটিই জ্যামিতির সামান্তরিক সূত্র — দুই কর্ণের বর্গের সমষ্টি চার বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান। -
১১৩
A⃗ ভেক্টরটি B⃗ ও C⃗ উভয়ের উপর লম্ব হলে A⃗ কোন ভেক্টরের সমান্তরাল?
- ক B⃗ + C⃗
- খ B⃗ − C⃗
- গ B⃗ × C⃗
- ঘ B⃗·C⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) B⃗ × C⃗
B⃗ × C⃗ ভেক্টরটি সংজ্ঞা অনুযায়ীই B⃗ ও C⃗ — উভয়ের লম্ব।
তাই A⃗-ও যদি উভয়ের লম্ব হয়, A⃗ অবশ্যই B⃗ × C⃗-এর সমান্তরাল (বা বিপরীত সমান্তরাল)।
শর্ত: B⃗ ও C⃗ সমরেখ না হলে — নাহলে B⃗ × C⃗ শূন্য হয়ে যায় এবং লম্ব দিক অসংখ্য হয়।
অপশন (ঘ) বাদ — B⃗·C⃗ স্কেলার, ভেক্টরের সমান্তরাল হতে পারে না। -
১১৪
î + ĵ + k̂ এবং î + ĵ − k̂ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক cos−1(1 ÷ 3)
- খ 60°
- গ 45°
- ঘ cos−1(1 ÷ √3)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) cos−1(1 ÷ 3)
ডট = (1)(1) + (1)(1) + (1)(−1) = 1
দুইটির মানই 3
cos θ = 1√3 × √3 = 13
θ = cos−1(1 ÷ 3) ≈ 70.53°
এটিই একটি ঘনকের দুইটি প্রধান কর্ণের মধ্যবর্তী কোণ। -
১১৫
A⃗ = 3î + 4ĵ ভেক্টরের î + ĵ বরাবর অভিক্ষেপের মান কত?
- ক 72
- খ 7√2
- গ 75
- ঘ 7√22
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 7√22
অভিক্ষেপ = A⃗·B⃗|B⃗|
A⃗·(î + ĵ) = 3 + 4 = 7 | |î + ĵ| = √2
= 7√2 = 7√22 ≈ 4.95
(অভিক্ষেপ 5-এর চেয়ে ছোট — যেহেতু |A⃗| = 5, ফলটি যুক্তিসঙ্গত।) -
১১৬
|A⃗| = |B⃗| = 1 এবং |A⃗ − B⃗| = 1 হলে A⃗·B⃗ = ?
- ক 0
- খ 12
- গ 1
- ঘ −12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 12
|A⃗ − B⃗|2 = A2 + B2 − 2A⃗·B⃗
1 = 1 + 1 − 2A⃗·B⃗
A⃗·B⃗ = 12
অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ 60° — তিনটি একক দৈর্ঘ্য মিলে একটি সমবাহু ত্রিভুজ। -
১১৭
(A⃗·B⃗)·C⃗ রাশিটি অর্থহীন কেন?
- ক কারণ তিনটি ভেক্টরের গুণন করা যায় না
- খ কারণ C⃗ একটি একক ভেক্টর নয়
- গ কারণ ফলটি ঋণাত্মক হয়ে যায়
- ঘ কারণ A⃗·B⃗ একটি স্কেলার, আর স্কেলারের সাথে ভেক্টরের ডট গুণন সংজ্ঞায়িত নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) কারণ A⃗·B⃗ একটি স্কেলার, আর স্কেলারের সাথে ভেক্টরের ডট গুণন সংজ্ঞায়িত নয়
ডট গুণনের ফল স্কেলার। ডট গুণন সংজ্ঞায়িতই হয়েছে দুইটি ভেক্টরের মধ্যে।
তাই (স্কেলার)·(ভেক্টর) লেখাটার কোনো মানে নেই — এজন্যই ডট গুণন সহযোগ (associative) সূত্র মানে না।
তবে (A⃗·B⃗)C⃗ — ডট চিহ্ন ছাড়া — অর্থপূর্ণ; এটি C⃗-এর দিকে একটি ভেক্টর, যার মান (A⃗·B⃗)C। -
১১৮
â, b̂ ও ĉ তিনটি একক ভেক্টর এবং â + b̂ + ĉ = 0 হলে |â − b̂|2 + |b̂ − ĉ|2 + |ĉ − â|2 এর মান কত?
- ক 6
- খ 9
- গ 3
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 9
প্রথমে ডটগুলোর সমষ্টি বের করি। (â + b̂ + ĉ)2 = 0 ⟹
1 + 1 + 1 + 2(â·b̂ + b̂·ĉ + ĉ·â) = 0 ⟹ â·b̂ + b̂·ĉ + ĉ·â = −32
এবার প্রতিটি পদ: |â − b̂|2 = 1 + 1 − 2â·b̂ = 2 − 2â·b̂
তিনটি যোগ করে: 6 − 2(â·b̂ + b̂·ĉ + ĉ·â) = 6 − 2 × (−32) = 6 + 3 = 9
ভৌত ছবি: তিনটি একক ভেক্টর পরস্পরের সাথে 120° কোণে — প্রতিটি বিয়োগফলের মান √3, তিনটির বর্গের যোগফল 3 × 3 = 9 ✔। -
১১৯
A⃗ = 3î + ĵ এবং B⃗ = î + 4ĵ হলে A⃗ × B⃗ = ?
- ক −11k̂
- খ 13k̂
- গ 11k̂
- ঘ 7k̂
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 11k̂
শুধু î, ĵ থাকলে ফল সবসময় k̂ বরাবর:
A⃗ × B⃗ = (AxBy − AyBx)k̂
= (3 × 4 − 1 × 1)k̂ = (12 − 1)k̂ = 11k̂। -
১২০
A⃗ = 2î − 3ĵ + k̂ এবং B⃗ = î + ĵ − 2k̂ সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?
- ক 5
- খ 5√3
- গ 25√3
- ঘ 5√32
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 5√3
A⃗ × B⃗ = î[(−3)(−2) − (1)(1)] − ĵ[(2)(−2) − (1)(1)] + k̂[(2)(1) − (−3)(1)]
= î(6 − 1) − ĵ(−4 − 1) + k̂(2 + 3) = 5î + 5ĵ + 5k̂
ক্ষেত্রফল = |A⃗ × B⃗| = 75 = 5√3 ≈ 8.66
(ত্রিভুজ চাইলে অর্ধেক নিতে হতো — অপশন (ঘ) সেই ফাঁদ।)
PhysicsVerse ভার্সিটি স্পেশাল ধাঁচে পরীক্ষা দাও
এই প্রতিষ্ঠানের প্রশ্ন দিয়েই এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।