ইসহাক · ১ম পত্র · অধ্যায় ২
ভেক্টর — গাণিতিক সমস্যা
দেওয়া আছে,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x1, y1, z1) = (−4, 3, 5)
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x2, y2, z2) = (3, −1, 4)
AB ভেক্টর = ? এবং এর মান, AB = ?
আমরা জানি,
AB = rB − rA
= (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
+ (z2 − z1)k
বা, AB = (3 + 4)ı + (−1 − 3)ȷ
+ (4 − 5)k
∴ AB = 7ı − 4ȷ − k
আবার, আমরা জানি,
AB = A2x + A2y + A2z
বা, AB = 72 + (−4)2 + (−1)2
= 49 + 16 + 1
= 66 একক ≈ 8.12 একক
উত্তর: AB = 7ı − 4ȷ − k, মান 66 ≈ 8.12 একক
দেওয়া আছে,
আদি বিন্দু, P(x1, y1) = (3, 4)
শেষ বিন্দু, Q(x2, y2) = (8, 5)
ভেক্টরের মান, A = ?
X-অক্ষের সাথে কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
A = (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
বা, A = (8 − 3)ı + (5 − 4)ȷ
= 5ı + ȷ
∴ Ax = 5, Ay = 1
আবার, আমরা জানি,
A = A2x + A2y
বা, A = 52 + 12
= 26 একক ≈ 5.1 একক
দিক নির্ণয়ের জন্য, আমরা জানি,
tan θ = AyAx
বা, tan θ = 15 = 0.2
∴ θ = tan −1(0.2)
= 11.31°
উত্তর: মান 26 ≈ 5.1 একক, X-অক্ষের সাথে 11.31° কোণে
(ক) অবস্থান ভেক্টর নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x, y, z) = (2, −3, 4)
অবস্থান ভেক্টর, r = ?
আমরা জানি,
r = xı + yȷ + zk
∴ r = 2ı − 3ȷ + 4k
(খ) সংযোগকারী দিক রাশি নির্ণয়:
দেওয়া আছে,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x1, y1, z1) = (2, −1, 3)
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x2, y2, z2) = (−1, 2, −3)
সংযোগকারী দিক রাশি, AB = ?
আমরা জানি,
AB = rB − rA
= (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
+ (z2 − z1)k
বা, AB = (−1 − 2)ı + (2 + 1)ȷ
+ (−3 − 3)k
∴ AB = −3ı + 3ȷ − 6k
উত্তর: (ক) 2ı − 3ȷ + 4k; (খ) −3ı + 3ȷ − 6k
দেওয়া আছে,
উত্তর দিকের অংশক, vy = 5 km h−1
পূর্ব দিকের অংশক, vx = 12 km h−1
লব্ধি বেগ, v = ?
উত্তর দিকের সাথে কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
v = v2x + v2y
বা, v = 122 + 52
= 144 + 25 = 169
= 13 km h−1
আবার, উত্তর দিকের সাথে কোণ θ হলে, আমরা জানি,
tan θ = vxvy
বা, tan θ = 125 = 2.4
∴ θ = tan −1(2.4)
= 67.38°
অর্থাৎ লব্ধি বেগ উত্তর থেকে পূর্ব দিকে 67.38° কোণে।
উত্তর: 13 km h−1, উত্তর থেকে পূর্ব দিকে 67.38° কোণে
ধরি, একতলীয় A1, A2, …, An ভেক্টরগুলো O বিন্দুতে ক্রিয়া করে এবং X-অক্ষের সাথে যথাক্রমে θ1, θ2, …, θn কোণ উৎপন্ন করে।
প্রত্যেকটিকে X ও Y অক্ষ বরাবর লম্ব উপাংশে বিভাজন করে একই অক্ষের উপাংশগুলো যোগ করি।
আমরা জানি, Ai-এর উপাংশ দুটি,
Aix = Aicos θi এবং Aiy = Aisin θi
X-অক্ষ বরাবর উপাংশগুলোর যোগফল,
Rx = A1cos θ1 + A2cos θ2 + ⋯
= ∑Aicos θi ⋯(1)
Y-অক্ষ বরাবর উপাংশগুলোর যোগফল,
Ry = A1sin θ1 + A2sin θ2 + ⋯
= ∑Aisin θi ⋯(2)
Rx ও Ry পরস্পর লম্ব, তাই লব্ধির মান,
R = R2x + R2y ⋯(3)
লব্ধি X-অক্ষের সাথে α কোণ উৎপন্ন করলে,
tan α = RyRx
∴ α = tan −1RyRx ⋯(4)
ভেক্টর আকারে, R = Rxı + Ryȷ
Rx ও Ry-এর চিহ্ন দেখে R কোন চতুর্ভাগে আছে তা ঠিক করতে হয়।
(1), (2), (3) ও (4) সমীকরণ থেকে লব্ধির মান ও দিক পাওয়া যায়।
উত্তর: R = R2x + R2y, α = tan −1RyRx; যেখানে Rx = ∑Aicos θi, Ry = ∑Aisin θi
প্রথম অংশ: একক ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ:
A-এর X, Y ও Z অক্ষ বরাবর উপাংশ Ax, Ay, Az হলে একক ভেক্টরের সাহায্যে,
A = Axı + Ayȷ + Azk
এর মান, A = A2x + A2y + A2z
আবার A-এর দিকে একক ভেক্টর a হলে, আমরা জানি,
a = AA
বা, A = Aa
যেমন, A = 3ı + 4ȷ হলে,
A = 32 + 42 = 25 = 5
∴ a = 35ı + 45ȷ
দ্বিতীয় অংশ: তিনটি একক ভেক্টরের যোগফল:
হ্যাঁ, পারা যায়, তবে কেবল নির্দিষ্ট দিকবিন্যাসে।
তিনটি একক ভেক্টরের লব্ধির মান,
0 ≤ a + b + c ≤ 3
এই সীমার যেকোনো মান হতে পারে, তাই 1-ও হতে পারে।
যেমন, ı + ȷ + (−ȷ) = ı, যা একটি একক ভেক্টর।
কিন্তু ı + ȷ + k = 3 ≠ 1, তাই এটি একক ভেক্টর নয়।
উত্তর: A = Axı + Ayȷ + Azk = Aa; হ্যাঁ, নির্দিষ্ট দিকবিন্যাসে তিনটি একক ভেক্টরের যোগফল একক ভেক্টর হতে পারে।
দেওয়া আছে,
নদীর প্রস্থ, d = 100 m
স্রোতহীন অবস্থায় সময়, t1 = 4 min
স্রোত থাকলে সময়, t2 = 5 min
স্রোতের বেগ, u = ?
আমরা জানি, স্থির পানিতে লোকটির বেগ,
v = dt1
বা, v = 1004
= 25 m min−1
আবার, স্রোতে সোজা পার হওয়ার লব্ধি বেগ,
vR = dt2
বা, vR = 1005
= 20 m min−1
vR স্রোতের বেগ u-এর সাথে লম্ব, তাই আমরা জানি,
v2 = u2 + v2R
∴ u = v2 − v2R
বা, u = 252 − 202
= 625 − 400 = 225
= 15 m min−1
উত্তর: 15 m min−1
দেওয়া আছে,
নদীর প্রস্থ, d = 400 m = 0.4 km
স্রোতের বেগ, u = 3 km h−1
সাঁতারুর বেগ, v = 5 km h−1
যাত্রার দিক (পাড়ের সাথে কোণ), α = ?
সময়, t = ?
প্রথম অংশ: যাত্রার দিক নির্ণয়:
সরাসরি পার হতে সাঁতারুকে স্রোতের বিপরীত দিকে পাড়ের সাথে α কোণে যাত্রা করতে হবে, যেন সাঁতারুর বেগের পাড় বরাবর উপাংশ স্রোতের বেগকে নাকচ করে।
আমরা জানি,
vcos α = u
∴ cos α = uv
বা, cos α = 35 = 0.6
বা, α = 53.13°
অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে 126.87° কোণে যাত্রা শুরু করতে হবে।
দ্বিতীয় অংশ: সময় নির্ণয়:
আমরা জানি, পাড়ের লম্ব বরাবর লব্ধি বেগ,
vR = v2 − u2
বা, vR = 52 − 32
= 16
= 4 km h−1
আবার, আমরা জানি,
t = dvR
বা, t = 0.44
= 0.1 h
= 6 মিনিট
উত্তর: স্রোতের বিপরীতে পাড়ের সাথে 53.13° (স্রোতের দিকের সাথে 126.87°) কোণে যাত্রা করতে হবে; সময় 6 মিনিট
দেওয়া আছে,
লোকের বেগ, vm = 4 km h−1 (অনুভূমিক)
লোকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ, vrm = 4 km h−1 (উল্লম্ব)
বৃষ্টির প্রকৃত বেগ, vr = ?
উল্লম্বের সাথে কোণ, φ = ?
আমরা জানি,
vr = vrm + vm
এখানে vrm ও vm পরস্পর লম্ব, তাই
vr = v2rm + v2m
বা, vr = 42 + 42
= 32
= 42 km h−1 ≈ 5.66 km h−1
আবার, আমরা জানি,
tan φ = vmvrm
বা, tan φ = 44 = 1
∴ φ = 45° (লোকটি যেদিকে হাঁটছে সেদিকে হেলে)
উত্তর: 42 ≈ 5.66 km h−1, উল্লম্বের সাথে 45° কোণে
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ, v = 6 km h−1
স্রোতের বেগ, u = 3 km h−1
তীরের সাথে কোণ, α = ?
সোজাসুজি বিপরীত তীরে পৌঁছাতে হলে নৌকার বেগের তীর বরাবর উপাংশ স্রোতের বেগকে নাকচ করবে।
তীরের সাথে (স্রোতের বিপরীতে) কোণ α হলে, আমরা জানি,
vcos α = u
∴ cos α = uv
বা, cos α = 36 = 12
∴ α = 60°
অর্থাৎ নৌকাটি স্রোতের বিপরীত দিকে তীরের সাথে 60° কোণে, বা তীরের লম্বের সাথে 30° কোণে চালাতে হবে।
উত্তর: স্রোতের বিপরীত দিকে তীরের সাথে 60° কোণে
দেওয়া আছে,
অনুভূমিক উপাংশ, vx = 60 m s−1
উল্লম্ব উপাংশ, vy = 80 m s−1
বেগের মান, v = ?
আমরা জানি,
v = v2x + v2y
বা, v = 602 + 802
= 3600 + 6400 = 10000
= 100 m s−1
উত্তর: 100 m s−1
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 2ȷ − k
B = 6ı − 3ȷ + 2k
A = ?, B = ?, 2A + 3B = ?
(ক) A ও B-এর মান নির্ণয়:
আমরা জানি,
A = A2x + A2y + A2z
বা, A = 22 + 22 + (−1)2
= 4 + 4 + 1 = 9
= 3 একক
আবার, আমরা জানি,
B = B2x + B2y + B2z
বা, B = 62 + (−3)2 + 22
= 36 + 9 + 4 = 49
= 7 একক
(খ) (2A + 3B)-এর মান নির্ণয়:
2A = 4ı + 4ȷ − 2k
3B = 18ı − 9ȷ + 6k
∴ 2A + 3B = (4 + 18)ı + (4 − 9)ȷ
+ (−2 + 6)k
= 22ı − 5ȷ + 4k
আবার, আমরা জানি,
R = R2x + R2y + R2z
∴ 2A + 3B
= 222 + (−5)2 + 42
= 484 + 25 + 16
= 525 = 521 একক
উত্তর: (ক) A = 3 একক, B = 7 একক; (খ) 521 একক
লক্ষ করো: বইয়ের (ক)-এর উত্তরে 4 লেখা, এটি আসলে A·B-এর মান। A ও B-এর মান যথাক্রমে 3 ও 7।
পূর্বদিককে ı এবং উত্তরদিককে ȷ ধরি।
দেওয়া আছে,
আদিবেগ, v1 = 5ı m s−1
শেষবেগ, v2 = 5ȷ m s−1
সময়, t = 10 s
গড় ত্বরণ, a = ? এবং এর অভিমুখ = ?
আমরা জানি, বেগের পরিবর্তন,
Δv = v2 − v1
বা, Δv = 5ȷ − 5ı
= −5ı + 5ȷ
আবার, আমরা জানি,
Δv = (Δvx)2 + (Δvy)2
বা, Δv = (−5)2 + 52
= 25 + 25 = 50
= 52 m s−1
আবার, আমরা জানি,
a = Δvt
বা, a = 5210
= 12 m s−2 ≈ 0.71 m s−2
Δv-এর পশ্চিম (−ı) ও উত্তর (ȷ) উপাংশ সমান, তাই ত্বরণের অভিমুখ উত্তর-পশ্চিম দিকে (উত্তরের সাথে পশ্চিমে 45°)।
উত্তর: 12 ≈ 0.71 m s−2, উত্তর-পশ্চিম দিকে
দেওয়া আছে,
সাঁতারুর বেগ, v = 22 km h−1
স্রোতের বেগ, u = 2 km h−1
স্রোতের সাথে সাঁতারের কোণ, θ = ?
(ক) সর্বাপেক্ষা কম দূরত্বের জন্য দিক নির্ণয়:
সবচেয়ে কম দূরত্ব মানে সোজাসুজি (তীরের লম্ব বরাবর) পার হওয়া। স্রোতের সাথে θ কোণে সাঁতার কাটলে লব্ধি বেগ স্রোতের সাথে লম্ব হবে যদি স্রোত বরাবর মোট উপাংশ শূন্য হয়।
আমরা জানি,
u + vcos θ = 0
∴ cos θ = −uv
বা, cos θ = −222
= −12
∴ θ = 135°
অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে 135° কোণে (স্রোতের বিপরীতে লম্বের সাথে 45° হেলে) সাঁতার কাটতে হবে।
(খ) সর্বাপেক্ষা কম সময়ের জন্য দিক নির্ণয়:
নদীর প্রস্থ d হলে, আমরা জানি,
t = dvsin θ
sin θ সর্বোচ্চ অর্থাৎ θ = 90° হলে t সর্বনিম্ন।
অর্থাৎ স্রোতের সাথে লম্বভাবে (তীরের লম্ব বরাবর, θ′ = 0°) সাঁতার কাটলে সবচেয়ে কম সময় লাগবে: tmin = dv
উত্তর: (ক) স্রোতের দিকের সাথে 135° কোণে; (খ) স্রোতের সাথে লম্বভাবে (90° কোণে)
লক্ষ করো: প্রশ্নে নদীর প্রস্থ দেওয়া নেই। প্রস্থ 500 m ধরলে tmin = 0.522 h ≈ 10.6 মিনিট, যা বইয়ের উত্তরের (10.56 min) কাছাকাছি।
দেওয়া আছে,
বৃষ্টির উল্লম্ব বেগ, v = 30 m s−1
বায়ুর বেগ, u = 10 m s−1 (উত্তর → দক্ষিণ)
উল্লম্বের সাথে ছাতার কোণ, θ = ?
বৃষ্টি তখন উত্তর দিক থেকে হেলে পড়বে। উল্লম্বের সাথে কোণ θ হলে, আমরা জানি,
tan θ = uv
বা, tan θ = 1030 = 13
∴ θ = tan −113
= 18.43°
তাই ছাতাটি উল্লম্বের সাথে 18.43° কোণে উত্তর দিকে হেলিয়ে ধরতে হবে।
উত্তর: উল্লম্বের সাথে 18.43° কোণে উত্তর দিকে হেলিয়ে
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ, v = 2 m s−1
ধরি, নদীর প্রস্থ = d
স্রোতের বেগ, u = ?
আমরা জানি, স্রোত না থাকলে সময়,
t0 = dv
ন্যূনতম পথে (সোজাসুজি) পার হলে লব্ধি বেগ v2 − u2, তাই সময়,
t = dv2 − u2
শর্তমতে, t = 2t0
বা, dv2 − u2 = 2dv
বা, v = 2v2 − u2
বা, v2 = 4v2 − 4u2
বা, u2 = 3v24
∴ u = 32v
বা, u = 32 × 2
= 3 m s−1
উত্তর: 3 m s−1 ≈ 1.73 m s−1
দেওয়া আছে,
প্লেনের বেগ, v1 = 600 km h−1 (পূর্ব)
বাতাসের বেগ, v2 = 100 km h−1 (দক্ষিণ)
ভূমি সাপেক্ষে বেগ, v = ?
পূর্ব দিকের সাথে কোণ, θ = ?
বেগ দুটি পরস্পর লম্ব, তাই আমরা জানি,
v = v21 + v22
বা, v = 6002 + 1002
= 370000
= 608.28 km h−1
আবার, আমরা জানি,
tan θ = v2v1
বা, tan θ = 100600 = 16
∴ θ = 9.46° = 9°28′
অর্থাৎ প্লেনটি পূর্ব দিক থেকে 9°28′ দক্ষিণে (দক্ষিণ-পূর্ব দিকে) চলবে।
উত্তর: 608.28 km h−1, পূর্ব দিক থেকে 9°28′ দক্ষিণে
ধরি, P ও Q-এর মধ্যবর্তী কোণ α এবং লব্ধি R।
আমরা জানি,
R2 = P2 + Q2 + 2PQcos α
cos α-এর সর্বোচ্চ মান 1 (α = 0°), তখন
R2max = P2 + Q2 + 2PQ
= (P + Q)2
∴ Rmax = P + Q
cos α-এর সর্বনিম্ন মান −1 (α = 180°), তখন
R2min = P2 + Q2 − 2PQ
= (P − Q)2
∴ Rmin = P − Q (P > Q ধরে)
অতএব, P − Q ≤ R ≤ P + Q; অর্থাৎ লব্ধি P + Q-এর বেশি বা P − Q-এর কম হতে পারে না। (দেখানো হলো)
ধরি, O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P ও Q ভেক্টরকে যথাক্রমে OA ও OB বাহু দ্বারা নির্দেশ করা হলো, এদের মধ্যবর্তী কোণ ∠AOB = α।
OACB সামান্তরিক পূর্ণ করলে কর্ণ OC লব্ধি R নির্দেশ করে। ধরি, R, P-এর সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।
C থেকে OA-এর বর্ধিতাংশের উপর CN লম্ব টানি। তাহলে AC = Q এবং ∠CAN = α
∴ AN = Qcos α
এবং CN = Qsin α
মান: সমকোণী ত্রিভুজ ONC থেকে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী আমরা জানি,
OC2 = ON2 + CN2
= (OA + AN)2 + CN2
বা, R2 = (P + Qcos α)2 + (Qsin α)2
= P2 + 2PQcos α
+ Q2(cos 2α + sin 2α)
= P2 + Q2 + 2PQcos α
∴ R = P2 + Q2 + 2PQcos α
অভিমুখ: △ONC থেকে,
tan θ = CNON
= Qsin αP + Qcos α
∴ θ = tan −1Qsin αP + Qcos α
উত্তর: R = P2 + Q2 + 2PQcos α, θ = tan −1Qsin αP + Qcos α
দেওয়া আছে,
প্রথম রাশি, P = 8 একক
দ্বিতীয় রাশি, Q = 8 একক
মধ্যবর্তী কোণ, α = 120°
লব্ধি, R = ?
P-এর সাথে লব্ধির কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
R = P2 + Q2 + 2PQcos α
বা, R = 82 + 82 + 2 × 8 × 8cos 120°
= 64 + 64 + 128 × −12
= 128 − 64 = 64
= 8 একক
আবার, আমরা জানি,
tan θ = Qsin αP + Qcos α
বা, tan θ = 8sin 120°8 + 8cos 120°
= 8 × 328 − 4
= 434 = 3
∴ θ = 60° (যেকোনো একটি রাশির সাথে)
উত্তর: 8 একক, যেকোনো একটি রাশির সাথে 60° কোণে
পূর্বদিক ı, উত্তরদিক ȷ ধরি।
দেওয়া আছে,
উত্তরমুখী বেগ, v1 = 3ȷ m s−1
পূর্বমুখী বেগ, v2 = 4ı m s−1
বিয়োগফল, v1 − v2 = ?
উত্তরের সাথে কোণ, θ = ?
এখানে, v1 − v2 = 3ȷ − 4ı
= −4ı + 3ȷ
আমরা জানি,
v = v2x + v2y
∴ v1 − v2 = (−4)2 + 32
= 16 + 9 = 25
= 5 m s−1
এর পশ্চিম উপাংশ 4 ও উত্তর উপাংশ 3। উত্তরের সাথে কোণ θ হলে, আমরা জানি,
tan θ = পশ্চিম উপাংশউত্তর উপাংশ
বা, tan θ = 43
∴ θ = 53.13°
অর্থাৎ v1 − v2 উত্তর থেকে পশ্চিম দিকে 53.13° কোণে (উত্তর-পশ্চিম দিকে) থাকবে।
উত্তর: −4ı + 3ȷ (মান 5 m s−1), উত্তর থেকে পশ্চিমে 53.13° কোণে
দেওয়া আছে,
লব্ধি বল, R = 50 N
P বলের সাথে লব্ধির কোণ, θ = 30°
বল দুটি, P = ?, Q = ?
বল দুটি পরস্পর লম্ব, তাই এরা লব্ধির দুটি লম্ব উপাংশ।
আমরা জানি,
P = Rcos θ
বা, P = 50cos 30°
= 50 × 32
= 43.30 N
এবং Q = Rsin θ
বা, Q = 50sin 30°
= 50 × 12
= 25 N
উত্তর: 43.30 N ও 25 N
ধরি, প্রতিটি ভেক্টরের মান P = Q = A, মধ্যবর্তী কোণ α = ?
আমরা জানি,
R2 = P2 + Q2 + 2PQcos α
বা, R2 = A2 + A2 + 2A2cos α
= 2A2(1 + cos α)
(i) R = 2A হলে,
(2A)2 = 2A2(1 + cos α)
বা, 2A2 = 2A2(1 + cos α)
বা, 1 + cos α = 1
বা, cos α = 0
∴ α = 90°
(ii) R = 3A হলে,
(3A)2 = 2A2(1 + cos α)
বা, 3A2 = 2A2(1 + cos α)
বা, 1 + cos α = 32
বা, cos α = 12
∴ α = 60°
অর্থাৎ অন্তর্বর্তী কোণ (i) 90° এবং (ii) 60° হলে।
উত্তর: (i) 90°; (ii) 60°
দেওয়া আছে,
a = 2ı − 6ȷ − 3k
b = 4ı + 3ȷ − k
তলের লম্ব একক ভেক্টর, n = ?
a × b ভেক্টরটি a ও b-এর তলের লম্ব। আমরা জানি,
n = a × ba × b
এবং a × b = ıȷkaxayazbxbybz
বা, a × b = ıȷk2−6−343−1
= ı(6 + 9) − ȷ(−2 + 12)
+ k(6 + 24)
= 15ı − 10ȷ + 30k
আবার, আমরা জানি, কোনো ভেক্টর R-এর মান,
R = R2x + R2y + R2z
∴ a × b = 152 + (−10)2 + 302
= 225 + 100 + 900
= 1225 = 35
∴ n = 15ı − 10ȷ + 30k35
= 37ı − 27ȷ + 67k
(বিপরীত দিকের একক ভেক্টর −n-ও তলের লম্ব।)
উত্তর: ± 37ı − 27ȷ + 67k
দেওয়া আছে,
প্রথম ক্ষেত্রে ভেক্টরদ্বয়, P1 = 2A, Q = A
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (প্রথমটি দ্বিগুণ), P2 = 4A, Q = A
শর্ত, R2 = 3R1
অন্তর্বর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
R2 = P2 + Q2 + 2PQcos θ
প্রথম ক্ষেত্রে,
R21 = (2A)2 + A2 + 2(2A)(A)cos θ
= 5A2 + 4A2cos θ
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
R22 = (4A)2 + A2 + 2(4A)(A)cos θ
= 17A2 + 8A2cos θ
শর্তমতে, R2 = 3R1
বা, R22 = 9R21
বা, 17A2 + 8A2cos θ = 9(5A2 + 4A2cos θ)
বা, 17 + 8cos θ = 45 + 36cos θ
বা, 28cos θ = −28
বা, cos θ = −1
∴ θ = 180°
উত্তর: 180°
ধরি, ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E।
তাহলে, AD = 12AB
এবং AE = 12AC
আমরা জানি, ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী △ADE-এ,
AD + DE = AE
বা, DE = AE − AD
= 12AC − 12AB
= 12AC − AB
আবার △ABC-এ, AC − AB = BC
∴ DE = 12BC
DE হলো BC-এর একটি স্কেলার গুণিতক, তাই DE ∥ BC এবং DE = 12BC। (প্রমাণিত)
ধরি, বৃহত্তর ভেক্টর P, ক্ষুদ্রতর Q, অর্থাৎ P = 2Q
P, Q ও লব্ধি R একটি ত্রিভুজ গঠন করে। এই ত্রিভুজে R ও P-এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলো Q বাহুর বিপরীত কোণ, আর R ও Q-এর মধ্যবর্তী কোণ β হলো P বাহুর বিপরীত কোণ।
আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্র,
Qsin θ = Psin β
বা, sin θ = QPsin β
বা, sin θ = Q2Qsin β
= 12sin β
যেহেতু sin β ≤ 1,
∴ sin θ ≤ 12
আবার Q < P বলে θ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ, তাই θ সূক্ষ্মকোণ।
∴ θ ≤ 45° = π4 (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
A = 3ı + 4ȷ − 5k
X-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর = ı
নির্ণেয় ভেক্টর, B = ?
আমরা জানি, X-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ı।
শর্তমতে, A + B = ı
∴ B = ı − A
বা, B = ı − (3ı + 4ȷ − 5k)
= (1 − 3)ı − 4ȷ + 5k
= −2ı − 4ȷ + 5k
উত্তর: B = −2ı − 4ȷ + 5k
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 2ȷ − k
B = 6ı − 3ȷ + 2k
স্কেলার গুণফল, A·B = ?
ভেক্টর গুণফলের মান, A × B = ?
স্কেলার গুণফল:
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = (2)(6) + (2)(−3) + (−1)(2)
= 12 − 6 − 2
= 4
ভেক্টর গুণফল:
আমরা জানি,
A × B = ıȷkAxAyAzBxByBz
বা, A × B = ıȷk22−16−32
= ı(4 − 3) − ȷ(4 + 6)
+ k(−6 − 12)
= ı − 10ȷ − 18k
আবার, আমরা জানি, কোনো ভেক্টর R-এর মান,
R = R2x + R2y + R2z
∴ A × B = 12 + (−10)2 + (−18)2
= 1 + 100 + 324
= 425 = 517
উত্তর: স্কেলার গুণফল 4; ভেক্টর গুণফল ı − 10ȷ − 18k, এর মান 517
ধরি, দুটি সমান ভেক্টর P = Q = A, মধ্যবর্তী কোণ α। লব্ধি P-এর সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।
আমরা জানি,
tan θ = Qsin αP + Qcos α
বা, tan θ = Asin αA + Acos α
= sin α1 + cos α
= 2sin α2cos α22cos 2α2
= tan α2
∴ θ = α2
অর্থাৎ লব্ধি মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
A = 6ı + 8ȷ, অর্থাৎ Ax = 6, Ay = 8
মান, A = ?
X-অক্ষের সাথে কোণ, α = ?
শেষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক = ?
আমরা জানি,
A = A2x + A2y
বা, A = 62 + 82
= 100 = 10 একক
আবার, আমরা জানি,
cos α = AxA
বা, cos α = 610 = 35
∴ α = cos −135
= 53.13°
ভেক্টরটির আদি বিন্দু মূলবিন্দু (0, 0, 0) ধরলে শেষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (6, 8, 0)।
উত্তর: মান 10 একক, X-অক্ষের সাথে 53.13° কোণে; শেষ বিন্দু (6, 8, 0)
দেওয়া আছে,
বল, F = 30 N
Y-অক্ষের সাথে কোণ, θ = 60°
X-অক্ষ বরাবর উপাংশ, Fx = ?
Y-অক্ষ বরাবর উপাংশ, Fy = ?
বলটি Y-অক্ষের সাথে 60°, অর্থাৎ X-অক্ষের সাথে 30° কোণে আনত।
আমরা জানি, Y-অক্ষের সাথে θ কোণে আনত বলের উপাংশ,
Fx = Fsin θ এবং Fy = Fcos θ
∴ Fx = 30sin 60°
= 30 × 32
= 153 N
এবং Fy = 30cos 60°
= 30 × 12
= 15 N
উত্তর: Fx = 153 N ≈ 25.98 N, Fy = 15 N
দেওয়া আছে,
A = 6ı + 4ȷ − 2k
B = 6ı − ȷ − 2k
A + B = ?, A − B = ?
আমরা জানি,
A + B = (Ax + Bx)ı + (Ay + By)ȷ
+ (Az + Bz)k
বা, A + B = (6 + 6)ı + (4 − 1)ȷ
+ (−2 − 2)k
= 12ı + 3ȷ − 4k
আবার, আমরা জানি, কোনো ভেক্টর R-এর মান,
R = R2x + R2y + R2z
∴ A + B = 122 + 32 + (−4)2
= 144 + 9 + 16
= 169 = 13 একক
আবার, আমরা জানি,
A − B = (Ax − Bx)ı + (Ay − By)ȷ
+ (Az − Bz)k
বা, A − B = (6 − 6)ı + (4 + 1)ȷ
+ (−2 + 2)k
= 5ȷ
∴ A − B = 02 + 52 + 02
= 25
= 5 একক
উত্তর: যোগফলের মান 13 একক, বিয়োগফলের মান 5 একক
দেওয়া আছে,
A = 4ı − 3ȷ + 5k
অর্থাৎ Ax = 4, Ay = −3, Az = 5
মান, A = ?
আমরা জানি,
A = A2x + A2y + A2z
বা, A = 42 + (−3)2 + 52
= 16 + 9 + 25
= 50 = 52 একক
উত্তর: 52 ≈ 7.07 একক
দেওয়া আছে,
A = 6ı + 4ȷ − 3k
B = 6ı − ȷ − 3k
A − B = ?
আমরা জানি,
A − B = (Ax − Bx)ı + (Ay − By)ȷ
+ (Az − Bz)k
বা, A − B = (6 − 6)ı + (4 + 1)ȷ
+ (−3 + 3)k
= 5ȷ
আবার, আমরা জানি, কোনো ভেক্টর R-এর মান,
R = R2x + R2y + R2z
∴ A − B = 02 + 52 + 02
= 25
= 5 একক
উত্তর: 5 একক
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 3ȷ − 5k
B = ı − 2ȷ + 3k
লব্ধি, R = k
নির্ণেয় ভেক্টর, C = ?
আমরা জানি, লব্ধি ভেক্টর,
R = A + B + C
∴ C = R − (A + B)
এখানে, A + B = (2 + 1)ı + (3 − 2)ȷ
+ (−5 + 3)k
= 3ı + ȷ − 2k
∴ C = k − (3ı + ȷ − 2k)
= −3ı − ȷ + (1 + 2)k
= −3ı − ȷ + 3k
যাচাই: (2 + 1 − 3)ı + (3 − 2 − 1)ȷ + (−5 + 3 + 3)k = k ✓
উত্তর: −3ı − ȷ + 3k
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে 2ı − ȷ − 2k লেখা, যা যোগ করলে k পাওয়া যায় না। সঠিক উত্তর −3ı − ȷ + 3k।
দেওয়া আছে,
A = 3ı − 2ȷ − 5k
একক ভেক্টর, a = ?
আমরা জানি,
a = AA
এবং A = A2x + A2y + A2z
বা, A = 32 + (−2)2 + (−5)2
= 9 + 4 + 25 = 38
∴ a = 3ı − 2ȷ − 5k38
= 338ı − 238ȷ − 538k
উত্তর: 138(3ı − 2ȷ − 5k)
দেওয়া আছে,
আদি বিন্দু, O(x1, y1, z1) = (0, 0, 0)
প্রান্ত বিন্দু, P(x2, y2, z2) = (3, −4, 5)
OP = ?, OP = ?, একক ভেক্টর n = ?
আমরা জানি,
OP = (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
+ (z2 − z1)k
বা, OP = (3 − 0)ı + (−4 − 0)ȷ
+ (5 − 0)k
= 3ı − 4ȷ + 5k
আবার, আমরা জানি,
OP = x2 + y2 + z2
বা, OP = 32 + (−4)2 + 52
= 9 + 16 + 25 = 50
= 52 একক
আবার, আমরা জানি,
n = OPOP
∴ n = 3ı − 4ȷ + 5k52
উত্তর: OP = 3ı − 4ȷ + 5k; পরম মান 52 একক; একক ভেক্টর 3ı − 4ȷ + 5k52
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 4ȷ − 6k
X-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর = ı
নির্ণেয় ভেক্টর, B = ?
আমরা জানি, X-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ı।
শর্তমতে, A + B = ı
∴ B = ı − A
বা, B = ı − (2ı + 4ȷ − 6k)
= (1 − 2)ı − 4ȷ + 6k
= −ı − 4ȷ + 6k
উত্তর: B = −ı − 4ȷ + 6k
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 0ȷ + k
B = −ı + ȷ + 2k
মধ্যবর্তী কোণের সাইন, sin α = ?
আমরা জানি,
sin α = A × BAB
এখানে, A = 22 + 02 + 12 = 5
B = (−1)2 + 12 + 22 = 6
A × B = ıȷk201−112
= ı(0 − 1) − ȷ(4 + 1)
+ k(2 − 0)
= −ı − 5ȷ + 2k
∴ A × B = 1 + 25 + 4 = 30
∴ sin α = 3056
= 3030 = 1
বা, α = 90°
আবার, আমরা জানি, দুটি ভেক্টর লম্ব হলে A·B = 0 হয়।
A·B = (2)(−1) + (0)(1) + (1)(2)
= −2 + 0 + 2 = 0
তাই ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)
উত্তর: sin α = 1 (α = 90°)
আমরা জানি, ভেক্টরের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী তিনটি ভেক্টরের যেকোনো দুটির যোগফল তৃতীয়টির সমান হলে ভেক্টর তিনটি একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
B + C = (−1 + 4)ı + (3 − 2)ȷ
+ (4 − 6)k
= 3ı + ȷ − 2k = A
দুটি ভেক্টরের যোগফল তৃতীয়টির সমান, তাই ভেক্টরের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী B ও C ত্রিভুজের দুই বাহু এবং A তৃতীয় বাহু নির্দেশ করে। সুতরাং ভেক্টর তিনটি একটি ত্রিভুজ গঠন করে। (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
a = ı + ȷ + 2k
b = ı + ȷ − k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = ?
আমরা জানি,
cos θ = a·bab
এখানে, a·b = (1)(1) + (1)(1) + (2)(−1)
= 1 + 1 − 2 = 0
∴ cos θ = 0
∴ মধ্যবর্তী কোণ, θ = 90°
আবার, ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী তৃতীয় বাহু,
a − b = (1 − 1)ı + (1 − 1)ȷ
+ (2 + 1)k
= 0ı + 0ȷ + 3k
আবার, আমরা জানি, কোনো ভেক্টর R-এর মান,
R = R2x + R2y + R2z
∴ তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য,
a − b = 02 + 02 + 32
= 9
= 3 একক
উত্তর: মধ্যবর্তী কোণ 90°, তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য 3 একক
দেওয়া আছে,
A-এর মান, A = 12 একক
B-এর মান, B = 5 একক
লব্ধি C-এর মান, C = 13 একক
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
C2 = A2 + B2 + 2ABcos θ
বা, 132 = 122 + 52 + 2(12)(5)cos θ
বা, 169 = 144 + 25 + 120cos θ
বা, 120cos θ = 0
বা, cos θ = 0
∴ θ = 90° = π2
উত্তর: 90° বা π2
ধরি, A = Axı + Ayȷ + Azk
আমরা জানি,
ı·ı = ȷ·ȷ = k·k = 1
এবং ı·ȷ = ȷ·k = k·ı = 0
∴ A·ı = Ax(ı·ı) + Ay(ȷ·ı)
+ Az(k·ı)
= Ax(1) + 0 + 0 = Ax
একইভাবে, A·ȷ = Ay এবং A·k = Az
এগুলো বসিয়ে,
A = (A·ı)ı + (A·ȷ)ȷ
+ (A·k)k (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
A = ı − ȷ
B = ȷ + k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
এখানে, A·B = (1)(0) + (−1)(1) + (0)(1)
= −1
A = 12 + (−1)2 = 2
B = 12 + 12 = 2
∴ cos θ = −12 × 2
= −12
∴ θ = 120°
উত্তর: 120°
দেওয়া আছে,
A = 3ı + 3ȷ − k
B = 2ı + ȷ + 3k
অন্তর্গত কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
এখানে, A·B = (3)(2) + (3)(1) + (−1)(3)
= 6 + 3 − 3 = 6
A = 32 + 32 + (−1)2 = 19
B = 22 + 12 + 32 = 14
∴ cos θ = 61914
= 6266
= 0.3679
∴ θ = cos −1(0.3679)
= 68.41°
উত্তর: 68.41°
সম্ভব নয়।
a × b একটি ভেক্টর রাশি (মান ও দিক দুটোই আছে), কিন্তু a·b একটি স্কেলার রাশি (শুধু মান আছে)। একটি ভেক্টর কখনো একটি স্কেলারের সমান হতে পারে না।
তবে এদের মান সমান হতে পারে। আমরা জানি,
a × b = absin θ এবং a·b = abcos θ
absin θ = abcos θ হলে, অর্থাৎ tan θ = 1 বা θ = 45° হলে a × b = a·b।
উত্তর: সম্ভব নয়; তবে θ = 45° হলে এদের মান সমান হয়।
দেওয়া আছে,
A = 3ı + 2ȷ + k
B = ı + 2ȷ − 3k
C = ı + ȷ + 2k
আমরা জানি,
P × Q = ıȷkPxPyPzQxQyQz
এবং P·Q = PxQx + PyQy + PzQz
বামপক্ষ:
B × C = ıȷk12−3112
= ı(4 + 3) − ȷ(2 + 3)
+ k(1 − 2)
= 7ı − 5ȷ − k
∴ A·(B × C)
= (3)(7) + (2)(−5) + (1)(−1)
= 21 − 10 − 1 = 10
ডানপক্ষ:
A × B = ıȷk32112−3
= ı(−6 − 2) − ȷ(−9 − 1)
+ k(6 − 2)
= −8ı + 10ȷ + 4k
∴ (A × B)·C
= (−8)(1) + (10)(1) + (4)(2)
= −8 + 10 + 8 = 10
অতএব, A·(B × C) = (A × B)·C (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
A = 3ı + 4ȷ
B = 7ı + 24ȷ
নির্ণেয় ভেক্টর, C = ?
আমরা জানি, A-এর দিকে একক ভেক্টর,
a = AA
এবং নির্ণেয় ভেক্টর, C = Ba
এখানে, A = 32 + 42 = 25 = 5
B = 72 + 242 = 49 + 576
= 625 = 25
∴ a = 3ı + 4ȷ5
∴ C = 25 × 3ı + 4ȷ5
= 5(3ı + 4ȷ)
= 15ı + 20ȷ
উত্তর: 15ı + 20ȷ
দেওয়া আছে,
A × B = 3 A·B
A + B = ?
আমরা জানি,
A × B = ABsin θ এবং A·B = ABcos θ
শর্তমতে, ABsin θ = 3ABcos θ
বা, tan θ = 3
∴ θ = 60°
আবার, আমরা জানি,
A + B = A2 + B2 + 2ABcos θ
বা, A + B = A2 + B2 + 2ABcos 60°
= A2 + B2 + 2AB × 12
= A2 + B2 + AB
উত্তর: A2 + B2 + AB
দেওয়া আছে,
P = 2ı + 3ȷ
Q = 6ı − 4ȷ
আমরা জানি,
P·Q = PQcos θ = PxQx + PyQy
বা, P·Q = (2)(6) + (3)(−4)
= 12 − 12 = 0
দুটি অশূন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্য, তাই cos θ = 0 বা θ = 90°।
অর্থাৎ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমকোণে অবস্থিত। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
F = 2ı + 2ȷ + 5k
A বিন্দু, (1, 2, 5); B বিন্দু, (−1, −2, −3)
BA × F = 4ı + 6ȷ + 2mk
m = ?
আমরা জানি,
BA = rA − rB
বা, BA = (1 + 1)ı + (2 + 2)ȷ
+ (5 + 3)k
= 2ı + 4ȷ + 8k
আবার, আমরা জানি,
P × Q = ıȷkPxPyPzQxQyQz
∴ BA × F = ıȷk248225
= ı(20 − 16) − ȷ(10 − 16)
+ k(4 − 8)
= 4ı + 6ȷ − 4k
k-এর সহগ তুলনা করে,
2m = −4
∴ m = −2
উত্তর: m = −2
দেওয়া আছে,
a = 0ı + ȷ − k
c = −ı − ȷ − k
a × b + c = 0 এবং a·b = 3
b = ?
ধরি, b = xı + yȷ + zk
আমরা জানি,
a·b = axbx + ayby + azbz
বা, 3 = (0)(x) + (1)(y) + (−1)(z)
∴ y − z = 3 ⋯(1)
আবার, আমরা জানি,
a × b = ıȷkaxayazbxbybz
বা, a × b = ıȷk01−1xyz
= (z + y)ı − xȷ − xk
শর্তমতে, a × b = −c
= ı + ȷ + k
সহগ তুলনা করে,
y + z = 1 ⋯(2)
এবং −x = 1 বা, x = −1
(1) ও (2) যোগ করে, 2y = 4
বা, y = 2
(2) থেকে, z = 1 − 2 = −1
∴ b = −ı + 2ȷ − k
উত্তর: b = −ı + 2ȷ − k
দেওয়া আছে,
P = 2ı + 4ȷ − 5k
Q = ı + 2ȷ + 3k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
cos θ = P·QPQ
এখানে, P·Q = (2)(1) + (4)(2) + (−5)(3)
= 2 + 8 − 15 = −5
P = 22 + 42 + (−5)2 = 45
Q = 12 + 22 + 32 = 14
∴ cos θ = −54514
= −5630
= −0.1992
∴ θ = cos −1(−0.1992)
= 101.49° ≈ 101°29′
উত্তর: 101.49° ≈ 101°29′
দেওয়া আছে,
A = ı − ȷ + k
B = 2ı − 3ȷ + 6k
ভেক্টর গুণফল, A × B = ?
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
ভেক্টর গুণফল:
আমরা জানি,
A × B = ıȷkAxAyAzBxByBz
বা, A × B = ıȷk1−112−36
= ı(−6 + 3) − ȷ(6 − 2)
+ k(−3 + 2)
= −3ı − 4ȷ − k
মধ্যবর্তী কোণ:
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
এখানে, A·B = (1)(2) + (−1)(−3) + (1)(6)
= 2 + 3 + 6 = 11
A = 1 + 1 + 1 = 3
B = 4 + 9 + 36 = 49 = 7
∴ cos θ = 1173
= 0.9073
∴ θ = cos −1(0.9073)
= 24.87°
উত্তর: A × B = −3ı − 4ȷ − k; মধ্যবর্তী কোণ 24.87°
দেওয়া আছে,
A = 5ı − 4ȷ + 2k
B = 2ı + ȷ − 3k
আমরা জানি, দুটি অশূন্য ভেক্টর লম্ব হবে যদি
A·B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
এখানে, A·B = (5)(2) + (−4)(1) + (2)(−3)
= 10 − 4 − 6 = 0
স্কেলার গুণফল শূন্য, তাই ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)
(i) সমান্তরাল হওয়ার শর্ত:
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে
A × B = 0
এখানে, A × B = ıȷkAxAy0BxBy0
= (AxBy − AyBx)k
∴ (AxBy − AyBx)k = 0
বা, AxBy = AyBx
∴ AxBx = AyBy
(ii) লম্ব হওয়ার শর্ত:
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর লম্ব হলে
A·B = 0
বা, AxBx + AyBy = 0
উত্তর: (i) AxBx = AyBy; (ii) AxBx + AyBy = 0
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে (ii)-তে AxBx = AyBy লেখা, সঠিক শর্ত AxBx + AyBy = 0 বা AxBx = −AyBy।
দেওয়া আছে,
A = 3ı + 2ȷ − k
B = 4ı − 5ȷ + 2k
C = ı − ȷ − k
(i) A − B + 2C নির্ণয়:
আমরা জানি, ভেক্টর যোগ-বিয়োগে একই একক ভেক্টরের সহগগুলো যোগ-বিয়োগ হয়।
2C = 2ı − 2ȷ − 2k
∴ A − B + 2C
= (3 − 4 + 2)ı + (2 + 5 − 2)ȷ
+ (−1 − 2 − 2)k
= ı + 5ȷ − 5k
(ii) মান নির্ণয়:
আমরা জানি, কোনো ভেক্টর R-এর মান,
R = R2x + R2y + R2z
∴ A − B + 2C
= 12 + 52 + (−5)2
= 1 + 25 + 25
= 51 ≈ 7.14 একক
উত্তর: (i) ı + 5ȷ − 5k; (ii) 51 ≈ 7.14 একক
লক্ষ করো: বইয়ের (ii)-এর উত্তরে 15 লেখা, সঠিক মান 51।
দেওয়া আছে,
A = 3ı + ȷ + 2k
B = 2ı − 2ȷ + 4k
উভয়ের উপর লম্ব ভেক্টর = ?
আমরা জানি, A × B উভয় ভেক্টরের উপর লম্ব এবং
A × B = ıȷkAxAyAzBxByBz
বা, A × B = ıȷk3122−24
= ı(4 + 4) − ȷ(12 − 4)
+ k(−6 − 2)
= 8ı − 8ȷ − 8k
উত্তর: 8ı − 8ȷ − 8k
দেওয়া আছে,
A = 2ı − 5ȷ + 3k
B = 2ı + aȷ + 3k
a = ?
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে উপাংশগুলোর অনুপাত সমান হয়,
AxBx = AyBy = AzBz
বা, 22 = −5a = 33
বা, −5a = 1
∴ a = −5
উত্তর: a = −5
দেওয়া আছে,
A = ı − 4ȷ + 5k
B = 6ı − 3ȷ + 2k
B বরাবর A-এর অভিক্ষেপ, Acos θ = ?
আমরা জানি,
Acos θ = A·BB
এখানে, A·B = (1)(6) + (−4)(−3) + (5)(2)
= 6 + 12 + 10 = 28
B = 62 + (−3)2 + 22
= 36 + 9 + 4 = 49 = 7
∴ Acos θ = 287
= 4 একক
উত্তর: 4 একক
দেওয়া আছে,
A + B = 12ı − 4ȷ + 8k ⋯(1)
A − B = −6ı + 12ȷ + 10k ⋯(2)
A = ?, B = ?, A·B = ?
(1) ও (2) যোগ করে,
2A = (12 − 6)ı + (−4 + 12)ȷ
+ (8 + 10)k
= 6ı + 8ȷ + 18k
∴ A = 3ı + 4ȷ + 9k
(1) থেকে (2) বিয়োগ করে,
2B = (12 + 6)ı + (−4 − 12)ȷ
+ (8 − 10)k
= 18ı − 16ȷ − 2k
∴ B = 9ı − 8ȷ − k
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
বা, A·B = (3)(9) + (4)(−8) + (9)(−1)
= 27 − 32 − 9
= −14
উত্তর: A = 3ı + 4ȷ + 9k, B = 9ı − 8ȷ − k, A·B = −14
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 2ȷ − k
B = 6ı − 3ȷ + 2k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
এখানে, A·B = (2)(6) + (2)(−3) + (−1)(2)
= 12 − 6 − 2 = 4
A = 22 + 22 + (−1)2 = 9 = 3
B = 62 + (−3)2 + 22 = 49 = 7
∴ cos θ = 43 × 7
= 421 = 0.1905
∴ θ = cos −1(0.1905)
= 79.02°
উত্তর: 79.02°
দেওয়া আছে,
A = 2ı + aȷ + k
B = 4ı − 2ȷ − 2k
a = ?
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে
A·B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
বা, (2)(4) + (a)(−2) + (1)(−2) = 0
বা, 8 − 2a − 2 = 0
বা, 2a = 6
∴ a = 3
উত্তর: a = 3
দেওয়া আছে,
A = 2ı + 3ȷ − 5k
B = xı + 2ȷ + 10k
x = ?
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে
A·B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
বা, (2)(x) + (3)(2) + (−5)(10) = 0
বা, 2x + 6 − 50 = 0
বা, 2x = 44
∴ x = 22
উত্তর: x = 22
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, P = 2ı + 4ȷ − 5k
দ্বিতীয় ভেক্টর, Q = ı + 2ȷ + 3k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
P·Q = PxQx + PyQy + PzQz
= (2)(1) + (4)(2) + (−5)(3)
= 2 + 8 − 15 = −5
আবার, P = P2x + P2y + P2z
= 4 + 16 + 25 = 45
এবং Q = 1 + 4 + 9 = 14
আমরা জানি,
cos θ = P·QPQ
বা, cos θ = −545 × 14
বা, cos θ = −5630 = −525.10
বা, cos θ = −0.1992
∴ θ = cos −1(−0.1992)
= 101.49°
উত্তর: 101.49° (বা 101°29′)
ধরি, A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ θ।
আমরা জানি,
A·A = A2, B·B = B2
A·B = B·A = ABcos θ
এখন, বামপক্ষ = (A + 2B)·(2A − 3B)
= 2A·A − 3A·B
+ 4B·A − 6B·B
= 2A2 − 3A·B + 4A·B − 6B2
= 2A2 + A·B − 6B2
= 2A2 + ABcos θ − 6B2
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
মধ্যবর্তী কোণ, θ = 45°
অনুপাত, a × b:a·b = ?
আমরা জানি,
a × b = absin θ
a·b = abcos θ
∴ a × ba·b = absin θabcos θ
= tan θ
= tan 45°
= 1
∴ অনুপাত = 1:1
উত্তর: 1:1
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, P = ı + 2ȷ − 2k
দ্বিতীয় ভেক্টর, Q = 3ı − 2ȷ + 23k
মধ্যবর্তী কোণ, α = 90° (প্রশ্নমতে)
লব্ধির মান, R = ?
P-এর সাথে লব্ধির কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
P = P2x + P2y + P2z
= 1 + 4 + 4 = 9 = 3
Q = 9 + 4 + 12 = 25 = 5
(i) লব্ধির মান নির্ণয়:
আমরা জানি,
R = P2 + Q2 + 2PQcos α
= 32 + 52 + 2 × 3 × 5 × cos 90°
= 9 + 25 + 0
= 34 একক
(ii) লব্ধির দিক নির্ণয়:
আমরা জানি,
tan θ = Qsin αP + Qcos α
বা, tan θ = 5 × sin 90°3 + 5 × cos 90°
বা, tan θ = 53
∴ θ = tan −153
= 59.04°
উত্তর: লব্ধির মান 34 একক, P-এর সাথে 59.04° কোণে।
লক্ষ করো: প্রদত্ত উপাংশ থেকে P·Q = 3 − 4 − 43 ≠ 0, অর্থাৎ উপাংশগুলো আসলে লম্ব নয়। প্রশ্নে "লম্বভাবে ক্রিয়াশীল" বলা আছে বলে সেই শর্ত ধরে সমাধান করা হয়েছে।
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = 2ı + 2ȷ − k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = 6ı − 3ȷ + 2k
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
(i) A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়:
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
= (2)(6) + (2)(−3) + (−1)(2)
= 12 − 6 − 2 = 4
আবার, আমরা জানি,
A = A2x + A2y + A2z
= 4 + 4 + 1 = 9 = 3
B = 36 + 9 + 4 = 49 = 7
আমরা জানি,
cos θ = A·BAB
বা, cos θ = 43 × 7 = 421
বা, cos θ = 0.1905
∴ θ = 79.02°
(ii) R কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে কি-না যাচাই:
R = A + B
= (2 + 6)ı + (2 − 3)ȷ + (−1 + 2)k
= 8ı − ȷ + k
R = 64 + 1 + 1 = 66
ধরি, R ও A-এর কোণ α এবং R ও B-এর কোণ β।
আমরা জানি,
cos α = R·ARA
বা, cos α = 16 − 2 − 166 × 3
বা, cos α = 13366 = 0.5334
∴ α = 57.76°
আবার, cos β = R·BRB
বা, cos β = 48 + 3 + 266 × 7
বা, cos β = 53766 = 0.9320
∴ β = 21.25°
যেহেতু α ≠ β, তাই R কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে না। (কারণ A ≠ B; লব্ধি কেবল সমান মানের দুটি ভেক্টরের কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।)
উত্তর: θ = 79.02°; R কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে না (57.76° ≠ 21.25°)।
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = 2ı + 2ȷ + k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = 6ı − 3ȷ + 2k
B-এর ওপর A-এর অভিক্ষেপ, Acos θ = ?
আমরা জানি,
Acos θ = A·BB
এখানে, A·B = (2)(6) + (2)(−3) + (1)(2)
= 12 − 6 + 2 = 8
এবং B = B2x + B2y + B2z
= 36 + 9 + 4 = 49 = 7
∴ Acos θ = 87 একক
উত্তর: 87 একক
দেওয়া আছে,
অবস্থান ভেক্টর, r = (3.0t + 4.2)ı + 5.3ȷ
বেগ, v = ?
আমরা জানি,
v = drdt
= ddt(3.0t + 4.2)ı + ddt(5.3)ȷ
= 3.0ı + 0ȷ
∴ v = (3.0 m s−1)ı
উত্তর: v = (3.0 m s−1)ı
দেওয়া আছে,
A × B = A·B (মানের দিক থেকে)
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
A × B = ABsin θ
A·B = ABcos θ
প্রশ্নমতে, ABsin θ = ABcos θ
বা, sin θcos θ = 1
বা, tan θ = 1
∴ θ = 45°
উত্তর: 45°
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = ı + ȷ + k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = 5ı + 5ȷ + 5k
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে
A × B = 0
এখানে, B = 5(ı + ȷ + k) = 5A
অর্থাৎ B হলো A-এর ধনাত্মক স্কেলার গুণিতক।
∴ A × B = A × 5A
= 5(A × A)
= 0 [∵ A × A = 0]
তাই ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ভেক্টর, A = 2ı − 2ȷ + 6k
নির্ণেয় একক ভেক্টর, n = ?
XY তলের সমান্তরাল হওয়ায় ধরি, n = aı + bȷ (k উপাংশ নেই)
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে
n·A = 0
বা, (aı + bȷ)·(2ı − 2ȷ + 6k) = 0
বা, 2a − 2b + 0 = 0
∴ a = b
আবার, একক ভেক্টরের মান 1, তাই
|n| = a2 + b2 = 1
বা, a2 + b2 = 1
বা, a2 + a2 = 1
বা, 2a2 = 1
∴ a = b = ± 12
∴ n = ± 12(ı + ȷ)
উত্তর: n = ± 12(ı + ȷ)
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = 2ı + ȷ − k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = ı + ȷ + k
উভয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর, n = ?
আমরা জানি,
n = A × BA × B
এখন, A × B = ıȷk21−1111
= ı(1 + 1) − ȷ(2 + 1) + k(2 − 1)
= 2ı − 3ȷ + k
A × B = 22 + (−3)2 + 12
= 4 + 9 + 1 = 14
∴ n = 2ı − 3ȷ + k14
উত্তর: n = 2ı − 3ȷ + k14
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, P = 3ı + 4ȷ
দ্বিতীয় ভেক্টর, Q = 7ı + 24ȷ
নির্ণেয় ভেক্টর, R = ?
আমরা জানি,
R = Qp, যেখানে p = PP
এখানে, P = P2x + P2y
= 9 + 16 = 25 = 5
Q = 49 + 576 = 625 = 25
∴ p = 3ı + 4ȷ5
∴ R = 25 × 3ı + 4ȷ5
= 5(3ı + 4ȷ)
= 15ı + 20ȷ
উত্তর: 15ı + 20ȷ
দেওয়া আছে,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (1, 2, 3)
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (2, 3, 1)
C বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (3, 1, 2)
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য, AB, BC, CA = ?
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, S = ?
(i) বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
আমরা জানি,
AB = (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
+ (z2 − z1)k
∴ AB = ı + ȷ − 2k
আবার, আমরা জানি,
AB = x2 + y2 + z2
= 1 + 1 + 4 = 6
BC = ı − 2ȷ + k
BC = 1 + 4 + 1 = 6
CA = −2ı + ȷ + k
CA = 4 + 1 + 1 = 6
তিন বাহু সমান, তাই ত্রিভুজটি সমবাহু।
(ii) ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আমরা জানি,
S = 12AB × AC
এখানে, AC = 2ı − ȷ − k
AB × AC = ıȷk11−22−1−1
= ı(−1 − 2) − ȷ(−1 + 4) + k(−1 − 2)
= −3ı − 3ȷ − 3k
AB × AC = 9 + 9 + 9
= 27 = 33
∴ S = 12 × 33
= 332 বর্গ একক
উত্তর: প্রতিটি বাহু 6 একক; ক্ষেত্রফল 332 বর্গ একক
দেওয়া আছে,
প্রথম শীর্ষবিন্দু, A(2, 3, 1)
দ্বিতীয় শীর্ষবিন্দু, B(1, 1, 3)
তৃতীয় শীর্ষবিন্দু, C(2, 2, 5)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = 12AB × AC
এখানে, AB = (1 − 2)ı + (1 − 3)ȷ + (3 − 1)k
= −ı − 2ȷ + 2k
AC = (2 − 2)ı + (2 − 3)ȷ + (5 − 1)k
= 0ı − ȷ + 4k
AB × AC = ıȷk−1−220−14
= ı(−8 + 2) − ȷ(−4 − 0) + k(1 − 0)
= −6ı + 4ȷ + k
AB × AC = 36 + 16 + 1 = 53
∴ S = 1253
≈ 3.64 বর্গ একক
উত্তর: 1253 বর্গ একক ≈ 3.64 বর্গ একক
ধরি, A ও B ভেক্টর দুটি যথাক্রমে OP ও OQ বাহু দ্বারা নির্দেশিত, মধ্যবর্তী কোণ θ। OPRQ সামান্তরিক পূর্ণ করি।
Q থেকে OP-এর উপর লম্ব QN টানলে, সামান্তরিকের উচ্চতা
QN = OQsin θ = Bsin θ
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= OP × QN
= A × Bsin θ
= ABsin θ
আবার, আমরা জানি,
A × B = ABsin θ
∴ A × B = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
প্রথম কর্ণ, A = 3ı + 2ȷ + 2k
দ্বিতীয় কর্ণ, B = ı − 3ȷ + 3k
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি, কর্ণ দুটি দেওয়া থাকলে
S = 12A × B
এখন, A × B = ıȷk3221−33
= ı(6 + 6) − ȷ(9 − 2) + k(−9 − 2)
= 12ı − 7ȷ − 11k
A × B = 144 + 49 + 121
= 314
∴ S = 3142 = 17.722
= 8.86 বর্গ একক
উত্তর: 8.86 বর্গ একক
ধরি, A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ θ।
আমরা জানি,
A × B = ABsin θ
A·B = ABcos θ
∴ বামপক্ষ = (ABsin θ)2 + (ABcos θ)2
= A2B2sin 2θ + A2B2cos 2θ
= A2B2(sin 2θ + cos 2θ)
= A2B2 × 1 [∵ sin 2θ + cos 2θ = 1]
= A2B2 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = ı + ȷ + k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = 3ı + 3ȷ + 3k
ভেক্টর গুণফল, A × B = ?
আমরা জানি,
A × B = ıȷkAxAyAzBxByBz
= ıȷk111333
= ı(3 − 3) − ȷ(3 − 3) + k(3 − 3)
= 0
আবার, আমরা জানি,
A × B = ABsin θ
বা, 0 = ABsin θ
যেহেতু A ≠ 0, B ≠ 0, তাই sin θ = 0
∴ θ = 0°
অর্থাৎ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল। (দেখানো হলো)
উত্তর: A × B = 0
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = 2ı − 3ȷ − k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = ı + 4ȷ − 2k
আমরা জানি,
A × B = ıȷkAxAyAzBxByBz
∴ A × B = ıȷk2−3−114−2
= ı(6 + 4) − ȷ(−4 + 1) + k(8 + 3)
= 10ı + 3ȷ + 11k
আবার, B × A = ıȷk14−22−3−1
= ı(−4 − 6) − ȷ(−1 + 4) + k(−3 − 8)
= −10ı − 3ȷ − 11k
∴ (A × B) + (B × A)
= (10 − 10)ı + (3 − 3)ȷ + (11 − 11)k
= 0 (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
বলের মান, F = 12.0 N
ব্যাসার্ধ ভেক্টরের মান, r = 4.0 m
মধ্যবর্তী কোণ, θ = 60°
ভেক্টর গুণফল, τ = r × F = ?
আমরা জানি,
r × F = (rFsin θ)n
= (4.0 × 12.0 × sin 60°)n
= 48 × 32n
= 243 n N m
≈ 41.57 n N m
এটি টর্ক (বলের ভ্রামক) নির্দেশ করে।
উত্তর: 243 n N m ≈ 41.57 n N m; রাশিটি টর্ক।
দেওয়া আছে,
মধ্যবর্তী কোণ, θ = 45°
আমরা জানি,
A·B = ABcos θ
= ABcos 45°
= AB2
আবার, আমরা জানি,
A × B = ABsin θ
= ABsin 45°
= AB2
∴ A·B = A × B (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
প্রথম বাহু, A = ı − 4ȷ − k
দ্বিতীয় বাহু, B = −2ı − ȷ + k
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, S = ?
আমরা জানি,
S = A × B
এখন, A × B = ıȷk1−4−1−2−11
= ı(−4 − 1) − ȷ(1 − 2) + k(−1 − 8)
= −5ı + ȷ − 9k
∴ S = (−5)2 + 12 + (−9)2
= 25 + 1 + 81
= 107 বর্গ একক
≈ 10.34 বর্গ একক
উত্তর: 107 বর্গ একক ≈ 10.34 বর্গ একক
দেওয়া আছে,
প্রথম বাহু, P = 4ı − 4ȷ + k
দ্বিতীয় বাহু, Q = 2ı − 2ȷ − k
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, S = ?
কর্ণ দুটির দৈর্ঘ্য, d1 = ?, d2 = ?
(i) ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আমরা জানি,
S = P × Q
এখন, P × Q = ıȷk4−412−2−1
= ı(4 + 2) − ȷ(−4 − 2) + k(−8 + 8)
= 6ı + 6ȷ
∴ S = 36 + 36 = 72
= 62 = 8.49 বর্গ একক
(ii) কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
আমরা জানি, সন্নিহিত বাহু P ও Q হলে কর্ণ দুটি
d1 = P + Q এবং d2 = P − Q
∴ d1 = (4 + 2)ı + (−4 − 2)ȷ + (1 − 1)k
= 6ı − 6ȷ
d1 = 36 + 36 = 62 = 8.49 একক
d2 = (4 − 2)ı + (−4 + 2)ȷ + (1 + 1)k
= 2ı − 2ȷ + 2k
d2 = 4 + 4 + 4 = 23 = 3.46 একক
উত্তর: ক্ষেত্রফল 62 = 8.49 বর্গ একক; কর্ণ দুটি 8.49 একক ও 3.46 একক
দেওয়া আছে,
স্কেলার গুণফল, P·Q = 18 একক
ভেক্টর গুণফলের মান, P × Q = 63 একক
মধ্যবর্তী কোণ, θ = ?
আমরা জানি,
P·Q = PQcos θ
P × Q = PQsin θ
∴ PQcos θ = 18 ⋯(1)
এবং PQsin θ = 63 ⋯(2)
(2) কে (1) দ্বারা ভাগ করে,
tan θ = 6318
বা, tan θ = 13
∴ θ = 30°
(1) থেকে, PQ = 18cos 30°
= 18 × 23 = 123
এখান থেকে শুধু P ও Q-এর গুণফল জানা যায়, আলাদা মান নয়। PQ = 123 শর্ত মানে এমন অসংখ্য (P, Q) জোড়া আছে। তাই ভেক্টরদ্বয়ের আলাদা মান পাওয়া সম্ভব নয়।
উত্তর: θ = 30°; ভেক্টরদ্বয়ের আলাদা মান পাওয়া সম্ভব নয় (কেবল PQ = 123)।
দেওয়া আছে,
অবস্থান ভেক্টর, r = 2tı + 3t2ȷ
বেগ, v = ?
ত্বরণ, a = ?
(i) বেগ নির্ণয়:
আমরা জানি,
v = drdt
= ddt(2t)ı + ddt(3t2)ȷ
= 2ı + 6tȷ
(ii) ত্বরণ নির্ণয়:
আমরা জানি,
a = dvdt
= ddt(2)ı + ddt(6t)ȷ
= 0 + 6ȷ = 6ȷ
উত্তর: v = 2ı + 6tȷ; a = 6ȷ
দেওয়া আছে,
ভর, m = 2 kg
বেগ, v = 3ı + 3ȷ − 2k
অবস্থান ভেক্টর, r = ı + ȷ
কৌণিক ভরবেগ, L = ?
আমরা জানি,
p = mv
= 2(3ı + 3ȷ − 2k)
= 6ı + 6ȷ − 4k
আবার, আমরা জানি,
L = r × p
= ıȷk11066−4
= ı(−4 − 0) − ȷ(−4 − 0) + k(6 − 6)
= −4ı + 4ȷ (SI একক)
উত্তর: L = −4ı + 4ȷ (SI একক)
দেওয়া আছে,
x = e−t, y = 2cos 3t, z = 2sin 3t
সময়, t = 0
বেগ, v = ?
ত্বরণ, a = ?
অবস্থান ভেক্টর,
r = e−tı + 2cos 3t ȷ + 2sin 3t k
(i) বেগ নির্ণয়:
আমরা জানি,
v = drdt
= −e−tı − 6sin 3t ȷ + 6cos 3t k
t = 0 তে, v = −ı + 0ȷ + 6k
∴ v = (−1)2 + 62
= 1 + 36 = 37 একক
(ii) ত্বরণ নির্ণয়:
আমরা জানি,
a = dvdt
= e−tı − 18cos 3t ȷ − 18sin 3t k
t = 0 তে, a = ı − 18ȷ + 0k
∴ a = 12 + (−18)2
= 1 + 324 = 325 একক
উত্তর: v = −ı + 6k, v = 37 একক; a = ı − 18ȷ, a = 325 একক
দেওয়া আছে,
স্কেলার ক্ষেত্র, φ = 2xy4 − x2z
বিন্দু, (x, y, z) = (2, −1, 2)
গ্রেডিয়েন্ট, ∇φ = ?
আমরা জানি,
∇φ = ∂φ∂xı + ∂φ∂yȷ + ∂φ∂zk
এখানে, ∂φ∂x = 2y4 − 2xz
∂φ∂y = 8xy3
∂φ∂z = −x2
∴ ∇φ = (2y4 − 2xz)ı + 8xy3ȷ − x2k
(2, −1, 2) বিন্দুতে,
∇φ = [2(1) − 2(2)(2)]ı
+ 8(2)(−1)ȷ − 4k
= (2 − 8)ı − 16ȷ − 4k
= −6ı − 16ȷ − 4k
উত্তর: −6ı − 16ȷ − 4k
দেওয়া আছে,
অবস্থান ভেক্টর, r = xı + yȷ + zk
ডাইভারজেন্স, ∇·r = ?
আমরা জানি,
∇·r = ∂rx∂x + ∂ry∂y + ∂rz∂z
= ∂x∂x + ∂y∂y + ∂z∂z
= 1 + 1 + 1
= 3
উত্তর: 3
দেওয়া আছে,
ভেক্টর ক্ষেত্র, r = 3x2zı + xyzȷ − x3y2zk
বিন্দু, (x, y, z) = (2, −1, 2)
ডাইভারজেন্স, ∇·r = ?
আমরা জানি,
∇·r = ∂rx∂x + ∂ry∂y + ∂rz∂z
= ∂∂x(3x2z) + ∂∂y(xyz)
+ ∂∂z(−x3y2z)
= 6xz + xz − x3y2
(2, −1, 2) বিন্দুতে,
∇·r = 6(2)(2) + (2)(2) − (8)(1)
= 24 + 4 − 8
= 20
উত্তর: 20
দেওয়া আছে,
ভেক্টর ক্ষেত্র, A = 4xyzı + 2x2yȷ − x2y2zk
বিন্দু, (x, y, z) = (2, −2, −1)
কার্ল, ∇ × A = ?
আমরা জানি,
∇ × A = ıȷk∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz
= ıȷk∂∂x∂∂y∂∂z4xyz2x2y−x2y2z
ı উপাংশ: ∂∂y(−x2y2z) − ∂∂z(2x2y)
= −2x2yz − 0 = −2x2yz
ȷ উপাংশ: −∂∂x(−x2y2z) − ∂∂z(4xyz)
= −[−2xy2z − 4xy]
= 2xy2z + 4xy
k উপাংশ: ∂∂x(2x2y) − ∂∂y(4xyz)
= 4xy − 4xz
(2, −2, −1) বিন্দুতে,
ı: −2(4)(−2)(−1) = −16
ȷ: 2(2)(4)(−1) + 4(2)(−2)
= −16 − 16 = −32
k: 4(2)(−2) − 4(2)(−1) = −16 + 8 = −8
∴ ∇ × A = −16ı − 32ȷ − 8k
উত্তর: −16ı − 32ȷ − 8k
আমরা জানি,
∇ × V = ıȷk∂∂x∂∂y∂∂zVxVyVz
= ∂Vz∂y − ∂Vy∂zı
+ ∂Vx∂z − ∂Vz∂xȷ
+ ∂Vy∂x − ∂Vx∂yk
আবার, আমরা জানি,
∇·F = ∂Fx∂x + ∂Fy∂y + ∂Fz∂z
∴ ∇·(∇ × V)
= ∂2Vz∂x∂y − ∂2Vy∂x∂z
+ ∂2Vx∂y∂z − ∂2Vz∂y∂x
+ ∂2Vy∂z∂x − ∂2Vx∂z∂y
আংশিক অন্তরীকরণের ক্রম বদলালে মান বদলায় না, তাই পদগুলো জোড়ায় জোড়ায় কেটে যায়।
∴ ∇·(∇ × V) = 0 (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
স্কেলার ক্ষেত্র, φ = 3xy2z3 − 4xy
বিন্দু, (x, y, z) = (2, −1, 1)
গ্রেডিয়েন্ট, ∇φ = ?
আমরা জানি,
∇φ = ∂φ∂xı + ∂φ∂yȷ + ∂φ∂zk
এখানে, ∂φ∂x = 3y2z3 − 4y
∂φ∂y = 6xyz3 − 4x
∂φ∂z = 9xy2z2
∴ ∇φ = (3y2z3 − 4y)ı + (6xyz3 − 4x)ȷ
+ 9xy2z2k
(2, −1, 1) বিন্দুতে,
ı: 3(1)(1) − 4(−1) = 3 + 4 = 7
ȷ: 6(2)(−1)(1) − 4(2) = −12 − 8 = −20
k: 9(2)(1)(1) = 18
∴ ∇φ = 7ı − 20ȷ + 18k
উত্তর: ∇φ = (3y2z3 − 4y)ı + (6xyz3 − 4x)ȷ + 9xy2z2k; (2, −1, 1) বিন্দুতে 7ı − 20ȷ + 18k
দেওয়া আছে,
আদি বিন্দু, O(0, 0, 0)
অন্তিম বিন্দু, A(3, −4, 5)
ভেক্টর, OA = ?
পরম মান, OA = ?
একক ভেক্টর, a = ?
আমরা জানি,
OA = (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
+ (z2 − z1)k
= (3 − 0)ı + (−4 − 0)ȷ + (5 − 0)k
= 3ı − 4ȷ + 5k
OA = 32 + (−4)2 + 52
= 9 + 16 + 25 = 50
= 52 একক
আবার, আমরা জানি,
a = OAOA
= 3ı − 4ȷ + 5k52
উত্তর: OA = 3ı − 4ȷ + 5k; মান 52 একক; a = 3ı − 4ȷ + 5k52
দেওয়া আছে,
বল, F = 4ı − 5ȷ + 3k
ক্রিয়াবিন্দুর অবস্থান, r1 = ı + 2ȷ + 3k
প্রসঙ্গ বিন্দুর অবস্থান, r2 = 3ı − 2ȷ − 3k
টর্ক, τ = ?
r2 বিন্দু থেকে বলের ক্রিয়াবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
r = r1 − r2
= (1 − 3)ı + (2 + 2)ȷ + (3 + 3)k
= −2ı + 4ȷ + 6k
আমরা জানি,
τ = r × F
= ıȷk−2464−53
= ı(12 + 30) − ȷ(−6 − 24) + k(10 − 16)
= 42ı + 30ȷ − 6k
উত্তর: τ = 42ı + 30ȷ − 6k
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে −42ı + 30ȷ − 6k লেখা, কিন্তু সঠিক হিসাবে ı উপাংশ + 42।
ধরি, ভেক্টর দুটি A ও B।
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে এদের স্কেলার গুণফল শূন্য।
শর্তমতে, (A + B)·(A − B) = 0
বা, A·A − A·B + B·A − B·B = 0
বা, A2 − A·B + A·B − B2 = 0 [∵ A·B = B·A]
বা, A2 − B2 = 0
বা, A2 = B2
∴ A = B (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ ভেক্টর, r = 2ı + ȷ + k
রৈখিক বেগ, v = 2ı − 3ȷ + k
কৌণিক বেগ, ω = ?
আমরা জানি,
ω = r × vr2
এখন, r × v = ıȷk2112−31
= ı(1 + 3) − ȷ(2 − 2) + k(−6 − 2)
= 4ı − 8k
r2 = 22 + 12 + 12 = 4 + 1 + 1 = 6
∴ ω = 4ı − 8k6
= 23ı − 43k (rad s⁻¹)
উত্তর: ω = 23ı − 43k (rad s⁻¹)
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে 4ı − 8ȷ লেখা; সঠিক r × v = 4ı − 8k, আর কৌণিক বেগ পেতে একে r2 দিয়ে ভাগ করতে হয়।
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = cos θ ı + sin θ ȷ
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = −sin θ ı + cos θ ȷ
|A| = ?, |B| = ?, A·B = ?, A × B = ?
(i) মান নির্ণয়:
আমরা জানি,
|A| = A2x + A2y
= cos 2θ + sin 2θ = 1
|B| = sin 2θ + cos 2θ = 1
(ii) স্কেলার গুণফল নির্ণয়:
আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy
= −cos θsin θ + sin θcos θ
= 0
(iii) ভেক্টর গুণফল নির্ণয়:
আমরা জানি,
A × B = ıȷkAxAyAzBxByBz
= ıȷkcos θsin θ0−sin θcos θ0
= ı(0) − ȷ(0) + k(cos 2θ + sin 2θ)
= k
উত্তর: |A| = 1, |B| = 1, A·B = 0, A × B = k
দেওয়া আছে,
A-এর অবস্থান ভেক্টর, a = 2ı − 3ȷ + k
B-এর অবস্থান ভেক্টর, b = 3ı − 4ȷ − 4k
C-এর অবস্থান ভেক্টর, c = 3ı − 3ȷ − 5k
আমরা জানি, দুটি বাহু পরস্পর লম্ব হলে এদের স্কেলার গুণফল শূন্য। আবার,
AB = b − a
প্রদত্ত মান অনুযায়ী,
AB = ı − ȷ − 5k, AB2 = 27
BC = ȷ − k, BC2 = 2
CA = −ı + 6k, CA2 = 37
AB·BC = 0 − 1 + 5 = 4
BC·CA = 0 + 0 − 6 = −6
CA·AB = −1 + 0 − 30 = −31
কোনো স্কেলার গুণফলই শূন্য নয়, তাই ছাপা মান দিয়ে ত্রিভুজটি সমকোণী হয় না।
এই প্রশ্নের প্রচলিত রূপে অবস্থান ভেক্টর 2ı − ȷ + k, ı − 3ȷ − 5k ও 3ı − 4ȷ − 4k। তখন,
AB = −ı − 2ȷ − 6k
BC = 2ı − ȷ + k
CA = −ı + 3ȷ + 5k
BC·CA = (2)(−1) + (−1)(3) + (1)(5)
= −2 − 3 + 5 = 0
∴ ∠C = 90°, অর্থাৎ ABC সমকোণী ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)
যাচাই: AB2 = 41 = BC2 + CA2 = 6 + 35 ✓
লক্ষ করো: বইয়ে ছাপা ভেক্টরগুলোতে সম্ভবত মুদ্রণ ভুল আছে।
আমরা জানি,
A × B = ABsin θ
A·B = ABcos θ
∴ A × BA·B = ABsin θABcos θ
= sin θcos θ
= tan θ (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
ভেক্টর ক্ষেত্র, A = xyzı + 3y2zȷ − x2y2zk
স্কেলার ক্ষেত্র, φ = xy2 − 3z
বিন্দু, (x, y, z) = (1, 2, −1)
A·∇φ = ?
আমরা জানি,
∇φ = ∂φ∂xı + ∂φ∂yȷ + ∂φ∂zk
= y2ı + 2xyȷ − 3k
(1, 2, −1) বিন্দুতে,
∇φ = 4ı + 4ȷ − 3k
এবং A = (1)(2)(−1)ı + 3(4)(−1)ȷ
−(1)(4)(−1)k
= −2ı − 12ȷ + 4k
আবার, আমরা জানি,
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
∴ A·∇φ = (−2)(4) + (−12)(4) + (4)(−3)
= −8 − 48 − 12
= −68
উত্তর: −68
দেওয়া আছে,
অবস্থান ভেক্টর, r = t3ı − 6t2ȷ + 5tk
সময়, t = 3 s
সরণ, Δr = ?
আমরা জানি,
Δr = rt − r0
t = 0 তে, r0 = 0ı − 0ȷ + 0k = 0
t = 3 s তে, rt = 33ı − 6(32)ȷ + 5(3)k
= 27ı − 54ȷ + 15k
∴ Δr = 27ı − 54ȷ + 15k
এর মান, |Δr| = 272 + 542 + 152
= 729 + 2916 + 225
= 3870 ≈ 62.21 একক
উত্তর: 27ı − 54ȷ + 15k; মান 3870 ≈ 62.21 একক
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে 468 লেখা, যা প্রদত্ত সমীকরণ থেকে পাওয়া যায় না।
দেওয়া আছে,
লব্ধির মান, R = 3Q
P-এর সাথে লব্ধির কোণ, θ = 30°
ধরি, P ও Q-এর মধ্যবর্তী কোণ α।
আমরা জানি, লব্ধিকে P বরাবর ও লম্ব বরাবর বিভাজন করলে
Rcos θ = P + Qcos α ⋯(1)
Rsin θ = Qsin α ⋯(2)
(2) থেকে, 3Q × sin 30° = Qsin α
বা, 3Q × 12 = Qsin α
বা, sin α = 32
∴ α = 60° অথবা 120°
(1) থেকে, 3Q × cos 30° = P + Qcos α
বা, 3Q × 32 = P + Qcos α
বা, P = 3Q2 − Qcos α
α = 60° হলে, P = 3Q2 − Q2 = Q
α = 120° হলে, P = 3Q2 + Q2 = 2Q
∴ P = Q বা P = 2Q (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x1, y1, z1) = (−4, 3, 5)
Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x2, y2, z2) = (3, −1, 4)
ভেক্টর, PQ = ?
মান, PQ = ?
আমরা জানি,
PQ = (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
+ (z2 − z1)k
= (3 + 4)ı + (−1 − 3)ȷ + (4 − 5)k
= 7ı − 4ȷ − k
আবার, আমরা জানি,
PQ = x2 + y2 + z2
= 49 + 16 + 1
= 66 একক
উত্তর: PQ = 7ı − 4ȷ − k; মান 66 একক
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = 3ı + ȷ + 2k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = 2ı − 2ȷ + 4k
অভিলম্ব একক ভেক্টর, n = ?
আমরা জানি,
n = A × BA × B
এখন, A × B = ıȷk3122−24
= ı(4 + 4) − ȷ(12 − 4) + k(−6 − 2)
= 8ı − 8ȷ − 8k
A × B = 64 + 64 + 64 = 83
∴ n = 8(ı − ȷ − k)83
= 13(ı − ȷ − k)
উত্তর: n = 13(ı − ȷ − k)
দেওয়া আছে,
ভেক্টর, A = 3ı + 4ȷ + 12k
মান, A = ?
x, y, z অক্ষের সাথে কোণ, α = ?, β = ?, γ = ?
আমরা জানি,
A = A2x + A2y + A2z
= 9 + 16 + 144
= 169 = 13
আবার, আমরা জানি,
cos α = AxA, cos β = AyA, cos γ = AzA
x-অক্ষের সাথে: cos α = 313 ∴ α = 76.66°
y-অক্ষের সাথে: cos β = 413 ∴ β = 72.08°
z-অক্ষের সাথে: cos γ = 1213 ∴ γ = 22.62°
উত্তর: মান 13; x, y, z অক্ষের সাথে যথাক্রমে 76.66°, 72.08°, 22.62°
আমরা জানি, দিক কোসাইন l, m, n হলে ভেক্টরের উপাংশ Al, Am, An।
∴ A = A(l1ı + m1ȷ + n1k)
B = B(l2ı + m2ȷ + n2k)
∴ A·B = AB(l1l2 + m1m2 + n1n2) ⋯(1)
আবার, আমরা জানি,
A·B = ABcos θ ⋯(2)
(1) ও (2) তুলনা করে,
ABcos θ = AB(l1l2 + m1m2 + n1n2)
∴ cos θ = l1l2 + m1m2 + n1n2 (দেখানো হলো)
(১০২ নং প্রশ্নের অনুরূপ)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ ভেক্টর, r = 2ı + ȷ + k
রৈখিক বেগ, v = 2ı − 3ȷ + k
কৌণিক বেগ, ω = ?
আমরা জানি,
ω = r × vr2
এখন, r × v = ıȷk2112−31
= ı(1 + 3) − ȷ(2 − 2) + k(−6 − 2)
= 4ı − 8k
r2 = 4 + 1 + 1 = 6
∴ ω = 4ı − 8k6
= 23ı − 43k (rad s⁻¹)
উত্তর: ω = 23ı − 43k (rad s⁻¹)
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে 4ȷ − 8k লেখা, সঠিক r × v = 4ı − 8k।
(১০৪ নং প্রশ্নের অনুরূপ)
আমরা জানি, দুটি বাহু পরস্পর লম্ব হলে এদের স্কেলার গুণফল শূন্য, এবং AB = b − a।
ছাপা মান দিয়ে AB = ı − ȷ − 5k, BC = ȷ − k, CA = −ı + 6k; এদের কোনো জোড়ার স্কেলার গুণফল শূন্য নয়।
প্রচলিত রূপে (2ı − ȷ + k, ı − 3ȷ − 5k, 3ı − 4ȷ − 4k):
BC = 2ı − ȷ + k
CA = −ı + 3ȷ + 5k
BC·CA = (2)(−1) + (−1)(3) + (1)(5)
= −2 − 3 + 5 = 0
∴ ∠C = 90°, ABC সমকোণী ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)
লক্ষ করো: বইয়ে ছাপা ভেক্টরগুলোতে সম্ভবত মুদ্রণ ভুল আছে।
দেওয়া আছে,
বল, F = (5ı + 2ȷ + k) N
প্রাথমিক স্থানাঙ্ক, (1, 1, 1)
অন্তিম স্থানাঙ্ক, (2, 0, 3)
কৃত কাজ, W = ?
সরণ, d = (2 − 1)ı + (0 − 1)ȷ + (3 − 1)k
= (ı − ȷ + 2k) m
আমরা জানি,
W = F·d
= (5)(1) + (2)(−1) + (1)(2)
= 5 − 2 + 2
= 5 J
উত্তর: 5 J
আমরা জানি, তিনটি ভেক্টর একতলীয় হলে এদের স্কেলার ত্রিগুণফল শূন্য, অর্থাৎ C·(A × B) = 0।
প্রদত্ত সমীকরণের উভয়পক্ষকে C দিয়ে স্কেলার গুণ করি,
C·(A × B) + C·(B × C)
+ C·(C × A) = 0
B × C ও C × A উভয়েই C-এর উপর লম্ব, তাই শেষ দুটি পদ শূন্য।
∴ C·(A × B) = 0
A × B হলো A ও B-এর তলের লম্ব। C এর উপর লম্ব হওয়ায় C ওই তলেই অবস্থিত।
অর্থাৎ A, B ও C একতলীয়। (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x1, y1, z1) = (−2, 5, 7)
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x2, y2, z2) = (2, 8, −5)
ভেক্টর, AB = ?
মান, AB = ?
একক ভেক্টর, n = ?
আমরা জানি,
AB = (x2 − x1)ı + (y2 − y1)ȷ
+ (z2 − z1)k
= (2 + 2)ı + (8 − 5)ȷ + (−5 − 7)k
= 4ı + 3ȷ − 12k
আবার, আমরা জানি,
AB = x2 + y2 + z2
= 16 + 9 + 144
= 169 = 13 একক
আবার, আমরা জানি,
n = ABAB
= 4ı + 3ȷ − 12k13
উত্তর: AB = 4ı + 3ȷ − 12k; মান 13 একক; n = 4ı + 3ȷ − 12k13
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = 5ı + 3ȷ − 4k
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = 5ı + 2ȷ + 4k
A + B বরাবর একক ভেক্টর, n1 = ?
A − B বরাবর একক ভেক্টর, n2 = ?
আমরা জানি, কোনো ভেক্টর R বরাবর একক ভেক্টর
n = RR
(i) A + B বরাবর:
A + B = (5 + 5)ı + (3 + 2)ȷ + (−4 + 4)k
= 10ı + 5ȷ
A + B = 100 + 25 = 125 = 55
∴ n1 = 10ı + 5ȷ55
= 25ı + 15ȷ
(ii) A − B বরাবর:
A − B = (5 − 5)ı + (3 − 2)ȷ + (−4 − 4)k
= ȷ − 8k
A − B = 1 + 64 = 65
∴ n2 = ȷ − 8k65
= 165ȷ − 865k
উত্তর: n1 = 25ı + 15ȷ; n2 = 165ȷ − 865k
দেওয়া আছে,
প্রথম বল, F1 = 4ı + 7ȷ + 2k
দ্বিতীয় বল, F2 = 3ı − 2ȷ − 2k
আদি অবস্থান, r1 = ı + 3ȷ + k
শেষ অবস্থান, r2 = 4ı + 8ȷ + k
কৃত কাজ, W = ?
লব্ধি বল, F = F1 + F2
= (4 + 3)ı + (7 − 2)ȷ + (2 − 2)k
= 7ı + 5ȷ
সরণ, d = r2 − r1
= (4 − 1)ı + (8 − 3)ȷ + (1 − 1)k
= 3ı + 5ȷ
আমরা জানি,
W = F·d
= (7)(3) + (5)(5) + (0)(0)
= 21 + 25
= 46 একক
উত্তর: 46 একক
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = 3ı + 4ȷ
দ্বিতীয় ভেক্টর, B = 7ı + 24ȷ
নির্ণেয় ভেক্টর, R = ?
আমরা জানি,
R = Ba, যেখানে a = AA
এখানে, A = A2x + A2y
= 9 + 16 = 25 = 5
B = 49 + 576 = 625 = 25
a = 3ı + 4ȷ5
∴ R = 25 × 3ı + 4ȷ5
= 5(3ı + 4ȷ)
= 15ı + 20ȷ
উত্তর: 15ı + 20ȷ
দেওয়া আছে,
A × B = 3 A·B
লব্ধির মান, A + B = ?
ধরি, A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ θ।
আমরা জানি,
A × B = ABsin θ এবং A·B = ABcos θ
প্রশ্নমতে, ABsin θ = 3ABcos θ
বা, tan θ = 3
∴ θ = 60°
আবার, আমরা জানি,
A + B = A2 + B2 + 2ABcos θ
= A2 + B2 + 2ABcos 60°
= A2 + B2 + 2AB × 12
= A2 + B2 + AB
উত্তর: A2 + B2 + AB
দেওয়া আছে,
আদিবেগের অনুভূমিক উপাংশ, ux = 1 m s−1
আদিবেগের উল্লম্ব উপাংশ, uy = 2 m s−1
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 10 m s−2 (ধরি)
গতিপথের সমীকরণ, y = f(x) = ?
আমরা জানি, অনুভূমিক দিকে ত্বরণ নেই, তাই
x = uxt
বা, x = 1 × t
∴ t = x
আবার, আমরা জানি,
y = uyt − 12gt2
= 2t − 12 × 10 × t2
= 2t − 5t2
t-এর মান বসিয়ে,
y = 2x − 5x2
(g = 9.8 m s−2 নিলে y = 2x − 4.9x2)
উত্তর: y = 2x − 5x2 (বা g = 9.8 m s−2 নিলে y = 2x − 4.9x2)
দেওয়া আছে,
অবস্থান ভেক্টর, r = 3xı − 2yȷ + 4zk
ডাইভারজেন্স, ∇·r = ?
আমরা জানি,
∇·r = ∂rx∂x + ∂ry∂y + ∂rz∂z
= ∂∂x(3x) + ∂∂y(−2y) + ∂∂z(4z)
= 3 − 2 + 4
= 5
উত্তর: 5
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টরের মান, A = 12
দ্বিতীয় ভেক্টরের মান, B = 5
লব্ধির মান, C = 13
মধ্যবর্তী কোণ, α = ?
আমরা জানি,
C2 = A2 + B2 + 2ABcos α
বা, 132 = 122 + 52 + 2 × 12 × 5 × cos α
বা, 169 = 144 + 25 + 120cos α
বা, 169 = 169 + 120cos α
বা, 120cos α = 0
বা, cos α = 0
∴ α = π2
উত্তর: π2 (বা 90°)
দেওয়া আছে,
পূর্বদিকে (সূর্যোদয়ের দিকে) গমন, s1 = 4 m
দক্ষিণ দিকে গমন, s2 = 3 m
দূরত্ব ও সরণের পার্থক্য, d − s = ?
পূর্বে 4 m ও দক্ষিণে 3 m পরস্পর লম্ব।
আমরা জানি,
অতিক্রান্ত দূরত্ব, d = s1 + s2
= 4 + 3 = 7 m
আবার, আমরা জানি, লম্ব দুটি সরণের লব্ধি
s = s21 + s22
= 42 + 32 = 25
= 5 m
∴ পার্থক্য = d − s = 7 − 5
= 2 m
উত্তর: 2 m
দেওয়া আছে,
ভেক্টর দুটির মান, P = Q = A
লব্ধির মান, R = A
মধ্যবর্তী কোণ, α = ?
আমরা জানি,
R2 = P2 + Q2 + 2PQcos α
বা, A2 = A2 + A2 + 2A2cos α
বা, A2 = 2A2(1 + cos α)
বা, 1 + cos α = 12
বা, cos α = −12
∴ α = 120°
উত্তর: 120°
দেওয়া আছে,
আদিবেগ, v1 = 40 km h−1
শেষবেগ, v2 = 42 km h−1
বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ, θ = 60°
বেগের পরিবর্তন, Δv = ?
আমরা জানি,
Δv = v2 − v1
∴ Δv = v21 + v22 − 2v1v2cos θ
= 402 + 422 − 2 × 40 × 42 × cos 60°
= 1600 + 1764 − 1680
= 1684
≈ 41.04 km h−1
উত্তর: 41.04 km h−1
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর 71.02 আসলে v21 + v22 + 2v1v2cos θ, অর্থাৎ বেগ দুটির যোগফলের মান। বেগের পরিবর্তন হলো বিয়োগফল, তাই সঠিক উত্তর 41.04 km h−1।
দেওয়া আছে,
প্রযুক্ত বল, F = 19.6 N
অনুভূমিকের সাথে কোণ, θ = 30°
রোলারের প্রকৃত ওজন, W (ধরি)
আপাত ওজনের পার্থক্য, ΔW = ?
আমরা জানি,
বলের উল্লম্ব উপাংশ, Fy = Fsin θ
= 19.6 × sin 30°
= 19.6 × 0.5 = 9.8 N
টানার সময় উপাংশটি উপরের দিকে, তাই আপাত ওজন = W − 9.8
ঠেলার সময় উপাংশটি নিচের দিকে, তাই আপাত ওজন = W + 9.8
∴ ΔW = (W + 9.8) − (W − 9.8)
= 19.6 N
উত্তর: 19.6 N
দেওয়া আছে,
বৃষ্টির উল্লম্ব বেগ, vr = 6 m s−1
উল্লম্বের সাথে বৃষ্টির আপাত কোণ, θ = 45°
আরোহীর বেগ, v = ?
আমরা জানি, আরোহীর সাপেক্ষে বৃষ্টি উল্লম্বের সাথে θ কোণে পড়লে,
tan θ = vvr
বা, tan 45° = v6
বা, 1 = v6
∴ v = 6 m s−1
উত্তর: 6 m s−1
দেওয়া আছে,
প্রথম তরঙ্গের বিস্তার, a1 = 4 একক
দ্বিতীয় তরঙ্গের বিস্তার, a2 = 5 একক
দশা পার্থক্য, δ = π3 = 60°
লব্ধি বিস্তার, A = ?
বিস্তার দুটিকে ভেক্টরের মতো যোগ করা যায়।
আমরা জানি,
A = a21 + a22 + 2a1a2cos δ
= 42 + 52 + 2 × 4 × 5 × cos 60°
= 16 + 25 + 20
= 61 ≈ 7.81 একক
উত্তর: 61 ≈ 7.81 একক
দেওয়া আছে,
প্রথম ভেক্টর, A = −2ı + 3ȷ + k
দ্বিতীয় ভেক্টর, C = ı + 2ȷ − 4k
ত্রিভুজের কোণগুলো = ?
আমরা জানি,
A·C = AxCx + AyCy + AzCz
= (−2)(1) + (3)(2) + (1)(−4)
= −2 + 6 − 4 = 0
∴ A ও C-এর মধ্যবর্তী কোণ 90°
আবার, আমরা জানি,
A = A2x + A2y + A2z
= 4 + 9 + 1 = 14
C = 1 + 4 + 16 = 21
সমকোণী ত্রিভুজে A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে,
আমরা জানি,
tan θ = লম্বভূমি = CA
বা, tan θ = 2114 = 1.5
বা, tan θ = 1.2247
∴ θ = 50.77°
তৃতীয় কোণ = 180° − 90° − 50.77°
= 39.23°
∴ কোণগুলো 90°, 50.77° ও 39.23°
উত্তর: 90°, 50.77° ও 39.23°