ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে— ব্যাখ্যা কর।

ভেক্টর ক্যালকুলাসে বহুল ব্যবহৃত অপারেটরটি হচ্ছে—

$$\overrightarrow{\nabla }=\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}$$

যদি কোনো স্থানের একটি এলাকায় প্রতিটি বিন্দুতে $\phi (x,y,z)$ কে একটি অন্তরীকরণযোগ্য রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায়, অর্থাৎ $\phi$ যদি একটি অন্তরীকরণযোগ্য স্কেলার অপেক্ষক হয়, তাহলে এর গ্রেডিয়েন্ট বা $\overrightarrow{\nabla }\phi$ এর সংজ্ঞা হলো:

$$\overrightarrow{\nabla }\phi =(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})\phi$$

$$\overrightarrow{\nabla }\phi =\hat{i}\frac{\partial \phi }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial \phi }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial \phi }{\partial z}$$

এটি একটি ভেক্টর রাশি। এর মান অবস্থানের সাপেক্ষে ঐ স্কেলার রাশির সর্বোচ্চ বৃদ্ধিহার নির্দেশ করে। তাছাড়া এ বৃদ্ধি হারের দিকই হবে স্কেলার রাশিটির গ্রেডিয়েন্টের দিক। এভাবে ভেক্টর অপারেটর ব্যবহার করে স্কেলার রাশির গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করে তাকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করা হয়।