তপন · ১ম পত্র · অধ্যায় ২
ভেক্টর — গাণিতিক সমস্যা
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টরের মান, P = 10 N
দ্বিতীয় ভেক্টরের মান, Q = 6 N
মধ্যবর্তী কোণ, θ = 60°
লব্ধির মান, R = ?
আমরা জানি,
R = P2 + Q2 + 2PQcos θ
বা, R = (10)2 + (6)2 + 2 × 10 × 6 × cos 60°
বা, R = 100 + 36 + 120 × 0.5
বা, R = 100 + 36 + 60
বা, R = 196
∴ R = 14 N
উত্তর: 14 N
দেওয়া আছে,
স্রোতের বেগ, P = 5 km h−1
নৌকার বেগ, Q = 4 km h−1
স্রোত ও নৌকার বেগের মধ্যবর্তী কোণ, θ = 60°
নৌকার লব্ধি বেগ, R = ?
লব্ধি বেগ স্রোতের সাথে কোণ, α = ?
আমরা জানি,
R = P2 + Q2 + 2PQcos θ
বা, R = (5)2 + (4)2 + 2 × 5 × 4 × cos 60°
বা, R = 25 + 16 + 40 × 0.5
বা, R = 61
∴ R = 7.81 km h−1
আবার, আমরা জানি,
tan α = Qsin θP + Qcos θ
বা, tan α = 4 × sin 60°5 + 4 × cos 60°
বা, tan α = 4 × 0.8665 + 4 × 0.5
বা, tan α = 3.4647
বা, tan α = 0.4949
∴ α = tan −1(0.4949)
= 26.33°
উত্তর: নৌকাটি 7.81 km h−1 বেগে স্রোতের সাথে 26.33° কোণে চলবে।
দেওয়া আছে,
ভেক্টর দুটির মান, P = Q
লব্ধির মান, R = P
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
R2 = P2 + Q2 + 2PQcos θ
বা, P2 = P2 + P2 + 2P·Pcos θ
বা, P2 = 2P2 + 2P2cos θ
বা, −P2 = 2P2cos θ
বা, cos θ = −12
∴ θ = cos −1−12
= 120°
উত্তর: 120°
দেওয়া আছে,
স্রোতের বেগ, u = 5 km h−1
নৌকার বেগ, v = 10 km h−1
স্রোতের সাথে নৌকা চালানোর কোণ, α = ?
সোজাসুজি অপর পারে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগ স্রোতের লম্ব বরাবর হবে, অর্থাৎ লব্ধি স্রোতের সাথে 90° কোণ করবে।
আমরা জানি,
tan 90° = vsin αu + vcos α
tan 90° = ∞ হওয়ায় হর শূন্য হবে,
∴ u + vcos α = 0
বা, cos α = −uv
বা, cos α = −510
বা, cos α = −12
∴ α = 120°
উত্তর: স্রোতের সাথে 120° কোণে নৌকা চালাতে হবে।
দেওয়া আছে,
বল, F = 10 N
দক্ষিণ দিকের সাথে কোণ, θ = 30°
দক্ষিণমুখী উপাংশ, FS = ?
পশ্চিমমুখী উপাংশ, FW = ?
আমরা জানি,
FS = Fcos θ
বা, FS = 10 × cos 30°
বা, FS = 10 × 0.866
∴ FS = 8.66 N
আবার, আমরা জানি,
FW = Fsin θ
বা, FW = 10 × sin 30°
বা, FW = 10 × 0.5
∴ FW = 5 N
উত্তর: দক্ষিণমুখী উপাংশ 8.66 N এবং পশ্চিমমুখী উপাংশ 5 N
(ক) উদ্দীপকে F এর মান বের করো।
(খ) উদ্দীপকে করিমের বক্তব্য সঠিক কিনা—গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।
(ক) F এর মান নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
নৌকার ভর, m = 500 kg
আদিবেগ, u = 0
সময়, t = 5 min = 5 × 60 s = 300 s
অতিক্রান্ত দূরত্ব, s = 3.6 km = 3600 m
প্রতিটি দড়ির সাথে তীরের সমান্তরাল দিকের কোণ, θ = 30°
প্রতিটি দড়ির টান, F = ?
আমরা জানি,
s = ut + 12at2
বা, 3600 = 0 × 300 + 12 × a × (300)2
বা, 3600 = 45000a
∴ a = 360045000
= 0.08 m s−2
আবার, আমরা জানি,
R = ma
বা, R = 500 × 0.08
∴ R = 40 N
দুই দড়ির বলের আড়াআড়ি উপাংশ (Fsin θ) পরস্পর বিপরীতমুখী হওয়ায় কাটাকাটি যায়; তীরের সমান্তরাল উপাংশ দুটি যোগ হয়ে লব্ধি R হয়।
আমরা জানি,
R = Fcos θ + Fcos θ = 2Fcos θ
∴ F = R2cos θ
বা, F = 402 × cos 30°
বা, F = 402 × 0.866
বা, F = 401.732
∴ F = 23.09 N
(খ) করিমের বক্তব্যের বিশ্লেষণ:
প্রতিটি দড়ি তীরের সমান্তরাল দিকের সাথে θ কোণ করলে,
আমরা জানি,
R = 2Fcos θ
এবং a = Rm
এবং s = 12at2
∴ t = 2sa
এখন একই টান F = 23.09 N রেখে দড়ি দুটির কোণ কমিয়ে ধরি, θ = 20° (অর্থাৎ করিম ও রহিমের দড়ির মধ্যবর্তী কোণ 60° থেকে কমে 40°)।
বা, R = 2 × 23.09 × cos 20°
বা, R = 2 × 23.09 × 0.9397
∴ R = 43.40 N
∴ a = 43.40500
= 0.0868 m s−2
∴ t = 2 × 36000.0868
= 82949
= 288 s
= 4.8 min
অর্থাৎ θ যত কম হয়, cos θ তত বেশি হয়; ফলে একই টানে লব্ধি বল R ও ত্বরণ a বাড়ে এবং সময় t কমে। তাই করিম ও রহিম তাদের দড়ির মধ্যবর্তী কোণ 60°-এর চেয়ে কমালে সমান টানেই 3.6 km দূরত্ব 5 মিনিটের কম সময়ে অতিক্রম করা সম্ভব।
∴ করিমের বক্তব্য সঠিক।
উত্তর: (ক) 23.09 N; (খ) দড়ির মধ্যবর্তী কোণ 60°-এর কম হলে লব্ধি বল বাড়ে, ফলে 5 মিনিটের কম সময়ে পৌঁছা সম্ভব, তাই করিমের বক্তব্য সঠিক।
লক্ষ করো: উদ্দীপকে "নৌকার ভর উপেক্ষণীয়" লেখা থাকলেও নৌকার ভর 500 kg দেওয়া আছে এবং হিসাবে তা ব্যবহৃত হয়েছে; সম্ভবত "দড়ির ভর" বোঝানো হয়েছে।
(ক) ট্রলির গতি সৃষ্টিকারী বল কত?
(খ) দোকানদার সাবিহাকে ট্রলির হেন্ডেল ধরে সামনে টানতে বললো কেন—যুক্তিসহ গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।
(ক) গতি সৃষ্টিকারী বল নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
প্রযুক্ত বল, F = 10 N
উলম্বের সাথে কোণ, θ = 30°
গতি সৃষ্টিকারী (অনুভূমিক) বল, Fx = ?
ট্রলির গতি অনুভূমিক দিকে, তাই বলের অনুভূমিক উপাংশই গতি সৃষ্টি করে।
আমরা জানি,
Fx = Fsin θ
বা, Fx = 10 × sin 30°
বা, Fx = 10 × 0.5
∴ Fx = 5 N
(খ) ঠেলা ও টানার তুলনা:
ধরি, ট্রলির ওজন W এবং মেঝের ঘর্ষণ সহগ μ।
বলের উলম্ব উপাংশ,
আমরা জানি,
Fy = Fcos θ
বা, Fy = 10 × cos 30°
বা, Fy = 10 × 0.866
∴ Fy = 8.66 N
ঠেলার সময় উলম্ব উপাংশ নিচের দিকে ক্রিয়া করে, তাই মেঝের প্রতিক্রিয়া বল,
R1 = W + Fcos θ = W + 8.66 N
টানার সময় উলম্ব উপাংশ ওপরের দিকে ক্রিয়া করে, তাই মেঝের প্রতিক্রিয়া বল,
R2 = W − Fcos θ = W − 8.66 N
আমরা জানি,
ঘর্ষণ বল, f = μR
∴ ঠেলার সময় ঘর্ষণ, f1 = μ(W + 8.66)
এবং টানার সময় ঘর্ষণ, f2 = μ(W − 8.66)
∴ f1 − f2 = μ × 2 × 8.66
= 17.32μ N
অর্থাৎ টানার সময় প্রতিক্রিয়া বল তথা ঘর্ষণ বল কম হয়। ফলে ট্রলিকে চালাতে টানার সময় ঠেলার চেয়ে কম বল লাগে। তাই দোকানদার সাবিহাকে হেন্ডেল ধরে সামনে টানতে বললো।
উত্তর: (ক) 5 N; (খ) টানলে বলের উলম্ব উপাংশ ওপরের দিকে ক্রিয়া করে প্রতিক্রিয়া ও ঘর্ষণ বল কমায়, তাই ঠেলার চেয়ে টানা সহজ।
(ক) যদি ক ব্যক্তি অনুভূমিকের সাথে 45° কোণে গুণ টানে তবে বলের অনুভূমিক উপাংশ নির্ণয় করো।
(খ) যদি ক ব্যক্তি ও খ ব্যক্তি একই বলে নৌকা দুটি টানে তবে কে সহজেই নৌকাটি চালাতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ যুক্তি দাও।
(ক) অনুভূমিক উপাংশ নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
বল, F = 20 N
অনুভূমিকের সাথে কোণ, θ = 45°
অনুভূমিক উপাংশ, Fx = ?
আমরা জানি,
Fx = Fcos θ
বা, Fx = 20 × cos 45°
বা, Fx = 20 × 0.7071
∴ Fx = 14.14 N
(খ) ক ও খ ব্যক্তির তুলনা:
নৌকাকে সামনে চালায় গুণের টানের অনুভূমিক উপাংশ।
আমরা জানি,
Fx = Fcos θ
চিত্র অনুযায়ী খ ব্যক্তি নৌকা থেকে বেশি দূরে থাকায় তার দড়ি লম্বা, তাই অনুভূমিকের সাথে খ ব্যক্তির দড়ির কোণ θ2, ক ব্যক্তির কোণ θ1 = 45° এর চেয়ে কম।
0° থেকে 90° পর্যন্ত কোণ যত কমে cos θ তত বাড়ে, তাই cos θ2 > cos 45°।
উদাহরণস্বরূপ, θ2 = 30° হলে,
Fx2 = 20 × cos 30°
= 20 × 0.866
= 17.32 N
যা ক ব্যক্তির অনুভূমিক উপাংশ 14.14 N এর চেয়ে বেশি।
অর্থাৎ একই বল প্রয়োগ করলেও খ ব্যক্তির বলের অনুভূমিক উপাংশ বেশি হবে। সুতরাং খ ব্যক্তি সহজে নৌকা চালাতে পারবে।
উত্তর: (ক) 14.14 N; (খ) খ ব্যক্তির দড়ি অনুভূমিকের সাথে কম কোণ করায় তার বলের অনুভূমিক উপাংশ বেশি, তাই খ ব্যক্তি সহজে নৌকা চালাতে পারবে।
(ক) উদ্দীপক হতে নৌকার অভিন্ন বেগ হিসাব করো।
(খ) নৌকা দুটি একই সময়ে নদীর অপর পারে পৌঁছায় কিনা গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।
(ক) নৌকার বেগ নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
স্রোতের বেগ, u = 9 km h−1
প্রথম নৌকা AB বরাবর অর্থাৎ AC (আড়াআড়ি দিক) এর সাথে θ = 30° কোণে উজানের দিকে চালানো হয়।
নৌকার বেগ, v = ?
প্রথম নৌকা ঠিক আড়াআড়ি C বিন্দুতে পৌঁছায়, তাই নৌকার বেগের স্রোত বরাবর উপাংশ স্রোতের বেগকে প্রশমিত করে।
আমরা জানি,
vsin θ = u
∴ v = usin θ
বা, v = 9sin 30°
বা, v = 90.5
∴ v = 18 km h−1
(যাচাই: দ্বিতীয় নৌকার লব্ধি বেগ তীরের সাথে 63.43° কোণ করে, ∴ tan 63.43° = vu, বা, v = 9 × 2 = 18 km h−1)
(খ) নদী পার হওয়ার সময়ের তুলনা:
দেওয়া আছে,
নদীর প্রস্থ, d = 31 km
নৌকার বেগ, v = 18 km h−1
প্রথম নৌকার সময়, t1 = ?
দ্বিতীয় নৌকার সময়, t2 = ?
প্রথম নৌকার ক্ষেত্রে, বেগের আড়াআড়ি উপাংশ vcos 30°
আমরা জানি,
t1 = dvcos θ
বা, t1 = 3118 × cos 30°
বা, t1 = 3118 × 0.866
বা, t1 = 3115.588
∴ t1 = 1.988 h
দ্বিতীয় নৌকা AC বরাবর অর্থাৎ আড়াআড়ি চালানো হয়, তাই বেগের আড়াআড়ি উপাংশ v।
আমরা জানি,
t2 = dv
বা, t2 = 3118
∴ t2 = 1.722 h
যেহেতু t1 ≠ t2 এবং t2 < t1, তাই নৌকা দুটি একই সময়ে নদীর অপর পারে পৌঁছাবে না; দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার আগে অপর পারে পৌঁছাবে।
উত্তর: (ক) 18 km h−1; (খ) t1 = 1.988 h, t2 = 1.722 h, তাই একই সময়ে পৌঁছাবে না; দ্বিতীয় নৌকাটি আগে পৌঁছাবে।
(ক) চিত্রের OC বরাবর প্রতিক্রিয়া বলের মান কত?
(খ) AO বরাবর পাখার ধাক্কার পরিমাণ দ্বিগুণ হলে পাখিটি কোনদিকে ওড়বে? গাণিতিক যুক্তির মাধ্যমে ব্যাখ্যা করো।
(ক) OC বরাবর বল নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
OA বরাবর বল, P = 5 N
OB বরাবর বল, Q = 5 N
বল দুটির মধ্যবর্তী কোণ, θ = 60°
OC বরাবর লব্ধি বল, R = ?
আমরা জানি,
R = P2 + Q2 + 2PQcos θ
বা, R = (5)2 + (5)2 + 2 × 5 × 5 × cos 60°
বা, R = 25 + 25 + 25
বা, R = 75
∴ R = 8.66 N
(খ) পাখির ওড়ার দিক নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
OA বরাবর বল, P = 2 × 5 = 10 N
OB বরাবর বল, Q = 5 N
মধ্যবর্তী কোণ, θ = 60°
লব্ধি, R = ?
লব্ধির সাথে OA এর কোণ, α = ?
আমরা জানি,
R = P2 + Q2 + 2PQcos θ
বা, R = (10)2 + (5)2 + 2 × 10 × 5 × cos 60°
বা, R = 100 + 25 + 50
বা, R = 175
∴ R = 13.23 N
আবার, আমরা জানি,
tan α = Qsin θP + Qcos θ
বা, tan α = 5 × sin 60°10 + 5 × cos 60°
বা, tan α = 5 × 0.86610 + 2.5
বা, tan α = 4.3312.5
বা, tan α = 0.3464
∴ α = 19.1°
OA রেখা OC এর সাথে 30° কোণে উত্তর দিকে হেলানো। লব্ধি বল OA থেকে 19.1° কোণে OB এর দিকে, অর্থাৎ OC এর সাথে কোণ,
30° − 19.1° = 10.9°
অর্থাৎ লব্ধি বল বড় বল (OA) এর দিকে হেলে যায়। সুতরাং পাখিটি OC (পূর্ব) দিকের সাথে 10.9° কোণে উত্তর-পূর্ব দিকে 13.23 N লব্ধি বলের প্রভাবে উড়বে।
উত্তর: (ক) 8.66 N; (খ) লব্ধি 13.23 N, যা OA এর সাথে 19.1° এবং OC এর সাথে 10.9° কোণে; পাখিটি উত্তর-পূর্ব দিকে উড়বে।
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে "OC-এর সাথে 19.1° কোণে পূর্ব-দক্ষিণ দিকে" বলা হয়েছে; কিন্তু ভেক্টর যোগে লব্ধি বড় বল OA (উত্তর পাশ) এর দিকে হেলে, 19.1° কোণটি OA এর সাথে, OC এর সাথে কোণ 10.9° এবং দিক উত্তর-পূর্ব।
দেওয়া আছে,
স্রোতের বেগ, u = 5 m s−1
নৌকার বেগ, v = 10 m s−1
সময়, t = 1 min 40 s = 100 s
নদীর প্রস্থ, d = ?
সোজাসুজি পাড়ি দিতে নৌকার লব্ধি বেগ স্রোতের লম্ব বরাবর হবে।
আমরা জানি,
লব্ধি বেগ, w = v2 − u2
বা, w = (10)2 − (5)2
বা, w = 100 − 25
বা, w = 75
∴ w = 8.66 m s−1
আবার, আমরা জানি,
d = wt
বা, d = 8.66 × 100
∴ d = 866.03 m
উত্তর: 866.03 m
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ, v = 14 km h−1
স্রোতের বেগ, u = 7 km h−1
নদীর প্রস্থ, d = 12.125 km
স্রোতের সাথে নৌকা চালানোর কোণ, α = ?
সময়, t = ?
আড়াআড়ি পার হতে হলে লব্ধি বেগ স্রোতের লম্ব বরাবর হবে।
আমরা জানি,
cos α = −uv
বা, cos α = −714
বা, cos α = −12
∴ α = 120°
আবার, আমরা জানি,
লব্ধি বেগ, w = v2 − u2
বা, w = (14)2 − (7)2
বা, w = 196 − 49
বা, w = 147
∴ w = 12.124 km h−1
আবার, আমরা জানি,
t = dw
বা, t = 12.12512.124
∴ t ≈ 1 h
উত্তর: স্রোতের সাথে 120° কোণে চালাতে হবে; সময় লাগবে প্রায় 1 ঘণ্টা।
দেওয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে বেগ, v + u = 18 km h−1
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ, v − u = 6 km h−1
এখানে, v = স্থির পানিতে নৌকার বেগ, u = স্রোতের বেগ
নৌকার বেগ, v = ?
স্রোতের সাথে কোণ, α = ?
সমীকরণ দুটি যোগ করে,
2v = 18 + 6 = 24
∴ v = 12 km h−1
সমীকরণ দুটি বিয়োগ করে,
2u = 18 − 6 = 12
∴ u = 6 km h−1
সোজা অপর পারে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগ স্রোতের লম্ব বরাবর হতে হবে, অর্থাৎ স্রোত বরাবর মোট বেগের উপাংশ শূন্য।
আমরা জানি,
u + vcos α = 0
∴ cos α = −uv
বা, cos α = −612 = −12
∴ α = cos −1−12 = 120°
উত্তর: নৌকাটিকে 12 km h−1 বেগে স্রোতের সাথে 120° কোণে চালনা করতে হবে।
দেওয়া আছে,
|a + b| = |a − b|
ধরি, a ও b এর মধ্যবর্তী কোণ θ।
আমরা জানি,
|a + b|2 = a2 + b2 + 2abcos θ
|a − b|2 = a2 + b2 − 2abcos θ
শর্তমতে, |a + b|2 = |a − b|2
বা, a2 + b2 + 2abcos θ
= a2 + b2 − 2abcos θ
বা, 4abcos θ = 0
যেহেতু a ≠ 0 ও b ≠ 0,
∴ cos θ = 0
∴ θ = 90°
অর্থাৎ a ও b পরস্পরের ওপর লম্ব। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
A এর মান, A = 12 একক
B এর মান, B = 5 একক
লব্ধি C এর মান, C = 13 একক
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
C2 = A2 + B2 + 2ABcos θ
বা, (13)2 = (12)2 + (5)2 + 2 × 12 × 5cos θ
বা, 169 = 144 + 25 + 120cos θ
বা, 169 = 169 + 120cos θ
বা, 120cos θ = 0
∴ cos θ = 0
∴ θ = 90°
উত্তর: 90°
দেওয়া আছে,
প্রযুক্ত বল, F = 19.6 N
অনুভূমিকের সাথে কোণ, θ = 30°
ওজনের পার্থক্য, ΔW = ?
ধরি, রোলারের প্রকৃত ওজন W।
ঠেলার সময় বলের উল্লম্ব উপাংশ Fsin θ নিচের দিকে ক্রিয়া করে।
আমরা জানি,
ঠেলার সময় আপাত ওজন, W1 = W + Fsin θ
টানার সময় বলের উল্লম্ব উপাংশ Fsin θ ওপরের দিকে ক্রিয়া করে।
টানার সময় আপাত ওজন, W2 = W − Fsin θ
∴ ΔW = W1 − W2 = 2Fsin θ
বা, ΔW = 2 × 19.6 × sin 30°
বা, ΔW = 2 × 19.6 × 0.5
= 19.6 N
উত্তর: 19.6 N
দেওয়া আছে,
প্রযুক্ত বল, F = 20 N
অনুভূমিকের সাথে কোণ, θ = 30°
ওজনের পার্থক্য, ΔW = ?
ধরি, রোলারের প্রকৃত ওজন W।
আমরা জানি,
ঠেলার সময় আপাত ওজন, W1 = W + Fsin θ
টানার সময় আপাত ওজন, W2 = W − Fsin θ
∴ ΔW = W1 − W2 = 2Fsin θ
বা, ΔW = 2 × 20 × sin 30°
বা, ΔW = 2 × 20 × 0.5
= 20 N
উত্তর: 20 N
দেওয়া আছে,
প্রস্থ বরাবর নৌকার বেগ, v = 20 m s−1
স্রোতের বেগ, u = 15 m s−1
নদীর প্রস্থ, d = 2 km = 2000 m
সময়, t = ?
লব্ধিবেগ, R = ?
(i) সময় নির্ণয়:
প্রস্থ বরাবর বেগ v, তাই স্রোত পার হওয়ার সময় শুধু v এর ওপর নির্ভর করে।
আমরা জানি,
t = dv
বা, t = 200020
= 100 s
(ii) লব্ধিবেগ নির্ণয়:
নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগ পরস্পর লম্ব।
আমরা জানি,
R = v2 + u2
বা, R = (20)2 + (15)2
বা, R = 400 + 225
বা, R = 625
= 25 m s−1
উত্তর: সময় 100 s; লব্ধিবেগ 25 m s−1
দেওয়া আছে,
বৃষ্টির বেগ (খাড়া নিচের দিকে), vr = 6 m s−1
উল্লম্বের সাথে আপেক্ষিক বেগের কোণ, θ = 45°
সাইকেল আরোহীর বেগ, vc = ?
আরোহীর সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ vc এবং উল্লম্ব উপাংশ vr।
আমরা জানি,
tan θ = vcvr
∴ vc = vrtan θ
বা, vc = 6 × tan 45°
বা, vc = 6 × 1
= 6 m s−1
উত্তর: 6 m s−1
দেওয়া আছে,
লব্ধির বৃহত্তর মান, Rmax = P + Q = 28 একক
লব্ধির ক্ষুদ্রতর মান, Rmin = P − Q = 4 একক
মধ্যবর্তী কোণ, θ = 90°
লব্ধি, R = ?
সমীকরণ দুটি যোগ করে,
2P = 28 + 4 = 32
∴ P = 16 একক
সমীকরণ দুটি বিয়োগ করে,
2Q = 28 − 4 = 24
∴ Q = 12 একক
আমরা জানি,
R = P2 + Q2 + 2PQcos θ
এখানে cos 90° = 0
বা, R = (16)2 + (12)2 + 0
বা, R = 256 + 144 + 0
বা, R = 400
= 20 একক
উত্তর: 20 একক
দেওয়া আছে,
A = 3ı − 2ȷ + k
B = 2ı − 4ȷ − 3k
C = −ı + 2ȷ + 2k
নির্ণেয়: |C| = ?, |A + B + C| = ?, |2A − 3B − 5C| = ?
(i) |C| নির্ণয়:
আমরা জানি,
|C| = C2x + C2y + C2z
বা, |C| = (−1)2 + (2)2 + (2)2
বা, |C| = 1 + 4 + 4
= 9 = 3
(ii) |A + B + C| নির্ণয়:
A + B + C
= (3 + 2 − 1)ı + (−2 − 4 + 2)ȷ
+ (1 − 3 + 2)k
= 4ı − 4ȷ + 0k
আমরা জানি,
|R| = R2x + R2y + R2z
∴ |A + B + C| = (4)2 + (−4)2 + 02
= 32
= 42
(iii) |2A − 3B − 5C| নির্ণয়:
2A = 6ı − 4ȷ + 2k
3B = 6ı − 12ȷ − 9k
5C = −5ı + 10ȷ + 10k
∴ 2A − 3B − 5C
= (6 − 6 + 5)ı + (−4 + 12 − 10)ȷ
+ (2 + 9 − 10)k
= 5ı − 2ȷ + k
আমরা জানি,
|R| = R2x + R2y + R2z
∴ |2A − 3B − 5C|
= (5)2 + (−2)2 + (1)2
= 25 + 4 + 1
= 30
উত্তর: (i) 3; (ii) 42; (iii) 30
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 4ȷ − 5k
B = ı + 2ȷ + 3k
লব্ধির সমান্তরাল একক ভেক্টর, r = ?
লব্ধি ভেক্টর, R = A + B
= (2 + 1)ı + (4 + 2)ȷ + (−5 + 3)k
= 3ı + 6ȷ − 2k
আমরা জানি,
R = R2x + R2y + R2z
বা, R = (3)2 + (6)2 + (−2)2
বা, R = 9 + 36 + 4
= 49 = 7
আমরা জানি,
r = RR
বা, r = 3ı + 6ȷ − 2k7
= 37ı + 67ȷ − 27k
উত্তর: 37ı + 67ȷ − 27k
স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (3ı + 3ȷ) m s−1 এবং স্রোতের বেগ = 2ı m s−1। অন্য একটি ক্ষেত্রে নৌকাটিকে AB বরাবর একই দ্রুতিতে চালানো হয়।
(ক) নদীর সমতলের লম্ব বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপক অনুসারে কোন ক্ষেত্রে নৌকাটি আগে অপর তীরে পৌঁছবে তা গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক উত্তর দাও।
দেওয়া আছে,
স্থির পানিতে নৌকার বেগ, vb = 3ı + 3ȷ m s−1
স্রোতের বেগ, vs = 2ı m s−1
নদীর প্রস্থ, d = 2.5 km = 2500 m
(ক) নদীর সমতলের লম্ব বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয়:
vb ও vs দুটিই নদীর সমতলে অবস্থিত, তাই এদের ক্রস গুণফল নদীর সমতলের লম্ব বরাবর।
আমরা জানি,
vb × vs = ıȷk330200
= ı(3 × 0 − 0 × 0) − ȷ(3 × 0 − 0 × 2)
+ k(3 × 0 − 3 × 2)
= 0ı − 0ȷ − 6k
= −6k
∴ |vb × vs| = 6
আমরা জানি,
n = vb × vs|vb × vs|
বা, n = −6k6
= −k
(খ) কোন ক্ষেত্রে নৌকা আগে পৌঁছাবে:
প্রথম ক্ষেত্রে (AD বরাবর):
লব্ধি বেগ, v = vb + vs
= (3ı + 3ȷ) + 2ı
= 5ı + 3ȷ
নদী পার হওয়ার জন্য শুধু প্রস্থ বরাবর (ȷ বরাবর) উপাংশ কাজে লাগে, vy = 3 m s−1।
আমরা জানি,
t1 = dvy
বা, t1 = 25003
= 833.33 s
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (AB বরাবর):
নৌকার দ্রুতি, vb = 32 + 32
= 18 = 32
= 4.243 m s−1
এখন নৌকাকে AB বরাবর অর্থাৎ প্রস্থ বরাবর চালানো হচ্ছে, তাই প্রস্থ বরাবর বেগ 4.243 m s−1।
আমরা জানি,
t2 = dvb
বা, t2 = 25004.243
= 589.26 s
যেহেতু t2 < t1, তাই দ্বিতীয় ক্ষেত্রে নৌকাটি আগে অপর তীরে পৌঁছাবে।
উত্তর: (ক) −k; (খ) প্রথম ক্ষেত্রে 833.33 s, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে 589.26 s; সুতরাং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (AB বরাবর) নৌকাটি আগে অপর তীরে পৌঁছাবে।
(ক) AB সংযোগকারী ভেক্টরের মান নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপকের ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে কি? বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।
দেওয়া আছে,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3, 1)
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 2, −3)
∴ OA = 2ı + 3ȷ + k
OB = 4ı + 2ȷ − 3k
(ক) AB এর মান নির্ণয়:
আমরা জানি,
AB = OB − OA
= (4 − 2)ı + (2 − 3)ȷ + (−3 − 1)k
= 2ı − ȷ − 4k
আমরা জানি,
|AB| = x2 + y2 + z2
বা, |AB| = (2)2 + (−1)2 + (−4)2
বা, |AB| = 4 + 1 + 16
= 21
= 4.58 একক
(খ) ত্রিভুজটি সমকোণী কি না যাচাই:
|OA|2 = (2)2 + (3)2 + (1)2 = 14
|OB|2 = (4)2 + (2)2 + (−3)2 = 29
|AB|2 = 21
এখানে বৃহত্তম বাহু OB। সমকোণী হলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী হতে হবে,
|OB|2 = |OA|2 + |AB|2
ডানপক্ষ = 14 + 21 = 35
বামপক্ষ = 29
∴ |OB|2 ≠ |OA|2 + |AB|2
ডট গুণন দিয়েও যাচাই করা যায়। আমরা জানি, দুটি ভেক্টর লম্ব হলে,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
OA·AB = 4 − 3 − 4 = −3 ≠ 0
OA·OB = 8 + 6 − 3 = 11 ≠ 0
AB·OB = 8 − 2 + 12 = 18 ≠ 0
কোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য নয়, অর্থাৎ কোনো কোণই 90° নয়।
সুতরাং উদ্দীপকের ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে না।
উত্তর: (ক) 4.58 একক; (খ) |OB|2 ≠ |OA|2 + |AB|2, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে না।
লক্ষ করো: চিত্রে α = 60° লেখা, কিন্তু প্রদত্ত স্থানাঙ্ক থেকে OA ও OB এর মধ্যবর্তী কোণ প্রায় 56.9°; সমাধানে এই মান লাগে না।
(ক) অবস্থান ভেক্টর নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y, z) = (2, −3, 4)
অবস্থান ভেক্টর, r = ?
আমরা জানি,
r = xı + yȷ + zk
∴ r = 2ı − 3ȷ + 4k
(খ) সংযোগকারী দিক রাশি নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
A এর অবস্থান ভেক্টর, rA = 2ı − 3ȷ + 4k
B এর অবস্থান ভেক্টর, rB = −ı + 2ȷ + 3k
AB = ?
আমরা জানি,
AB = rB − rA
= (−1 − 2)ı + (2 + 3)ȷ + (3 − 4)k
= −3ı + 5ȷ − k
উত্তর: (ক) 2ı − 3ȷ + 4k; (খ) −3ı + 5ȷ − k
দেওয়া আছে,
ভর, m = 7 kg
বল, F = (2ı − 3ȷ + 6k) N
ত্বরণ, a = ?
আমরা জানি,
F = F2x + F2y + F2z
বা, F = (2)2 + (−3)2 + (6)2
বা, F = 4 + 9 + 36
= 49 = 7 N
আবার, আমরা জানি,
F = ma
∴ a = Fm
বা, a = 77
= 1 m s−2
উত্তর: 1 m s−2
দেওয়া আছে,
R = 5ı − 2ȷ − 6k
X অক্ষের সাথে কোণ, α = ?
Y অক্ষের সাথে কোণ, β = ?
Z অক্ষের সাথে কোণ, γ = ?
আমরা জানি,
R = R2x + R2y + R2z
বা, R = (5)2 + (−2)2 + (−6)2
বা, R = 25 + 4 + 36
= 65 = 8.062
আমরা জানি,
cos α = RxR
বা, cos α = 58.062 = 0.6202
∴ α = cos −1(0.6202) = 51.67°
আবার,
cos β = RyR
বা, cos β = −28.062 = −0.2481
∴ β = cos −1(−0.2481) = 104.36°
এবং,
cos γ = RzR
বা, cos γ = −68.062 = −0.7442
∴ γ = cos −1(−0.7442) = 138.09°
উত্তর: α = 51.67°, β = 104.36°, γ = 138.09°
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 4ȷ + 7k
B = 3ı − 5ȷ + 2k
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 2 × 3 + 4 × (−5) + 7 × 2
বা, A·B = 6 − 20 + 14
= 0
আবার, আমরা জানি,
A·B = ABcos θ
যেহেতু A ≠ 0, B ≠ 0 এবং A·B = 0,
∴ cos θ = 0
∴ θ = 90°
অর্থাৎ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমকোণে অবস্থিত। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 2ȷ − k
B = 6ı − 3ȷ + 2k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 2 × 6 + 2 × (−3) + (−1) × 2
= 12 − 6 − 2 = 4
A = (2)2 + (2)2 + (−1)2 = 9 = 3
B = (6)2 + (−3)2 + (2)2 = 49 = 7
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
বা, cos θ = 43 × 7 = 421
বা, cos θ = 0.1905
∴ θ = cos −1(0.1905)
= 79.02°
উত্তর: 79.02°
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 3ȷ − 6k
B = mı + 2ȷ + 10k
m = ?
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
বা, 2 × m + 3 × 2 + (−6) × 10 = 0
বা, 2m + 6 − 60 = 0
বা, 2m = 54
∴ m = 27
উত্তর: 27
(ক) উদ্দীপকের আলোকে θ1 এর মান নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপকে θ1 = θ2 হওয়া সম্ভব কিনা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে সিদ্ধান্ত দাও।
দেওয়া আছে,
A = ı − ȷ + k
B = 2ı − 3ȷ + 6k
(ক) θ1 নির্ণয়:
θ1 হলো A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ।
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 1 × 2 + (−1)(−3) + 1 × 6
= 2 + 3 + 6 = 11
A = 12 + (−1)2 + 12 = 3
B = 22 + (−3)2 + 62 = 49 = 7
আমরা জানি,
cos θ1 = A·BAB
বা, cos θ1 = 113 × 7
বা, cos θ1 = 1112.124 = 0.9073
∴ θ1 = cos −1(0.9073)
= 24.87°
(খ) θ1 = θ2 সম্ভব কি না যাচাই:
θ2 হলো (A + B) ও (A − B) এর মধ্যবর্তী কোণ।
A + B = (1 + 2)ı + (−1 − 3)ȷ + (1 + 6)k
= 3ı − 4ȷ + 7k
A − B = (1 − 2)ı + (−1 + 3)ȷ + (1 − 6)k
= −ı + 2ȷ − 5k
(A + B)·(A − B)
= 3 × (−1) + (−4) × 2 + 7 × (−5)
= −3 − 8 − 35 = −46
|A + B| = 9 + 16 + 49 = 74
|A − B| = 1 + 4 + 25 = 30
আমরা জানি,
cos θ2 = (A + B)·(A − B)|A + B||A − B|
বা, cos θ2 = −4674 × 30
বা, cos θ2 = −4647.117 = −0.9763
∴ θ2 = cos −1(−0.9763)
= 167.5°
যেহেতু θ1 = 24.87° এবং θ2 = 167.5°, ∴ θ1 ≠ θ2
সুতরাং উদ্দীপকে θ1 = θ2 হওয়া সম্ভব নয়।
উত্তর: (ক) θ1 = 24.87°; (খ) θ2 = 167.5°, ∴ θ1 ≠ θ2, সুতরাং উদ্দীপকে θ1 = θ2 হওয়া সম্ভব নয়।
দেওয়া আছে,
P = 2ı + 4ȷ − 5k
Q = −ı + 2ȷ + 3k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
P·Q = PxQx + PyQy + PzQz
বা, P·Q = 2 × (−1) + 4 × 2 + (−5) × 3
= −2 + 8 − 15 = −9
P = (2)2 + (4)2 + (−5)2 = 45
Q = (−1)2 + (2)2 + (3)2 = 14
আমরা জানি,
cos θ = P·QPQ
বা, cos θ = −945 × 14
বা, cos θ = −9630 = −925.1
বা, cos θ = −0.3586
∴ θ = cos −1(−0.3586)
= 111.01°
উত্তর: 111.01°
দেওয়া আছে,
P = ı − 2ȷ − 5k
Q = 2ı + ȷ − 4k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
P·Q = PxQx + PyQy + PzQz
বা, P·Q = 1 × 2 + (−2) × 1 + (−5)(−4)
= 2 − 2 + 20 = 20
P = (1)2 + (−2)2 + (−5)2 = 30
Q = (2)2 + (1)2 + (−4)2 = 21
আমরা জানি,
cos θ = P·QPQ
বা, cos θ = 2030 × 21
বা, cos θ = 20630 = 2025.1
বা, cos θ = 0.7968
∴ θ = cos −1(0.7968)
= 37.17°
উত্তর: 37.17°
দেওয়া আছে,
A = 2ı + aȷ + k
B = 4ı − 2ȷ − 2k
a = ?
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
বা, 2 × 4 + a × (−2) + 1 × (−2) = 0
বা, 8 − 2a − 2 = 0
বা, 2a = 6
∴ a = 3
উত্তর: 3
দেওয়া আছে,
P = ı + 2ȷ − 2k
Q = 3ı + 2ȷ + 23k
মধ্যবর্তী কোণ, α = 90° (লম্বভাবে ক্রিয়াশীল)
P এর সাথে লব্ধির কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
P = P2x + P2y + P2z
বা, P = (1)2 + (2)2 + (−2)2
= 9 = 3
Q = (3)2 + (2)2 + (23)2
= 9 + 4 + 12 = 25 = 5
আমরা জানি,
tan θ = Qsin αP + Qcos α
বা, tan θ = 5sin 90°3 + 5cos 90°
বা, tan θ = 53 = 1.667
∴ θ = tan −1(1.667)
= 59.04°
উত্তর: 59.04° (প্রায় 59°)
লক্ষ করো: প্রকৃতপক্ষে P·Q = 7 − 43 ≈ 0.07 ≠ 0, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি ঠিক লম্ব নয় (কোণ ≈ 89.7°); প্রশ্নের "লম্বভাবে ক্রিয়াশীল" শর্ত মেনে সমাধান করা হয়েছে।
দেওয়া আছে,
বল, F = (ı − 3ȷ + 2k) N
সরণ, d = (2ı + dyȷ − k) m
কাজ, W = 0
dy = ?
আমরা জানি,
W = F·d = Fxdx + Fydy + Fzdz
বা, 0 = 1 × 2 + (−3) × dy + 2 × (−1)
বা, 0 = 2 − 3dy − 2
বা, 3dy = 0
∴ dy = 0
উত্তর: 0
দেওয়া আছে,
বল, F = (5ı − 6ȷ + 3k) N
সরণ, d = (3ı + dyȷ + 5k) m
কাজ, W = 0
dy = ?
আমরা জানি,
W = F·d = Fxdx + Fydy + Fzdz
বা, 0 = 5 × 3 + (−6) × dy + 3 × 5
বা, 0 = 15 − 6dy + 15
বা, 6dy = 30
∴ dy = 5
উত্তর: 5
দেওয়া আছে,
বল, F = (−5ı − 3ȷ − 6k) N
সরণ, S = (3ı − mȷ + 5k) m
কাজ, W = 0
m = ?
আমরা জানি,
W = F·S = FxSx + FySy + FzSz
বা, 0 = (−5) × 3 + (−3)(−m) + (−6) × 5
বা, 0 = −15 + 3m − 30
বা, 3m = 45
∴ m = 15
উত্তর: 15
দেওয়া আছে,
বল, F = (−2ı + 3ȷ + 4k) N
আদি অবস্থান, r1 = 3ı − 4ȷ − 2k
শেষ অবস্থান, r2 = −2ı + 3ȷ + 5k
কাজ, W = ?
আমরা জানি,
সরণ, d = r2 − r1
= (−2 − 3)ı + (3 + 4)ȷ + (5 + 2)k
= (−5ı + 7ȷ + 7k) m
আমরা জানি,
W = F·d = Fxdx + Fydy + Fzdz
বা, W = (−2)(−5) + 3 × 7 + 4 × 7
বা, W = 10 + 21 + 28
= 59 J
উত্তর: 59 J
(ক) AB ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
(খ) দুটি বিন্দুর A ও B এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয়ের X-অক্ষের ওপর লম্ব অভিক্ষেপ এর তুলনামূলক বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
A এর অবস্থান ভেক্টর, rA = ı + 0ȷ − k
B এর অবস্থান ভেক্টর, rB = ı + ȷ + 0k
(ক) AB এর সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয়:
আমরা জানি,
AB = rB − rA
= (1 − 1)ı + (1 − 0)ȷ + (0 + 1)k
= ȷ + k
|AB| = 02 + 12 + 12 = 2
আমরা জানি,
n = AB|AB|
= 12(ȷ + k)
(খ) X-অক্ষের ওপর লম্ব অভিক্ষেপের তুলনা:
X-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ı।
আমরা জানি, r এর ı এর ওপর লম্ব অভিক্ষেপ,
r·ı|ı|
A এর জন্য, rA·ı1
= (ı − k)·ı
= 1 × 1 + 0 + (−1) × 0 = 1
B এর জন্য, rB·ı1
= (ı + ȷ)·ı
= 1 × 1 + 1 × 0 + 0 = 1
অর্থাৎ X-অক্ষের ওপর A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব অভিক্ষেপের মান উভয়ই 1, তাই সমান।
উত্তর: (ক) 12(ȷ + k); (খ) X-অক্ষের ওপর উভয় অবস্থান ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপের মান 1, অর্থাৎ সমান।
দেওয়া আছে,
A = 5ı + 6ȷ + 9k
B = 10ı + 8ȷ − 8k
B এর দিকে A এর লম্ব অভিক্ষেপ = ?
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 5 × 10 + 6 × 8 + 9 × (−8)
= 50 + 48 − 72 = 26
B = (10)2 + (8)2 + (−8)2
= 100 + 64 + 64 = 228 = 15.1
আমরা জানি,
B এর দিকে A এর লম্ব অভিক্ষেপ = A·BB
= 2615.1
= 1.72
উত্তর: 1.72
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 2ȷ − k
B = 6ı − 3ȷ + 2k
B এর দিকে A এর লম্ব অভিক্ষেপ = ?
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 2 × 6 + 2 × (−3) + (−1) × 2
= 12 − 6 − 2 = 4
B = (6)2 + (−3)2 + (2)2 = 49 = 7
আমরা জানি,
B এর দিকে A এর লম্ব অভিক্ষেপ = A·BB
= 47
= 0.57
উত্তর: 0.57
দেওয়া আছে,
A = ı − 4ȷ + 5k
B = 6ı − 3ȷ + 2k
B বরাবর A এর অভিক্ষেপ = ?
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 1 × 6 + (−4)(−3) + 5 × 2
= 6 + 12 + 10 = 28
B = (6)2 + (−3)2 + (2)2 = 49 = 7
আমরা জানি,
B বরাবর A এর অভিক্ষেপ = A·BB
= 287
= 4
উত্তর: 4
দেওয়া আছে,
A = 9ı + ȷ − 6k
B = 4ı − 6ȷ + 5k
B এর ওপর A এর লম্ব অভিক্ষেপ = ?
A এর ওপর B এর লম্ব অভিক্ষেপ = ?
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 9 × 4 + 1 × (−6) + (−6) × 5
= 36 − 6 − 30 = 0
A = 81 + 1 + 36 = 118
B = 16 + 36 + 25 = 77
আমরা জানি,
B এর ওপর A এর লম্ব অভিক্ষেপ = A·BB
= 077 = 0
A এর ওপর B এর লম্ব অভিক্ষেপ = A·BA
= 0118 = 0
(ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব, তাই উভয় অভিক্ষেপ শূন্য।)
উত্তর: উভয় লম্ব অভিক্ষেপ 0
(ক) P এর ওপর Q এর লম্ব অভিক্ষেপের মান নির্ণয় করো।
(খ) P, Q এবং R বিন্দুত্রয়ের ক্রম সংযোজন দ্বারা গঠিত ক্ষেত্র একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে কি-না তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করো।
দেওয়া আছে,
P = ı + 2ȷ − k
Q = −2ı + ȷ + k
R = 3ı + ȷ − 2k
(ক) P এর ওপর Q এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয়:
আমরা জানি,
P·Q = PxQx + PyQy + PzQz
বা, P·Q = 1 × (−2) + 2 × 1 + (−1) × 1
= −2 + 2 − 1 = −1
P = (1)2 + (2)2 + (−1)2 = 6
আমরা জানি,
P এর ওপর Q এর লম্ব অভিক্ষেপ = P·QP
= −16
= −0.408
(খ) ত্রিভুজটি সমকোণী কি না যাচাই:
ত্রিভুজের বাহুগুলো,
PQ = Q − P
= (−2 − 1)ı + (1 − 2)ȷ + (1 + 1)k
= −3ı − ȷ + 2k
QR = R − Q
= (3 + 2)ı + (1 − 1)ȷ + (−2 − 1)k
= 5ı + 0ȷ − 3k
RP = P − R
= (1 − 3)ı + (2 − 1)ȷ + (−1 + 2)k
= −2ı + ȷ + k
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর লম্ব হলে,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
PQ·QR = −15 + 0 − 6 = −21 ≠ 0
QR·RP = −10 + 0 − 3 = −13 ≠ 0
RP·PQ = 6 − 1 + 2 = 7 ≠ 0
কোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য নয়, অর্থাৎ কোনো দুটি বাহুর মধ্যবর্তী কোণ 90° নয়।
সমকোণী ত্রিভুজ হতে হলে দুটি বাহুর মধ্যবর্তী কোণ সমকোণ হওয়া প্রয়োজন। এ শর্ত পূরণ না করায় P, Q, R দ্বারা গঠিত ক্ষেত্র সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।
উত্তর: (ক) −16; (খ) কোনো দুই বাহুর ডট গুণফল শূন্য নয়, তাই গঠিত ক্ষেত্র সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।
দেওয়া আছে,
A = 3ı + 3ȷ − 2k
B = 4ı − 2ȷ + 3k
কোণ, θ1 = ?, θ2 = ?, θ3 = ?
**θ3 নির্ণয়:**
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = 3 × 4 + 3 × (−2) + (−2) × 3
= 12 − 6 − 6
= 0
দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলে তারা পরস্পর লম্ব। ∴ θ3 = 90°
**θ1 নির্ণয়:**
চিত্র থেকে, ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী, A + C = B
∴ C = B − A
= (4 − 3)ı + (−2 − 3)ȷ + (3 + 2)k
= ı − 5ȷ + 5k
আমরা জানি,
A = A2x + A2y + A2z
∴ A = 32 + 32 + (−2)2 = 22
B = 42 + (−2)2 + 32 = 29
C = 12 + (−5)2 + 52 = 51
θ1 কোণটি B বাহু ও অতিভুজ C-এর মধ্যবর্তী কোণ। সমকোণী ত্রিভুজে,
আমরা জানি,
cos θ1 = সন্নিহিত বাহুঅতিভুজ = BC
বা, cos θ1 = 2951 = 0.7541
∴ θ1 = cos −1(0.7541)
= 41.06°
**θ2 নির্ণয়:**
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
∴ θ2 = 180° − θ1 − θ3
= 180° − 41.06° − 90°
= 48.94°
উত্তর: θ1 = 41.06°, θ2 = 48.94°, θ3 = 90°
লক্ষ করো: বইয়ে θ1 = 48.94° ও θ2 = 41.06° দেওয়া, যা চিত্রের সাথে উল্টো; B (29) বড় বাহু বলে এর বিপরীত কোণ θ2 বড় হবে।
দেওয়া আছে,
A = ı − ȷ + k
B = 2ı − 3ȷ + 6k
ভেক্টর গুণফল, A × B = ?
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
A × B = ıȷkAxAyAzBxByBz
বা, A × B = ıȷk1−112−36
= ı(−6 + 3) − ȷ(6 − 2) + k(−3 + 2)
= −3ı − 4ȷ − k
আবার,
A = 12 + (−1)2 + 12 = 3
B = 22 + (−3)2 + 62 = 49 = 7
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
= 1 × 2 + (−1)(−3) + 1 × 6
= 2 + 3 + 6 = 11
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
বা, cos θ = 113 × 7 = 0.9073
∴ θ = cos −1(0.9073)
= 24.87°
উত্তর: A × B = −3ı − 4ȷ − k, মধ্যবর্তী কোণ 24.87°
দেওয়া আছে,
A = ı + 3ȷ + 2k
B = 3ı + 2ȷ − k
C = 2ı − 3ȷ + 4k
প্রমাণ করতে হবে, (B + C) × A = B × A + C × A
বামপক্ষ:
B + C = (3 + 2)ı + (2 − 3)ȷ + (−1 + 4)k
= 5ı − ȷ + 3k
আমরা জানি,
P × Q = ıȷkPxPyPzQxQyQz
∴ (B + C) × A = ıȷk5−13132
= ı(−2 − 9) − ȷ(10 − 3) + k(15 + 1)
= −11ı − 7ȷ + 16k
ডানপক্ষ:
B × A = ıȷk32−1132
= ı(4 + 3) − ȷ(6 + 1) + k(9 − 2)
= 7ı − 7ȷ + 7k
C × A = ıȷk2−34132
= ı(−6 − 12) − ȷ(4 − 4) + k(6 + 3)
= −18ı + 0ȷ + 9k
∴ B × A + C × A
= (7 − 18)ı + (−7 + 0)ȷ + (7 + 9)k
= −11ı − 7ȷ + 16k
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, (B + C) × A = B × A + C × A (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
P = ı − 2ȷ + k
Q = 3ı − 6ȷ + 3k
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের ক্রস গুণফল শূন্য হয়, অর্থাৎ P × Q = 0
P × Q = ıȷk1−213−63
= ı(−6 + 6) − ȷ(3 − 3) + k(−6 + 6)
= 0ı + 0ȷ + 0k
= 0
অন্যভাবে, Q = 3(ı − 2ȷ + k) = 3P
∴ P ও Q পরস্পর সমান্তরাল। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
A = ı − 3ȷ + 5k
B = mı + 6ȷ − 10k
m = ?
আমরা জানি, A ও B সমান্তরাল হলে,
AxBx = AyBy = AzBz
বা, 1m = −36 = 5−10
বা, 1m = −12
∴ m = −2
উত্তর: m = −2
দেওয়া আছে,
P = 4ı − 4ȷ + k
Q = 2ı − 2ȷ − 2k
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = |P × Q|
এখানে,
P × Q = ıȷk4−412−2−2
= ı(8 + 2) − ȷ(−8 − 2) + k(−8 + 8)
= 10ı + 10ȷ + 0k
∴ S = 102 + 102 + 02
= 200
= 14.14 বর্গ একক
উত্তর: 14.14 বর্গ একক
দেওয়া আছে,
P = 2ı + 3ȷ − 4k
Q = ı − 2ȷ + 3k
লম্ব একক ভেক্টর, η = ?
আমরা জানি,
η = ± P × Q|P × Q|
এখানে,
P × Q = ıȷk23−41−23
= ı(9 − 8) − ȷ(6 + 4) + k(−4 − 3)
= ı − 10ȷ − 7k
|P × Q| = 12 + (−10)2 + (−7)2
= 1 + 100 + 49 = 150
∴ η = ± ı − 10ȷ − 7k150
উত্তর: ± 1150ı − 10150ȷ − 7150k
ধরি, A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ θ।
আমরা জানি,
A·B = ABcos θ
এবং |A × B| = ABsin θ
∴ বামপক্ষ = (A·B)2 + |A × B|2
= (ABcos θ)2 + (ABsin θ)2
= A2B2cos 2θ + A2B2sin 2θ
= A2B2(cos 2θ + sin 2θ)
= A2B2 × 1 [∵sin 2θ + cos 2θ = 1]
= A2B2 = ডানপক্ষ
∴ (A·B)2 + |A × B|2 = A2B2 (প্রমাণিত)
উদ্দীপকে X ও Y বিন্দু দুটি কলেজের অবস্থান নির্দেশ করে। O, উভয় কলেজের যাত্রা অবস্থানের সাধারণ বিন্দু।
(ক) OX ও OY ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।
(খ) OX ও OY এর তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর এবং OY ও OX এর তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর একই হবে কি? প্রয়োজনীয় গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যুক্তি দাও।
দেওয়া আছে,
O মূলবিন্দু, X(3, 2, 1) এবং Y(−2, 1, 4)
∴ OX = 3ı + 2ȷ + k
OY = −2ı + ȷ + 4k
(ক) মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়:
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
OX·OY = XxYx + XyYy + XzYz
= 3 × (−2) + 2 × 1 + 1 × 4
= −6 + 2 + 4 = 0
আমরা জানি,
cos θ = OX·OY|OX||OY|
বা, cos θ = 014 × 21 = 0
∴ θ = cos −1(0) = 90°
(খ) লম্ব একক ভেক্টরের তুলনা:
আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর,
η = ± A × B|A × B|
OX × OY = ıȷk321−214
= ı(8 − 1) − ȷ(12 + 2) + k(3 + 4)
= 7ı − 14ȷ + 7k
|OX × OY| = 72 + (−14)2 + 72
= 294 = 76
∴ η1 = ± 7ı − 14ȷ + 7k76
= ± ı − 2ȷ + k6
আবার,
OY × OX = −(OX × OY)
= −7ı + 14ȷ − 7k
|OY × OX| = 76
∴ η2 = ± −7ı + 14ȷ − 7k76
= ∓ ı − 2ȷ + k6
অর্থাৎ, η1 ও η2 উভয়ই ± ı − 2ȷ + k6; শুধু ক্রস গুণনের ক্রম বদলালে দিক উল্টে যায়, কিন্তু উভয় ক্ষেত্রেই একই তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর পাওয়া যায়। তাই লম্ব একক ভেক্টর একই হবে।
উত্তর: (ক) 90°; (খ) হ্যাঁ, একই হবে; উভয় ক্ষেত্রে লম্ব একক ভেক্টর ± ı − 2ȷ + k6
উপরের চিত্রানুসারে OABC একটি আয়তক্ষেত্র। এর OA এবং OB বাহু দ্বারা দুটি ভেক্টর যথাক্রমে P = ı − 2ȷ − k এবং Q = 2ı − 3ȷ + 2k নির্দেশিত হয়েছে।
(ক) উদ্দীপক অনুসারে ΔOAB এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপক অনুসারে θ1 ও θ2 এর মধ্যে কোনটি বড়ো তা গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে বের করো।
দেওয়া আছে,
OA = P = ı − 2ȷ − k
OB = Q = 2ı − 3ȷ + 2k
(ক) ΔOAB-এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = 12|P × Q|
এখানে,
P × Q = ıȷk1−2−12−32
= ı(−4 − 3) − ȷ(2 + 2) + k(−3 + 4)
= −7ı − 4ȷ + k
|P × Q| = (−7)2 + (−4)2 + 12
= 66 = 8.124
∴ S = 12 × 8.124
= 4.06 বর্গ একক
(খ) θ1 ও θ2-এর তুলনা:
ধরি, P ও Q-এর মধ্যবর্তী কোণ, অর্থাৎ ∠AOB = α
আমরা জানি,
P·Q = PxQx + PyQy + PzQz
= 1 × 2 + (−2)(−3) + (−1) × 2
= 2 + 6 − 2 = 6
P = 12 + (−2)2 + (−1)2 = 6
Q = 22 + (−3)2 + 22 = 17
আমরা জানি,
cos α = P·QPQ
বা, cos α = 66 × 17 = 0.5941
∴ α = cos −1(0.5941) = 53.55°
আয়তক্ষেত্রে ∠AOC = 90°
∴ θ1 = 90° − α
= 90° − 53.55° = 36.45°
আবার, আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু M হলে MO = MA, ∴ ∠MAO = ∠MOA
∴ θ2 = α = 53.55°
যেহেতু 53.55° > 36.45°, ∴ θ2 > θ1
উত্তর: (ক) 4.06 বর্গ একক; (খ) θ1 = 36.45°, θ2 = 53.55°, অর্থাৎ θ2 বড়ো
(ক) BC পথে বস্তুটির বেগ নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপকের বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান ভেক্টরগুলো একই সমতলে অবস্থান করবে কি? তোমার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
দেওয়া আছে,
A = 2ı + ȷ − k
B = 3ı − 2ȷ + 4k
C = ı − 3ȷ + 5k
সময়, t = 2 s
(ক) বেগ নির্ণয়:
বেগের মান, v = ?
আমরা জানি,
BC = C − B
= (1 − 3)ı + (−3 + 2)ȷ + (5 − 4)k
= −2ı − ȷ + k
∴ সরণের মান, |BC| = (−2)2 + (−1)2 + 12
= 6 m
আমরা জানি,
v = |BC|t
বা, v = 62
= 1.22 m s−1
(খ) সমতলীয় কি-না যাচাই:
আমরা জানি, তিনটি ভেক্টরের স্কেলার ত্রিগুণন A·(B × C) = 0 হলে ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।
B × C = ıȷk3−241−35
= ı(−10 + 12) − ȷ(15 − 4) + k(−9 + 2)
= 2ı − 11ȷ − 7k
∴ A·(B × C)
= 2 × 2 + 1 × (−11) + (−1)(−7)
= 4 − 11 + 7 = 0
যেহেতু A·(B × C) = 0, তাই অবস্থান ভেক্টরগুলো একই সমতলে অবস্থান করবে।
উত্তর: (ক) 1.22 m s−1; (খ) হ্যাঁ, A·(B × C) = 0 বলে ভেক্টরগুলো একই সমতলে অবস্থিত
দেওয়া আছে,
A = 5ı + 2ȷ − 3k
B = 15ı + aȷ − 9k
a = ?
আমরা জানি, A ও B সমান্তরাল হলে,
AxBx = AyBy = AzBz
বা, 515 = 2a = −3−9
বা, 2a = 13
∴ a = 6
উত্তর: a = 6
দেওয়া আছে,
P = 4ı − 4ȷ + k
Q = 2ı − 2ȷ − 2k
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = |P × Q|
এখানে,
P × Q = ıȷk4−412−2−2
= ı(8 + 2) − ȷ(−8 − 2) + k(−8 + 8)
= 10ı + 10ȷ
∴ S = 102 + 102
= 200 = 14.14 বর্গ একক
উত্তর: 14.14 বর্গ একক
দেওয়া আছে,
A = 4ı − 4ȷ + 2k
B = 3ı − 3ȷ + k
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = |A × B|
এখানে,
A × B = ıȷk4−423−31
= ı(−4 + 6) − ȷ(4 − 6) + k(−12 + 12)
= 2ı + 2ȷ
∴ S = 22 + 22
= 8 = 2.83 বর্গ একক
উত্তর: 2.83 বর্গ একক
দেওয়া আছে,
|A·B| = |A × B|
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
A·B = ABcos θ
|A × B| = ABsin θ
প্রশ্নমতে,
ABcos θ = ABsin θ
বা, sin θcos θ = 1
বা, tan θ = 1
∴ θ = tan −1(1) = 45°
উত্তর: 45°
দেওয়া আছে,
A = 3ı + 2ȷ + k
B = ı + 2ȷ − 3k
C = ı + ȷ + 2k
বামপক্ষ:
আমরা জানি,
B × C = ıȷkBxByBzCxCyCz
বা, B × C = ıȷk12−3112
= ı(4 + 3) − ȷ(2 + 3) + k(1 − 2)
= 7ı − 5ȷ − k
∴ A·(B × C)
= 3 × 7 + 2 × (−5) + 1 × (−1)
= 21 − 10 − 1 = 10
ডানপক্ষ:
A × B = ıȷk32112−3
= ı(−6 − 2) − ȷ(−9 − 1) + k(6 − 2)
= −8ı + 10ȷ + 4k
∴ (A × B)·C
= (−8) × 1 + 10 × 1 + 4 × 2
= −8 + 10 + 8 = 10
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, A·(B × C) = (A × B)·C (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
F = 8ı − 2ȷ + 0k
r = 6ı + 0ȷ − 8k
F × r = ?
আমরা জানি,
F × r = ıȷkFxFyFzrxryrz
বা, F × r = ıȷk8−2060−8
= ı(16 − 0) − ȷ(−64 − 0) + k(0 + 12)
= 16ı + 64ȷ + 12k
উত্তর: 16ı + 64ȷ + 12k
দেওয়া আছে,
কর্ণ, A = 3ı − 2ȷ + 5k
কর্ণ, B = ı + 6ȷ − k
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি, কর্ণদ্বয় দেওয়া থাকলে,
S = 12|A × B|
এখানে,
A × B = ıȷk3−2516−1
= ı(2 − 30) − ȷ(−3 − 5) + k(18 + 2)
= −28ı + 8ȷ + 20k
|A × B| = (−28)2 + 82 + 202
= 784 + 64 + 400
= 1248 = 35.33
∴ S = 12 × 35.33
= 17.66 বর্গ একক
উত্তর: 17.66 বর্গ একক
দেওয়া আছে,
A = 2ı − ȷ + 3k
B = ı + 2ȷ − 4k
লম্ব একক ভেক্টর, η = ?
আমরা জানি,
η = ± A × B|A × B|
এখানে,
A × B = ıȷk2−1312−4
= ı(4 − 6) − ȷ(−8 − 3) + k(4 + 1)
= −2ı + 11ȷ + 5k
|A × B| = (−2)2 + 112 + 52
= 4 + 121 + 25 = 150
∴ η = ± −2ı + 11ȷ + 5k150
উত্তর: −2150ı + 11150ȷ + 5150k অথবা 2150ı − 11150ȷ − 5150k
দেওয়া আছে,
P = 2ı − 3ȷ − k
Q = 2ı − ȷ − 3k
অভিলম্ব ভেক্টর = ?
আমরা জানি, P × Q ভেক্টরটি P ও Q-এর তলের অভিলম্ব।
P × Q = ıȷk2−3−12−1−3
= ı(9 − 1) − ȷ(−6 + 2) + k(−2 + 6)
= 8ı + 4ȷ + 4k
উত্তর: 8ı + 4ȷ + 4k
দেওয়া আছে,
A = 4ı + 3ȷ + k
B = 2ı − ȷ + 2k
লম্ব একক ভেক্টর, η = ?
আমরা জানি,
η = ± A × B|A × B|
এখানে,
A × B = ıȷk4312−12
= ı(6 + 1) − ȷ(8 − 2) + k(−4 − 6)
= 7ı − 6ȷ − 10k
|A × B| = 72 + (−6)2 + (−10)2
= 49 + 36 + 100 = 185
∴ η = ± 7ı − 6ȷ − 10k185
উত্তর: ± 7185ı − 6185ȷ − 10185k
দেওয়া আছে,
A = 4ı − ȷ + 3k
B = −2ı + ȷ − 2k
লম্ব একক ভেক্টর, η = ?
আমরা জানি,
η = ± A × B|A × B|
এখানে,
A × B = ıȷk4−13−21−2
= ı(2 − 3) − ȷ(−8 + 6) + k(4 − 2)
= −ı + 2ȷ + 2k
|A × B| = (−1)2 + 22 + 22
= 9 = 3
∴ η = ± −ı + 2ȷ + 2k3
উত্তর: ± −13ı + 23ȷ + 23k
দেওয়া আছে,
A = 5ı − 2ȷ + 6k
B = 2ı + 3ȷ − 6k
C = ı + mȷ + 3k
আয়তন, V = 9 একক
m = ?
আমরা জানি, তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন,
V = A·(B × C) = AxAyAzBxByBzCxCyCz
বা, 9 = 5−2623−61m3
বা, 9 = 5(9 + 6m) + 2(6 + 6) + 6(2m − 3)
বা, 9 = 45 + 30m + 24 + 12m − 18
বা, 9 = 51 + 42m
বা, 42m = −42
∴ m = −1
উত্তর: m = −1
লক্ষ করো: আয়তন ধনাত্মক মান ধরলে |51 + 42m| = 9 থেকে 51 + 42m = −9, অর্থাৎ m = −107 হলেও আয়তন 9 একক হয়; বইয়ে শুধু m = −1 দেওয়া।
আমরা জানি,
B × C = ıȷkBxByBzCxCyCz
= ı(ByCz − BzCy) + ȷ(BzCx − BxCz)
+ k(BxCy − ByCx)
∴ A·(B × C)
= Ax(ByCz − BzCy) + Ay(BzCx − BxCz)
+ Az(BxCy − ByCx)
= AxAyAzBxByBzCxCyCz ...(i)
একইভাবে,
B·(C × A) = BxByBzCxCyCzAxAyAz
নির্ণায়কে পরপর দুটি সারি বিনিময় করলে (প্রথমে ১ম ও ৩য় সারি, পরে ২য় ও ৩য় সারি) প্রতিবার চিহ্ন বদলায়, দুবার বদলালে মান অপরিবর্তিত থাকে।
∴ B·(C × A) = AxAyAzBxByBzCxCyCz ...(ii)
আবার,
C·(A × B) = CxCyCzAxAyAzBxByBz
এখানেও দুবার সারি বিনিময় করে,
C·(A × B) = AxAyAzBxByBzCxCyCz ...(iii)
(i), (ii) ও (iii) থেকে,
A·(B × C) = B·(C × A)
= C·(A × B) (দেখানো হলো)
(ক) A ও B ভেক্টরদ্বয় কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে উক্ত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
(খ) অনিকের পর্যবেক্ষণের গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।
দেওয়া আছে,
A = 2ı + ȷ − k
B = ı − 2ȷ − 3k
(ক) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = |A × B|
এখানে,
A × B = ıȷk21−11−2−3
= ı(−3 − 2) − ȷ(−6 + 1) + k(−4 − 1)
= −5ı + 5ȷ − 5k
∴ S = (−5)2 + 52 + (−5)2
= 75 = 8.66 বর্গ একক
(খ) অনিকের পর্যবেক্ষণ বিশ্লেষণ:
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
= 2 × 1 + 1 × (−2) + (−1)(−3)
= 2 − 2 + 3 = 3
A = 22 + 12 + (−1)2 = 6
B = 12 + (−2)2 + (−3)2 = 14
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
বা, cos θ = 36 × 14 = 0.3273
∴ θ = cos −1(0.3273) = 70.89°
ডট গুণন ও ক্রস গুণনের মান সমান হলে,
ABcos θ′ = ABsin θ′
বা, tan θ′ = 1
∴ θ′ = 45°
∴ কোণের পরিবর্তন = 70.89° − 45° = 25.89°
অর্থাৎ, মধ্যবর্তী কোণ 25.89° কমিয়ে 45° করলে ডট গুণন ও ক্রস গুণনের মান সমান হবে। সুতরাং অনিকের পর্যবেক্ষণ সঠিক।
উত্তর: (ক) 8.66 বর্গ একক; (খ) বর্তমান কোণ 70.89°; কোণ 25.89° কমিয়ে 45° করলে ডট ও ক্রস গুণনের মান সমান হয়, তাই অনিকের পর্যবেক্ষণ সঠিক
(ক) উদ্দীপকের আলোকে θ এর মান নির্ণয় করো।
(খ) ΔOAB ও ΔOBC এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রফলের সমান কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
OA = P = 4ı + 3ȷ
OC = Q = 2ȷ + 5k
(ক) θ নির্ণয়:
θ = ?
সামান্তরিক সূত্র অনুযায়ী, কর্ণ OB = R = P + Q
= 4ı + (3 + 2)ȷ + 5k
= 4ı + 5ȷ + 5k
θ হলো P ও R-এর মধ্যবর্তী কোণ।
আমরা জানি,
P·R = PxRx + PyRy + PzRz
= 4 × 4 + 3 × 5 + 0 × 5
= 16 + 15 = 31
P = 42 + 32 = 5
R = 42 + 52 + 52 = 66
আমরা জানি,
cos θ = P·RPR
বা, cos θ = 315 × 66 = 0.7632
∴ θ = cos −1(0.7632)
= 40.26°
(খ) ক্ষেত্রফলের তুলনা:
আমরা জানি, দুটি সন্নিহিত বাহু a ও b হলে,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12|a × b|, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = |a × b|
ΔOAB-এর বাহু OA = P ও OB = R:
P × R = ıȷk430455
= ı(15 − 0) − ȷ(20 − 0) + k(20 − 12)
= 15ı − 20ȷ + 8k
|P × R| = 152 + (−20)2 + 82
= 689 = 26.25
∴ ΔOAB = 12 × 26.25 = 13.125 বর্গ একক
ΔOBC-এর বাহু OB = R ও OC = Q:
R × Q = ıȷk455025
= ı(25 − 10) − ȷ(20 − 0) + k(8 − 0)
= 15ı − 20ȷ + 8k
|R × Q| = 689 = 26.25
∴ ΔOBC = 12 × 26.25 = 13.125 বর্গ একক
সামান্তরিক OABC-এর সন্নিহিত বাহু P ও Q:
P × Q = ıȷk430025
= ı(15 − 0) − ȷ(20 − 0) + k(8 − 0)
= 15ı − 20ȷ + 8k
∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 689 = 26.25 বর্গ একক
এখন, ΔOAB + ΔOBC = 13.125 + 13.125
= 26.25 বর্গ একক = সামান্তরিক OABC-এর ক্ষেত্রফল
∴ ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান।
উত্তর: (ক) θ = 40.26°; (খ) হ্যাঁ, ΔOAB ও ΔOBC প্রত্যেকে 13.125 বর্গ একক, সমষ্টি 26.25 বর্গ একক = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
লক্ষ করো: বইয়ে (ক)-এর উত্তর 57.2° দেওয়া, যা ভুল; চিত্রে θ হলো P ও লব্ধি R-এর মধ্যবর্তী কোণ, যার মান 40.26° (এবং α = 36.87°, θ + α = 77.12° = P ও Q-এর মধ্যবর্তী কোণ)।
(ক) B ও A ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি সমতলীয় কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 4ȷ + 2k
B = 3ı + 3ȷ + 4k
C = ı + 2ȷ + k
(ক) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = |B × A|
এখানে,
B × A = ıȷk334242
= ı(6 − 16) − ȷ(6 − 8) + k(12 − 6)
= −10ı + 2ȷ + 6k
∴ S = (−10)2 + 22 + 62
= 100 + 4 + 36
= 140 = 11.83 বর্গ একক
(খ) সমতলীয় কি-না যাচাই:
আমরা জানি, A·(B × C) = 0 হলে ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।
B × C = ıȷk334121
= ı(3 − 8) − ȷ(3 − 4) + k(6 − 3)
= −5ı + ȷ + 3k
∴ A·(B × C)
= 2 × (−5) + 4 × 1 + 2 × 3
= −10 + 4 + 6 = 0
যেহেতু A·(B × C) = 0, তাই ভেক্টর তিনটি সমতলীয়। (লক্ষণীয়, A = 2C, অর্থাৎ A ও C সমান্তরাল, তাই এরা B-এর সাথে একই তলে থাকবেই।)
উত্তর: (ক) 11.83 বর্গ একক; (খ) A·(B × C) = 0, তাই ভেক্টর তিনটি সমতলীয়
লক্ষ করো: বইয়ে (ক)-এর উত্তর 5.92 একক, যা আসলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (12140); সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 11.83 বর্গ একক। বইয়ে (খ)-তে A·(B × C) ≠ 0 বলা হয়েছে, কিন্তু প্রদত্ত মানে এটি শূন্য (A = 2C), তাই ভেক্টরগুলো সমতলীয়।
দেওয়া আছে,
P = t2ı − tȷ + (2t + 1)k
Q = 5tı + tȷ − t3k
ddt(P·Q) = ?, ddt(P × Q) = ?
(i) ddt(P·Q) নির্ণয়:
আমরা জানি,
P·Q = PxQx + PyQy + PzQz
= t2·5t + (−t)·t + (2t + 1)(−t3)
= 5t3 − t2 − 2t4 − t3
= −2t4 + 4t3 − t2
∴ ddt(P·Q) = ddt(−2t4 + 4t3 − t2)
= −8t3 + 12t2 − 2t
(ii) ddt(P × Q) নির্ণয়:
আমরা জানি,
P × Q = ıȷkt2−t2t + 15tt−t3
ı-এর সহগ = (−t)(−t3) − (2t + 1)t
= t4 − 2t2 − t
ȷ-এর সহগ = −[t2(−t3) − (2t + 1)5t]
= t5 + 10t2 + 5t
k-এর সহগ = t2·t − (−t)(5t)
= t3 + 5t2
∴ P × Q = (t4 − 2t2 − t)ı
+ (t5 + 10t2 + 5t)ȷ + (t3 + 5t2)k
∴ ddt(P × Q) = (4t3 − 4t − 1)ı
+ (5t4 + 20t + 5)ȷ + (3t2 + 10t)k
উত্তর: ddt(P·Q) = −8t3 + 12t2 − 2t;
ddt(P × Q) = (4t3 − 4t − 1)ı
+ (5t4 + 20t + 5)ȷ + (3t2 + 10t)k
দেওয়া আছে,
φ = 2xz4 − x2y
বিন্দু (x, y, z) = (2, −2, −1)
∇φ = ?, |∇φ| = ?
আমরা জানি,
∇φ = ı∂φ∂x + ȷ∂φ∂y + k∂φ∂z
এখানে,
∂φ∂x = 2z4 − 2xy
∂φ∂y = −x2
∂φ∂z = 8xz3
∴ ∇φ = (2z4 − 2xy)ı − x2ȷ + 8xz3k
(2, −2, −1) বিন্দুতে,
∂φ∂x = 2(−1)4 − 2(2)(−2) = 2 + 8 = 10
∂φ∂y = −(2)2 = −4
∂φ∂z = 8(2)(−1)3 = −16
∴ ∇φ = 10ı − 4ȷ − 16k
∴ |∇φ| = 102 + (−4)2 + (−16)2
= 100 + 16 + 256
= 372 = 19.29
উত্তর: ∇φ = 10ı − 4ȷ − 16k; মান 372 = 19.29
(ক) ∇·A ও ∇ × A নির্ণয় করো।
(খ) (1, 1, −1) বিন্দুতে ∇·A, ∇ × A এবং |∇ × A| কত?
দেওয়া আছে,
Ax = 3xyz, Ay = 2xy2, Az = −x2yz
(ক) ∇·A ও ∇ × A নির্ণয়:
আমরা জানি,
∇·A = ∂Ax∂x + ∂Ay∂y + ∂Az∂z
= ∂∂x(3xyz) + ∂∂y(2xy2) + ∂∂z(−x2yz)
= 3yz + 4xy − x2y
আমরা জানি,
∇ × A = ıȷk∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz
= ı∂Az∂y − ∂Ay∂z + ȷ∂Ax∂z − ∂Az∂x
+ k∂Ay∂x − ∂Ax∂y
এখানে,
∂Az∂y − ∂Ay∂z = −x2z − 0 = −x2z
∂Ax∂z − ∂Az∂x = 3xy − (−2xyz)
= 3xy + 2xyz
∂Ay∂x − ∂Ax∂y = 2y2 − 3xz
∴ ∇ × A = −x2z ı + (3xy + 2xyz)ȷ
+ (2y2 − 3xz)k
(খ) (1, 1, −1) বিন্দুতে মান নির্ণয়:
∇·A = 3(1)(−1) + 4(1)(1) − (1)2(1)
= −3 + 4 − 1 = 0
∇ × A = −(1)2(−1)ı + [3(1)(1) + 2(1)(1)(−1)]ȷ
+ [2(1)2 − 3(1)(−1)]k
= ı + (3 − 2)ȷ + (2 + 3)k
= ı + ȷ + 5k
∴ |∇ × A| = 12 + 12 + 52
= 27 = 5.196
উত্তর: (ক) ∇·A = 3yz + 4xy − x2y;
∇ × A = −x2z ı + (3xy + 2xyz)ȷ + (2y2 − 3xz)k;
(খ) 0; ı + ȷ + 5k; 27
দেওয়া আছে,
r = yı + xȷ + 2zk
অর্থাৎ, rx = y, ry = x, rz = 2z
∇·r = ?
আমরা জানি,
∇·r = ∂rx∂x + ∂ry∂y + ∂rz∂z
= ∂∂x(y) + ∂∂y(x) + ∂∂z(2z)
= 0 + 0 + 2
= 2
উত্তর: 2
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর 4, যা r = xı + yȷ + 2zk ধরলে আসে (1 + 1 + 2 = 4); প্রশ্নে ছাপা রূপ (xȷ + yı) অনুযায়ী উত্তর 2। সম্ভবত প্রশ্নে ı, ȷ অদলবদল হয়ে ছাপা হয়েছে।
দেওয়া আছে,
rx = 3y2z, ry = 2x3z, rz = −x3y2
আমরা জানি, ∇·r = 0 হলে ভেক্টরটি সলিনয়ডাল।
∇·r = ∂rx∂x + ∂ry∂y + ∂rz∂z
= ∂∂x(3y2z) + ∂∂y(2x3z) + ∂∂z(−x3y2)
= 0 + 0 + 0
= 0
যেহেতু ∇·r = 0, ∴ r ভেক্টরটি সলিনয়ডাল। (দেখানো হলো)
(ক) A ভেক্টরটির ডাইভারজেন্স নির্ণয় করো।
(খ) উল্লিখিত A ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল কীনা? গাণিতিক বিশ্লেষণ দাও।
দেওয়া আছে,
Ax = 2x + y − z
Ay = x − 2y + 3z
Az = x − y − z
(ক) ডাইভারজেন্স নির্ণয়:
আমরা জানি,
∇·A = ∂Ax∂x + ∂Ay∂y + ∂Az∂z
= ∂∂x(2x + y − z) + ∂∂y(x − 2y + 3z)
+ ∂∂z(x − y − z)
= 2 − 2 − 1
= −1
(খ) ঘূর্ণনশীল কি-না যাচাই:
আমরা জানি, ∇ × A ≠ 0 হলে ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল।
∇ × A = ıȷk∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz
ı-এর সহগ = ∂Az∂y − ∂Ay∂z = −1 − 3 = −4
ȷ-এর সহগ = ∂Ax∂z − ∂Az∂x = −1 − 1 = −2
k-এর সহগ = ∂Ay∂x − ∂Ax∂y = 1 − 1 = 0
∴ ∇ × A = −4ı − 2ȷ + 0k
= −4ı − 2ȷ ≠ 0
∴ A ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল।
উত্তর: (ক) −1; (খ) ∇ × A = −4ı − 2ȷ ≠ 0, তাই ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল
দেওয়া আছে,
Vx = 5x + 2y, Vy = 2py − z, Vz = x − 2z
p = ?
আমরা জানি, সলিনয়ডাল হলে ∇·V = 0
∇·V = ∂Vx∂x + ∂Vy∂y + ∂Vz∂z
= ∂∂x(5x + 2y) + ∂∂y(2py − z)
+ ∂∂z(x − 2z)
= 5 + 2p − 2
= 3 + 2p
প্রশ্নমতে,
3 + 2p = 0
∴ p = −32 = −1.5
উত্তর: p = −1.5
(ক) উদ্দীপকের A ও B ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপকের C ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য হবে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
A = 4ı + 3ȷ + 5k
B = 2ı + ȷ + 2k
Cx = x2y, Cy = y2z, Cz = z2x
(ক) লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয়:
লম্ব একক ভেক্টর, η = ?
আমরা জানি,
η = ± A × B|A × B|
এখানে,
A × B = ıȷk435212
= ı(6 − 5) − ȷ(8 − 10) + k(4 − 6)
= ı + 2ȷ − 2k
|A × B| = 12 + 22 + (−2)2
= 9 = 3
∴ η = ± ı + 2ȷ − 2k3
= ± 13ı + 23ȷ − 23k
(খ) কার্লের ডাইভারজেন্স যাচাই:
আমরা জানি,
∇ × C = ıȷk∂∂x∂∂y∂∂zCxCyCz
ı-এর সহগ = ∂Cz∂y − ∂Cy∂z = 0 − y2 = −y2
ȷ-এর সহগ = ∂Cx∂z − ∂Cz∂x = 0 − z2 = −z2
k-এর সহগ = ∂Cy∂x − ∂Cx∂y = 0 − x2 = −x2
∴ ∇ × C = −y2ı − z2ȷ − x2k
আমরা জানি,
∇·(∇ × C)
= ∂∂x(−y2) + ∂∂y(−z2) + ∂∂z(−x2)
= 0 + 0 + 0
= 0
∴ C ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য হবে।
উত্তর: (ক) ± 13ı + 23ȷ − 23k; (খ) হ্যাঁ, ∇·(∇ × C) = 0
লক্ষ করো: বইয়ে (ক)-এর উত্তর ± −13ı + 23ȷ − 23k, যার ı-এর চিহ্ন ভুল; ওই ভেক্টর A-এর লম্ব নয় (ডট গুণফল −83 ≠ 0)।