ইসহাক · ২য় পত্র · অধ্যায় ২
স্থির তড়িৎ — গাণিতিক সমস্যা
দেওয়া আছে,
প্রতিটি বলের আধান, q1 = q2 = q
দূরত্ব, r = 3.0 cm = 0.03 m
বিকর্ষণ বল, F = 4 × 10−5 N
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
আধান, q = ?
আমরা জানি, F = 14πε0q1q2r2 = 14πε0q2r2
∴ q2 = Fr29 × 109
= 4 × 10−5 × (0.03)29 × 109
= 4 × 10−18
∴ q = ± 2 × 10−9 C
দেওয়া আছে,
প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ, r1 = 0.02 m
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ, r2 = 0.04 m
পৃষ্ঠদ্বয়ের দূরত্ব = 0.14 m
প্রতিটির আধান, q1 = q2 = 40 C
বল, F = ?
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব, r = 0.02 + 0.14 + 0.04 = 0.2 m
আমরা জানি, F = 14πε0q1q2r2
= 9 × 109 × 40 × 40(0.2)2
= 9 × 109 × 40000
= 3.6 × 1014 N
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, r = 0.1 m
বিকর্ষণ বল, F = 9 × 10−5 N
আধান দুটি q ও 4q
q = ?, 4q = ?
আমরা জানি, F = 14πε0q1q2r2
বা, 9 × 10−5 = 9 × 109 × q × 4q(0.1)2
বা, 4q2 = 9 × 10−5 × 0.019 × 109 = 10−16
বা, q2 = 2.5 × 10−17
∴ q = 5 × 10−9 C
এবং 4q = 20 × 10−9 C
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, r = 1 Å = 10−10 m
আধান, e = 1.6 × 10−19 C
ইলেকট্রনের ভর, me = 9.1 × 10−31 kg
প্রোটনের ভর, mp = 1.67 × 10−27 kg
ত্বরণ ae = ?, ap = ?
আমরা জানি, F = 14πε0e2r2
= 9 × 109 × 1.6 × 10−19210−102
= 2.304 × 10−8 N
আবার, F = ma
∴ ae = Fme = 2.304 × 10−89.1 × 10−31
= 2.5 × 1022 m s−2
ap = Fmp = 2.304 × 10−81.67 × 10−27
= 1.4 × 1019 m s−2
দেওয়া আছে,
দুই প্রান্তে আধান Q ও Q, এদের দূরত্ব = r (ধরি)
মধ্যবিন্দুতে আধান = q
সাম্যের জন্য q = ?
মধ্যবিন্দুর q দুই দিক থেকে সমান ও বিপরীত বল পায়, তাই এটি সাম্যে থাকে।
একপ্রান্তের Q-এর ওপর অপর Q ও q-এর বলের যোগফল শূন্য হতে হবে।
আমরা জানি, F = 14πε0q1q2r2
∴ 14πε0Q·Qr2 + 14πε0Q·q(r/2)2 = 0
বা, Qr2 + 4qr2 = 0
বা, Q + 4q = 0
∴ q = −Q4
দেওয়া আছে,
A-এর আধান, qA = 8 × 10−6 C
B-এর আধান, qB = −2 × 10−6 C
AB দূরত্ব, d = 20 cm = 0.2 m
নিরপেক্ষ বিন্দুর অবস্থান = ?
আধান দুটি বিপরীত, তাই নিরপেক্ষ বিন্দু AB-র বাইরে, ছোট আধান B-এর দিকে।
ধরি, B থেকে x দূরে (A থেকে 0.2 + x দূরে) লব্ধি প্রাবল্য শূন্য।
আমরা জানি, E = 14πε0qr2
∴ 8 × 10−6(0.2 + x)2 = 2 × 10−6x2
বা, (0.2 + x)2x2 = 4
বা, 0.2 + xx = 2
বা, 0.2 + x = 2x
∴ x = 0.2 m
অর্থাৎ, AB রেখার বাইরে B থেকে 0.2 m দূরে।
দেওয়া আছে,
ছোট ফোঁটার ব্যাসার্ধ, r = 3 mm
ফোঁটার সংখ্যা = 27, প্রতিটির আধান = q
তল ঘনত্বের অনুপাত, σBσs = ?
আয়তন সংরক্ষণে, 43πR3 = 27 × 43πr3
বা, R3 = 27r3 ∴ R = 3r
বড় ফোঁটার আধান, Q = 27q
আমরা জানি, তল ঘনত্ব, σ = q4πr2
∴ σBσs = Q/4πR2q/4πr2 = Qq × r2R2
= 27 × r29r2
= 3:1
দেওয়া আছে,
প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ, r1 = 4 cm
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ, r2 = 8 cm
উভয়ের আধান = q
তল ঘনত্বের অনুপাত, σ1σ2 = ?
আমরা জানি, σ = q4πr2
∴ σ1σ2 = r22r21
= 8242 = 6416
= 4:1
দেওয়া আছে,
আধান, q = 50 C
দূরত্ব, r = 2 m
তড়িৎ প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি, E = 14πε0qr2
= 9 × 109 × 5022
= 9 × 109 × 12.5
= 11.25 × 1010 N C−1
দেওয়া আছে,
আধান, q = 5 × 10−9 C
বল, F = 20 × 10−9 N (নিম্নমুখী)
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
(ক) প্রাবল্য E = ? (খ) ইলেকট্রনের ওপর বল Fe = ?
(ক) আমরা জানি, E = Fq
= 20 × 10−95 × 10−9
= 4 N C−1 (নিম্নমুখী)
(খ) আমরা জানি, Fe = eE
= 1.6 × 10−19 × 4
= 6.4 × 10−19 N
ইলেকট্রন ঋণাত্মক, তাই বল প্রাবল্যের বিপরীতে — ঊর্ধ্বমুখী।
লক্ষ করো: বইয়ে বলের দিক “নিম্নমুখী” লেখা, কিন্তু ধনাত্মক আধানে বল নিচের দিকে হওয়ায় ক্ষেত্র নিম্নমুখী; ইলেকট্রনের ওপর বল তাই ঊর্ধ্বমুখী।
দেওয়া আছে,
প্রথম আধান, q1 = 40 C
দ্বিতীয় আধান, q2 = 60 C
আধানদ্বয়ের দূরত্ব = 0.20 m, মধ্যবিন্দু প্রতিটি থেকে r = 0.1 m দূরে
মধ্যবিন্দুতে প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি, E = 14πε0qr2
মধ্যবিন্দুতে দুটি প্রাবল্য বিপরীতমুখী, তাই
E = E2 − E1 = 9 × 109r2q2 − q1
= 9 × 109(0.1)2 × (60 − 40)
= 9 × 1011 × 20
= 1.8 × 1013 N C−1 (40 C চার্জের দিকে)
দেওয়া আছে,
প্রথম আধান, q1 = 1.5 × 10−6 C
দ্বিতীয় আধান, q2 = 3 × 10−6 C
দূরত্ব, d = 10 m
নিরপেক্ষ বিন্দুর অবস্থান = ?
আধান দুটি সমজাতীয়, তাই নিরপেক্ষ বিন্দু দুয়ের মাঝে। ধরি, দুর্বল আধান থেকে x দূরে।
আমরা জানি, E = 14πε0qr2
∴ 1.5 × 10−6x2 = 3 × 10−6(10 − x)2
বা, (10 − x)2x2 = 2
বা, 10 − xx = 2
বা, 10 = x1 + 2
∴ x = 102.414 = 4.1 m
অর্থাৎ, দুর্বল আধান থেকে সবল আধানের দিকে 4.1 m দূরে।
দেওয়া আছে,
বাহুর দৈর্ঘ্য, r = 2 m
A বিন্দুতে আধান, qA = + 2 C
B বিন্দুতে আধান, qB = −2 C
C বিন্দুতে প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি, E = 14πε0qr2
EA = 9 × 109 × 222 = 4.5 × 109 N C−1 (AC বরাবর, A থেকে দূরে)
EB = 9 × 109 × 222 = 4.5 × 109 N C−1 (CB বরাবর, B-এর দিকে)
EA ও EB-এর মধ্যবর্তী কোণ θ = 120°
লব্ধি, E = E2A + E2B + 2EAEBcos θ
= 2E2A + 2E2Acos 120°
= 2E2A − E2A = EA
= 4.5 × 109 N C−1
উল্লম্ব উপাংশ পরস্পর কাটাকাটি যায়, তাই লব্ধি প্রাবল্য AB-এর সমান্তরাল (A থেকে B-এর দিকে)।
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 12 cm = 0.12 m
আধান, q = 1.6 × 10−7 C
দূরবর্তী বিন্দুর দূরত্ব, r = 18 cm = 0.18 m
প্রাবল্য (ক) ভেতরে, (খ) পৃষ্ঠে, (গ) 18 cm দূরে = ?
(ক) পরিবাহীর সব আধান পৃষ্ঠে থাকে, তাই অভ্যন্তরে E = 0
আমরা জানি, বাইরে ও পৃষ্ঠে, E = 14πε0qr2
(খ) পৃষ্ঠে, E = 9 × 109 × 1.6 × 10−7(0.12)2
= 14400.0144
= 105 N C−1
(গ) E = 9 × 109 × 1.6 × 10−7(0.18)2
= 14400.0324
= 4.44 × 104 N C−1
দেওয়া আছে,
খোলকের ব্যাসার্ধ, R = 20 cm = 0.2 m
আধান, q = 20 μC = 20 × 10−6 C
(i) r1 = 15 cm, (ii) r2 = 40 cm = 0.4 m
প্রাবল্য E = ?
(i) r1 < R, খোলকের ভেতরে কোনো আধান নেই, তাই E = 0
(ii) আমরা জানি, E = 14πε0qr2
= 9 × 109 × 20 × 10−6(0.4)2
= 1.8 × 1050.16
= 1.125 × 106 N C−1
দেওয়া আছে,
আধান, q = 10 × 10−19 C = 10−18 C
ভর, m = 5 g = 5 × 10−3 kg
বিভব পার্থক্য, V = 500 V
দূরত্ব, d = 300 cm = 3 m
আদিবেগ, u = 0
ত্বরণ a = ?, বেগ v = ?
আমরা জানি, E = Vd = 5003 V m−1
আবার, a = Fm = qEm
= 10−18 × 500/35 × 10−3
= 3.33 × 10−14 m s−2
আবার, v2 = u2 + 2ad
∴ v = 2ad = 2 × 3.33 × 10−14 × 3
= 4.47 × 10−7 m s−1
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর (0.04899 m s−1, 0.0004 m s−2) আধান 1.2 × 10−8 C ধরলে মেলে; প্রশ্নে দেওয়া 10 × 10−19 C-এ সঠিক উত্তর উপরেরটি।
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 100 V
ইলেকট্রনের ভর, m = 9 × 10−31 kg
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
অন্তিম বেগ, v = ?
তড়িৎ ক্ষেত্রের কাজ গতিশক্তিতে পরিণত হয়।
আমরা জানি, 12mv2 = eV
∴ v = 2eVm
= 2 × 1.6 × 10−19 × 1009 × 10−31
= 3.556 × 1013
= 5.96 × 106 m s−1
লক্ষ করো: বইয়ে 8 × 106 m s−1 লেখা, কিন্তু প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 5.96 × 106 m s−1।
দেওয়া আছে,
আধান, q1 = 10 C, q2 = −5 C, q3 = 3 C
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 0.10 m
কেন্দ্রে বিভব, V = ?
বিভব স্কেলার রাশি এবং সব আধান কেন্দ্র থেকে r দূরে।
আমরা জানি, V = 14πε0qr
∴ V = 9 × 109rq1 + q2 + q3
= 9 × 1090.1 × (10 − 5 + 3)
= 9 × 1010 × 8
= 72 × 1010 V
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, r = 2 cm = 0.02 m
তড়িৎ প্রাবল্য, E = 9 × 104 N C−1
রৈখিক আধান ঘনত্ব, λ = ?
আমরা জানি, অসীম রৈখিক আধানের জন্য,
E = λ2πε0r = 2 × 14πε0 × λr
∴ λ = Er2 × 9 × 109
= 9 × 104 × 0.022 × 9 × 109
= 1 × 10−7 C m−1
লক্ষ করো: বইয়ে 2 × 10−7 C m−1 লেখা, যা সূত্রে 2 গুণক বাদ দিলে আসে; সঠিক মান 1 × 10−7 C m−1।
দেওয়া আছে,
তিন কোণে আধান 3 C, −6 C, 7 C
চতুর্থ কোণে আধান, q = ?
কেন্দ্রে বিভব, V = 0
বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্র থেকে প্রতিটি কোণের দূরত্ব সমান = r
আমরা জানি, V = 14πε0∑qr
V = 0 হলে, ∑q = 0
∴ 3 − 6 + 7 + q = 0
∴ q = −4 C
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, r = 20 cm = 0.2 m
বিভব, V = 50 V
প্রাবল্য, E = ?
আমরা জানি, বিন্দু আধানের জন্য V = 14πε0qr এবং E = 14πε0qr2
∴ E = Vr
= 500.2
= 250 V m−1
দেওয়া আছে,
বিভব, V = 5 + 4x2
অবস্থান, x = 0.5 m
আধান, q = −2 × 10−6 C
বল, F = ?
আমরা জানি, E = −dVdx
= −ddx5 + 4x2 = −8x
x = 0.5 এ, E = −8 × 0.5 = −4 V m−1
আবার, F = qE
= −2 × 10−6 × (−4)
= 8 × 10−6 N (+ x অভিমুখে)
দেওয়া আছে,
বিন্দু আধান Q থেকে r দূরে বিভব, V = 14πε0Qr
প্রমাণ করতে হবে, E = 14πε0Qr2
আমরা জানি, প্রাবল্য ও বিভবের সম্পর্ক, E = −dVdr
= −ddr14πε0Qr
= −Q4πε0ddrr−1
= −Q4πε0−1r2
= 14πε0·Qr2 (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10 cm = 0.1 m
প্রতিটি আধান, q = 10 C, সংখ্যা = 2
কেন্দ্রে বিভব, V = ?
আমরা জানি, V = 14πε0qr
দুটি আধানের জন্য, V = 2 × 9 × 109 × 100.1
= 2 × 9 × 1011
= 18 × 1011 V
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 322 kV = 3.22 × 105 V
আধান, q = 9 μC = 9 × 10−6 C (ধরি)
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি, W = qV
= 9 × 10−6 × 3.22 × 105
= 2.89 J
দেওয়া আছে,
প্রতিটি ফোঁটার আধান, q = 3 × 10−10 C
প্রতিটি ফোঁটার বিভব, V = 500 V
বড় ফোঁটার বিভব, V′ = ?
দুটি ফোঁটা মিলে আয়তন দ্বিগুণ:
43πR3 = 2 × 43πr3 ∴ R = 21/3r
বড় ফোঁটার আধান, Q = 2q
আমরা জানি, V = 14πε0qr
∴ V′V = Qq × rR = 221/3 = 22/3
∴ V′ = 500 × 22/3
= 500 × 1.587
= 793.7 V
দেওয়া আছে,
বিভব, V = 10x2 − 5y2 − 3z2
বিন্দু, (x, y, z) = (−1, 2, 3) m
Ex = ?, Ey = ?, Ez = ?
আমরা জানি, Ex = −∂V∂x, Ey = −∂V∂y, Ez = −∂V∂z
Ex = −∂∂x10x2 = −20x
= −20 × (−1) = 20 V m−1
Ey = −∂∂y−5y2 = 10y
= 10 × 2 = 20 V m−1
Ez = −∂∂z−3z2 = 6z
= 6 × 3 = 18 V m−1
লক্ষ করো: বইয়ে Ey = −20 V m−1 লেখা, কিন্তু V-এ −5y2 থাকায় Ey = + 10y = + 20 V m−1।
দেওয়া আছে,
বিভব, V = 6x − 8xy2 − 8y + 6yz − 4z2
বিন্দু: মূলবিন্দু (0, 0, 0)
আধান, q = 2 C
বল, F = ?
আমরা জানি, E = −∂V∂xı + ∂V∂yȷ + ∂V∂zk
∂V∂x = 6 − 8y2; মূলবিন্দুতে = 6
∂V∂y = −16xy − 8 + 6z; মূলবিন্দুতে = −8
∂V∂z = 6y − 8z; মূলবিন্দুতে = 0
∴ E = −6ı + 8ȷ
E = (−6)2 + 82 = 10 V m−1
আবার, F = qE
= 2 × 10
= 20 N
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = b
প্রতিটি কোণে আধান = q
কেন্দ্রে বিভব V = ?, প্রাবল্য E = ?
কেন্দ্র থেকে প্রতিটি কোণের দূরত্ব, r = 2 b2 = b2
আমরা জানি, V = 14πε0qr
চারটি আধানের জন্য, V = 4 × 14πε0qb/2
= 42 q4πε0b
= 2 qπε0b
বিপরীত কোণের সমান আধান দুটির প্রাবল্য সমান ও বিপরীতমুখী, তাই দুই জোড়ার প্রাবল্যই কাটাকাটি যায়:
∴ E = 0
লক্ষ করো: বইয়ে বিভবের রাশিতে 43 গুণক দেখা যাচ্ছে, কিন্তু কেন্দ্র থেকে কোণের দূরত্ব b2 হওয়ায় সঠিক রাশি 2 qπε0b।
দেওয়া আছে,
ক্ষরণ শুরুর প্রাবল্য, E = 3 × 106 V m−1
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 3 m (ধরি)
সর্বোচ্চ আধান q = ?, বিভব V = ?
আমরা জানি, পৃষ্ঠে E = 14πε0qr2
∴ q = Er29 × 109
= 3 × 106 × 329 × 109
= 3 × 10−3 C
আবার, V = 14πε0qr = Er
= 3 × 106 × 3
= 9 × 106 V
লক্ষ করো: প্রশ্নে গোলকের ব্যাসার্ধ বাদ পড়েছে; বইয়ের উত্তর (3 × 10−3 C, 9 × 106 V) ব্যাসার্ধ 3 m ধরলে মেলে।
দেওয়া আছে,
বিভব, V = 8x2 V
বিন্দু, (1, 0, 2)
তড়িৎ ক্ষেত্র, E = ?
আমরা জানি, E = −∂V∂xı + ∂V∂yȷ + ∂V∂zk
∂V∂x = 16x, ∂V∂y = 0, ∂V∂z = 0
∴ E = −16x ı
(1, 0, 2) বিন্দুতে, E = −16 × 1 ı
= −16ı V m−1
লক্ষ করো: বইয়ে −8ı V m−1 লেখা, কিন্তু ddx8x2 = 16x, তাই সঠিক মান −16ı V m−1।
দেওয়া আছে,
ছোট বিন্দুর সংখ্যা = 27
প্রতিটির বিভব, V = 10 V
বড় বিন্দুর বিভব, V′ = ?
আয়তন সংরক্ষণে, R3 = 27r3 ∴ R = 3r
বড় বিন্দুর আধান, Q = 27q
আমরা জানি, V = 14πε0qr
∴ V′V = Qq × rR = 27 × 13 = 9
∴ V′ = 9 × 10
= 90 V
দেওয়া আছে,
তড়িৎ ক্ষেত্র, E = 20ı + 30ȷ N C−1
মূলবিন্দুতে বিভব, V0 = 0
(2, 2) বিন্দুতে বিভব, V = ?
আমরা জানি, V − V0 = −∫E·dr
= −∫2020 dx − ∫2030 dy
= −(20 × 2 + 30 × 2)
∴ V = −100 V
দেওয়া আছে,
প্রথম বিন্দুর দূরত্ব, r1 = 5 cm; প্রাবল্য, E1 = 2.5 × 104 N C−1
দ্বিতীয় বিন্দুর দূরত্ব, r2 = 10 cm; প্রাবল্য, E2 = 2 × 103 N C−1
দ্বিমেরুর দৈর্ঘ্য, 2a = ?
আমরা জানি, অক্ষের ওপর E = 14πε02prr2 − a22
∴ E1E2 = r1r2 × r22 − a22r21 − a22
বা, 2.5 × 1042 × 103 = 510 × 100 − a2225 − a22 (a cm এককে)
বা, 12.5 × 2 = 100 − a225 − a22
বা, 100 − a225 − a2 = 5
বা, 100 − a2 = 125 − 5a2
বা, 4a2 = 25 ∴ a = 2.5 cm
দ্বিমেরুর দৈর্ঘ্য, 2a = 5 cm = 0.05 m
দেওয়া আছে,
আধান, q = 8 μC = 8 × 10−6 C
আধানদ্বয়ের দূরত্ব, 2a = 10−3 m
অক্ষের ওপর দূরত্ব, r = 20 cm = 0.2 m
দ্বিমেরু ভ্রামক p = ?, প্রাবল্য E = ?
আমরা জানি, p = q × 2a
= 8 × 10−6 × 10−3
= 8 × 10−9 C m
r≫2a, তাই অক্ষের ওপর,
E = 14πε02pr3
= 9 × 109 × 2 × 8 × 10−9(0.2)3
= 1440.008
= 18 × 103 N C−1
দেওয়া আছে,
আধান, q = 20 μC = 20 × 10−6 C
আধানদ্বয়ের দূরত্ব, 2a = 2 mm = 2 × 10−3 m
লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে দূরত্ব, r = 10 cm = 0.1 m
প্রাবল্য, E = ?
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = q × 2a = 20 × 10−6 × 2 × 10−3
= 4 × 10−8 C m
আমরা জানি, লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে (r≫a),
E = 14πε0pr3
= 9 × 109 × 4 × 10−8(0.1)3
= 3600.001
= 36 × 104 N C−1
দেওয়া আছে,
প্রোটনদ্বয়ের দূরত্ব, rpp = 1.5 Å = 1.5 × 10−10 m
প্রতিটি প্রোটন থেকে ইলেকট্রনের দূরত্ব, rpe = 1 Å = 10−10 m
e = 1.6 × 10−19 C
স্থিতিশক্তি, U = ?
আমরা জানি, দুটি আধানের স্থিতিশক্তি, U = 14πε0q1q2r
সংস্থার মোট স্থিতিশক্তি (প্রোটন–প্রোটন + দুটি প্রোটন–ইলেকট্রন জোড়া):
U = 14πε0lbracke2rpp − e2rpe − e2rperbrack
= 9 × 109 × 1.6 × 10−19210−1011.5 − 2
= 2.304 × 10−18 × (−1.333)
= −3.07 × 10−18 J
= −3.07 × 10−181.6 × 10−19 eV
= −19.2 eV
দেওয়া আছে,
আধান, e = 1.6 × 10−19 C
দূরত্ব, d = 10−8 m
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = ?
আমরা জানি, p = qd
= 1.6 × 10−19 × 10−8
= 1.6 × 10−27 C m
দ্বিমেরু ভ্রামকের অভিমুখ ঋণাত্মক থেকে ধনাত্মক আধানের দিকে, অর্থাৎ ইলেকট্রন থেকে পজিট্রনের দিকে।
দেওয়া আছে,
C1 = 5 μF, C2 = 10 μF, C3 = 1 μF
C1 ও C3 শ্রেণিতে, তার সাথে C2 সমান্তরালে
তুল্য ধারকত্ব, C = ?
আমরা জানি, শ্রেণিতে 1Cs = 1C1 + 1C3
∴ Cs = C1C3C1 + C3 = 5 × 15 + 1
= 0.83 μF
সমান্তরালে, C = Cs + C2
= 0.83 + 10
= 10.83 μF
দেওয়া আছে,
তড়িৎ ক্ষেত্র, E = 104 N C−1
কোণ, θ = 30°
টর্ক, τ = 9 × 10−26 N m
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = ?
আমরা জানি, τ = pEsin θ
∴ p = τEsin θ
= 9 × 10−26104 × sin 30°
= 9 × 10−26104 × 0.5
= 1.8 × 10−29 C m
দেওয়া আছে,
B-তে + q, C-তে + q, A-তে −2q
বাহুর দৈর্ঘ্য = a (ধরি)
তুল্য দ্বিমেরু ভ্রামক, pnet = ?
A-এর −2q কে দুটি −q ভাবলে দুটি দ্বিমেরু পাওয়া যায়: B ও A, এবং C ও A।
আমরা জানি, p = q × দূরত্ব, তাই প্রতিটির ভ্রামক, p1 = p2 = qa
দুটি ভ্রামকের মধ্যবর্তী কোণ, θ = 60°
আমরা জানি, pnet = p21 + p22 + 2p1p2cos θ
= (qa)2 + (qa)2 + 2(qa)2cos 60°
= 3(qa)2
= 3 qa
দেওয়া আছে,
আধান, Q = 500 C
বিভব, V = 100 V
ধারকত্ব, C = ?
আমরা জানি, C = QV
= 500100
= 5 F
দেওয়া আছে,
সমান্তরালে তুল্য ধারকত্ব, Cp = 5 F
শ্রেণিতে তুল্য ধারকত্ব, Cs = 1.2 F
C1 = ?, C2 = ?
আমরা জানি, Cp = C1 + C2 এবং Cs = C1C2C1 + C2
∴ C1 + C2 = 5 … (i)
C1C25 = 1.2 ∴ C1C2 = 6 … (ii)
C1 − C22 = C1 + C22 − 4C1C2
= 25 − 24 = 1 ∴ C1 − C2 = 1 … (iii)
(i) ও (iii) থেকে, C1 = 3 F, C2 = 2 F (অথবা বিপরীতক্রমে)
দেওয়া আছে,
C1 = 10 μF, C2 = 5 μF, C3 = 4 μF
চিত্রে C1 ও C2 সমান্তরালে, তাদের সাথে C3 শ্রেণিতে
তুল্য ধারকত্ব, C = ?
আমরা জানি, সমান্তরালে Cp = C1 + C2
= 10 + 5 = 15 μF
শ্রেণিতে, C = CpC3Cp + C3
= 15 × 415 + 4 = 6019
= 3.16 μF
দেওয়া আছে,
C1 = 300 μμF = 300 × 10−12 F
C2 = 500 μμF = 500 × 10−12 F
বিভব, V = 120 V
Q1 = ?, Q2 = ?, তুল্য ধারকত্ব C = ?
সমান্তরালে প্রতিটি ধারকের বিভব একই = V
আমরা জানি, Q = CV
Q1 = C1V = 300 × 10−12 × 120
= 3.6 × 10−8 C
Q2 = C2V = 500 × 10−12 × 120
= 6 × 10−8 C
আবার, C = C1 + C2
= 800 × 10−12 = 8 × 10−10 F
দেওয়া আছে,
ধারকত্ব, C = 4 μF = 4 × 10−6 F
বিভব পার্থক্য, V = 300 V
সঞ্চিত শক্তি, U = ?
আমরা জানি, U = 12CV2
= 12 × 4 × 10−6 × (300)2
= 2 × 10−6 × 9 × 104
= 0.18 J
দেওয়া আছে,
C1 = 0.1 μF, C2 = 0.01 μF
বিভব পার্থক্য, V = 25 V
শ্রেণিতে শক্তি Us = ?, সমান্তরালে শক্তি Up = ?
আমরা জানি, শ্রেণিতে Cs = C1C2C1 + C2
= 0.1 × 0.010.11 = 9.09 × 10−3 μF
আবার, U = 12CV2
Us = 12 × 9.09 × 10−9 × (25)2
= 2.84 × 10−6 J
সমান্তরালে, Cp = C1 + C2 = 0.11 μF
Up = 12 × 0.11 × 10−6 × (25)2
= 34.4 × 10−6 J
Up > Us, অর্থাৎ সঞ্চিত শক্তি বৃদ্ধি পাবে।
লক্ষ করো: বইয়ে সমান্তরালে শক্তি 31.5 × 10−6 J লেখা, কিন্তু প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 34.4 × 10−6 J।
দেওয়া আছে,
প্রতিটি ধারকের ধারকত্ব = C
চিত্র অনুযায়ী সংযোগ: C2 (A–P), C1 (A–Q), C3 (P–Q), C4 (Q–B), C5 (P–B)
তুল্য ধারকত্ব, Ceq = ?
এটি একটি ব্রিজ বর্তনী; সব ধারক সমান হওয়ায় P ও Q-এর বিভব সমান, তাই C3-এ কোনো আধান জমে না — একে বাদ দেওয়া যায়।
আমরা জানি, শ্রেণিতে 1Cs = 1C + 1C ∴ Cs = C2
A–P–B শাখা (C2, C5 শ্রেণিতে) = C2
A–Q–B শাখা (C1, C4 শ্রেণিতে) = C2
দুই শাখা সমান্তরালে, Ceq = C2 + C2
= C
লক্ষ করো: বইয়ে 85C লেখা, কিন্তু চিত্রে যেভাবে সংযোগ দেখানো আছে তাতে এটি সুষম ব্রিজ, এবং তুল্য ধারকত্ব C।
দেওয়া আছে,
আদি ব্যবধান = d, নতুন ব্যবধান, d′ = 0.9d
বিভব V স্থির
শক্তির শতকরা পরিবর্তন = ?
আমরা জানি, C = ε0Ad
∴ C′ = ε0A0.9d = C0.9
আবার, U = 12CV2; V স্থির, তাই U ∝ C
∴ U′U = C′C = 10.9
শতকরা পরিবর্তন = U′U − 1 × 100%
= 10.9 − 1 × 100%
= 11.1% (বৃদ্ধি)
দেওয়া আছে,
আধান, q = 1 μC = 10−6 C
আধানদ্বয়ের দূরত্ব, 2a = 2 cm = 0.02 m
দূরত্ব, r = 60 cm = 0.6 m
(i) অক্ষের ওপর E1 = ? (ii) লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে E2 = ?
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = q × 2a = 10−6 × 0.02
= 2 × 10−8 C m
(i) আমরা জানি, অক্ষের ওপর E1 = 14πε02pr3
= 9 × 109 × 2 × 2 × 10−8(0.6)3
= 3600.216
= 1666.7 N C−1 (অক্ষ বরাবর)
(ii) লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে, E2 = 14πε0pr3
= 9 × 109 × 2 × 10−8(0.6)3
= 1800.216
= 833.3 N C−1 (অক্ষের সমান্তরালে)
লক্ষ করো: (i)-এ বইয়ে 666.6 N C−1 লেখা, কিন্তু অক্ষের প্রাবল্য লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের প্রাবল্যের দ্বিগুণ, তাই সঠিক মান 1666.7 N C−1 — সম্ভবত প্রথম অঙ্ক বাদ পড়েছে।
দেওয়া আছে,
আধান, q = 2 μC = 2 × 10−6 C
আধানদ্বয়ের দূরত্ব, 2a = 2 cm = 0.02 m
লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে দূরত্ব, r = 10 cm = 0.1 m
14πε0 = 9 × 109 N m2 C−2
প্রাবল্য, E = ?
দ্বিমেরু ভ্রামক, p = q × 2a = 2 × 10−6 × 0.02
= 4 × 10−8 C m
আমরা জানি, লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে (r≫a), E = 14πε0pr3
= 9 × 109 × 4 × 10−8(0.1)3
= 3600.001
= 3.6 × 105 N C−1
লক্ষ করো: বইয়ে 3.6 × 10−5 N C−1 লেখা — ঘাতের চিহ্নে ছাপার ভুল; সঠিক মান 3.6 × 105 N C−1।
দেওয়া আছে,
A: ধারকত্ব, CA = 10 একক; বিভব, VA = 50 একক
B: ধারকত্ব, CB = 5 একক; বিভব, VB = 5 একক
সংযোগের পর আধান QA′ = ?, QB′ = ?
আমরা জানি, Q = CV
QA = 10 × 50 = 500 একক
QB = 5 × 5 = 25 একক
তার দিয়ে যুক্ত করলে সাধারণ বিভব,
V = QA + QBCA + CB = 500 + 2510 + 5
= 35 একক
∴ QA′ = CAV = 10 × 35 = 350 একক
QB′ = CBV = 5 × 35 = 175 একক
লক্ষ করো: বইয়ে 550 ও 275 একক লেখা, যা মোট আধান 825 একক ধরলে আসে; প্রদত্ত মানে মোট আধান 525 একক, তাই সঠিক উত্তর 350 ও 175 একক।
দেওয়া আছে,
বায়ু ধারকের ধারকত্ব, C = 2 pF
নতুন ব্যবধান, d′ = 2d
মোম পূর্ণ অবস্থায় ধারকত্ব, C′ = 6 pF
মোমের ডাই-ইলেকট্রিক ধ্রুবক, K = ?
আমরা জানি, C = ε0Ad এবং ডাই-ইলেকট্রিকসহ C′ = Kε0Ad′
∴ C′C = K × dd′ = K2
বা, 62 = K2
∴ K = 6
দেওয়া আছে,
C1 = 20 μF, আদি বিভব, V1 = 50 V
C2 = 10 μF (অচার্জিত)
সাধারণ বিভব V = ?, শক্তির অনুপাত U1U2 = ?
আমরা জানি, Q = CV
আদি আধান, Q = 20 × 10−6 × 50 = 10−3 C
আধান সংরক্ষিত থাকে, তাই সাধারণ বিভব,
V = QC1 + C2 = 10−330 × 10−6
= 33.33 V
আবার, U = 12CV2; একই বিভবে U ∝ C
∴ U1U2 = C1C2 = 2010 = 2:1
লক্ষ করো: বইয়ে সাধারণ বিভব 13.33 V লেখা, কিন্তু প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 33.33 V।
দেওয়া আছে,
C1 = 3 μF, C2 = 3 μF, C3 = 6 μF
কাঙ্ক্ষিত তুল্য ধারকত্ব = 5 μF
সংযোগ পদ্ধতি = ?
3 μF ও 6 μF শ্রেণিতে যুক্ত করি।
আমরা জানি, শ্রেণিতে Cs = C1C3C1 + C3
= 3 × 63 + 6 = 2 μF
এর সাথে অন্য 3 μF সমান্তরালে যুক্ত করি:
C = Cs + C2 = 2 + 3
= 5 μF
দেওয়া আছে,
প্রতিটি ধারকের ধারকত্ব, C = 2 μF
ধারকের সংখ্যা = 6
A ও B-এর মধ্যে তুল্য ধারকত্ব = ?
চিত্রের বাম বাহু A-এর সাথে এবং ডান বাহু B-এর সাথে যুক্ত। ছয়টি ধারকের প্রত্যেকটির এক প্রান্ত বাম বাহুতে (A) ও অপর প্রান্ত ডান বাহুতে (B) যুক্ত, তাই সবগুলো সমান্তরালে।
আমরা জানি, সমান্তরালে Ceq = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
= 6 × 2
= 12 μF
দেওয়া আছে,
প্রয়োজনীয় ধারকত্ব = 2 μF, বিভব পার্থক্য = 1 kV = 1000 V
প্রতিটি ধারক: C = 1 μF, সর্বোচ্চ বিভব = 400 V
ন্যূনতম সংখ্যক ধারকের বিন্যাস = ?
শ্রেণিতে বিভব ভাগ হয়; nটি শ্রেণিতে থাকলে প্রতিটির বিভব 1000n ≤ 400
∴ n ≥ 2.5, অর্থাৎ n = 3
আমরা জানি, শ্রেণিতে 1Cs = 1C + 1C + 1C
∴ এক সারির ধারকত্ব, Cs = 13 μF
mটি সারি সমান্তরালে, mCs = 2
∴ m = 21/3 = 6
অর্থাৎ, 6টি সারি সমান্তরালে, প্রতি সারিতে 3টি ধারক শ্রেণিতে (মোট 18টি)।
দেওয়া আছে,
তিনটি অভিন্ন ধারক, প্রতিটি = C
শ্রেণি সমবায়ের তুল্য ধারকত্ব, Cs = 1 μF
(ক) সমান্তরালে Cp = ? (খ) UsUp = ?
আমরা জানি, শ্রেণিতে 1Cs = 3C ∴ C = 3Cs
= 3 μF
(ক) সমান্তরালে, Cp = 3C = 3 × 3
= 9 μF
(খ) একই উৎসে V সমান; U = 12CV2, তাই U ∝ C
∴ UsUp = CsCp = 19
= 1:9
দেওয়া আছে,
ফোঁটার আধান, q = 1.0 × 10−7 μC = 10−13 C
ফোঁটার ভর, m = 10 μg = 10 × 10−9 kg = 10−8 kg
g = 9.8 m s−2
প্রাবল্য, E = ?
সাম্যাবস্থায় তড়িৎ বল = ওজন
আমরা জানি, qE = mg
∴ E = mgq
= 10−8 × 9.810−13
= 9.8 × 105 N C−1
দেওয়া আছে,
ধারকত্ব, C = 500 μF = 500 × 10−6 F
বিভব, V = 1000 V
সঞ্চিত শক্তি, U = ?
আমরা জানি, U = 12CV2
= 12 × 500 × 10−6 × (1000)2
= 250 × 10−6 × 106
= 250 J
লক্ষ করো: বইয়ে 25 J লেখা, কিন্তু প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 250 J।
দেওয়া আছে,
ধারকত্বের অনুপাত = 1:2:3; ধরি, C1 = x, C2 = 2x, C3 = 3x
Cp − Cs = 6 μF
C1, C2, C3 = ?
আমরা জানি, সমান্তরালে Cp = C1 + C2 + C3
= x + 2x + 3x = 6x
শ্রেণিতে 1Cs = 1x + 12x + 13x = 116x
∴ Cs = 6x11
শর্তমতে, 6x − 6x11 = 6
বা, 60x11 = 6
∴ x = 1.1 μF
ধারকগুলো 1.1 μF, 2.2 μF ও 3.3 μF
দেওয়া আছে,
C1 = 2 μF, C2 = 8 μF (শ্রেণিতে)
বিভব পার্থক্য, V = 100 V
মোট আধান Q = ?, V1 = ?, V2 = ?
আমরা জানি, শ্রেণিতে Cs = C1C2C1 + C2
= 2 × 82 + 8 = 1.6 μF
আবার, Q = CsV
= 1.6 × 10−6 × 100
= 1.6 × 10−4 C
শ্রেণিতে প্রতিটি ধারকে একই আধান = 1.6 × 10−4 C
V1 = QC1 = 1.6 × 10−42 × 10−6
= 80 V
V2 = QC2 = 1.6 × 10−48 × 10−6
= 20 V
লক্ষ করো: বইয়ে ধারকের আধান 1.6 × 10−6 C লেখা; শ্রেণি সমবায়ে প্রতিটি ধারকের আধান মোট আধানের সমান, অর্থাৎ 1.6 × 10−4 C।
দেওয়া আছে,
আধান, q = 2.5 × 10−6 C
গাউসীয় তলের ব্যাসার্ধ, r = 0.2 m
ε0 = 8.85 × 10−12 C2 N−1 m−2
ফ্লাক্স, φ = ?
আমরা জানি, গাউসের সূত্র, φ = qε0
= 2.5 × 10−68.85 × 10−12
= 2.82 × 105 N m2 C−1
(ফ্লাক্স তলের ব্যাসার্ধের ওপর নির্ভর করে না।)
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য, L = 2 m
আধান, q = 3 × 10−6 C
দূরত্ব, r = 1.5 m
(i) λ = ? (ii) E = ?
(i) আমরা জানি, λ = qL
= 3 × 10−62
= 1.5 × 10−6 C m−1
(ii) দীর্ঘ রৈখিক আধান ধরে,
আমরা জানি, E = λ2πε0r = 2 × 14πε0 × λr
= 2 × 9 × 109 × 1.5 × 10−61.5
= 1.8 × 104 N C−1
দেওয়া আছে,
ঘনকের কেন্দ্রে আধান = q
ঘনকের তলের সংখ্যা = 6
প্রতি তলে ফ্লাক্স, φ1 = ?
আমরা জানি, গাউসের সূত্র অনুযায়ী ঘনকের মোট ফ্লাক্স, φ = qε0
আধান কেন্দ্রে থাকায় ছয়টি তল প্রতিসম, তাই প্রতি তলে সমান ফ্লাক্স:
φ1 = φ6
= 16·qε0
দেওয়া আছে,
তড়িৎ ক্ষেত্র, E = 5ı + 3ȷ + 2k একক
YZ তলে ক্ষেত্রফল = 200 একক
ফ্লাক্স, φ = ?
YZ তলের অভিলম্ব X-অক্ষ বরাবর, তাই S = 200ı
আমরা জানি, φ = E·S
= 5ı + 3ȷ + 2k·200ı
= 5 × 200
= 1000 একক
দেওয়া আছে,
আধান, q = 1 C
ε0 = 8.85 × 10−12 C2 N−1 m−2
ফ্লাক্স, φ = ?
আমরা জানি, φ = qε0
= 18.85 × 10−12
= 1.13 × 1011 N m2 C−1
দেওয়া আছে,
ফ্লাক্স, φ = 6.5 × 103 N m2 C−1
ε0 = 8.85 × 10−12 C2 N−1 m−2
আধান, q = ?
আমরা জানি, φ = qε0
∴ q = ε0φ
= 8.85 × 10−12 × 6.5 × 103
= 5.755 × 10−8 C
দেওয়া আছে,
ফ্লাক্স, φ = 6.5 × 103 N m2 C−1
ε0 = 8.85 × 10−12 C2 N−1 m−2
আধান, q = ?
আমরা জানি, φ = qε0
∴ q = ε0φ
= 8.85 × 10−12 × 6.5 × 103
= 5.75 × 10−8 C
দেওয়া আছে,
তড়িৎ ক্ষেত্র, E = 200 N C−1 (X-অক্ষ বরাবর)
বর্গের বাহু, a = 10 cm = 0.1 m
ফ্লাক্স, φ = ?
ক্ষেত্রফল, S = a2 = (0.1)2 = 0.01 m2
YZ তলের অভিলম্ব X-অক্ষ বরাবর, অর্থাৎ E ও S সমান্তরাল (θ = 0°)
আমরা জানি, φ = EScos θ
= 200 × 0.01 × cos 0°
= 2 N m2 C−1
লক্ষ করো: বইয়ে 8 N m2 C−1 লেখা, যা বাহু 20 cm ধরলে মেলে; প্রশ্নের 10 cm-এ সঠিক উত্তর 2 N m2 C−1।
দেওয়া আছে,
তড়িৎ ক্ষেত্র, E = 4ȷ + 3k N C−1
বর্গের বাহু = 60 cm = 0.6 m
ক্ষেত্রফল, S = (0.6)2 = 0.36 m2
(i) ও (ii) ক্ষেত্রে ফ্লাক্স = ?
আমরা জানি, φ = E·S
(i) YZ তলের সমান্তরাল, অভিলম্ব X-অক্ষ বরাবর, S = 0.36ı
φ = 4ȷ + 3k·0.36ı
= 0
(ii) XZ তলের সমান্তরাল, অভিলম্ব Y-অক্ষ বরাবর, S = 0.36ȷ
φ = 4ȷ + 3k·0.36ȷ
= 4 × 0.36
= 1.44 N m2 C−1
লক্ষ করো: (i)-এ বইয়ে 6 লেখা, কিন্তু ক্ষেত্রের কোনো X-উপাংশ না থাকায় YZ তলের সমান্তরাল বর্গক্ষেত্রে ফ্লাক্স শূন্য।
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
ফ্লাক্স, φ = −6 × 103 N m2 C−1
ε0 = 8.85 × 10−12 C2 N−1 m−2
(i) আধান q = ? (ii) দ্বিগুণ ব্যাসার্ধের তলে ফ্লাক্স φ′ = ?
(i) আমরা জানি, φ = qε0
∴ q = ε0φ = 8.85 × 10−12 × −6 × 103
= −5.31 × 10−8 C
(ii) গাউসের সূত্র অনুযায়ী ফ্লাক্স কেবল আবদ্ধ আধানের ওপর নির্ভর করে, তলের আকারের ওপর নয়। আবদ্ধ আধান একই, তাই
φ′ = φ = −6 × 103 N m2 C−1
দেওয়া আছে,
ভেতরের গোলক: ব্যাসার্ধ R1, আধান q1
বাইরের গোলক: ব্যাসার্ধ R2, আধান q2 (R1 < R2)
তিনটি অঞ্চলে প্রাবল্য E = ?
কেন্দ্র থেকে r ব্যাসার্ধের একটি সমকেন্দ্রিক গোলাকার গাউসীয় তল নিই। প্রতিসাম্যের জন্য তলের সব বিন্দুতে E সমান ও অরীয়।
আমরা জানি, গাউসের সূত্র, ∮E·dS = qinε0
বা, E × 4πr2 = qinε0
(i) r < R1: তলের ভেতরে কোনো আধান নেই, qin = 0
∴ E = 0
(ii) R1 < r < R2: qin = q1
∴ E = 14πε0q1r2
(iii) r > R2: qin = q1 + q2
∴ E = 14πε0q1 + q2r2 (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
ফ্লাক্স, φ = 6.5 × 103 N m2 C−1
ε0 = 8.85 × 10−12 C2 N−1 m−2
আধান, q = ?
আমরা জানি, φ = qε0
∴ q = ε0φ
= 8.85 × 10−12 × 6.5 × 103
= 5.75 × 10−8 C