তপন · ২য় পত্র · অধ্যায় ২
স্থির তড়িৎ
হিলিয়াম নিউক্লিয়াসে দুটি প্রোটন থাকে, তাই প্রতিটির আধান 2e।
দেওয়া আছে,
প্রতিটি নিউক্লিয়াসের আধান, q1 = q2 = 2e
= 2 × 1.6 × 10−19 C
= 3.2 × 10−19 C
দূরত্ব, r = 1 nm = 10−9 m
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
বল, F = ?
আমরা জানি,
F = 14πε0q1q2r2
বা, F = 9 × 109 × (3.2 × 10−19)2(10−9)2
= 9 × 109 × 1.024 × 10−3710−18
= 9.216 × 10−10 N
উত্তর: 9.22 × 10−10 N (বিকর্ষণ বল)
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, r = 2 mm = 2 × 10−3 m
বিকর্ষণ বল, F = 4.0 × 10−5 N
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
প্রত্যেক বলের আধান, q = ?
আমরা জানি,
F = 14πε0q × qr2
∴ q2 = Fr214πε0
বা, q2 = 4 × 10−5 × (2 × 10−3)29 × 109
= 1.6 × 10−109 × 109
= 1.778 × 10−20
∴ q = 1.778 × 10−20
= 1.33 × 10−10 C
উত্তর: 1.33 × 10−10 C
(ক) A এর ওপর B এর বল কত?
(খ) উদ্দীপকের C বিন্দুতে 1 C চার্জ রাখলে চার্জটি কোনো বল অনুভব করবে কি? গাণিতিক যুক্তি দিয়ে মতামত দাও।
দেওয়া আছে,
A এর চার্জ, qA = + 9 C
B এর চার্জ, qB = + 16 C
AB দূরত্ব, r = 0.28 m
C বিন্দুতে চার্জ, q = 1 C
AC = 0.12 m
BC = 0.28 − 0.12 = 0.16 m
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
(ক) A এর ওপর B এর বল নির্ণয়:
A এর ওপর B এর বল, F = ?
আমরা জানি,
F = 14πε0qAqBr2
বা, F = 9 × 109 × 9 × 16(0.28)2
= 1.296 × 10120.0784
= 1.65 × 1013 N
(খ) C বিন্দুতে 1 C চার্জের ওপর বল বিশ্লেষণ:
A এর জন্য 1 C চার্জের ওপর বল FA (A থেকে B এর দিকে, বিকর্ষণ)।
আমরা জানি,
FA = 14πε0qAq(AC)2
বা, FA = 9 × 109 × 9 × 1(0.12)2
= 8.1 × 10100.0144
= 5.625 × 1012 N
B এর জন্য 1 C চার্জের ওপর বল FB (B থেকে A এর দিকে, বিকর্ষণ)।
আমরা জানি,
FB = 14πε0qBq(BC)2
বা, FB = 9 × 109 × 16 × 1(0.16)2
= 1.44 × 10110.0256
= 5.625 × 1012 N
বল দুটি একই রেখায়, সমান মানের ও বিপরীতমুখী।
∴ লব্ধি বল, Fnet = FA − FB
= 5.625 × 1012 − 5.625 × 1012
= 0
সুতরাং C বিন্দুতে রাখা 1 C চার্জটির ওপর সমান ও বিপরীতমুখী দুটি বল ক্রিয়া করে, ফলে চার্জটি কোনো লব্ধি বল অনুভব করবে না।
উত্তর: (ক) 1.65 × 1013 N; (খ) চার্জটির ওপর সমান ও বিপরীতমুখী বল ক্রিয়া করায় চার্জটি কোনো বল অনুভব করবে না।
দেওয়া আছে,
শোলার বলের ভর, m = 0.15 g = 1.5 × 10−4 kg
শোলার বলের আধান, q1 = 6.68 × 10−9 C (মান)
বস্তুর আধান, q2 = 6.54 × 10−9 C
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
দূরত্ব, r = ?
আধান দুটি বিপরীত জাতের, তাই ওপরের বস্তুটি শোলার বলকে ওপরের দিকে আকর্ষণ করে। বলটি স্থির থাকলে আকর্ষণ বল = বলের ওজন।
আমরা জানি,
14πε0q1q2r2 = mg
∴ r2 = 14πε0q1q2mg
এখন, লব = 9 × 109 × 6.68 × 10−9 × 6.54 × 10−9
= 3.932 × 10−7
হর = 1.5 × 10−4 × 9.8 = 1.47 × 10−3
বা, r2 = 3.932 × 10−71.47 × 10−3
= 2.675 × 10−4 m2
∴ r = 2.675 × 10−4
= 1.636 × 10−2 m
= 1.64 cm
উত্তর: 1.64 cm ওপরে
দেওয়া আছে,
প্রথম চার্জ, q1 = 5 C
দ্বিতীয় চার্জ, q2 = 5 C
তৃতীয় চার্জ, q = 10 C
চার্জ দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব, d = 3 cm
ধরি, প্রথম চার্জ হতে দূরত্ব, x = ?
তাহলে দ্বিতীয় চার্জ হতে দূরত্ব = (3 − x) cm
চার্জ দুটির মাঝে তৃতীয় চার্জের ওপর বল দুটি বিপরীতমুখী। লব্ধি বল শূন্য হলে বল দুটির মান সমান হবে।
আমরা জানি,
F = 14πε0q1q2r2
লব্ধিবল শূন্য হলে,
14πε0q1qx2
= 14πε0q2q(3 − x)2
বা, 5x2 = 5(3 − x)2
বা, (3 − x)2 = x2
বা, 3 − x = x
বা, 2x = 3
∴ x = 1.5 cm
উত্তর: প্রথম চার্জ হতে 1.5 cm দূরে
দেওয়া আছে,
প্রতিটি বলের ভর, m = 1 g = 10−3 kg
সুতার দৈর্ঘ্য, L = 80 cm = 0.8 m
বল দুটির দূরত্ব, r = 4 cm = 0.04 m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
প্রতিটি বলের আধান, q = ?
ধরি, প্রতিটি সুতা উল্লম্বের সাথে θ কোণ করে। প্রতিটি বল ঝুলনবিন্দুর উল্লম্ব রেখা থেকে r2 = 0.02 m দূরে।
∴ sin θ = 0.020.8 = 0.025
∴ θ = 1.432°, tan θ = 0.02501
প্রতিটি বলের ওপর টান T, ওজন mg ও বিকর্ষণ বল F সাম্যে আছে।
আমরা জানি,
Tcos θ = mg এবং Tsin θ = F
∴ F = mgtan θ
বা, F = 10−3 × 9.8 × 0.02501
= 2.451 × 10−4 N
আবার, আমরা জানি,
F = 14πε0q2r2
∴ q = rF14πε0
বা, q = 0.04 × 2.451 × 10−49 × 109
= 0.04 × 2.723 × 10−14
= 0.04 × 1.650 × 10−7
= 6.6 × 10−9 C
উত্তর: 6.6 × 10−9 C
দেওয়া আছে,
প্রতিটি আধানের মান, q = 4.0 × 10−8 C
AB = 6 cm, ∴ AO = OB = 3 cm (O, AB এর মধ্যবিন্দু)
OP = 4 cm
P বিন্দুর আধান, q0 = 1.0 × 10−8 C
P বিন্দুর আধানের ওপর লব্ধি বল, F = ?
AP = BP = (AO)2 + (OP)2
= 32 + 42
= 5 cm = 0.05 m
ধরি, A তে ধনাত্মক ও B তে ঋণাত্মক আধান। A এর আধান q0 কে বিকর্ষণ (AP বরাবর বাইরে) এবং B এর আধান আকর্ষণ (PB বরাবর) করে।
আমরা জানি,
F1 = 14πε0qq0(AP)2
বা, F1 = 9 × 109 × 4 × 10−8 × 10−8(0.05)2
= 3.6 × 10−62.5 × 10−3
= 1.44 × 10−3 N
B এর আধান ও দূরত্ব একই হওয়ায়, F2 = F1 = 1.44 × 10−3 N
ধরি, প্রতিটি বল AB রেখার সাথে α কোণ করে।
cos α = AOAP = 35 = 0.6
বল দুটির AB এর লম্ব বরাবর উপাংশ (Fsin α) বিপরীতমুখী হওয়ায় কাটাকাটি যায়, আর AB এর সমান্তরাল উপাংশ (Fcos α) একই দিকে (A থেকে B এর দিকে) যোগ হয়।
∴ F = F1cos α + F2cos α
= 2 × 1.44 × 10−3 × 0.6
= 1.728 × 10−3 N
উত্তর: 1.73 × 10−3 N, AB এর সমান্তরালে ধনাত্মক আধান থেকে ঋণাত্মক আধানের দিকে
দেওয়া আছে,
প্রথম আধান, q1 = q
দ্বিতীয় আধান, q2 = 9q
আধান দুটির দূরত্ব = d
তৃতীয় আধান, q3 = 5q
ধরি, q আধান হতে দূরত্ব, x = ?
তাহলে 9q আধান হতে দূরত্ব = (d − x)
রেখাংশের ওপর 5q আধানের ওপর দুটি বল বিপরীতমুখী। লব্ধি বল শূন্য হলে বল দুটির মান সমান হবে।
আমরা জানি,
F = 14πε0q1q2r2
লব্ধি বল শূন্য হলে,
14πε0q × 5qx2
= 14πε09q × 5q(d − x)2
বা, 1x2 = 9(d − x)2
বা, (d − x)2x2 = 9
বা, d − xx = 3
বা, d − x = 3x
বা, 4x = d
∴ x = d4
উত্তর: q আধান হতে 9q আধানের দিকে d4 দূরত্বে
দেওয়া আছে,
আধান, q = 1.6 × 10−9 C
দূরত্ব, r = 0.14 m
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
বা, E = 9 × 109 × 1.6 × 10−9(0.14)2
= 14.40.0196
= 734.69 N C−1
উত্তর: 734.69 N C−1
দেওয়া আছে,
ভর, m = 0.002 kg
আধান, q = 10−4 C
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
তড়িৎক্ষেত্রের প্রাবল্য, E = ?
বলটি স্থির থাকলে ঊর্ধ্বমুখী তড়িৎ বল = ওজন।
আমরা জানি,
qE = mg
∴ E = mgq
বা, E = 0.002 × 9.810−4
= 0.019610−4
= 196 N C−1
উত্তর: 196 N C−1
দেওয়া আছে,
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি,
eE = mg
∴ E = mge
বা, E = 9.1 × 10−31 × 9.81.6 × 10−19
= 8.918 × 10−301.6 × 10−19
= 5.57 × 10−11 N C−1
উত্তর: 5.57 × 10−11 N C−1
দেওয়া আছে,
প্রথম আধান, q1 = 1.0 × 10−6 C
দ্বিতীয় আধান, q2 = 2.0 × 10−6 C
আধান দুটির দূরত্ব, d = 10 m
প্রাবল্যদ্বয় সমান এমন বিন্দুর অবস্থান = ?
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
(i) আধান দুটির মাঝের বিন্দু:
ধরি, q1 হতে x দূরে বিন্দুটি, তাহলে q2 হতে দূরত্ব (10 − x)।
প্রাবল্যদ্বয়ের মান সমান হলে,
14πε0q1x2
= 14πε0q2(10 − x)2
বা, (10 − x)2x2 = q2q1
= 2 × 10−61 × 10−6 = 2
বা, 10 − xx = 2
বা, 10 − x = 1.414x
বা, 2.414x = 10
∴ x = 102.414 = 4.14 m
(ii) আধান দুটির বাইরের বিন্দু (q1 এর পেছনে):
ধরি, q1 এর পেছনে y দূরে বিন্দুটি, তাহলে q2 হতে দূরত্ব (10 + y)।
প্রাবল্যদ্বয়ের মান সমান হলে,
14πε0q1y2
= 14πε0q2(10 + y)2
বা, 10 + yy = 2
বা, 10 + y = 1.414y
বা, 0.414y = 10
∴ y = 100.414 = 24.14 m
উত্তর: 1.0 × 10−6 C আধান হতে 2.0 × 10−6 C আধানের দিকে 4.14 m দূরে, এবং সংযোগ রেখা বরাবর 1.0 × 10−6 C আধান থেকে 24.14 m পেছনে
দেওয়া আছে,
প্রথম বলের ব্যাসার্ধ, r1 = 0.02 m
দ্বিতীয় বলের ব্যাসার্ধ, r2 = 0.06 m
প্রথম বলের আধান, q1 = 2.5 × 10−9 C
দ্বিতীয় বলের আধান, q2 = 5.0 × 10−9 C
তলমাত্রিক ঘনত্বের অনুপাত, σ1:σ2 = ?
আমরা জানি,
σ = q4πr2
∴ σ1σ2 = q1q2 × r22r21
বা, σ1σ2 = 2.5 × 10−95.0 × 10−9
× 0.060.022
= 0.5 × 9
= 92
∴ σ1:σ2 = 9:2
উত্তর: 9:2
দেওয়া আছে,
প্রথম আধান, q1 = 30 × 10−6 C
দ্বিতীয় আধান, q2 = −60 × 10−6 C
মধ্যবিন্দু থেকে প্রতিটি আধানের দূরত্ব, r = 1.202 = 0.60 m
মধ্যবিন্দুতে প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
q1 এর জন্য প্রাবল্য,
E1 = 9 × 109 × 30 × 10−6(0.60)2
= 2.7 × 1050.36
= 7.5 × 105 N C−1 (q1 থেকে দূরে, অর্থাৎ q2 এর দিকে)
q2 এর জন্য প্রাবল্য (মান),
E2 = 9 × 109 × 60 × 10−6(0.60)2
= 5.4 × 1050.36
= 15 × 105 N C−1 (q2 এর দিকে)
দুটি প্রাবল্যই একই দিকে (q2 এর দিকে), তাই যোগ হবে।
∴ E = E1 + E2
= 7.5 × 105 + 15 × 105
= 22.5 × 105 N C−1
উত্তর: 22.5 × 105 N C−1, −60 × 10−6 C আধানের দিকে
দেওয়া আছে,
ধনাত্মক আধান, q1 = + 2 C
ঋণাত্মক আধান, q2 = −2 C
ত্রিভুজের বাহু, r = 2 m
তৃতীয় কৌণিক বিন্দুতে প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
q1 এর জন্য প্রাবল্য,
E1 = 9 × 109 × 2(2)2
= 4.5 × 109 N C−1 (q1 থেকে দূরে)
q2 এর জন্য প্রাবল্যের মানও E2 = 4.5 × 109 N C−1 (q2 এর দিকে)
E1 অভিমুখ q1 থেকে তৃতীয় বিন্দুর দিকে, আর E2 অভিমুখ তৃতীয় বিন্দু থেকে q2 এর দিকে। এদের মধ্যবর্তী কোণ θ = 120°।
আমরা জানি,
E = E21 + E22 + 2E1E2cos θ
বা, E = E21 + E21 + 2E21cos 120°
= 2E21 − E21
= E1
= 4.5 × 109 N C−1
সমান মানের দুটি প্রাবল্যের লব্ধি এদের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। হিসাব করলে দেখা যায়, লব্ধি প্রাবল্য আধান দুটির সংযোগ রেখার (ভূমির) সমান্তরাল এবং ধনাত্মক আধান থেকে ঋণাত্মক আধানের দিকে।
উত্তর: 4.5 × 109 N C−1, ভূমির সমান্তরালে (ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক আধানের দিকে)
দেওয়া আছে,
A এর আধান, q1 = + 20 × 10−9 C
B এর আধান, q2 = −10 × 10−9 C
মধ্যবিন্দু P থেকে প্রতিটির দূরত্ব, r = 10 cm = 0.1 m
P বিন্দুতে প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
q1 এর জন্য প্রাবল্য,
E1 = 9 × 109 × 20 × 10−9(0.1)2
= 1800.01
= 18000 N C−1 (A থেকে B এর দিকে)
q2 এর জন্য প্রাবল্য (মান),
E2 = 9 × 109 × 10 × 10−9(0.1)2
= 900.01
= 9000 N C−1 (B এর দিকে)
দুটি প্রাবল্যই B এর দিকে, তাই যোগ হবে।
∴ E = E1 + E2
= 18000 + 9000
= 27000 N C−1
উত্তর: 27000 N C−1, −10 × 10−9 C আধানের দিকে
দেওয়া আছে,
প্রথম আধান, q1 = 1.5 × 10−6 C
দ্বিতীয় আধান, q2 = 2.5 × 10−6 C
আধান দুটির দূরত্ব, d = 10 cm
ধরি, q1 হতে x দূরে প্রাবল্য শূন্য, x = ?
আধান দুটি একই জাতের, তাই প্রাবল্য শূন্য বিন্দু এদের মাঝে থাকবে; q2 হতে দূরত্ব (10 − x)।
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
প্রাবল্য শূন্য হলে,
14πε0q1x2
= 14πε0q2(10 − x)2
বা, (10 − x)2x2 = q2q1 = 2.51.5
বা, 10 − xx = 1.667 = 1.291
বা, 10 − x = 1.291x
বা, 2.291x = 10
∴ x = 102.291 = 4.37 cm
উত্তর: 1.5 × 10−6 C চার্জ হতে 2.5 × 10−6 C চার্জের দিকে 4.37 cm দূরে
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে "1.5 × 10−4 C চার্জ হতে" ছাপা হয়েছে; প্রশ্ন অনুযায়ী হবে 1.5 × 10−6 C।
দেওয়া আছে,
চার্জ দুটির দূরত্ব = d
q1q2 = 4 (একই জাতের চার্জ)
ধরি, q1 হতে x দূরে তড়িৎক্ষেত্র শূন্য, x = ?
তাহলে q2 হতে দূরত্ব = (d − x)
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
তড়িৎক্ষেত্র শূন্য হলে,
14πε0q1x2
= 14πε0q2(d − x)2
বা, x2(d − x)2 = q1q2 = 4
বা, xd − x = 2
বা, x = 2d − 2x
বা, 3x = 2d
∴ x = 23d
উত্তর: q1 হতে 23d দূরত্বে
দেওয়া আছে,
বলের ভর, m = 0.6 g = 6 × 10−4 kg
আধান, q = 8.0 μC = 8 × 10−6 C
প্রাবল্য, E = 300 N C−1 (নিম্নমুখী)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
সুতার টান, T = ?
ওজন, mg = 6 × 10−4 × 9.8
= 5.88 × 10−3 N
তড়িৎ বল, qE = 8 × 10−6 × 300
= 2.4 × 10−3 N
(ক) ধনাত্মক আধানের ক্ষেত্রে টান নির্ণয়:
ধনাত্মক আধানের ওপর তড়িৎ বল ক্ষেত্রের দিকে অর্থাৎ নিচের দিকে।
আমরা জানি,
T = mg + qE
= 5.88 × 10−3 + 2.4 × 10−3
= 8.28 × 10−3 N
(খ) ঋণাত্মক আধানের ক্ষেত্রে টান নির্ণয়:
ঋণাত্মক আধানের ওপর তড়িৎ বল ক্ষেত্রের বিপরীতে অর্থাৎ ওপরের দিকে।
আমরা জানি,
T = mg − qE
= 5.88 × 10−3 − 2.4 × 10−3
= 3.48 × 10−3 N
উত্তর: (ক) 8.28 × 10−3 N; (খ) 3.48 × 10−3 N
দেওয়া আছে,
প্রথম আধান, q1 = + 1.00 μC = 1 × 10−6 C
দ্বিতীয় আধান, q2 = −5.00 μC = −5 × 10−6 C
মধ্যবিন্দু থেকে প্রতিটির দূরত্ব, r = 0.5 m
মধ্যবিন্দুতে বিভব, V = ?
আমরা জানি,
V = 14πε0q1r + q2r
বা, V = 9 × 109 × (1 − 5) × 10−60.5
= 9 × 109 × (−4 × 10−6)0.5
= −3.6 × 1040.5
= −7.20 × 104 V
উত্তর: −7.20 × 104 V
দেওয়া আছে,
q1 = 5 C, q2 = 10 C, q3 = −20 C
চতুর্থ আধান, q4 = ?
কেন্দ্র থেকে প্রতিটি কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব সমান, ধরি r।
আমরা জানি,
V = 14πε0q1 + q2 + q3 + q4r
কেন্দ্রে বিভব শূন্য হলে,
14πε0q1 + q2 + q3 + q4r = 0
বা, q1 + q2 + q3 + q4 = 0
বা, 5 + 10 − 20 + q4 = 0
বা, −5 + q4 = 0
∴ q4 = 5 C
উত্তর: 5 C
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহু, a = 4 cm = 0.04 m
q1 = 4 × 10−9 C, q2 = −8 × 10−9 C
q3 = 12 × 10−9 C, q4 = 16 × 10−9 C
কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে বিভব, V = ?
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2 a, ছেদবিন্দু থেকে প্রতিটি কোণার দূরত্ব,
r = 2 a2 = 2 × 0.042
= 0.02828 m
মোট আধান, Σq = (4 − 8 + 12 + 16) × 10−9
= 24 × 10−9 C
আমরা জানি,
V = 14πε0q1 + q2 + q3 + q4r
বা, V = 9 × 109 × 24 × 10−90.02828
= 2160.02828
= 7636.75 V
উত্তর: 7636.75 V
দেওয়া আছে,
প্রাবল্য, E = 1.34 × 105 N C−1
দূরত্ব, d = 15.8 cm = 0.158 m
বিভব পার্থক্য, V = ?
আমরা জানি,
V = Ed
বা, V = 1.34 × 105 × 0.158
= 21172 V
= 2.12 × 104 V
উত্তর: 2.12 × 104 V
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 322 kV = 322 × 103 V
চার্জ, q = 9 μC = 9 × 10−6 C
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি,
W = qV
বা, W = 9 × 10−6 × 322 × 103
= 2.898 J
উত্তর: 2.898 J
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, d = 5 cm = 0.05 m
বিভব পার্থক্য, V = 20 V
প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি,
E = Vd
বা, E = 200.05
= 400 V m−1
উত্তর: 400 V m−1
চিত্র (i) এ W এবং X বিন্দুতে দু'টি বিন্দুচার্জ স্থির রয়েছে।
(ক) + 2 μC চার্জটির ওপর ক্রিয়াশীল বল নির্ণয় করো।
(খ) W বিন্দুতে + 2 μC চার্জটিকে স্থির রেখে + 4 μC চার্জটিকে Y বিন্দুতে সরানো হলো [চিত্র-(ii)]। চিত্র (i) অবস্থানে এবং চিত্র (ii) অবস্থানে + 4 μC চার্জটির ওপর তড়িৎবিভবের কোনো পরিবর্তন হবে কি? বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
W বিন্দুর চার্জ, q1 = 2 μC = 2 × 10−6 C
X বিন্দুর চার্জ, q2 = 4 μC = 4 × 10−6 C
WX দূরত্ব, r = 2 mm = 2 × 10−3 m
XY = 3 mm, ∠WXY = 90°
(ক) + 2 μC চার্জের ওপর বল নির্ণয়:
বল, F = ?
আমরা জানি,
F = 14πε0q1q2r2
বা, F = 9 × 109 × 2 × 10−6 × 4 × 10−6(2 × 10−3)2
= 7.2 × 10−24 × 10−6
= 1.8 × 104 N
(খ) + 4 μC চার্জের অবস্থানে বিভবের পরিবর্তন বিশ্লেষণ:
+ 4 μC চার্জের অবস্থানে বিভব সৃষ্টি করে W বিন্দুর + 2 μC চার্জ।
চিত্র (i) এ দূরত্ব, r1 = WX = 2 × 10−3 m
চিত্র (ii) এ দূরত্ব, r2 = WY = (WX)2 + (XY)2
= 22 + 32 mm
= 13 mm = 3.606 × 10−3 m
আমরা জানি,
V = 14πε0qr
চিত্র (i) এ বিভব,
V1 = 9 × 109 × 2 × 10−62 × 10−3
= 9 × 106 V
চিত্র (ii) এ বিভব,
V2 = 9 × 109 × 2 × 10−63.606 × 10−3
= 4.99 × 106 V
বিভবের পরিবর্তন, ΔV = V1 − V2
= 9 × 106 − 4.99 × 106
= 4.01 × 106 V
সুতরাং + 4 μC চার্জটিকে X থেকে Y বিন্দুতে সরালে + 2 μC চার্জ থেকে দূরত্ব বাড়ে, ফলে ঐ অবস্থানে বিভব 4.01 × 106 V হ্রাস পায়।
উত্তর: (ক) 1.8 × 104 N; (খ) বিভবের পরিবর্তন হবে, বিভব 4.01 × 106 V হ্রাস পাবে।
কেন্দ্র O এবং 2 cm বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র ABCD। বর্গক্ষেত্রটির প্রত্যেক বিন্দু A, B, C ও D-তে + 7 C চার্জ আছে।
(ক) উদ্দীপকের O বিন্দুতে প্রাবল্য নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপকের ABCD বর্গক্ষেত্রটির কেন্দ্রে বিভব শূন্য পাওয়ার জন্য B বিন্দুতে চার্জের কী পরিবর্তন দরকার—বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
প্রতিটি কৌণিক বিন্দুর চার্জ, q = + 7 C
বর্গের বাহু, a = 2 cm = 0.02 m
কেন্দ্র থেকে প্রতিটি কোণার দূরত্ব,
r = 2 a2 = 2 × 0.022
= 0.01414 m
(ক) O বিন্দুতে প্রাবল্য নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
চার্জ ও দূরত্ব সমান হওয়ায় প্রতিটি চার্জের জন্য O বিন্দুতে প্রাবল্যের মান সমান:
EA = EB = EC = ED
= 9 × 109 × 7(0.01414)2
= 3.15 × 1014 N C−1
EA এর দিক A থেকে C এর দিকে, EC এর দিক C থেকে A এর দিকে; মান সমান ও বিপরীতমুখী হওয়ায় EA − EC = 0।
একইভাবে EB ও ED সমান ও বিপরীতমুখী, EB − ED = 0।
∴ O বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য, EO = 0
(খ) কেন্দ্রে বিভব শূন্য করার জন্য B বিন্দুর চার্জ নির্ণয়:
ধরি, B বিন্দুতে প্রয়োজনীয় চার্জ, qB = ?
আমরা জানি,
V = 14πε0qA + qB + qC + qDr
কেন্দ্রে বিভব শূন্য হলে,
qA + qB + qC + qD = 0
বা, 7 + qB + 7 + 7 = 0
∴ qB = −21 C
B তে বর্তমানে + 7 C আছে, তাই অতিরিক্ত যোগ করতে হবে,
Δq = qB − 7 = −21 − 7
= −28 C
উত্তর: (ক) O বিন্দুতে প্রাবল্য শূন্য; (খ) B বিন্দুর চার্জ −21 C করতে হবে, অর্থাৎ B বিন্দুতে অতিরিক্ত −28 C চার্জ যোগ করতে হবে।
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে অতিরিক্ত −14 C দেওয়া; তাতে B এর চার্জ হয় −7 C এবং মোট চার্জ 14 C থাকে, বিভব শূন্য হয় না। সঠিক হলো অতিরিক্ত −28 C।
চিত্রে প্রদর্শিত উল্লম্বতলে রক্ষিত বর্গাকারক্ষেত্রের চার কৌণিক বিন্দুতে চারটি চার্জ স্থাপন করা হলো। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে 2 × 10−6 C মানের চার্জযুক্ত 2.5 × 10−4 kg ভরের একটি বস্তু শূন্যে স্থাপন করা হয়। (g = 10 m s−2)
(ক) বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে নতুন চার্জটি বসানোর পূর্বে বিভবের মান নির্ণয় করো।
(খ) উদ্দীপকে কৌণিক বিন্দুগুলোর চার্জসমূহ পুনর্বিন্যস্ত করে কেন্দ্রের চার্জিত বস্তুটিকে ভাসমান রাখা সম্ভব—গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে দেখাও।
দেওয়া আছে,
Q1 = −2 × 10−6 C (P, ওপরে)
Q2 = 2 × 10−6 C (Q, বামে)
Q3 = 4 × 10−6 C (R, নিচে)
Q4 = 4 × 10−6 C (S, ডানে)
বর্গের বাহু, a = 4 m
কেন্দ্রের বস্তুর চার্জ, q = 2 × 10−6 C
বস্তুর ভর, m = 2.5 × 10−4 kg
g = 10 m s−2
কেন্দ্র থেকে প্রতিটি কোণার দূরত্ব,
r = 2 a2 = 2 × 42
= 22 m = 2.828 m
(ক) কেন্দ্রে বিভব নির্ণয়:
বিভব, V = ?
মোট চার্জ, ΣQ = (−2 + 2 + 4 + 4) × 10−6
= 8 × 10−6 C
আমরা জানি,
V = 14πε0Q1 + Q2 + Q3 + Q4r
বা, V = 9 × 109 × 8 × 10−62.828
= 7.2 × 1042.828
= 2.55 × 104 V
(খ) চার্জ পুনর্বিন্যাসে বস্তুটিকে ভাসমান রাখার বিশ্লেষণ:
বস্তুর ওজন, W = mg = 2.5 × 10−4 × 10
= 2.5 × 10−3 N (নিম্নমুখী)
আমরা জানি,
F = 14πε0Qqr2
2 × 10−6 C চার্জের জন্য,
F2 = 9 × 109 × (2 × 10−6)2(22)2
= 3.6 × 10−28
= 4.5 × 10−3 N
4 × 10−6 C চার্জের জন্য,
F4 = 2F2 = 9 × 10−3 N
বর্তমান বিন্যাসে অনুভূমিক দিকে Q এর বল (4.5 × 10−3 N, ডানে) ও S এর বল (9 × 10−3 N, বামে) সমান নয়, তাই বস্তুটি বামে সরে যাবে; ভাসমান থাকবে না।
এখন Q ও R এর চার্জের অবস্থান বিনিময় করি। তখন Q তে 4 × 10−6 C ও R এ 2 × 10−6 C।
অনুভূমিক দিকে: Q ও S উভয়ের চার্জ 4 × 10−6 C, বল দুটি 9 × 10−3 N করে সমান ও বিপরীতমুখী; অনুভূমিক লব্ধি বল শূন্য।
উল্লম্ব দিকে: নিচের R বিন্দুর + 2 × 10−6 C বস্তুটিকে ওপরের দিকে বিকর্ষণ করে (4.5 × 10−3 N), এবং ওপরের P বিন্দুর −2 × 10−6 C বস্তুটিকে ওপরের দিকে আকর্ষণ করে (4.5 × 10−3 N)।
∴ ঊর্ধ্বমুখী তড়িৎ বল = 4.5 × 10−3 + 4.5 × 10−3
= 9 × 10−3 N
নিম্নমুখী বল (ওজন) = 2.5 × 10−3 N
যেহেতু ঊর্ধ্বমুখী বল নিম্নমুখী বলের চেয়ে বড় এবং অনুভূমিক বল সাম্যে আছে, তাই বস্তুটি নিচে পড়বে না; Q ও R এর চার্জ বিনিময় করে বস্তুটিকে ভাসমান রাখা সম্ভব।
উত্তর: (ক) 2.55 × 104 V; (খ) Q ও R এর চার্জের অবস্থান বিনিময় করলে অনুভূমিক বল সাম্যে থাকে এবং ঊর্ধ্বমুখী তড়িৎ বল (9 × 10−3 N) ওজনের (2.5 × 10−3 N) চেয়ে বড় হয়, তাই বস্তুটিকে ভাসমান রাখা সম্ভব।
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে ঊর্ধ্বমুখী বল 4.5 × 10−3 N ধরা হয়েছে, যা শুধু R এর বিকর্ষণ; ওপরের P এর (−2 μC) আকর্ষণও ওপরের দিকে হওয়ায় মোট ঊর্ধ্বমুখী বল 9 × 10−3 N। সিদ্ধান্ত একই থাকে।
দেওয়া আছে,
প্রতিটি চার্জ, q = 10 C
ব্যাসার্ধ, r = 10 cm = 0.1 m
কেন্দ্রে বিভব, V = ?
পরিধির যেকোনো বিন্দু কেন্দ্র থেকে r দূরে।
আমরা জানি,
V = 14πε0q1 + q2r
বা, V = 9 × 109 × (10 + 10)0.1
= 1.8 × 10110.1
= 1.8 × 1012 V
= 18 × 1011 V
উত্তর: 18 × 1011 V
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 9 × 10−13 cm = 9 × 10−15 m
পারমাণবিক সংখ্যা, Z = 50
নিউক্লিয়াসের আধান, q = Ze = 50 × 1.6 × 10−19
= 8 × 10−18 C
পৃষ্ঠে বিভব, V = ?
আমরা জানি,
V = 14πε0qr
বা, V = 9 × 109 × 8 × 10−189 × 10−15
= 7.2 × 10−89 × 10−15
= 8 × 106 V
উত্তর: 8 × 106 V
দেওয়া আছে,
ঘূর্ণায়মান চার্জ, q = 1 μC = 10−6 C
কেন্দ্রের চার্জ, Q = 10 μC = 10−5 C
ব্যাসার্ধ, r = 20π m
কাজ, W = ?
বৃত্তপথের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্রের চার্জ থেকে সমান দূরত্বে, তাই সব বিন্দুর বিভব সমান:
VA = VB = 14πε0Qr
আমরা জানি,
W = q(VB − VA)
বা, W = 10−6 × 0
= 0 J
উত্তর: 0 J
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 18 cm = 0.18 m
চার্জ, q = 10−2 μC = 10−8 C
পৃষ্ঠতলের বিভব, V = ?
আমরা জানি,
V = 14πε0qr
বা, V = 9 × 109 × 10−80.18
= 900.18
= 500 V
উত্তর: 500 V
চিত্রে ভূমির উল্লম্ব বরাবর ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
(ক) A বিন্দুতে বিভবের মান কত?
(খ) A বিন্দুতে 2 kg ভরের একটি বস্তু ঝুলিয়ে রাখতে হলে কী বৈদ্যুতিক ব্যবস্থা নিতে হবে? বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
B বিন্দুর চার্জ, q1 = 3 × 10−9 C
C বিন্দুর চার্জ, q2 = 3 × 10−9 C
বাহু, r = AB = AC = 2 m
বস্তুর ভর, m = 2 kg
g = 9.8 m s−2
(ক) A বিন্দুতে বিভব নির্ণয়:
বিভব, VA = ?
আমরা জানি,
V = 14πε0q1r + q2r
বা, VA = 9 × 109 × (3 + 3) × 10−92
= 542
= 27 V
(খ) A বিন্দুতে 2 kg বস্তু ঝুলিয়ে রাখার ব্যবস্থা বিশ্লেষণ:
বস্তুটিকে A বিন্দুতে স্থির রাখতে হলে বস্তুটিতে এমন আধান q দিতে হবে যেন তড়িৎ বল ঊর্ধ্বমুখী হয় এবং ওজনের সমান হয়।
আমরা জানি,
E = 14πε0qr2
B ও C এর চার্জের জন্য A বিন্দুতে প্রাবল্যের মান,
E1 = E2 = 9 × 109 × 3 × 10−9(2)2
= 6.75 N C−1
E1 এর দিক BA বরাবর ও E2 এর দিক CA বরাবর। প্রতিটি উল্লম্বের সাথে 30° কোণ করে; অনুভূমিক উপাংশ কাটাকাটি যায়, উল্লম্ব উপাংশ যোগ হয়।
∴ E = E1cos 30° + E2cos 30°
= 2 × 6.75 × 0.866
= 11.69 N C−1 (ঊর্ধ্বমুখী)
প্রাবল্য ঊর্ধ্বমুখী, তাই ঊর্ধ্বমুখী বল পেতে আধান ধনাত্মক হতে হবে।
আমরা জানি,
qE = mg
∴ q = mgE
বা, q = 2 × 9.811.69
= 19.611.69
= 1.68 C
উত্তর: (ক) 27 V; (খ) 2 kg ভরের বস্তুটিতে 1.68 C ধনাত্মক আধান দিয়ে A বিন্দুতে স্থাপন করলে বস্তুটি ঝুলন্ত অবস্থায় থাকবে।
চিত্রে 2 m দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কৌণিক বিন্দুতে তিনটি হালকা চার্জিত বস্তু রাখা আছে। P, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
(ক) P বিন্দুতে বিভবের মান কত?
(খ) P বিন্দুতে কত চার্জ স্থাপন করলে A বিন্দুতে রক্ষিত বস্তুটি স্থির থাকবে—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই করো।
দেওয়া আছে,
A বিন্দুর চার্জ, qA = 5 nC = 5 × 10−9 C
B বিন্দুর চার্জ, qB = −10 nC = −10 × 10−9 C
C বিন্দুর চার্জ, qC = −10 nC = −10 × 10−9 C
বাহু, a = 2 m
PB = PC = 1 m
PA = (AB)2 − (BP)2 = 22 − 12
= 3 m = 1.732 m
(ক) P বিন্দুতে বিভব নির্ণয়:
বিভব, VP = ?
আমরা জানি,
V = 14πε0qAPA + qBPB + qCPC
এখানে, qAPA = 5 × 10−91.732 = 2.887 × 10−9
qBPB + qCPC
= −10 × 10−91 + −10 × 10−91
= −20 × 10−9
বা, VP = 9 × 109 × (2.887 − 20) × 10−9
= 9 × (−17.113)
= −154.02 V
(খ) P বিন্দুতে প্রয়োজনীয় চার্জ নির্ণয়:
আমরা জানি,
F = 14πε0q1q2r2
B ও C এর ঋণাত্মক চার্জ A এর ধনাত্মক চার্জকে আকর্ষণ করে; প্রতিটি বলের মান,
FB = FC
= 9 × 109 × 5 × 10−9 × 10−8(2)2
= 1.125 × 10−7 N
FB এর দিক AB বরাবর, FC এর দিক AC বরাবর। প্রতিটি AP রেখার সাথে 30° কোণ করে; AP এর লম্ব উপাংশ কাটাকাটি যায়।
∴ লব্ধি বল, F = FBcos 30° + FCcos 30°
= 2 × 1.125 × 10−7 × 0.866
= 1.949 × 10−7 N (A থেকে P এর দিকে)
A এর বস্তুটি স্থির রাখতে P বিন্দুর চার্জ qP কে A এর চার্জকে P থেকে দূরে সমান বলে বিকর্ষণ করতে হবে, তাই qP ধনাত্মক।
∴ 14πε0qAqP(PA)2 = F
∴ qP = F × (PA)214πε0 × qA
বা, qP = 1.949 × 10−7 × 39 × 109 × 5 × 10−9
= 5.846 × 10−745
= 1.299 × 10−8 C
= 12.99 nC
উত্তর: (ক) −154.02 V; (খ) P বিন্দুতে 12.99 nC ধনাত্মক চার্জ স্থাপন করলে A বিন্দুর বস্তুটি স্থির থাকবে।
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে V = 154.02 V লেখা; ঋণাত্মক চার্জের প্রভাব বেশি হওয়ায় বিভব হবে −154.02 V।
দেওয়া আছে,
প্রতিটি আধানের মান, q = 6.4 × 10−9 C
আধান দুটির দূরত্ব, 2l = 0.02 m
মধ্যবিন্দু থেকে দূরত্ব, r = 15 m
প্রাবল্য, E = ?
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = q × 2l
= 6.4 × 10−9 × 0.02
= 1.28 × 10−10 C m
এখানে r≫l, তাই অক্ষীয় বিন্দুতে প্রাবল্যের সূত্র,
আমরা জানি,
E = 14πε02pr3
বা, E = 9 × 109 × 2 × 1.28 × 10−10(15)3
= 2.3043375
= 6.83 × 10−4 N C−1
উত্তর: 6.83 × 10−4 N C−1
দেওয়া আছে,
প্রতিটি আধানের মান, q = 4 × 10−6 C
আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, 2l = 4 cm = 0.04 m
কেন্দ্র থেকে বিন্দুর দূরত্ব, r = 20 cm = 0.2 m
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
অক্ষীয় বিন্দুতে প্রাবল্য, Eaxial = ?
লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর প্রাবল্য, Eeq = ?
আমরা জানি,
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = q × 2l
= 4 × 10−6 × 0.04
= 1.6 × 10−7 C m
(ক) অক্ষের ওপর প্রাবল্য নির্ণয়:
এখানে r≫l, তাই
আমরা জানি,
Eaxial = 14πε0·2pr3
= 9 × 109 × 2 × 1.6 × 10−7(0.2)3
= 28800.008
= 3.6 × 105 N C−1
(খ) লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর প্রাবল্য নির্ণয়:
আমরা জানি,
Eeq = 14πε0·pr3
= 9 × 109 × 1.6 × 10−7(0.2)3
= 14400.008
= 1.8 × 105 N C−1
উত্তর: (ক) 3.6 × 105 N C−1; (খ) 1.8 × 105 N C−1
দেওয়া আছে,
প্রতিটি আধানের মান, q = 5 nC = 5 × 10−9 C
আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, 2l = 5 cm = 0.05 m
মধ্যবিন্দু থেকে দূরত্ব, r = 10 m
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
তড়িৎবিভব, V = ?
আমরা জানি,
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = q × 2l
= 5 × 10−9 × 0.05
= 2.5 × 10−10 C m
এখানে r≫l, তাই
আমরা জানি,
V = 14πε0·pr2
= 9 × 109 × 2.5 × 10−10(10)2
= 2.25100
= 0.0225 V
উত্তর: 0.0225 V
দেওয়া আছে,
আধানের মান, q = 1.6 × 10−19 C
আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, 2l = 5 × 10−11 m
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = ?
আমরা জানি,
p = q × 2l
= 1.6 × 10−19 × 5 × 10−11
= 8 × 10−30 C m
দ্বিমেরু ভ্রামকের দিক ঋণাত্মক আধান থেকে ধনাত্মক আধানের দিকে, অর্থাৎ ইলেকট্রন থেকে প্রোটনের দিকে।
উত্তর: 8 × 10−30 C m; দিক ইলেকট্রন থেকে প্রোটনের দিকে।
দেওয়া আছে,
প্রথম ধারকের ধারকত্ব, C1 = 16 μF
দ্বিতীয় ধারকের ধারকত্ব, C2 = 22 μF
শ্রেণি সংযোগে তুল্য ধারকত্ব, Cs = ?
আমরা জানি,
1Cs = 1C1 + 1C2
∴ Cs = C1C2C1 + C2
= 16 × 2216 + 22
= 35238
= 9.26 μF
উত্তর: 9.26 μF
দেওয়া আছে,
প্রথম ধারকের ধারকত্ব, C1 = 4 μF
দ্বিতীয় ধারকের ধারকত্ব, C2 = 8 μF
সমান্তরাল সংযোগে তুল্য ধারকত্ব, Cp = ?
আমরা জানি,
Cp = C1 + C2
= 4 + 8
= 12 μF
উত্তর: 12 μF
দেওয়া আছে,
প্রথম ধারকের ধারকত্ব, C1 = 4 μF
দ্বিতীয় ধারকের ধারকত্ব, C2 = 3 μF
তৃতীয় ধারকের ধারকত্ব, C3 = 2 μF
তুল্য ধারকত্ব, C = ?
C1 ও C2 শ্রেণিতে যুক্ত।
আমরা জানি,
Cs = C1C2C1 + C2
= 4 × 34 + 3
= 127 μF
= 1.714 μF
এখন Cs ও C3 সমান্তরালে যুক্ত।
আমরা জানি,
C = Cs + C3
= 1.714 + 2
= 3.71 μF
উত্তর: 3.71 μF
দেওয়া আছে,
প্রতিটি পাতের ক্ষেত্রফল, A = 5.00 cm × 6.00 cm
= 30 cm2 = 30 × 10−4 m2
তড়িৎপ্রাবল্য, E = 1.24 × 106 N C−1
শূন্যস্থানের ভেদনযোগ্যতা, ε0 = 8.854 × 10−12 C2 N−1 m−2
প্রত্যেক পাতে আধান, Q = ?
আমরা জানি,
সমান্তরাল পাতের মাঝে, E = σε0 = Qε0A
∴ Q = ε0EA
= 8.854 × 10−12 × 1.24 × 106
× 30 × 10−4
= 3.29 × 10−8 C
উত্তর: 3.29 × 10−8 C
(ক) সমবায়টিতে সঞ্চিত শক্তির পরিমাণ নির্ণয় করো।
(খ) সর্বোচ্চ সঞ্চিত শক্তি পেতে উদ্দীপকের সমবায়টির কী রকমের পরিবর্তন প্রয়োজন—গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করো।
দেওয়া আছে,
C1 = 2 μF, C2 = 4 μF, C3 = 4 μF
ব্যাটারির বিভব, V = 12 V
শ্রেণি সমবায়ে সঞ্চিত শক্তি, Us = ?
(ক) সমবায়ে সঞ্চিত শক্তি নির্ণয়:
ধারক তিনটি শ্রেণিতে যুক্ত।
আমরা জানি,
1Cs = 1C1 + 1C2 + 1C3
বা, 1Cs = 12 + 14 + 14
বা, 1Cs = 1
∴ Cs = 1 μF = 1 × 10−6 F
আমরা জানি,
Us = 12CsV2
= 12 × 1 × 10−6 × (12)2
= 7.2 × 10−5 J
(খ) সর্বোচ্চ সঞ্চিত শক্তির জন্য সমবায় নির্বাচন:
একই বিভবে U = 12CV2, অর্থাৎ U ∝ C। তাই তুল্য ধারকত্ব যত বেশি, সঞ্চিত শক্তি তত বেশি। ধারকগুলো সমান্তরালে যুক্ত করলে তুল্য ধারকত্ব সবচেয়ে বেশি হয়।
আমরা জানি,
Cp = C1 + C2 + C3
= 2 + 4 + 4
= 10 μF = 10 × 10−6 F
আমরা জানি,
Up = 12CpV2
= 12 × 10 × 10−6 × (12)2
= 7.2 × 10−4 J
অর্থাৎ Up = 10Us। সুতরাং ধারকগুলো শ্রেণির বদলে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করলে সর্বোচ্চ শক্তি সঞ্চিত হবে।
উত্তর: (ক) 7.2 × 10−5 J; (খ) সমান্তরাল সমবায়ে সঞ্চিত শক্তি 7.2 × 10−4 J (শ্রেণির ১০ গুণ), তাই ধারকগুলো সমান্তরালে যুক্ত করতে হবে।
(ক) উদ্দীপক অনুসারে ধারকটির ধারকত্ব নির্ণয় করো।
(খ) ধারকটির মধ্যবর্তী স্থানে 2.8 ডাইইলেকট্রিক ধ্রুবকের একটি বস্তু দ্বারা পূর্ণ করলে সঞ্চিত শক্তির কীরূপ পরিবর্তন হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা দাও।
দেওয়া আছে,
পাতের ক্ষেত্রফল, A = 1.65 m2
পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 2 cm = 0.02 m
বিভব পার্থক্য, V = 60 V
ডাইইলেকট্রিক ধ্রুবক, K = 2.8
ধারকত্ব, C = ?
(ক) ধারকত্ব নির্ণয়:
আমরা জানি,
C = ε0Ad
= 8.854 × 10−12 × 1.650.02
= 7.3 × 10−10 F
(খ) সঞ্চিত শক্তির পরিবর্তন:
ধারকটি 60 V উৎসের সাথে যুক্ত থাকায় বিভব পার্থক্য V অপরিবর্তিত থাকে।
আমরা জানি,
U = 12CV2
= 12 × 7.3 × 10−10 × (60)2
= 1.315 × 10−6 J
ডাইইলেকট্রিক বস্তু দিলে ধারকত্ব, C′ = KC
আমরা জানি,
U′ = 12C′V2 = 12KCV2
∴ U′U = K = 2.8
∴ U′ = 2.8 × 1.315 × 10−6
= 3.68 × 10−6 J
সুতরাং সঞ্চিত শক্তি 2.8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
উত্তর: (ক) 7.3 × 10−10 F; (খ) সঞ্চিত শক্তি 2.8 গুণ বৃদ্ধি পাবে (1.315 × 10−6 J থেকে 3.68 × 10−6 J)।
ধরি, প্রতিটি ছোটো গোলকের ব্যাসার্ধ = r, আধান = q, ধারকত্ব = c, বিভব = v
বড়ো গোলকের ব্যাসার্ধ = R, আধান = Q, ধারকত্ব = C, বিভব = V
ছোটো গোলকের সংখ্যা, n = 27
একত্রিত হলে মোট আয়তন অপরিবর্তিত থাকে।
আমরা জানি,
43πR3 = n × 43πr3
বা, R3 = 27r3
∴ R = 3r
ধারকত্ব নির্ণয়:
আমরা জানি,
গোলকের ধারকত্ব, C = 4πε0R
∴ Cc = 4πε0R4πε0r = Rr
= 3rr = 3
∴ C = 3c
বিভব নির্ণয়:
মোট আধান সংরক্ষিত থাকে, ∴ Q = 27q
আমরা জানি,
V = QC
∴ Vv = Q/Cq/c = Qq × cC
= 27 × 13 = 9
∴ V = 9v
উত্তর: বড়ো ফোঁটার ধারকত্ব ছোটো ফোঁটার ধারকত্বের 3 গুণ এবং বড়ো ফোঁটার বিভব ছোটো ফোঁটার বিভবের 9 গুণ।
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে "ছোটো ফোঁটার বিভব বড়ো ফোঁটার বিভবের নয় গুণ" লেখা, যা উল্টো; আসলে বড়ো ফোঁটার বিভব ছোটো ফোঁটার বিভবের 9 গুণ।
i. ধারকত্ব নির্ণয় করো।
ii. যদি ধারকটি 500 V বৈদ্যুতিক উৎসের সাথে সংযোগ করা হয়, তবে ধারকে কত শক্তি সঞ্চিত হবে?
দেওয়া আছে,
পাতের ক্ষেত্রফল, A = 200 cm2 = 200 × 10−4 m2
= 0.02 m2
পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 0.4 cm = 0.004 m
বিভব পার্থক্য, V = 500 V
ধারকত্ব, C = ?
সঞ্চিত শক্তি, U = ?
(i) ধারকত্ব নির্ণয়:
আমরা জানি,
C = ε0Ad
= 8.854 × 10−12 × 0.020.004
= 4.427 × 10−11 F
(ii) সঞ্চিত শক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
U = 12CV2
= 12 × 4.427 × 10−11 × (500)2
= 5.53 × 10−6 J
উত্তর: (i) 4.427 × 10−11 F; (ii) 5.53 × 10−6 J
দেওয়া আছে,
ছোটো ফোঁটার সংখ্যা, n = 8
প্রতিটি ছোটো ফোঁটার বিভব, v = 220 V
বড়ো ফোঁটার বিভব, V = ?
ধরি, ছোটো ফোঁটার ব্যাসার্ধ r, আধান q; বড়ো ফোঁটার ব্যাসার্ধ R, আধান Q।
আয়তন অপরিবর্তিত থাকে।
আমরা জানি,
43πR3 = n × 43πr3
বা, R3 = 8r3
∴ R = 2r
মোট আধান, Q = nq = 8q
আমরা জানি,
v = 14πε0·qr এবং V = 14πε0·QR
∴ Vv = Qq × rR
= 8 × 12 = 4
∴ V = 4 × 220
= 880 V
উত্তর: 880 V
দেওয়া আছে,
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6400 km = 6.4 × 106 m
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
ধারকত্ব, C = ?
আমরা জানি,
C = 4πε0R
= R9 × 109
= 6.4 × 1069 × 109
= 7.11 × 10−4 F
= 711 μF
উত্তর: 711 μF
দেওয়া আছে,
ধারকত্ব, C = 4 μF = 4 × 10−6 F
বিভব পার্থক্য, V = 300 V
সঞ্চিত শক্তি, U = ?
আমরা জানি,
U = 12CV2
= 12 × 4 × 10−6 × (300)2
= 2 × 10−6 × 9 × 104
= 0.18 J
উত্তর: 0.18 J
দেওয়া আছে,
পাতের ক্ষেত্রফল, A = 1.5 × 106 mm2
= 1.5 × 106 × 10−6 m2 = 1.5 m2
পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 2 mm = 2 × 10−3 m
বিভব পার্থক্য, V = 60 V
প্রত্যেক পাতের চার্জ, Q = ?
আমরা জানি,
C = ε0Ad
= 8.854 × 10−12 × 1.52 × 10−3
= 6.64 × 10−9 F
আমরা জানি,
Q = CV
= 6.64 × 10−9 × 60
= 3.98 × 10−7 C
উত্তর: 3.98 × 10−7 C
ধরি, প্রতিটি ধারকের ধারকত্ব = C
শ্রেণি সংযোগে তুল্য ধারকত্ব, Cs = ?
সমান্তরাল সংযোগে তুল্য ধারকত্ব, Cp = ?
আমরা জানি,
1Cs = 1C + 1C = 2C
∴ Cs = C2
আমরা জানি,
Cp = C + C = 2C
∴ CsCp = C/22C
= 14
∴ Cs:Cp = 1:4
উত্তর: 1:4
দেওয়া আছে,
পাতের ক্ষেত্রফল, A = 1.56 × 106 mm2 = 1.56 m2
পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 20 cm = 0.2 m
বিভব পার্থক্য, V = 66 V
প্রত্যেক পাতের চার্জ, Q = ?
আমরা জানি,
C = ε0Ad
= 8.854 × 10−12 × 1.560.2
= 6.906 × 10−11 F
আমরা জানি,
Q = CV
= 6.906 × 10−11 × 66
= 4.56 × 10−9 C
উত্তর: 4.56 × 10−9 C
দেওয়া আছে,
ছোটো ফোঁটার সংখ্যা, n = 27
প্রতিটি ছোটো ফোঁটার বিভব, v = 220 V
বড়ো ফোঁটার বিভব, V = ?
ধরি, ছোটো ফোঁটার ব্যাসার্ধ r, আধান q; বড়ো ফোঁটার ব্যাসার্ধ R, আধান Q।
আয়তন অপরিবর্তিত থাকে।
আমরা জানি,
43πR3 = n × 43πr3
বা, R3 = 27r3
∴ R = 3r
মোট আধান, Q = nq = 27q
আমরা জানি,
v = 14πε0·qr এবং V = 14πε0·QR
∴ Vv = Qq × rR
= 27 × 13 = 9
∴ V = 9 × 220
= 1980 V
উত্তর: 1980 V
দেওয়া আছে,
ধারকত্ব, C = 2 μF = 2 × 10−6 F
উৎপন্ন তাপ, H = 214.3 cal
তাপের যান্ত্রিক সমতা, J = 4.2 J cal−1
বিভব, V = ?
সঞ্চিত শক্তি, U = JH
= 4.2 × 214.3
= 900 J
আমরা জানি,
U = 12CV2
∴ V = 2UC
= 2 × 9002 × 10−6
= 9 × 108
= 3 × 104 V
উত্তর: 3 × 104 V
দেওয়া আছে,
তড়িৎক্ষেত্র, E = 50000 V m−1
পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 0.002 m
পাতের ব্যাসার্ধ, r = 0.08 m
সঞ্চিত শক্তি, U = ?
আমরা জানি,
পাতের ক্ষেত্রফল, A = πr2
= 3.1416 × (0.08)2
= 0.0201 m2
আমরা জানি,
বিভব পার্থক্য, V = Ed
= 50000 × 0.002
= 100 V
আমরা জানি,
C = ε0Ad
= 8.854 × 10−12 × 0.02010.002
= 8.90 × 10−11 F
আমরা জানি,
U = 12CV2
= 12 × 8.90 × 10−11 × (100)2
= 4.45 × 10−7 J
উত্তর: 4.45 × 10−7 J
দেওয়া আছে,
ডাইইলেকট্রিক ছাড়া সঞ্চিত শক্তি = U
ডাইইলেকট্রিক দিলে সঞ্চিত শক্তি, U′ = 5U
ডাইইলেকট্রিক ধ্রুবক, K = ?
বিভব পার্থক্য V স্থির ধরে (ধারক উৎসের সাথে যুক্ত),
আমরা জানি,
U = 12CV2 এবং U′ = 12C′V2
যেখানে C′ = KC
∴ U′U = C′C = K
বা, K = 5UU
∴ K = 5
উত্তর: 5
দেওয়া আছে,
বায়ুপূর্ণ অবস্থায় ধারকত্ব, C = 1 pF
মোমপূর্ণ অবস্থায় ধারকত্ব, C′ = 2 pF
নতুন দূরত্ব, d′ = 2d
মোমের পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক, K = ?
আমরা জানি,
C = ε0Ad এবং C′ = Kε0Ad′
∴ C′C = Kε0A/2dε0A/d
বা, C′C = K2
∴ K = 2C′C
= 2 × 21
= 4
উত্তর: 4
দেওয়া আছে,
পাতের ব্যাসার্ধ, r = 8 × 10−2 m
পাতদ্বয়ের দূরত্ব, d = 2 × 10−3 m
বিভব পার্থক্য, V = 100 V
চার্জ, Q = ?
আমরা জানি,
পাতের ক্ষেত্রফল, A = πr2
= 3.1416 × (8 × 10−2)2
= 0.0201 m2
আমরা জানি,
C = ε0Ad
= 8.854 × 10−12 × 0.02012 × 10−3
= 8.90 × 10−11 F
আমরা জানি,
Q = CV
= 8.90 × 10−11 × 100
= 8.9 × 10−9 C
উত্তর: 8.9 × 10−9 C
দেওয়া আছে,
প্রতিটি ধারকের ধারকত্ব, C = 4 μF
ধারকের সংখ্যা, n = 4
ব্যাটারির বিভব, V = 100 V
সমান্তরালে সঞ্চিত শক্তি, Up = ?
শ্রেণিতে সঞ্চিত শক্তি, Us = ?
(ক) সমান্তরাল সংযোগে সঞ্চিত শক্তি:
আমরা জানি,
Cp = nC
= 4 × 4 = 16 μF = 16 × 10−6 F
আমরা জানি,
Up = 12CpV2
= 12 × 16 × 10−6 × (100)2
= 8 × 10−2 J
(খ) শ্রেণি সংযোগে সঞ্চিত শক্তি:
আমরা জানি,
1Cs = 1C + 1C + 1C + 1C = 4C
∴ Cs = C4
= 44 = 1 μF = 1 × 10−6 F
আমরা জানি,
Us = 12CsV2
= 12 × 1 × 10−6 × (100)2
= 5 × 10−3 J
উত্তর: (ক) 8 × 10−2 J; (খ) 5 × 10−3 J
দেওয়া আছে,
C1 = 5 μF, C2 = 10 μF, C3 = 1 μF
তুল্য ধারকত্ব, C = ?
C1 ও C3 শ্রেণিতে যুক্ত।
আমরা জানি,
Cs = C1C3C1 + C3
= 5 × 15 + 1
= 56 = 0.833 μF
এখন Cs ও C2 সমান্তরালে যুক্ত।
আমরা জানি,
C = Cs + C2
= 0.833 + 10
= 10.83 μF
উত্তর: 10.83 μF
দেওয়া আছে,
শ্রেণি সমবায়ে তুল্য ধারকত্ব, Cs = 2 μF
সমান্তরাল সমবায়ে তুল্য ধারকত্ব, Cp = 3 μF
ধারক দুটির ধারকত্ব, C1 = ?, C2 = ?
আমরা জানি,
Cp = C1 + C2
∴ C1 + C2 = 3 ...(i)
আমরা জানি,
Cs = C1C2C1 + C2
বা, 2 = C1C23
∴ C1C2 = 6 ...(ii)
(i) ও (ii) থেকে C1 ও C2 হলো x2 − 3x + 6 = 0 সমীকরণের মূল।
আমরা জানি,
x = −b ± b2 − 4ac2a
= 3 ± (−3)2 − 4 × 1 × 62 × 1
= 3 ± 9 − 242 = 3 ± −152
বর্গমূলের ভেতরে ঋণাত্মক সংখ্যা, তাই প্রদত্ত মানে কোনো বাস্তব সমাধান নেই। (শ্রেণি সমবায়ের তুল্য ধারকত্ব সর্বদা ≤ Cp4, অর্থাৎ Cp = 3 μF হলে Cs ≤ 0.75 μF হতে হয়।)
বইয়ের উত্তর অনুযায়ী সমান্তরাল সমবায়ের তুল্য ধারকত্ব Cp = 9 μF ধরে সমাধান করি:
C1 + C2 = 9 ...(iii)
C1C2 = Cs(C1 + C2) = 2 × 9 = 18 ...(iv)
∴ C1 ও C2 হলো x2 − 9x + 18 = 0 সমীকরণের মূল।
আমরা জানি,
x = −b ± b2 − 4ac2a
= 9 ± (−9)2 − 4 × 1 × 182 × 1
= 9 ± 81 − 722 = 9 ± 32
∴ x = 6 অথবা x = 3
∴ C1 = 6 μF, C2 = 3 μF
উত্তর: 6 μF ও 3 μF (সমান্তরাল তুল্য ধারকত্ব 9 μF ধরে)
লক্ষ করো: প্রশ্নের তথ্য (Cs = 2 μF, Cp = 3 μF) অসম্ভব — কোনো বাস্তব সমাধান নেই। বইয়ের উত্তর 6 ও 3 μF দিলে Cp = 9 μF হয়, তাই প্রশ্নে "3 μF"-এর জায়গায় "9 μF" হওয়ার কথা।
(ক) ধারকটিকে 4 kV বিভব পার্থক্য প্রদান করা হয়।
(খ) ধারকের প্রতিটি পাতের চার্জ 60 nC।
দেওয়া আছে,
ধারকত্ব, C = 100 pF = 100 × 10−12 F
= 10−10 F
বিভব পার্থক্য, V = 4 kV = 4 × 103 V
চার্জ, Q = 60 nC = 60 × 10−9 C
সঞ্চিত শক্তি, U = ?
(ক) বিভব দেওয়া থাকলে:
আমরা জানি,
U = 12CV2
= 12 × 10−10 × (4 × 103)2
= 12 × 10−10 × 16 × 106
= 8 × 10−4 J
(খ) চার্জ দেওয়া থাকলে:
আমরা জানি,
U = Q22C
= (60 × 10−9)22 × 10−10
= 3.6 × 10−152 × 10−10
= 1.8 × 10−5 J
উত্তর: (ক) 8 × 10−4 J; (খ) 1.8 × 10−5 J
দেওয়া আছে,
প্রথম ধারকের ধারকত্ব, C1 = 4 μF = 4 × 10−6 F
দ্বিতীয় ধারকের ধারকত্ব, C2 = 2 μF = 2 × 10−6 F
প্রাথমিক বিভব, V1 = 200 V
শক্তি হ্রাস, ΔU = ?
আমরা জানি,
প্রাথমিক চার্জ, Q = C1V1
= 4 × 10−6 × 200 = 8 × 10−4 C
প্রাথমিক শক্তি, U1 = 12C1V21
= 12 × 4 × 10−6 × (200)2
= 0.08 J
সংযোগের পর মোট চার্জ সংরক্ষিত থাকে এবং দুই ধারকের বিভব সমান হয়।
আমরা জানি,
সাধারণ বিভব, V = QC1 + C2
= 8 × 10−46 × 10−6
= 133.33 V
আমরা জানি,
শেষ শক্তি, U2 = 12(C1 + C2)V2
= 12 × 6 × 10−6 × (133.33)2
= 0.0533 J
∴ শক্তি হ্রাস, ΔU = U1 − U2
= 0.08 − 0.0533
= 0.0267 J ≈ 0.027 J
উত্তর: 0.027 J
দেওয়া আছে,
তড়িৎপ্রাবল্য, E = 1200 N C−1
তলের ক্ষেত্রফল, A = 50 mm2 = 50 × 10−6 m2
অভিলম্বের সাথে কোণ, θ = 55°
তড়িৎ ফ্লাক্স, φ = ?
আমরা জানি,
φ = EAcos θ
= 1200 × 50 × 10−6 × cos 55°
= 0.06 × 0.5736
= 0.0344 N m2 C−1
উত্তর: 0.0344 N m2 C−1
দেওয়া আছে,
তড়িৎপ্রাবল্য, E = (5ı + 6ȷ + 7k) N C−1
তলটি XY-তলে, তাই এর অভিলম্ব z-অক্ষ বরাবর।
ক্ষেত্রফল ভেক্টর, A = 15k m2
তড়িৎ ফ্লাক্স, φ = ?
আমরা জানি,
φ = E·A
= ExAx + EyAy + EzAz
= 5 × 0 + 6 × 0 + 7 × 15
= 105 N m2 C−1
উত্তর: 105 N m2 C−1
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে এককটি N m2 C−2 ছাপা হয়েছে; তড়িৎ ফ্লাক্সের সঠিক একক N m2 C−1।
দেওয়া আছে,
আবদ্ধ আধান, q = + 55 μC = 55 × 10−6 C
ε0 = 8.854 × 10−12 C2 N−1 m−2
তড়িৎ ফ্লাক্স, φ = ?
গাউসের সূত্র অনুযায়ী,
আমরা জানি,
φ = qε0
= 55 × 10−68.854 × 10−12
= + 6.21 × 106 N m2 C−1
উত্তর: + 6.21 × 106 N m2 C−1
দেওয়া আছে,
দণ্ডের দৈর্ঘ্য, L = 50 cm = 0.5 m
দণ্ডের আধান, Q = 150 C
দূরত্ব, r = 1.5 m
তড়িৎপ্রাবল্য, E = ?
দণ্ডটিকে সুষম রৈখিক আধান হিসেবে ধরে (গাউসের সূত্র),
আমরা জানি,
রৈখিক আধান ঘনত্ব, λ = QL
= 1500.5 = 300 C m−1
আমরা জানি,
E = λ2πε0r = 14πε0·2λr
= 9 × 109 × 2 × 3001.5
= 5.4 × 10121.5
= 3.6 × 1012 N C−1
উত্তর: 3.6 × 1012 N C−1
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর অসীম দৈর্ঘ্যের রৈখিক আধানের সূত্র (E = λ/2πε0r) থেকে আসে। কিন্তু দণ্ডটি মাত্র 0.5 m এবং বিন্দুটি 1.5 m দূরে, তাই এই আসন্নীকরণ ঠিক খাটে না; দণ্ডের লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ওপর প্রকৃত মান E = kQrr2 + L2/4 ≈ 5.92 × 1011 N C−1।
দেওয়া আছে,
আধান, q = 15 μC = 15 × 10−6 C
ঘনকের তলের সংখ্যা = 6
প্রতিটি তলের মধ্যদিয়ে ফ্লাক্স, φ1 = ?
গাউসের সূত্র অনুযায়ী ঘনকের মধ্যদিয়ে মোট ফ্লাক্স,
আমরা জানি,
φ = qε0
প্রতিসাম্যের জন্য প্রতিটি তলে সমান ফ্লাক্স,
∴ φ1 = φ6 = q6ε0
= 15 × 10−66 × 8.854 × 10−12
= 15 × 10−65.3124 × 10−11
= 2.82 × 105 N m2 C−1
উত্তর: 2.82 × 105 N m2 C−1
চিত্রে ধনাত্মকভাবে চার্জিত অসীম বিস্তৃতির তল যার চার্জের তলমাত্রিক ঘনত্ব 2.5 μC/m2। তল হতে খাড়া ওপরে 10 cm দূরত্বে P একটি বিন্দু। [অভিকর্ষজ ত্বরণ 10 m s−2 এবং বায়ু মাধ্যমে ভেদনযোগ্যতা 8.854 × 10−12 C2 N−1 m−2]
(ক) P বিন্দুতে তড়িৎপ্রাবল্য নির্ণয় করো।
(খ) কোনো অবলম্বন ছাড়া কী ব্যবস্থা গ্রহণ করলে 2 mg ভরের একটি শোলাবল P বিন্দুতে স্থির অবস্থায় থাকবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।
দেওয়া আছে,
তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব, σ = 2.5 μC/m2 = 2.5 × 10−6 C m−2
ε0 = 8.854 × 10−12 C2 N−1 m−2
শোলাবলের ভর, m = 2 mg = 2 × 10−6 kg
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 10 m s−2
P বিন্দুতে প্রাবল্য, E = ?
শোলাবলের প্রয়োজনীয় আধান, q = ?
(ক) P বিন্দুতে তড়িৎপ্রাবল্য নির্ণয়:
অসীম বিস্তৃত চার্জিত তলের ক্ষেত্রে প্রাবল্য দূরত্বের ওপর নির্ভর করে না।
আমরা জানি,
E = σ2ε0
= 2.5 × 10−62 × 8.854 × 10−12
= 1.41 × 105 N C−1
তল ধনাত্মক চার্জিত, তাই প্রাবল্যের দিক খাড়া ওপরের দিকে।
(খ) শোলাবলকে স্থির রাখার ব্যবস্থা:
শোলাবলের ওজন নিচের দিকে ক্রিয়া করে। একে স্থির রাখতে তড়িৎ বল qE খাড়া ওপরের দিকে এবং ওজনের সমান হতে হবে। E ওপরের দিকে বলে q ধনাত্মক হতে হবে।
আমরা জানি,
qE = mg
∴ q = mgE
= 2 × 10−6 × 101.41 × 105
= 1.42 × 10−10 C
সুতরাং শোলাবলে 1.42 × 10−10 C ধনাত্মক আধান দিয়ে P বিন্দুতে রাখলে এটি কোনো অবলম্বন ছাড়াই স্থির থাকবে।
উত্তর: (ক) 1.41 × 105 N C−1; (খ) শোলাবলে 1.42 × 10−10 C ধনাত্মক আধান দিয়ে P বিন্দুতে স্থাপন করতে হবে।