তাপগতিবিদ্যা

দেওয়া আছে,

বরফবিন্দুতে রোধ, R₀ = 2.00 Ω

স্টিমবিন্দুতে রোধ, R₁₀₀ = 2.73 Ω

নির্ণেয় তাপমাত্রায় রোধ, R_θ = 4.83 Ω

তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 4.83 − 2.002.73 − 2.00 × 100°C

বা, θ = 2.830.73 × 100°C

∴ θ = 387.67°C

উত্তর: 387.67°C

দেওয়া আছে,

বরফবিন্দুতে রোধ, R₀ = 46 Ω

স্টিমবিন্দুতে রোধ, R₁₀₀ = 51.6 Ω

তরলের স্ফুটনাঙ্কে রোধ, R_θ = 48.5 Ω

তরলের স্ফুটনাঙ্ক, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 48.5 − 4651.6 − 46 × 100°C

বা, θ = 2.55.6 × 100°C

∴ θ = 44.64°C

উত্তর: 44.64°C

দেওয়া আছে,

0°C তাপমাত্রায় রোধ, R₀ = 8 Ω

100°C তাপমাত্রায় রোধ, R₁₀₀ = 20 Ω

চুল্লিতে রোধ, R_θ = 32 Ω

চুল্লির তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 32 − 820 − 8 × 100°C

বা, θ = 2412 × 100°C

∴ θ = 200°C

উত্তর: 200°C

দেওয়া আছে,

0°C তাপমাত্রায় রোধ, R₀ = 10 Ω

100°C তাপমাত্রায় রোধ, R₁₀₀ = 20 Ω

চুল্লিতে রোধ, R_θ = 35 Ω

চুল্লির তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 35 − 1020 − 10 × 100°C

বা, θ = 2510 × 100°C

∴ θ = 250°C

উত্তর: 250°C

দেওয়া আছে,

0°C তাপমাত্রায় রোধ, R₀ = 10 Ω

100°C তাপমাত্রায় রোধ, R₁₀₀ = 25 Ω

চুল্লিতে রোধ, R_θ = 38 Ω

চুল্লির তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 38 − 1025 − 10 × 100°C

বা, θ = 2815 × 100°C

∴ θ = 186.67°C

উত্তর: 186.67°C

দেওয়া আছে,

0°C তাপমাত্রায় রোধ, R₀ = 12 Ω

100°C তাপমাত্রায় রোধ, R₁₀₀ = 24 Ω

তেলের বাথে রোধ, R_θ = 36 Ω

তেলের তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 36 − 1224 − 12 × 100°C

বা, θ = 2412 × 100°C

∴ θ = 200°C

উত্তর: 200°C

দেওয়া আছে,

বরফবিন্দুতে রোধ, R₀ = 2.00 Ω

বাষ্পবিন্দুতে রোধ, R₁₀₀ = 2.78 Ω

সালফারের স্ফুটনাঙ্কে রোধ, R_θ = 5.28 Ω

সালফারের স্ফুটনাঙ্ক, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 5.28 − 2.002.78 − 2.00 × 100°C

বা, θ = 3.280.78 × 100°C

∴ θ = 420.51°C

উত্তর: 420.51°C

দেওয়া আছে,

0°C তাপমাত্রায় রোধ, R₀ = 2.585 Ω

100°C তাপমাত্রায় রোধ, R₁₀₀ = 3.51 Ω

চুল্লিতে রোধ, R_θ = 9.098 Ω

চুল্লির তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি,

θ = R_θ − R₀R₁₀₀ − R₀ × 100°C

বা, θ = 9.098 − 2.5853.51 − 2.585 × 100°C

বা, θ = 6.5130.925 × 100°C

∴ θ = 704.11°C

উত্তর: 704.11°C

দেওয়া আছে,

বরফবিন্দুতে ত্রুটিপূর্ণ পাঠ, X₀ = 2°C

বাষ্পবিন্দুতে ত্রুটিপূর্ণ পাঠ, X₁₀₀ = 98°C

ত্রুটিপূর্ণ থার্মোমিটারের পাঠ, X = 60°C

প্রকৃত তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি, দুই স্কেলে একই তাপমাত্রার জন্য

θ − 0100 − 0 = X − X₀X₁₀₀ − X₀

বা, θ100 = 60 − 298 − 2

বা, θ100 = 5896

∴ θ = 5896 × 100°C

= 60.42°C

উত্তর: 60.42°C

দেওয়া আছে,

বরফবিন্দুতে ত্রুটিপূর্ণ পাঠ, X₀ = 3°C

বাষ্পবিন্দুতে ত্রুটিপূর্ণ পাঠ, X₁₀₀ = 107°C

ত্রুটিপূর্ণ থার্মোমিটারের পাঠ, X = 45°C

প্রকৃত তাপমাত্রা (ফারেনহাইট স্কেলে), F = ?

ধরি, প্রকৃত তাপমাত্রা সেলসিয়াস স্কেলে C।

আমরা জানি,

C − 0100 − 0 = X − X₀X₁₀₀ − X₀

বা, C100 = 45 − 3107 − 3

বা, C100 = 42104

∴ C = 40.385°C

আবার, আমরা জানি,

C5 = F − 329

∴ F = 95C + 32

= 95 × 40.385 + 32

= 72.69 + 32

= 104.69°F

উত্তর: 104.69°F

দেওয়া আছে,

জলপ্রপাতের উচ্চতা, h = 900 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পানির আপেক্ষিক তাপ, S = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

ধরি, পানির ভর = m

তাপমাত্রা বৃদ্ধি, Δθ = ?

নিচে পড়ার সময় পানির বিভবশক্তি mgh সম্পূর্ণ গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। এর অর্ধেক তাপে পরিণত হয়।

আমরা জানি,

Q = mSΔθ

এখানে, Q = 12mgh

∴ 12mgh = mSΔθ

বা, Δθ = gh2S

= 9.8 × 9002 × 4200

= 88208400

= 1.05 K বা 1.05°C

উত্তর: 1.05°C

দেওয়া আছে,

শোষিত তাপ, dQ = 800 J

অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধি, dU = 500 J

গ্যাস কর্তৃক কৃতকাজ, dW = ?

আমরা জানি,

dQ = dU + dW

∴ dW = dQ − dU

= 800 − 500

= 300 J

উত্তর: 300 J

দেওয়া আছে,

শোষিত তাপ, dQ = 7.56 × 10⁵ J

আয়তনের পরিবর্তন উপেক্ষণীয়, ∴ কৃতকাজ, dW = P dV = 0

অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধি, dU = ?

আমরা জানি,

dQ = dU + dW

বা, 7.56 × 10⁵ = dU + 0

∴ dU = 7.56 × 10⁵ J

উত্তর: 7.56 × 10⁵ J

দেওয়া আছে,

স্থির চাপ, P = 500 Pa

সরবরাহকৃত তাপ, dQ = 750 J

গ্যাস কর্তৃক কৃতকাজ, dW = 1250 J

আয়তনের পরিবর্তন, ΔV = ?

অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন, dU = ?

(i) আয়তনের পরিবর্তন নির্ণয়:

আমরা জানি,

dW = PΔV

∴ ΔV = dWP

= 1250500

= 2.5 m³

(ii) অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন নির্ণয়:

আমরা জানি,

dQ = dU + dW

∴ dU = dQ − dW

= 750 − 1250

= −500 J

অর্থাৎ অভ্যন্তরীণ শক্তি 500 J হ্রাস পায়।

উত্তর: আয়তনের পরিবর্তন 2.5 m³; অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন −500 J

দেওয়া আছে,

আয়তন বৃদ্ধি, ΔV = 50 cm³ = 50 × 10⁻⁶ m³

বায়ুর চাপ, P = 1 × 10⁵ N m⁻²

নির্গত তাপ, dQ = −40 J (তাপ বেরিয়ে যাওয়ায় ঋণাত্মক)

কৃতকাজ, dW = ?

অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন, dU = ?

(ক) কৃতকাজ নির্ণয়:

আমরা জানি,

dW = PΔV

= 1 × 10⁵ × 50 × 10⁻⁶

= 5 J

(খ) প্রথম সূত্র যাচাই:

আমরা জানি, তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র অনুযায়ী,

dQ = dU + dW

∴ dU = dQ − dW

= −40 − 5

= −45 J

অর্থাৎ কফির অভ্যন্তরীণ শক্তি 45 J হ্রাস পেয়েছে। কফি 40 J তাপ হারিয়েছে এবং আয়তন বাড়াতে বায়ুমণ্ডলের বিপরীতে 5 J কাজ করেছে — এই মোট 45 J শক্তি এসেছে কফির অভ্যন্তরীণ শক্তি থেকে।

যাচাই: dU + dW = −45 + 5 = −40 J = dQ

শক্তির কোনো সৃষ্টি বা বিনাশ হয়নি, তাই ঘটনাটি তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্রকে সমর্থন করে।

উত্তর: (ক) 5 J; (খ) dU = −45 J, অর্থাৎ dQ = dU + dW সিদ্ধ হয়, তাই এটি প্রথম সূত্রকে সমর্থন করে।

দেওয়া আছে,

স্থির চাপ, P = 300 Pa

সরবরাহকৃত তাপ, dQ = 600 J

সিস্টেম কর্তৃক কৃতকাজ, dW = 900 J

আয়তনের পরিবর্তন, ΔV = ?

(ক) আয়তনের পরিবর্তন নির্ণয়:

আমরা জানি,

dW = PΔV

∴ ΔV = dWP

= 900300

= 3 m³

(খ) শক্তির সংরক্ষণশীলতা যাচাই:

সিস্টেম 600 J তাপ পেয়ে 900 J কাজ করেছে। বাড়তি কাজের শক্তি কোথা থেকে এলো তা দেখতে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন বের করি।

আমরা জানি,

dQ = dU + dW

∴ dU = dQ − dW

= 600 − 900

= −300 J

অর্থাৎ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি 300 J কমেছে। সরবরাহকৃত 600 J তাপ ও অভ্যন্তরীণ শক্তি থেকে আসা 300 J মিলে মোট 900 J কাজ হয়েছে।

যাচাই: dU + dW = −300 + 900 = 600 J = dQ

সরবরাহকৃত তাপ = অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন + কৃতকাজ; শক্তির কোনো সৃষ্টি বা বিনাশ হয়নি। সুতরাং উদ্দীপকে শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি লঙ্ঘিত হয় না — উক্তিটি সত্য।

উত্তর: (ক) 3 m³; (খ) dU = −300 J এবং dQ = dU + dW সিদ্ধ হয়, তাই শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি লঙ্ঘিত হয় না।

দেওয়া আছে,

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

আদি চাপ, P₁ = 2 × 10⁵ Pa

চূড়ান্ত চাপ, P₂ = 3P₁ = 6 × 10⁵ Pa

গ্যাসের ভর, m = 14 g

আণবিক ভর, M = 28 g mol⁻¹

R = 8.31 J mol⁻¹K⁻¹, γ = 1.4

সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = ?

(ক) চূড়ান্ত আয়তন নির্ণয়:

আমরা জানি,

মোলসংখ্যা, n = mM

= 1428 = 0.5 mol

আবার, আমরা জানি,

P₁V₁ = nRT₁

∴ V₁ = nRT₁P₁

= 0.5 × 8.31 × 3002 × 10⁵

= 1246.52 × 10⁵

= 6.2325 × 10⁻³ m³

সমোষ্ণ প্রক্রিয়ার জন্য আমরা জানি,

P₁V₁ = P₂V₂

∴ V₂ = P₁V₁P₂

= P₁ × 6.2325 × 10⁻³3P₁

= 2.08 × 10⁻³ m³

(খ) উভয় প্রক্রিয়ায় কৃতকাজের তুলনা:

সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় গ্যাস কর্তৃক কৃতকাজ W হলে, আমরা জানি,

W = nRT₁ln P₁P₂

= 0.5 × 8.31 × 300 × ln 13

= 1246.5 × (−1.0986)

= −1369.4 J

∴ সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় গ্যাসের ওপর কৃতকাজ, W₁ = 1369.4 J

রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় চূড়ান্ত তাপমাত্রা T₂ হলে, আমরা জানি,

T₂T₁ = P₂P₁^{γ − 1γ}

বা, T₂ = 300 × (3)^{1.4 − 11.4}

= 300 × (3)^0.2857

= 300 × 1.3687

= 410.62 K

রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় গ্যাসের ওপর কৃতকাজ, আমরা জানি,

W₂ = nR(T₂ − T₁)γ − 1

= 0.5 × 8.31 × (410.62 − 300)1.4 − 1

= 4.155 × 110.620.4

= 459.630.4

= 1149.1 J

যেহেতু W₁ = 1369.4 J এবং W₂ = 1149.1 J, অর্থাৎ W₁ ≠ W₂, সুতরাং উভয় প্রক্রিয়ায় গ্যাসের ওপর কৃতকাজ সমান হবে না; সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় বেশি কাজ করতে হয়।

উত্তর: (ক) 2.08 × 10⁻³ m³; (খ) সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় 1369.4 J, রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় 1149.1 J, তাই কৃতকাজ সমান হবে না।

দেওয়া আছে,

সর্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, R = 8.31 J mol⁻¹K⁻¹

এক-পারমাণবিক গ্যাসের স্বাধীনতার মাত্রা, f = 3

স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ, C_v = ?

স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ, C_p = ?

আমরা জানি,

C_v = f2R

= 32 × 8.31

= 12.465 J mol⁻¹K⁻¹

আবার, আমরা জানি,

C_p − C_v = R

∴ C_p = C_v + R

= 12.465 + 8.31

= 20.775 J mol⁻¹K⁻¹

উত্তর: C_p = 20.775 J mol⁻¹K⁻¹; C_v = 12.465 J mol⁻¹K⁻¹

দেওয়া আছে,

সর্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, R = 8.31 J mol⁻¹K⁻¹

বহু-পারমাণবিক গ্যাসের স্বাধীনতার মাত্রা, f = 6

স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ, C_v = ?

স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ, C_p = ?

আমরা জানি,

C_v = f2R

= 62 × 8.31

= 3 × 8.31

= 24.93 J mol⁻¹K⁻¹

আবার, আমরা জানি,

C_p − C_v = R

∴ C_p = C_v + R

= 24.93 + 8.31

= 33.24 J mol⁻¹K⁻¹

উত্তর: C_p = 33.24 J mol⁻¹K⁻¹; C_v = 24.93 J mol⁻¹K⁻¹

দেওয়া আছে,

সর্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, R = 8.31 J mol⁻¹K⁻¹

অক্সিজেন (O₂) দ্বি-পারমাণবিক, ∴ স্বাধীনতার মাত্রা, f = 5

স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ, C_v = ?

স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ, C_p = ?

আমরা জানি,

C_v = f2R

= 52 × 8.31

= 20.775 J mol⁻¹K⁻¹

আবার, আমরা জানি,

C_p − C_v = R

∴ C_p = C_v + R

= 20.775 + 8.31

= 29.085 J mol⁻¹K⁻¹

উত্তর: C_v = 20.775 J mol⁻¹K⁻¹; C_p = 29.085 J mol⁻¹K⁻¹

দেওয়া আছে,

আদি চাপ (স্বাভাবিক চাপ), P₁ = 1 atm

আদি আয়তন V₁ হলে চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = V₁2

শুষ্ক বায়ুর জন্য, γ = 1.4

চূড়ান্ত চাপ, P₂ = ?

আমরা জানি, রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায়

P₁Vγ1 = P₂Vγ2

∴ P₂ = P₁V₁V₂^γ

= 1 × (2)^1.4

= 2.64 atm

উত্তর: 2.64 atm

দেওয়া আছে,

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 17°C = (17 + 273) K = 290 K

আদি আয়তন V₁ হলে চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = V₁10

এক-পরমাণুক গ্যাসের জন্য, γ = 53

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

হঠাৎ সংকোচন তাই প্রক্রিয়াটি রুদ্ধতাপীয়।

আমরা জানি,

T₁Vγ − 11 = T₂Vγ − 12

∴ T₂ = T₁V₁V₂^{γ − 1}

= 290 × (10)^{53 − 1}

= 290 × (10)²³

= 290 × 4.6416

= 1346.06 K

= (1346.06 − 273)°C

= 1073.06°C

উত্তর: 1073.06°C

দেওয়া আছে,

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 16°C = (16 + 273) K = 289 K

আদি আয়তন V₁ হলে চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = 2V₁

শুষ্ক বায়ুর জন্য, γ = 1.4

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

হঠাৎ প্রসারণ তাই প্রক্রিয়াটি রুদ্ধতাপীয়।

আমরা জানি,

T₁Vγ − 11 = T₂Vγ − 12

∴ T₂ = T₁V₁V₂^{γ − 1}

= 289 × 12^{1.4 − 1}

= 289 × (0.5)^0.4

= 289 × 0.7579

= 219.02 K

= (219.02 − 273)°C

= −53.98°C

উত্তর: −53.98°C

দেওয়া আছে,

আদি ব্যাসার্ধ, r₁ = 100 m

চূড়ান্ত ব্যাসার্ধ, r₂ = 1000 m

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 10⁵ K

গোলকের গ্যাসকে এক-পরমাণুক ধরে, γ = 53

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

গোলকের আয়তন V = 43πr³, ∴ V₁V₂ = r₁r₂³

আমরা জানি, রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায়

T₁Vγ − 11 = T₂Vγ − 12

∴ T₂ = T₁V₁V₂^{γ − 1}

= T₁r₁r₂^{3(γ − 1)}

= 10⁵ × 1001000^{3 × 23}

= 10⁵ × (0.1)²

= 10⁵ × 0.01

= 1000 K

উত্তর: 1000 K

লক্ষ করো: প্রশ্নে γ দেওয়া নেই; বই γ ≈ 1.66 ধরে 1047.13 K পেয়েছে। এক-পরমাণুক গ্যাসের জন্য γ = 53 নিলে উত্তর 1000 K।

দেওয়া আছে,

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 127°C = (127 + 273) K = 400 K

আদি আয়তন V₁ হলে চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = V₁3

γ = 1.4

তাপমাত্রার পরিবর্তন, ΔT = ?

হঠাৎ সংকোচন তাই প্রক্রিয়াটি রুদ্ধতাপীয়।

আমরা জানি,

T₁Vγ − 11 = T₂Vγ − 12

∴ T₂ = T₁V₁V₂^{γ − 1}

= 400 × (3)^{1.4 − 1}

= 400 × (3)^0.4

= 400 × 1.5518

= 620.74 K

∴ ΔT = T₂ − T₁

= 620.74 − 400

= 220.74 K বা 220.74°C

উত্তর: 220.74°C (বৃদ্ধি)

দেওয়া আছে,

আদি চাপ, P₁ = 1.2 atm

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 310 K

আদি আয়তন, V₁ = 4.3 L

চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = 0.76 L

γ = 1.4

চূড়ান্ত চাপ, P₂ = ?

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

(ক) চূড়ান্ত চাপ নির্ণয়:

আমরা জানি,

P₁Vγ1 = P₂Vγ2

∴ P₂ = P₁V₁V₂^γ

= 1.2 × 4.30.76^1.4

= 1.2 × (5.658)^1.4

= 1.2 × 11.317

= 13.58 atm

(খ) চূড়ান্ত তাপমাত্রা নির্ণয়:

আমরা জানি,

T₁Vγ − 11 = T₂Vγ − 12

∴ T₂ = T₁V₁V₂^{γ − 1}

= 310 × (5.658)^0.4

= 310 × 2.0001

= 620.05 K

উত্তর: (ক) 13.58 atm; (খ) 620.05 K

দেওয়া আছে,

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

আদি চাপ (বায়ুমণ্ডলীয় চাপ), P₁ = 1 atm

চূড়ান্ত চাপ, P₂ = 2 atm

বায়ুর জন্য, γ = 1.4

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

দ্রুত পাম্প করায় বায়ু রুদ্ধতাপীয়ভাবে 1 atm থেকে 2 atm চাপে সংকুচিত হয়।

আমরা জানি,

T₂T₁ = P₂P₁^{γ − 1γ}

∴ T₂ = T₁P₂P₁^{γ − 1γ}

= 300 × (2)^{1.4 − 11.4}

= 300 × (2)^0.2857

= 300 × 1.219

= 365.7 K

= (365.7 − 273)°C

= 92.7°C

উত্তর: 92.7°C

দেওয়া আছে,

আদি চাপ, P₁ = 30 atm

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 300 K

আদি আয়তন, V₁ = 10 L

চূড়ান্ত চাপ, P₂ = 2P₁ = 60 atm

বায়ুর জন্য, γ = 1.4

চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = ?

চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

(ক) হঠাৎ চাপ দ্বিগুণ (রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া):

আমরা জানি,

P₁Vγ1 = P₂Vγ2

∴ V₂ = V₁P₁P₂^1γ

= 10 × 12^11.4

= 10 × 0.6095

= 6.095 L

আবার, আমরা জানি,

T₂T₁ = P₂P₁^{γ − 1γ}

∴ T₂ = 300 × (2)^0.41.4

= 300 × 1.219

= 365.7 K

(খ) ধীরে ধীরে চাপ দ্বিগুণ (সমোষ্ণ প্রক্রিয়া):

সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় তাপমাত্রা স্থির থাকে, ∴ T₂ = T₁ = 300 K

আমরা জানি,

P₁V₁ = P₂V₂

∴ V₂ = P₁V₁P₂

= 30 × 1060

= 5 L

উত্তর: (ক) 6.095 L ও 365.7 K; (খ) 5 L ও 300 K

লক্ষ করো: (খ)-তে "উচ্চতা" ছাপার ভুল, হবে "উষ্ণতা"।

দেওয়া আছে,

মোলসংখ্যা, n = 1 mol

তাপমাত্রা, T₁ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

সমোষ্ণ প্রসারণে আয়তন V থেকে 2V

রুদ্ধতাপীয় সংকোচনে আয়তন 2V থেকে V

γ = 1.4, R = 8.4 J mol⁻¹K⁻¹

মোট কৃতকাজ, W = ?

(i) সমোষ্ণ প্রসারণে কৃতকাজ:

আমরা জানি,

W₁ = nRT₁ln V₂V₁

= 1 × 8.4 × 300 × ln 2VV

= 2520 × ln 2

= 2520 × 0.6931

= 1746.73 J

(ii) রুদ্ধতাপীয় সংকোচনের পর তাপমাত্রা:

আমরা জানি,

T₁Vγ − 11 = T₂Vγ − 12

∴ T₂ = T₁V₁V₂^{γ − 1}

= 300 × 2VV^0.4

= 300 × 1.3195

= 395.85 K

(iii) রুদ্ধতাপীয় সংকোচনে গ্যাস কর্তৃক কৃতকাজ:

আমরা জানি,

W₂ = nR(T₁ − T₂)γ − 1

= 1 × 8.4 × (300 − 395.85)1.4 − 1

= 8.4 × (−95.85)0.4

= −805.160.4

= −2012.90 J

(iv) মোট কৃতকাজ:

W = W₁ + W₂

= 1746.73 + (−2012.90)

= −266.17 J

অর্থাৎ পুরো প্রক্রিয়ায় গ্যাসের ওপর মোট 266.17 J কাজ করা হয়।

উত্তর: −266.17 J (গ্যাসের ওপর মোট 266.17 J কাজ)

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর 3760 J এসেছে দুই কাজের মান (1746.7 J ও 2012.9 J) চিহ্ন উপেক্ষা করে যোগ করায়। প্রসারণে গ্যাস কাজ করে (ধনাত্মক), সংকোচনে গ্যাসের ওপর কাজ হয় (ঋণাত্মক), তাই মোট কাজ −266.17 J।

দেওয়া আছে,

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

আদি আয়তন V₁ হলে চূড়ান্ত আয়তন, V₂ = V₁2

দ্বি-পরমাণুক গ্যাসের জন্য, γ = 1.4

R = 8.31 J mol⁻¹K⁻¹

গ্যাসের পরিমাণ দেওয়া নেই, ধরি n = 1 mol

শৈলীর প্রক্রিয়ায় চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T₂ = ?

(ক) শৈলীর (রুদ্ধতাপীয়) প্রক্রিয়ায় চূড়ান্ত তাপমাত্রা:

আমরা জানি,

T₁Vγ − 11 = T₂Vγ − 12

∴ T₂ = T₁V₁V₂^{γ − 1}

= 300 × (2)^{1.4 − 1}

= 300 × (2)^0.4

= 300 × 1.3195

= 395.85 K

= (395.85 − 273)°C

= 122.85°C

(খ) সুজন ও শৈলীর কাজের তুলনা:

সুজনের (সমোষ্ণ) প্রক্রিয়ায় কৃতকাজ, আমরা জানি,

W₁ = nRT₁ln V₂V₁

= 1 × 8.31 × 300 × ln 12

= 2493 × (−0.6931)

= −1728.0 J

শৈলীর (রুদ্ধতাপীয়) প্রক্রিয়ায় কৃতকাজ, আমরা জানি,

W₂ = nR(T₁ − T₂)γ − 1

= 1 × 8.31 × (300 − 395.85)1.4 − 1

= 8.31 × (−95.85)0.4

= −796.530.4

= −1991.33 J

ঋণাত্মক চিহ্ন বোঝায় গ্যাসের ওপর কাজ করা হয়েছে। মান তুলনা করলে, |W₂| = 1991.33 J > |W₁| = 1728.0 J

সুতরাং আয়তন অর্ধেক করতে শৈলী বেশি কাজ সম্পাদন করবে। রুদ্ধতাপীয় সংকোচনে তাপ বের হতে পারে না বলে তাপমাত্রা ও চাপ বেশি বাড়ে, তাই একই আয়তন কমাতে বেশি কাজ লাগে।

উত্তর: (ক) 122.85°C; (খ) সুজনের কাজ −1728.0 J, শৈলীর কাজ −1991.33 J; শৈলী বেশি কাজ সম্পাদন করবে।

লক্ষ করো: উদ্দীপকে গ্যাসের পরিমাণ দেওয়া নেই; বইয়ের মতো 1 mol ধরা হয়েছে। দুই কাজের অনুপাত n-এর ওপর নির্ভর করে না, তাই সিদ্ধান্ত একই থাকে।

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা (স্ফুটনাঙ্ক), T₁ = 100°C = 373 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা (হিমাঙ্ক), T₂ = 0°C = 273 K

দক্ষতা, η = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁ × 100%

= 1 − 273373 × 100%

= 100373 × 100%

= 26.81%

উত্তর: 26.81%

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 127°C = (127 + 273) K = 400 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

কর্মদক্ষতা, η = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁ × 100%

= 1 − 300400 × 100%

= 0.25 × 100%

= 25%

উত্তর: 25%

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 230°C = (230 + 273) K = 503 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

কর্মদক্ষতা, η = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁ × 100%

= 1 − 300503 × 100%

= 203503 × 100%

= 40.36%

উত্তর: 40.36%

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 400 K

গৃহীত তাপ, Q₁ = 840 J

বর্জিত তাপ, Q₂ = 630 J

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = ?

কর্মদক্ষতা, η = ?

(i) গ্রাহকের তাপমাত্রা নির্ণয়:

আমরা জানি, কার্নো ইঞ্জিনের জন্য

Q₂Q₁ = T₂T₁

∴ T₂ = Q₂Q₁ × T₁

= 630840 × 400

= 300 K

(ii) কর্মদক্ষতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

η = 1 − Q₂Q₁ × 100%

= 1 − 630840 × 100%

= 0.25 × 100%

= 25%

উত্তর: T₂ = 300 K; η = 25%

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 600 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 300 K

গৃহীত তাপ, Q₁ = 1200 J

বর্জিত তাপ, Q₂ = 600 J

দক্ষতা, η = ?

(ক) দক্ষতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

η = 1 − Q₂Q₁ × 100%

= 1 − 6001200 × 100%

= 0.5 × 100%

= 50%

(খ) প্রত্যাগামী না অপ্রত্যাগামী যাচাই:

আমরা জানি, প্রত্যাগামী ইঞ্জিনের জন্য

Q₁T₁ = Q₂T₂

এখানে, Q₁T₁ = 1200600 = 2 J K⁻¹

এবং Q₂T₂ = 600300 = 2 J K⁻¹

∴ Q₁T₁ = Q₂T₂, অর্থাৎ এনট্রপির মোট পরিবর্তন শূন্য।

আবার, একই তাপমাত্রার মধ্যে কার্নো (প্রত্যাগামী) ইঞ্জিনের দক্ষতা,

η_c = 1 − T₂T₁ × 100%

= 1 − 300600 × 100%

= 50%

ইঞ্জিনটির দক্ষতা কার্নো ইঞ্জিনের দক্ষতার সমান। সুতরাং তাপ ইঞ্জিনটি প্রত্যাগামী।

উত্তর: (ক) 50%; (খ) Q₁T₁ = Q₂T₂ শর্ত মেনে চলে, তাই ইঞ্জিনটি প্রত্যাগামী।

দেওয়া আছে,

দক্ষতা, η = 60% = 0.6

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 400 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

∴ T₂ = T₁(1 − η)

= 400 × (1 − 0.6)

= 400 × 0.4

= 160 K

উত্তর: 160 K

দেওয়া আছে,

দক্ষতা, η = 80% = 0.8

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 127°C = (127 + 273) K = 400 K

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

বা, T₂T₁ = 1 − η

∴ T₁ = T₂1 − η

= 4001 − 0.8

= 4000.2

= 2000 K

= (2000 − 273)°C = 1727°C

উত্তর: 2000 K বা 1727°C

দেওয়া আছে,

কর্মদক্ষতা, η = 40% = 0.4

তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

∴ T₁ = T₂1 − η

= 3001 − 0.4

= 3000.6

= 500 K

= (500 − 273)°C = 227°C

উত্তর: 500 K বা 227°C

দেওয়া আছে,

গৃহীত তাপ, Q₁ = 3400 J

বর্জিত তাপ, Q₂ = 2400 J

কাজ, W = ?

দক্ষতা, η = ?

(i) কাজ নির্ণয়:

আমরা জানি,

W = Q₁ − Q₂

= 3400 − 2400

= 1000 J

(ii) দক্ষতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

η = WQ₁ × 100%

= 10003400 × 100%

= 29.41%

উত্তর: কাজ 1000 J, দক্ষতা 29.41%

দেওয়া আছে,

তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 30°C = (30 + 273) K = 303 K

প্রাথমিক কর্মদক্ষতা, η = 40% = 0.4

পরিবর্তিত কর্মদক্ষতা, η′ = 75% = 0.75

প্রাথমিক উৎস তাপমাত্রা, T₁ = ?

পরিবর্তিত উৎস তাপমাত্রা, T₁′ = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

∴ T₁ = T₂1 − η

= 3031 − 0.4

= 3030.6

= 505 K

আবার, T₁′ = T₂1 − η′

= 3031 − 0.75

= 3030.25

= 1212 K

∴ উৎসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি, ΔT = T₁′ − T₁

= 1212 − 505

= 707 K

উত্তর: উৎসের তাপমাত্রা 707 K বাড়াতে হবে।

দেওয়া আছে,

তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 7°C = (7 + 273) K = 280 K

প্রাথমিক দক্ষতা, η = 50% = 0.5

পরিবর্তিত দক্ষতা, η′ = 70% = 0.7

উৎসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি, ΔT = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

∴ T₁ = T₂1 − η

= 2801 − 0.5

= 2800.5

= 560 K

আবার, T₁′ = T₂1 − η′

= 2801 − 0.7

= 2800.3

= 933.33 K

∴ ΔT = T₁′ − T₁

= 933.33 − 560

= 373.33 K

উত্তর: উৎসের তাপমাত্রা 373.33 K বৃদ্ধি করতে হবে।

দেওয়া আছে,

তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

প্রাথমিক কর্মদক্ষতা, η = 50% = 0.5

পরিবর্তিত কর্মদক্ষতা, η′ = 60% = 0.6

উৎসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি, ΔT = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

∴ T₁ = T₂1 − η

= 3001 − 0.5

= 600 K

আবার, T₁′ = T₂1 − η′

= 3001 − 0.6

= 3000.4

= 750 K

∴ ΔT = T₁′ − T₁

= 750 − 600

= 150 K

তাপমাত্রার পার্থক্য কেলভিন ও সেলসিয়াস স্কেলে সমান, ∴ ΔT = 150°C

উত্তর: উৎসের তাপমাত্রা 150°C বাড়াতে হবে।

দেওয়া আছে,

প্রথম ক্ষেত্রে উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 800 K

প্রথম ক্ষেত্রে গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 400 K

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂′ = 900 K

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে উৎসের তাপমাত্রা, T = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

প্রশ্নমতে, দুই ক্ষেত্রে দক্ষতা সমান,

1 − T₂T₁ = 1 − T₂′T

বা, T₂T₁ = T₂′T

বা, 400800 = 900T

∴ T = 900 × 800400

= 1800 K

উত্তর: T = 1800 K

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 327°C = (327 + 273) K = 600 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 27°C = (27 + 273) K = 300 K

কর্মদক্ষতা, η = ?

(i) কর্মদক্ষতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁ × 100%

= 1 − 300600 × 100%

= (1 − 0.5) × 100%

= 50%

(ii) কর্মদক্ষতা দ্বিগুণ করা সম্ভব কিনা:

দক্ষতা দ্বিগুণ হলে, η′ = 2 × 50% = 100% = 1

আমরা জানি,

η′ = 1 − T₂′T₁′

বা, 1 = 1 − T₂′T₁′

বা, T₂′T₁′ = 0

অর্থাৎ, হয় T₂′ = 0 K হতে হবে, নয়তো T₁′ = ∞ হতে হবে।

কিন্তু তাপগতিবিদ্যার তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী পরম শূন্য তাপমাত্রায় পৌঁছানো সম্ভব নয়, আবার অসীম তাপমাত্রার উৎসও বাস্তবে পাওয়া যায় না। তাছাড়া দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী কোনো ইঞ্জিনই সম্পূর্ণ তাপকে কাজে রূপান্তর করতে পারে না।

∴ এর কর্মদক্ষতা দ্বিগুণ করা সম্ভব নয়।

উত্তর: কর্মদক্ষতা 50%; দ্বিগুণ করা সম্ভব নয়।

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 510 K

শোষিত তাপ, Q₁ = 1400 J

বর্জিত তাপ, Q₂ = 800 J

পরিবর্তিত কর্মদক্ষতা, η′ = 54% = 0.54

(ক) কর্মদক্ষতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

η = 1 − Q₂Q₁ × 100%

= 1 − 8001400 × 100%

= (1 − 0.5714) × 100%

= 42.86%

(খ) কর্মদক্ষতা 54% করার উপায়:

প্রথমে গ্রাহকের তাপমাত্রা T₂ নির্ণয় করি।

আমরা জানি, কার্নো ইঞ্জিনের জন্য,

Q₂Q₁ = T₂T₁

∴ T₂ = Q₂Q₁ × T₁

= 8001400 × 510

= 291.43 K

উপায় ১: গ্রাহকের তাপমাত্রা T₂ স্থির রেখে উৎসের তাপমাত্রা বাড়িয়ে T₁′ করা।

আমরা জানি,

η′ = 1 − T₂T₁′

∴ T₁′ = T₂1 − η′

= 291.431 − 0.54

= 291.430.46

= 633.54 K

∴ উৎসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি = T₁′ − T₁

= 633.54 − 510

= 123.54 K

উপায় ২: উৎসের তাপমাত্রা T₁ স্থির রেখে গ্রাহকের তাপমাত্রা কমিয়ে T₂′ করা।

আমরা জানি,

η′ = 1 − T₂′T₁

∴ T₂′ = T₁(1 − η′)

= 510 × (1 − 0.54)

= 510 × 0.46

= 234.6 K

∴ গ্রাহকের তাপমাত্রা হ্রাস = T₂ − T₂′

= 291.43 − 234.6

= 56.83 K

অতএব, উৎসের তাপমাত্রা 123.54 K বাড়িয়ে অথবা তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা 56.83 K কমিয়ে ইঞ্জিনটির কর্মদক্ষতা 54% করা যায়।

উত্তর: (ক) 42.86%; (খ) উৎসের তাপমাত্রা 123.54 K বৃদ্ধি করে অথবা তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা 56.83 K হ্রাস করে।

দেওয়া আছে,

বর্জিত তাপ, Q₂ = 300 J

কাজ, W = 14Q₁

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 350 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 310 K

উৎস হতে গৃহীত তাপ, Q₁ = ?

(ক) উৎস হতে গৃহীত তাপ নির্ণয়:

আমরা জানি,

Q₁ = W + Q₂

বা, Q₁ = 14Q₁ + Q₂

বা, Q₁ − 14Q₁ = Q₂

বা, 34Q₁ = 300

∴ Q₁ = 300 × 43

= 400 J

(খ) ইঞ্জিনটিকে প্রত্যাগামী করার শর্ত বিশ্লেষণ:

ইঞ্জিনটির প্রকৃত দক্ষতা,

η = WQ₁ = 14 = 0.25 = 25%

আমরা জানি, প্রত্যাগামী (কার্নো) ইঞ্জিনের দক্ষতা,

η_c = 1 − T₂T₁

= 1 − 310350

= 0.1143 = 11.43%

η ≠ η_c, তাই ইঞ্জিনটি প্রত্যাগামী নয়। একে প্রত্যাগামী করতে হলে তাপমাত্রা অথবা তাপের পরিমাণ পরিবর্তন করতে হবে।

i. তাপমাত্রা পরিবর্তন করে (η = 0.25 ধরে রেখে):

গ্রাহকের তাপমাত্রা 310 K স্থির রাখলে, উৎসের প্রয়োজনীয় তাপমাত্রা,

η = 1 − T₂T₁′

∴ T₁′ = T₂1 − η

= 3101 − 0.25

= 3100.75

= 413.33 K

∴ উৎসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি = 413.33 − 350 = 63.33 K

আবার, উৎসের তাপমাত্রা 350 K স্থির রাখলে, গ্রাহকের প্রয়োজনীয় তাপমাত্রা,

T₂′ = T₁(1 − η)

= 350 × 0.75

= 262.5 K

∴ গ্রাহকের তাপমাত্রা হ্রাস = 310 − 262.5 = 47.5 K

ii. তাপের পরিমাণ পরিবর্তন করে (তাপমাত্রা অপরিবর্তিত রেখে):

আমরা জানি, প্রত্যাগামী ইঞ্জিনের জন্য,

Q₁T₁ = Q₂T₂

বর্জিত তাপ Q₂ = 300 J স্থির রাখলে,

Q₁′ = Q₂ × T₁T₂

= 300 × 350310

= 338.71 J

∴ উৎসে গৃহীত তাপ কমাতে হবে = 400 − 338.71 = 61.29 J

আবার, গৃহীত তাপ Q₁ = 400 J স্থির রাখলে,

Q₂′ = Q₁ × T₂T₁

= 400 × 310350

= 354.29 J

∴ গ্রাহকে বর্জিত তাপ বাড়াতে হবে = 354.29 − 300 = 54.29 J

উত্তর: (ক) 400 J; (খ) i. উৎসের তাপমাত্রা 63.33 K বৃদ্ধি করে বা তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা 47.5 K হ্রাস করে; ii. উৎসে গৃহীত তাপ 61.29 J কমিয়ে বা তাপগ্রাহকে বর্জিত তাপ 54.29 J বাড়িয়ে।

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 200°C = (200 + 273) K = 473 K

গৃহীত তাপ, Q₁ = 600 J

বর্জিত তাপ, Q₂ = 400 J

তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = ?

(ক) তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা নির্ণয়:

আমরা জানি, কার্নো ইঞ্জিনের জন্য,

Q₂Q₁ = T₂T₁

∴ T₂ = Q₂Q₁ × T₁

= 400600 × 473

= 315.33 K

(খ) গবেষকের উক্তির যথার্থতা বিশ্লেষণ:

ইঞ্জিনটির বর্তমান দক্ষতা,

η = 1 − Q₂Q₁ = 1 − 400600

= 0.3333 = 33.33%

উৎসের তাপমাত্রা T₁ = 473 K অপরিবর্তিত রেখে দক্ষতা η′ = 70% = 0.7 করতে চাইলে গ্রাহকের তাপমাত্রা T₂′ হতে হবে,

আমরা জানি,

η′ = 1 − T₂′T₁

∴ T₂′ = T₁(1 − η′)

= 473 × (1 − 0.7)

= 473 × 0.3

= 141.9 K

= (141.9 − 273)°C = −131.1°C

এই তাপমাত্রা পরম শূন্যের চেয়ে বেশি, তাই তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা 315.33 K থেকে কমিয়ে 141.9 K করলে উৎসের তাপমাত্রা পরিবর্তন না করেও দক্ষতা 70% পাওয়া সম্ভব।

∴ গবেষকের উক্তিটি যথার্থ।

উত্তর: (ক) 315.33 K; (খ) তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা 141.9 K বা −131.1°C করা হলে দক্ষতা 70% পাওয়া সম্ভব, তাই উক্তিটি যথার্থ।

দেওয়া আছে,

প্রাথমিক দক্ষতা, η = 16

পরিবর্তিত দক্ষতা, η′ = 13

গ্রাহকের তাপমাত্রা হ্রাস = 65°C = 65 K

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = ?

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

প্রথম ক্ষেত্রে,

16 = 1 − T₂T₁

বা, T₂T₁ = 1 − 16 = 56

∴ T₂ = 56T₁ ……(i)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,

13 = 1 − T₂ − 65T₁

বা, T₂ − 65T₁ = 1 − 13 = 23

∴ T₂ − 65 = 23T₁ ……(ii)

(i) নং মান (ii) নং-এ বসিয়ে,

56T₁ − 65 = 23T₁

বা, 56T₁ − 46T₁ = 65

বা, 16T₁ = 65

∴ T₁ = 390 K

= (390 − 273)°C = 117°C

(i) নং থেকে,

T₂ = 56 × 390

= 325 K

= (325 − 273)°C = 52°C

উত্তর: T₁ = 390 K বা 117°C; T₂ = 325 K বা 52°C

দেওয়া আছে,

প্রাথমিক দক্ষতা, η = 16

পরিবর্তিত দক্ষতা, η′ = 2 × 16 = 13

নিম্ন তাপমাত্রা হ্রাস = 60°C = 60 K

উচ্চ তাপমাত্রা, T₁ = ?

নিম্ন তাপমাত্রা, T₂ = ?

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

প্রথম ক্ষেত্রে,

16 = 1 − T₂T₁

∴ T₂ = 56T₁ ……(i)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,

13 = 1 − T₂ − 60T₁

∴ T₂ − 60 = 23T₁ ……(ii)

(i) নং মান (ii) নং-এ বসিয়ে,

56T₁ − 60 = 23T₁

বা, 56T₁ − 46T₁ = 60

বা, 16T₁ = 60

∴ T₁ = 360 K

= (360 − 273)°C = 87°C

(i) নং থেকে,

T₂ = 56 × 360

= 300 K

= (300 − 273)°C = 27°C

উত্তর: উচ্চতাপমাত্রা 87°C (360 K), নিম্নতাপমাত্রা 27°C (300 K)

দেওয়া আছে,

গৃহীত ও বর্জিত তাপের অনুপাত, Q₁:Q₂ = 5:2

গৃহীত তাপ, Q₁ = 1200 J

উৎসের তাপমাত্রা 110 K বাড়ালে দক্ষতা, η′ = 70% = 0.7

(ক) দক্ষতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

η = 1 − Q₂Q₁ × 100%

= 1 − 25 × 100%

= 0.6 × 100%

= 60%

(খ) প্রত্যাবর্তী হওয়ার শর্ত বিশ্লেষণ:

বর্জিত তাপ,

Q₂ = 25Q₁ = 25 × 1200 = 480 J

এখন উৎস ও গ্রাহকের তাপমাত্রা T₁ ও T₂ নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

প্রথম ক্ষেত্রে,

0.6 = 1 − T₂T₁

∴ T₂ = 0.4T₁ ……(i)

উৎসের তাপমাত্রা 110 K বাড়ালে,

0.7 = 1 − T₂T₁ + 110

∴ T₂ = 0.3(T₁ + 110) ……(ii)

(i) ও (ii) থেকে,

0.4T₁ = 0.3T₁ + 33

বা, 0.1T₁ = 33

∴ T₁ = 330 K

(i) থেকে, T₂ = 0.4 × 330 = 132 K

আমরা জানি, প্রত্যাবর্তী ইঞ্জিনের শর্ত,

Q₁T₁ = Q₂T₂

এখানে,

Q₁T₁ = 1200330 = 3.64 J K⁻¹

Q₂T₂ = 480132 = 3.64 J K⁻¹

∴ Q₁T₁ = Q₂T₂

অর্থাৎ, তাপ উৎসের তাপমাত্রা (330 K) অপরিবর্তিত রেখে গ্রাহকের তাপমাত্রা 132 K এবং বর্জিত তাপ 480 J হলে ইঞ্জিনটি প্রত্যাবর্তী ইঞ্জিনের শর্ত মেনে চলে। প্রদত্ত তথ্যে ইঞ্জিনটি এই শর্ত মেনে চলে, অতএব এটি একটি প্রত্যাবর্তী ইঞ্জিন।

উত্তর: (ক) 60%; (খ) Q₁ = 1200 J, Q₂ = 480 J, T₁ = 330 K ও T₂ = 132 K হওয়ায় ইঞ্জিনটি Q₁T₁ = Q₂T₂ শর্ত মেনে চলে, অতএব এটি একটি প্রত্যাবর্তী ইঞ্জিন।

দেওয়া আছে,

কর্মসম্পাদন সহগ, K = 4.6

ঠাণ্ডা প্রকোষ্ঠ থেকে অপসারিত তাপ, Q₂ = 250 J

কৃতকাজ, W = ?

আমরা জানি,

K = Q₂W

∴ W = Q₂K

= 2504.6

= 54.35 J

উত্তর: 54.35 J

দেওয়া আছে,

বরফের ভর, m = 0.50 kg

তাপমাত্রা, T = 0°C = 273 K

বরফ গলনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, l_f = 3.36 × 10⁵ J kg⁻¹

এনট্রপির পরিবর্তন, ΔS = ?

আমরা জানি,

ΔS = QT = ml_fT

= 0.50 × 3.36 × 10⁵273

= 1.68 × 10⁵273

= 615.38 J K⁻¹

উত্তর: 615.38 J K⁻¹

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m = 5 kg

তাপমাত্রা, T = 100°C = (100 + 273) K = 373 K

বাষ্পীভবনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, l_v = 2.26 × 10⁶ J kg⁻¹

এনট্রপির পরিবর্তন, ΔS = ?

আমরা জানি,

ΔS = QT = ml_vT

= 5 × 2.26 × 10⁶373

= 1.13 × 10⁷373

= 30294.91 J K⁻¹

উত্তর: 30294.91 J K⁻¹

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m = 0.5 kg

তাপমাত্রা, T = 100°C = 373 K

পানির বাষ্পীভবনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ (জানা মান), l_v = 2.26 × 10⁶ J kg⁻¹

এনট্রপির পরিবর্তন, ΔS = ?

আমরা জানি,

ΔS = ml_vT

= 0.5 × 2.26 × 10⁶373

= 1.13 × 10⁶373

= 3029.49 J K⁻¹

উত্তর: 3029.49 J K⁻¹

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m = 4 kg

তাপমাত্রা, T = 100°C = 373 K

পানির বাষ্পীভবনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ (জানা মান), l_v = 2.26 × 10⁶ J kg⁻¹

এনট্রপির বৃদ্ধি, ΔS = ?

আমরা জানি,

ΔS = ml_vT

= 4 × 2.26 × 10⁶373

= 9.04 × 10⁶373

= 24235.92 J K⁻¹

= 2.42 × 10⁴ J K⁻¹

উত্তর: 2.42 × 10⁴ J K⁻¹

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m = 5 kg

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 0°C = 273 K

শেষ তাপমাত্রা, T₂ = 100°C = 373 K

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

এনট্রপির পরিবর্তন, ΔS = ?

আমরা জানি,

ΔS = msln T₂T₁

= 5 × 4200 × ln 373273

= 21000 × 0.3121

= 6554.24 J K⁻¹

উত্তর: 6554.24 J K⁻¹

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m = 5.0 kg

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 10°C = (10 + 273) K = 283 K

শেষ তাপমাত্রা, T₂ = 100°C = 373 K

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4.2 × 10³ J kg⁻¹K⁻¹

এনট্রপির পরিবর্তন, ΔS = ?

আমরা জানি,

ΔS = msln T₂T₁

= 5.0 × 4.2 × 10³ × ln 373283

= 21000 × 0.2761

= 5798.76 J K⁻¹

≈ 5.8 × 10³ J K⁻¹

উত্তর: 5.8 × 10³ J K⁻¹

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m = 1 kg

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 100°C = 373 K

শেষ তাপমাত্রা, T₂ = 0°C = 273 K

বরফ গলনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, l_f = 336000 J kg⁻¹

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

মোট এনট্রপির পরিবর্তন, ΔS = ?

(i) 100°C-এর পানিকে 0°C-এর পানিতে পরিণত করতে এনট্রপির পরিবর্তন:

আমরা জানি,

ΔS₁ = msln T₂T₁

= 1 × 4200 × ln 273373

= 4200 × (−0.3121)

= −1310.85 J K⁻¹

(ii) 0°C-এর পানিকে 0°C-এর বরফে পরিণত করতে এনট্রপির পরিবর্তন (তাপ বর্জিত হয়, তাই ঋণাত্মক):

আমরা জানি,

ΔS₂ = −ml_fT₂

= −1 × 336000273

= −1230.77 J K⁻¹

∴ মোট এনট্রপির পরিবর্তন,

ΔS = ΔS₁ + ΔS₂

= −1310.85 + (−1230.77)

= −2541.62 J K⁻¹

উত্তর: −2541.62 J K⁻¹

দেওয়া আছে,

উৎসের তাপমাত্রা, T₁ = 550°C = (550 + 273) K = 823 K

গ্রাহকের তাপমাত্রা, T₂ = 138°C = (138 + 273) K = 411 K

সমোষ্ণ প্রসারণে গৃহীত তাপ, Q₁ = 750 J

(ক) তৃতীয় ধাপে এনট্রপির পরিবর্তন:

কার্নো চক্রের ধাপগুলো: A → B সমোষ্ণ প্রসারণ, B → C রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ, C → D সমোষ্ণ সংকোচন, D → A রুদ্ধতাপীয় সংকোচন। অর্থাৎ তৃতীয় ধাপ C → D হলো T₂ তাপমাত্রায় সমোষ্ণ সংকোচন, যেখানে Q₂ তাপ বর্জিত হয়।

আমরা জানি, প্রত্যাবর্তী ইঞ্জিনের জন্য,

Q₁T₁ = Q₂T₂

∴ তৃতীয় ধাপে এনট্রপির পরিবর্তন,

ΔS₃ = −Q₂T₂ = −Q₁T₁

= −750823

= −0.911 J K⁻¹

অর্থাৎ, তৃতীয় ধাপে এনট্রপি 0.911 J K⁻¹ হ্রাস পায়।

(খ) দক্ষতা দ্বিগুণ করার সম্ভাব্যতা বিশ্লেষণ:

আমরা জানি,

η = 1 − T₂T₁

= 1 − 411823

= 1 − 0.4994

= 0.5006 = 50.06%

দক্ষতা দ্বিগুণ হলে, η′ = 2 × 0.5006 = 1.0012

উপায় ১: উৎসের তাপমাত্রা T₁ স্থির রেখে গ্রাহকের তাপমাত্রা T₂′ করলে,

η′ = 1 − T₂′T₁

∴ T₂′ = T₁(1 − η′)

= 823 × (1 − 1.0012)

= −1 K (প্রায়)

ঋণাত্মক পরম তাপমাত্রা সম্ভব নয়।

উপায় ২: গ্রাহকের তাপমাত্রা T₂ স্থির রেখে উৎসের তাপমাত্রা T₁′ করলে,

η′ = 1 − T₂T₁′

বা, T₂T₁′ = 1 − 1.0012 = −0.0012

এটিও অসম্ভব, কারণ T₂ ও T₁′ উভয়ই ধনাত্মক।

এমনকি উৎসের তাপমাত্রা অসীম বা গ্রাহকের তাপমাত্রা পরম শূন্য করা হলেও দক্ষতা সর্বোচ্চ 100% হয়, যা বাস্তবে অর্জন করা সম্ভব নয়। আর দক্ষতা দ্বিগুণ করতে 100%-এর চেয়েও বেশি দক্ষতা প্রয়োজন।

∴ কোনো ব্যবস্থাতেই এই ইঞ্জিনের দক্ষতা দ্বিগুণ করা সম্ভব নয়।

উত্তর: (ক) −0.911 J K⁻¹ (এনট্রপি 0.911 J K⁻¹ হ্রাস পায়); (খ) দক্ষতা দ্বিগুণ করতে 100%-এর বেশি দক্ষতা লাগে, যা উৎসের তাপমাত্রা অসীম বা গ্রাহকের তাপমাত্রা শূন্য করেও সম্ভব নয়।

লক্ষ করো: বইয়ে (ক)-এর উত্তর 0.911 J K⁻¹ দেওয়া আছে; তৃতীয় ধাপে তাপ বর্জিত হয় বলে চিহ্নসহ মান −0.911 J K⁻¹।

দেওয়া আছে,

বরফের ভর, m₁ = 15 g = 0.015 kg

বরফের তাপমাত্রা = 0°C

পানির ভর, m₂ = 60 g = 0.06 kg

পানির তাপমাত্রা = 60°C

বরফ গলনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ (জানা মান), l_f = 336000 J kg⁻¹

পানির আপেক্ষিক তাপ (জানা মান), s = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

মিশ্রণের তাপমাত্রা, θ = ?

আমরা জানি,

বর্জিত তাপ = গৃহীত তাপ

গরম পানি কর্তৃক বর্জিত তাপ = m₂s(60 − θ)

বরফ কর্তৃক গৃহীত তাপ = m₁l_f + m₁s(θ − 0)

∴ m₂s(60 − θ) = m₁l_f + m₁sθ

বা, 0.06 × 4200 × (60 − θ)

= 0.015 × 336000 + 0.015 × 4200 × θ

বা, 252(60 − θ) = 5040 + 63θ

বা, 15120 − 252θ = 5040 + 63θ

বা, 315θ = 10080

∴ θ = 10080315

= 32°C

উত্তর: 32°C

দেওয়া আছে,

বরফের ভর, m₁ = 505 g = 0.505 kg

বরফের তাপমাত্রা, T₀ = 0°C = 273 K

পানির ভর, m₂ = 4.8 kg

পানির তাপমাত্রা, T_h = 47.5°C = (47.5 + 273) K = 320.5 K

বরফ গলনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, l_f = 336000 J kg⁻¹

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

(ক) বরফ গলার ফলে এনট্রপির পরিবর্তন:

আমরা জানি,

ΔS₁ = m₁l_fT₀

= 0.505 × 336000273

= 169680273

= 621.54 J K⁻¹

(খ) মিশ্রণের মোট এনট্রপির পরিবর্তন:

প্রথমে মিশ্রণের চূড়ান্ত তাপমাত্রা θ নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

বর্জিত তাপ = গৃহীত তাপ

m₂s(47.5 − θ) = m₁l_f + m₁sθ

বা, 4.8 × 4200 × (47.5 − θ)

= 169680 + 0.505 × 4200 × θ

বা, 20160(47.5 − θ) = 169680 + 2121θ

বা, 957600 − 20160θ = 169680 + 2121θ

বা, 22281θ = 787920

∴ θ = 78792022281

= 35.36°C

∴ চূড়ান্ত তাপমাত্রা, T = (35.36 + 273) K = 308.36 K

বরফগলা পানি 273 K থেকে 308.36 K-এ উন্নীত হওয়ায় এনট্রপির পরিবর্তন,

আমরা জানি,

ΔS₂ = m₁sln TT₀

= 0.505 × 4200 × ln 308.36273

= 2121 × 0.1218

= 258.35 J K⁻¹

গরম পানি 320.5 K থেকে 308.36 K-এ শীতল হওয়ায় এনট্রপির পরিবর্তন,

ΔS₃ = m₂sln TT_h

= 4.8 × 4200 × ln 308.36320.5

= 20160 × (−0.0386)

= −778.28 J K⁻¹

∴ মোট এনট্রপির পরিবর্তন,

ΔS = ΔS₁ + ΔS₂ + ΔS₃

= 621.54 + 258.35 − 778.28

= 101.61 J K⁻¹

মোট এনট্রপি বৃদ্ধি পায়, যা অপ্রত্যাবর্তী মিশ্রণ প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্য।

উত্তর: (ক) 621.54 J K⁻¹; (খ) 101.61 J K⁻¹

দেওয়া আছে,

A প্রক্রিয়ায় পানির ভর, m_A = 2 kg

B প্রক্রিয়ায় পানির ভর, m_B = 5 kg

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

বাষ্পীভবনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, l_v = 2.26 × 10⁶ J kg⁻¹

(ক) A প্রক্রিয়ায় মোট প্রয়োজনীয় তাপ:

0°C-এর পানিকে 100°C-এ উন্নীত করতে প্রয়োজনীয় তাপ,

আমরা জানি,

Q₁ = m_AsΔθ

= 2 × 4200 × (100 − 0)

= 840000 J

100°C-এর পানিকে বাষ্পে পরিণত করতে প্রয়োজনীয় তাপ,

Q₂ = m_Al_v

= 2 × 2.26 × 10⁶

= 4520000 J

∴ মোট তাপ, Q = Q₁ + Q₂

= 840000 + 4520000

= 5360000 J = 5.36 × 10⁶ J

(খ) কোন প্রক্রিয়ায় বিশৃঙ্খলার মাত্রা বেশি:

এনট্রপি হলো বিশৃঙ্খলার পরিমাপ; যে প্রক্রিয়ায় এনট্রপির পরিবর্তন বেশি, সেখানে বিশৃঙ্খলার মাত্রা বেশি।

A প্রক্রিয়ার জন্য:

0°C (273 K) থেকে 100°C (373 K)-এ উন্নীত হওয়ায় এনট্রপির পরিবর্তন,

আমরা জানি,

ΔS₁ = m_Asln T₂T₁

= 2 × 4200 × ln 373273

= 8400 × 0.3121

= 2621.70 J K⁻¹

বাষ্পীভবনের ফলে এনট্রপির পরিবর্তন,

ΔS₂ = m_Al_vT₂

= 4520000373

= 12117.96 J K⁻¹

∴ ΔS_A = ΔS₁ + ΔS₂

= 2621.70 + 12117.96

= 14739.66 J K⁻¹ ≈ 1.47 × 10⁴ J K⁻¹

B প্রক্রিয়ার জন্য:

10°C (283 K) থেকে 100°C (373 K)-এ উন্নীত হওয়ায়,

ΔS_B = m_Bsln T₂T₁′

= 5 × 4200 × ln 373283

= 21000 × 0.2761

= 5798.76 J K⁻¹ ≈ 5.8 × 10³ J K⁻¹

যেহেতু ΔS_A > ΔS_B, তাই A প্রক্রিয়ায় বিশৃঙ্খলার মাত্রা বেশি।

উত্তর: (ক) 5.36 × 10⁶ J; (খ) A প্রক্রিয়ায় এনট্রপির পরিবর্তন 1.47 × 10⁴ J K⁻¹ এবং B প্রক্রিয়ায় 5.8 × 10³ J K⁻¹; তাই A প্রক্রিয়ায় বিশৃঙ্খলার মাত্রা বেশি।

দেওয়া আছে,

বরফের ভর, m = 0.07 kg

বরফের তাপমাত্রা, T₁ = 0°C = 273 K

পানির শেষ তাপমাত্রা, T₂ = 5°C = 278 K

বরফ গলনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, l_f = 3.36 × 10⁵ J kg⁻¹

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

উচ্চতা, h = ?

(ক) উচ্চতা নির্ণয়:

বরফ গলাতে প্রয়োজনীয় তাপ,

আমরা জানি,

Q₁ = ml_f

= 0.07 × 3.36 × 10⁵

= 23520 J

বরফগলা পানির তাপমাত্রা 0°C থেকে 5°C করতে প্রয়োজনীয় তাপ,

Q₂ = msΔθ

= 0.07 × 4200 × 5

= 1470 J

∴ মোট তাপ, Q = Q₁ + Q₂

= 23520 + 1470 = 24990 J

প্রশ্নমতে, বিভব শক্তির 55% তাপে রূপান্তরিত হয়,

0.55 × mgh = Q

∴ h = Q0.55 × mg

= 249900.55 × 0.07 × 9.8

= 249900.3773

= 66233.77 m

(খ) এনট্রপির আলোকে তুলনা:

বরফ গলনের ফলে এনট্রপির পরিবর্তন,

আমরা জানি,

ΔS₁ = ml_fT₁

= 23520273

= 86.15 J K⁻¹

বরফগলা পানির তাপমাত্রা বৃদ্ধির ফলে এনট্রপির পরিবর্তন,

ΔS₂ = msln T₂T₁

= 0.07 × 4200 × ln 278273

= 294 × 0.01815

= 5.34 J K⁻¹

যেহেতু ΔS₁ > ΔS₂, অর্থাৎ বরফ গলনের ক্ষেত্রে বিশৃঙ্খলা বেশি বৃদ্ধি পায়, তাই বরফ গলনের ক্ষেত্রে পরিবেশের ওপর প্রভাব অধিক হবে।

উত্তর: (ক) 66233.77 m; (খ) বরফ গলনে ΔS₁ = 86.15 J K⁻¹ এবং তাপমাত্রা বৃদ্ধিতে ΔS₂ = 5.34 J K⁻¹; ΔS₁ > ΔS₂ তাই বরফ গলনের ক্ষেত্রে প্রভাব অধিক হবে।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর অনুযায়ী বিভব শক্তি থেকে পাওয়া তাপে বরফ গলন ও 5°C পর্যন্ত উষ্ণ হওয়া দুটোই ধরা হয়েছে; শুধু গলনের তাপ (23520 J) ধরলে h = 62337.66 m হতো।

দেওয়া আছে,

পানির ভর, m = 2 kg

আদি তাপমাত্রা, T₁ = 25°C = (25 + 273) K = 298 K

শেষ তাপমাত্রা, T₂ = 80°C = (80 + 273) K = 353 K

পানির আপেক্ষিক তাপ, s = 4200 J kg⁻¹K⁻¹

এনট্রপির পরিবর্তন, ΔS = ?

আমরা জানি,

ΔS = msln T₂T₁

= 2 × 4200 × ln 353298

= 8400 × 0.1694

= 1422.75 J K⁻¹

উত্তর: 1422.75 J K⁻¹