গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান

৫ক১

অনুভূমিকের সাথে 60° কোণে 5 m লম্বা একটি হেলানো তলের পাদদেশ থেকে শীর্ষদেশে 10 kg ভরের একটি ব্লক তুলতে হবে। তলকে ঘর্ষণহীন ধরে ব্লকটিকে ধ্রুব গতিতে তুলতে কত কাজ করতে হবে নির্ণয় করো।

তপন

৫ক২

একটি কণার ওপর F = (6ı − 3ȷ + 2k) N বল প্রয়োগ করলে কণাটির r = (2ı + 2ȷ − k) m সরণ হয়। বল কর্তৃক সম্পাদিত কাজের পরিমাণ নির্ণয় করো।

তপন

৫ক৩

একটি পাম্প দ্বারা 600 লিটার জ্বালানি তেলকে 20 m ওপরে অবস্থিত একটি ট্যাঙ্কে ওঠাতে অভিকর্ষের বিরুদ্ধে কত কাজ করতে হবে? এক ঘন সেমি জ্বালানি তেলের ভর 0.82 g। এক লিটার = 1000 cm³।

তপন

৫ক৪

একটি বাক্সকে 50 N বল দ্বারা একটি অমসৃণ মেঝের ওপর দিয়ে টানা হচ্ছে। অনুভূমিকের সাথে বলটি 37° কোণ করে ক্রিয়া করে। 10 N এর একটি ঘর্ষণ বল গতিকে বাধা দেয়। বাক্সটি ডানদিকে 3 m সরে গেলো। (ক) 50 N বল দ্বারা কৃতকাজ হিসাব করো। (খ) ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ হিসাব করো। (গ) বাক্সের ওপরে ক্রিয়াশীল সকল বল দ্বারা কৃত নিট কাজ নির্ণয় করো।

তপন

৫ক৫

চিত্রে প্রদর্শিত AB মই বেয়ে 30 kg ভরের একটি বালক ওপরে ওঠে এবং CD আনত তল বেয়ে নিচে নেমে আসে। তলের ঘর্ষণ বল 50 N। চিত্রে AB = 4 m, BC = 1 m এবং CD = 5 m।

নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

(ক) বালকটি A হতে C বিন্দুতে পৌঁছতে অভিকর্ষ বল দ্বারা কৃতকাজ হিসাব করো।

(খ) CD পথে নামার সময় বালকটির ত্বরণ অভিকর্ষজ ত্বরণের চেয়ে কম না বেশি হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণ করো।

চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৫

৫ক৬

80 kg ভরের একজন লোক 20 kg ভরের একটি বোঝা মাথায় নিয়ে 40 m দৈর্ঘ্যের মই বেয়ে একটি দালানের ছাদে ওঠলো। মইটি অনুভূমিকের সাথে 40° কোণ উৎপন্ন করে দালানের ছাদে লাগানো ছিল।

(ক) লোকটি কর্তৃক কৃতকাজ বের করো।

(খ) মইটির দৈর্ঘ্য 60 m হলে অনুভূমিকের সাথে কত কোণে স্থাপন করলে একই পরিমাণ কাজ সম্পাদিত হবে এবং এ ক্ষেত্রে কোনো সুবিধা পাওয়া যাবে কিনা—গাণিতিকভাবে মতামত দাও।

ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১রাজশাহী বোর্ড ২০১৭

সমাধান

দেওয়া আছে,

লোকের ভর, m₁ = 80 kg

বোঝার ভর, m₂ = 20 kg

মোট ভর, m = 80 + 20 = 100 kg

মইয়ের দৈর্ঘ্য, l₁ = 40 m

অনুভূমিকের সাথে কোণ, θ₁ = 40°

নতুন মইয়ের দৈর্ঘ্য, l₂ = 60 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

(ক) কৃতকাজ, W = ?

(খ) নতুন কোণ, θ₂ = ?

(ক) লোকটির কৃতকাজ নির্ণয়:

ছাদের উচ্চতা, h = l₁sin θ₁

আমরা জানি,

W = mgh = mgl₁sin θ₁

বা, W = 100 × 9.8 × 40 × sin 40°

বা, W = 39200 × 0.6428

∴ W = 25197 J

≈ 2.52 × 10⁴ J

(খ) নতুন কোণ নির্ণয় ও সুবিধা বিশ্লেষণ:

একই কাজ হতে হলে ছাদের উচ্চতা একই থাকবে।

আমরা জানি,

l₂sin θ₂ = l₁sin θ₁

∴ sin θ₂ = l₁sin θ₁l₂

বা, sin θ₂ = 40 × 0.642860

বা, sin θ₂ = 0.4285

∴ θ₂ = sin ⁻¹(0.4285) = 25.37°

এখন মই বরাবর প্রয়োজনীয় বল F = mgsin θ।

প্রথম ক্ষেত্রে, F₁ = 100 × 9.8 × sin 40°

= 629.9 N

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, F₂ = 100 × 9.8 × sin 25.37°

= 420.0 N

যেহেতু F₂ < F₁, তাই 60 m মই 25.37° কোণে স্থাপন করলে কাজ একই থাকলেও কম বল প্রয়োগে ওঠা যাবে, অর্থাৎ এক্ষেত্রে সুবিধা পাওয়া যাবে।

উত্তর: (ক) 2.52 × 10⁴ J; (খ) অনুভূমিকের সাথে 25.37° কোণে; কম বল লাগে বলে সুবিধা পাওয়া যাবে।

লক্ষ করো: বইয়ের (ক)-এর উত্তর 2.25 × 10⁴ J ছাপার ভুল (অঙ্ক উল্টে গেছে); সঠিক মান 2.52 × 10⁴ J, যা বইয়েরই (খ)-এর 25.37° এর সাথে মেলে।

৫ক৭

একটি সুতার সাহায্যে 2 kg ভরের একটি বস্তুকে ঝুলিয়ে বস্তুটিকে 2.2 m/s² সমত্বরণে 5 m ওপরে ওঠানো হলো এবং পরবর্তীতে নিচে নামানো হলো।

(ক) ওপরে ওঠানোর সময় সুতার টান কত?

(খ) বস্তুটিকে ওঠাতে বা নামাতে সুতার টান কর্তৃক বস্তুটির ওপর কৃতকাজ কোন ক্ষেত্রে বেশি হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মতামত দাও।

সকল বোর্ড ২০১৮ (অভিন্ন প্রশ্ন, খ সেট)

৫ক৮

3 kg ভরের বস্তুর ওপর একটি বল ক্রিয়াশীল আছে। বস্তুটির অবস্থান সমীকরণ x = 3t − 4t² + t³ যেখানে x এর মান মিটারে t এর মান সেকেন্ডে। t = 0 হতে t = 4 সময়ে বলটি দিয়ে বস্তুর ওপর কৃতকাজের পরিমাণ নির্ণয় করো।

বুয়েট ২০১৬-১৭

৫ক৯

একটি বস্তু সরলপথে (3, 3, 0) বিন্দু থেকে (3, 0, 0) বিন্দুতে গেলো। বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল বল, F = 4ı − 3ȷ + k হলে কাজের পরিমাণ নির্ণয় করো।

জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৫-১৬

৫ক১০

70 kg ভরের এক ব্যক্তি 20 kg ভরের এক বোঝা নিয়ে 6 m দীর্ঘ একটি সিঁড়ি বেয়ে ওপরে ওঠলো। সিঁড়িটি অনুভূমিক তলের সাথে 30° কোণ করে থাকলে ঐ ব্যক্তি কত কাজ করলো নির্ণয় করো।

বুয়েট ১৯৯৬-৯৭রুয়েট ২০০৪-০৫

৫ক১১

ভূমি থেকে 3.0 m উচ্চতাবিশিষ্ট একটি স্থান থেকে 2.0 kg ভরবিশিষ্ট একটি কাঠের টুকরা ঢালু পথ বেয়ে 50 J শক্তি নিয়ে মাটিতে পড়ছে। বেয়ে পড়ার জন্য ঘর্ষণ কর্তৃক কাঠের টুকরাটির ওপর কাজের পরিমাণ কত হবে?

বুয়েট ২০০৯-১০

৫খ১

2 kg ভরের কোনো বস্তু 36 km h⁻¹ বেগে চলতে থাকলে এর গতিশক্তি কত হবে বের করো।

তপন

৫খ২

স্থিরাবস্থা থেকে 50 kg ভরবিশিষ্ট কোনো বস্তু একটি নির্দিষ্ট বলের ক্রিয়ার ফলে 2 s বাদে 12 m s⁻¹ বেগ অর্জন করে। এর ওপর কী পরিমাণ বল কাজ করছে এবং 5 s বাদে এর গতিশক্তি কত হবে?

তপন

৫খ৩

6 kg ভরবিশিষ্ট একটি বস্তু স্থির অবস্থায় ছিল। 30 N বল প্রয়োগ করায় 10 s পর বস্তুটির গতিশক্তি কত হবে?

তপন

৫খ৪

50 kg ভরের একটি বোমা ভূ-পৃষ্ঠ থেকে 1 km উঁচুতে অবস্থিত একটি বিমান থেকে ফেলে দেওয়া হলো। (i) 10 s পরে এবং (ii) ভূমি স্পর্শ করার পূর্বমুহূর্তে এর গতিশক্তি কত?

তপন

৫খ৫

200 g ভরের একটি বস্তু 10 m ওপর থেকে নিচে পড়ে যায়। ভূ-পৃষ্ঠকে স্পর্শ করার পূর্ব মুহূর্তে এর গতিশক্তি কত?

তপন

৫খ৬

200 g ভরের একটি বস্তু কত ওপর থেকে নিচে পড়লে ভূমি স্পর্শ করার মুহূর্তে এর গতিশক্তি 19.6 J হবে?

তপন

৫খ৭

2 × 10³ kg ভরের একটি পিকআপ ট্রাক 90 km h⁻¹ বেগে চলছে। একই গতিশক্তি সম্পন্ন হতে হলে 10³ kg ভরের একটি গাড়িকে কত বেগে চলতে হবে?

তপন

৫খ৮

সমতল রাস্তায় চলন্ত 1600 kg ভরের একটি গাড়িকে যখন ব্রেক কষে থামিয়ে দেয়া হয় তখন 500 kJ তাপ উৎপন্ন হয়। ব্রেক প্রয়োগের পূর্ব মুহূর্তে গাড়িটির বেগ কত ছিল?

তপন

৫খ৯

একটি বালক শিশুদের ট্রাই সাইকেলে বসা তার ছোটো ভাইকে 80 N সমবলে ঠেলছে। ছোটো ভাইকে 400 J গতিশক্তি প্রদান করতে হলে তাকে কত দূরত্বে ঠেলতে হবে?

তপন

৫খ১০

একটি রাইফেলের গুলি একটি তক্তাকে ঠিক ভেদ করতে পারে। যদি গুলির বেগ চারগুণ করা হয়, তবে অনুরূপ কয়টি তক্তা ভেদ করতে পারবে?

তপন

৫খ১১

একটি রাইফেলের গুলি একটি তক্তাকে ঠিক ভেদ করতে পারে, যদি গুলির বেগ তিনগুণ করা হয়, তবে এরূপ কয়টি তক্তা ভেদ করতে পারবে?

তপন

৫খ১২

একটি রাইফেলের গুলি প্রতিটি 5 cm পুরুত্বের দুটি কাঠের তক্তাকে ভেদ করতে পারে এবং পৃথকভাবে কোনো একটি দেয়ালের মধ্যে 20 cm ভেদ করতে পারে। গুলিটি দেয়ালের মধ্যে কতটুকু ভেদ করতে পারবে যদি উল্লিখিত তক্তার একটি তক্তা দেয়ালের সাথে সংযুক্ত করা থাকে?

বুয়েট ২০১১-১২

৫খ১৩

একটি রাইফেলের গুলি নির্দিষ্ট পুরুত্বের একটি তক্তা ভেদ করতে পারে। ঐরূপ 16টি তক্তা ভেদ করতে হলে এর বেগ কতগুণ হতে হবে?

তপন

৫খ১৪

40 km h⁻¹ বেগে চলন্ত একটি গাড়ির গতিশক্তি 2 × 10⁵ J। গাড়িটি 20 km h⁻¹ বেগে চললে তার গতিশক্তি কত J হবে?

শাবিপ্রবি ২০১৬-১৭

৫খ১৫

কোনো গাছের ডালে একটা আম ঝুলছিল। একজন লোক আমটির দিকে খাড়া ওপরের দিকে একটি পাথর ছুঁড়লেন। আমটিতে আঘাত করার সময় পাথরটির বেগ 9.8 m s⁻¹। যদি ঐ লোক আগের তুলনায় অর্ধেক শক্তি ব্যয় করেন তবে পাথরটি কেবল আমের উচ্চতায় পৌঁছুতে পারে। আমের উচ্চতা কত?

তপন

৫খ১৬

25 g ভরের একটি গুলি 0.5 km s⁻¹ বেগে ঢুকে 100 m s⁻¹ বেগে বের হয়ে গেলো। লক্ষ্যবস্তুর ভেতর দিয়ে চলতে গুলিটির কত শক্তি ব্যয় হবে?

চুয়েট ২০১৩-১৪

৫খ১৭

কোভিদ-১৯ (Covid-19) অতিমারী সময়ে 4 × 10³ kg ভরের একটি পিকআপ ট্রাক এবং 10³ kg ভরের একটি মাইক্রোবাস অক্সিজেন সিলিন্ডার সরবরাহের জন্য একটি হাসপাতালে যাচ্ছিল। পিকআপ ট্রাকের বেগ ঘণ্টায় 80 km ছিল। একই গতিশক্তি সম্পন্ন হতে হলে মাইক্রোবাসকে কত বেগে চলতে হবে?

বুয়েট ২০২০-২১

৫খ১৮

0.5 kg ভরের কাঠখণ্ড খাড়া তল ঘেঁষে পড়ছে। ঘর্ষণ গুণাঙ্ক 0.25। উলম্ব স্প্রিংয়ের সাথে সংঘর্ষ হয়ে স্প্রিংটি 4 m সংকুচিত হয়। সংঘর্ষের সময় কাঠখণ্ডের বেগ নির্ণয় করো। [স্প্রিং ধ্রুবক = 4.8 N m⁻²]

বুয়েট ২০২২-২৩

৫গ১

500 g ভরবিশিষ্ট কোনো বস্তু একটি জাহাজের ওপর হতে 10 m নিচে পানিতে পড়লো: (i) বস্তুটির প্রাথমিক বিভবশক্তি, (ii) বস্তুটির সর্বোচ্চ গতিশক্তি, (iii) বস্তুটি যে বেগ নিয়ে পানিতল স্পর্শ করে তা নির্ণয় করো।

তপন

৫গ২

40 kg ভরসম্পন্ন কোনো বালিকা মাটি থেকে 15 cm উঁচু থেকে লাফিয়ে 60 বার স্কিপিং করলো। তার কত শক্তি ব্যয় হলো?

তপন

৫গ৩

h মিটার উঁচু স্থান থেকে একটি বস্তু পড়ে গেলো। কোথায় এর গতিশক্তি বিভবশক্তির অর্ধেক হবে?

তপন

৫গ৪

একটি বস্তুকে 30 m উচ্চতা থেকে ফেলে দেওয়া হলো। ভূমি হতে কত উচ্চতায় গতিশক্তি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হবে?

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭বুটেক্স ২০১৬-১৭চুয়েট ২০০৩-০৪চুয়েট ২০১০-১১খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৫-১৬ইসলামী বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৫গ৫

50 cm বাহুবিশিষ্ট কোনো ঘনকের ভর 25 kg। এরূপ পাঁচটি ঘনককে একটির ওপর আরেকটি রেখে একটি স্তম্ভ তৈরি করা হলো। অন্যটিকে অনুরূপ আরো পাঁচটি ব্লককে ভূমিতে পাশাপাশি সংযুক্ত করে স্তম্ভটিকে খাড়া করা হলো।

(ক) স্তম্ভের চূড়া হতে একটি পাথর টুকরা পড়ে গেলে কত বেগে ভূমিতে আঘাত করবে?

(খ) স্তম্ভ তৈরির কোন উপায়টি অধিক গ্রহণযোগ্য, গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করো।

দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭

সমাধান

দেওয়া আছে,

ঘনকের বাহু, a = 50 cm = 0.5 m

প্রতিটি ঘনকের ভর, m = 25 kg

ঘনকের সংখ্যা, n = 5

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

(ক) ভূমিতে আঘাতের বেগ নির্ণয়:

স্তম্ভের উচ্চতা, h = na = 5 × 0.5 = 2.5 m

আদিবেগ, u = 0

ভূমিতে আঘাতের বেগ, v = ?

আমরা জানি,

v² = u² + 2gh

বা, v² = 0 + 2 × 9.8 × 2.5

বা, v² = 49

∴ v = 7 m s⁻¹

(খ) দুই উপায়ে কৃতকাজের তুলনা:

প্রথম উপায় (একটির ওপর আরেকটি বসিয়ে):

নিচের ঘনক ভূমিতেই থাকে; ২য়, ৩য়, ৪র্থ ও ৫ম ঘনককে যথাক্রমে 0.5 m, 1.0 m, 1.5 m ও 2.0 m ওপরে তুলতে হয়।

আমরা জানি,

কাজ, W = mgh

∴ W₁ = mg(0 + 0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0)

= 25 × 9.8 × 5

= 1225 J

দ্বিতীয় উপায় (পাশাপাশি জোড়া দিয়ে খাড়া করে):

সমগ্র স্তম্ভের ভর, M = 5m = 5 × 25 = 125 kg

শোয়ানো অবস্থায় ভারকেন্দ্রের উচ্চতা, h₁ = a2 = 0.25 m

খাড়া অবস্থায় ভারকেন্দ্রের উচ্চতা, h₂ = 2.52 = 1.25 m

আমরা জানি,

W₂ = Mg(h₂ − h₁)

= 125 × 9.8 × (1.25 − 0.25)

= 125 × 9.8 × 1

= 1225 J

∴ W₁ = W₂ = 1225 J

অর্থাৎ উভয় ক্ষেত্রে একই পরিমাণ কাজ করতে হয়। কিন্তু প্রথম উপায়ে একটি একটি করে ঘনক তুলে পর্যায়ক্রমে অল্প অল্প বল প্রয়োগ করলেই হয়, আর দ্বিতীয় উপায়ে 125 kg ভরের পুরো স্তম্ভকে একবারে খাড়া করতে অনেক বড় বল একসাথে প্রয়োগ করতে হয়। তাই স্তম্ভ তৈরিতে প্রথম উপায়টি অধিক গ্রহণযোগ্য।

উত্তর: (ক) 7 m s⁻¹; (খ) উভয় ক্ষেত্রে কাজ 1225 J সমান, তবে প্রথম উপায়ে পর্যায়ক্রমে অল্প বল প্রয়োগ করতে হয় বলে প্রথম উপায়টি অধিক গ্রহণযোগ্য।

৫গ৬

4 g ভরের একটি বস্তু 6 m উঁচু স্থান হতে পতিত হয়ে কাদায় 5 cm প্রবেশ করে স্থির হয়ে পড়লো। বস্তুটির ওপর কাদায় গড় ধাক্কার পরিমাণ নির্ণয় করো।

বুয়েট ২০১০-১১

৫গ৭

অনুভূমিক কাঠের ওপর একটি পেরেক উলম্বভাবে রাখা আছে। 1 kg ভরের হাতুড়ি দ্বারা 1 m s⁻¹ বেগে পেরেকের ওপর আঘাত করায় এটি 0.015 m কাঠের মধ্যে ঢুকে গেলে গড় বাধাদানকারী বল কত?

কুয়েট ২০০৫-০৬

৫গ৮

4 kg ভরের একটি বস্তু 5 m উঁচু থেকে একটি পেরেকের ওপর পড়লে পেরেকটি মাটির মধ্যে 10 cm ঢুকে গেলো। মাটির গড় প্রতিরোধ বল নির্ণয় করো।

চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯

৫গ৯

80 m উচ্চতা থেকে যদি একটি বল মেঝেতে পড়ে এবং বলটির 20% শক্তি মেঝের সাথে প্রতিঘাতে হ্রাস পায়, তবে বলটি মেঝেতে বাড়ি খেয়ে কত উচ্চতায় ওঠবে?

যবিপ্রবি ২০১৬-১৭

৫গ১০

10 m ওপর থেকে 10 kg ভরের একটি মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর মাটি থেকে 5 m ওপরে মোট শক্তি কত হবে?

বুয়েট ২০১০-১১

৫গ১১

পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে 5 km ওপরে কিছু মেঘ আছে। ঐ মেঘ বৃষ্টিরূপে নেমে এসে ভূ-পৃষ্ঠে 100 km² স্থানে 1 mm পানি সৃষ্টি করতে পারে। উক্ত পানিকে আবার মেঘে পরিণত করতে কত কাজের প্রয়োজন?

কুয়েট ২০১৫-১৬

৫গ১২

100 m উচ্চতা থেকে 5 kg ভর মুক্তভাবে অভিকর্ষের টানে পড়তে থাকলে, 4 s পরে ভরটির গতিশক্তি ও বিভবশক্তি কত হবে?

বুয়েট ২০১০-১১

৫গ১৩

চিত্রে দেখানো পথ দিয়ে একটি 4.0 N ওজনের পাথরকে পৃথিবীর অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে P বিন্দু থেকে R বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা হলো। পাথরটির বিভবশক্তি কত বৃদ্ধি পেলো?

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৩-১৪

৫গ১৪

সীমা 18 kg ভরের একটি ব্যাগ নিয়ে 50 m উঁচু একটি বিল্ডিং এ ওঠার পর ছাদ থেকে ব্যাগটি পড়ে গেলে সেটি 'h' উচ্চতায় পাশের বিল্ডিং-এর ছাদে 24.25 m s⁻¹ বেগে পড়লো।

(ক) উদ্দীপকের h-এর মান নির্ণয় করো।

(খ) h উচ্চতায় বিভবশক্তি গতিশক্তির সমান হবে কী না? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করো।

সিলেট বোর্ড ২০১৯

৫গ১৫

30 kg ভরের একটি বস্তু 21.8 m উচ্চতা হতে ভূমিতে পতিত হয়ে কাদার মধ্যে প্রবেশ করলো। কাদার প্রতিরোধ বল ধ্রুবক 1030 কিলোগ্রাম ওজন হলে, বস্তুটি কাদার মধ্যে কতদূর প্রবিষ্ট হবে?

বুয়েট ২০০৯-১০

৫ঘ১

একটি 300 g ভরের বস্তু অনুভূমিকের সাথে 30° কোণে রক্ষিত তলে 5.88 J গতিশক্তি প্রয়োগে A থেকে E বিন্দুতে ঘর্ষণহীনভাবে ঠিক পৌঁছে যায়। পরক্ষণে বস্তুটি E থেকে উক্ত তল বরাবর A-এর দিকে পড়তে থাকে চিত্রে AB = AC = CD = DE।

(ক) আনত তল AE এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

(খ) বস্তুটি উল্লিখিত তল বরাবর পড়ার সময় যান্ত্রিকশক্তির সংরক্ষণ সূত্র মেনে চলে—তার যথার্থতা D ও C বিন্দুতে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মূল্যায়ন করো।

কুমিল্লা বোর্ড ২০১৫

সমাধান

দেওয়া আছে,

বস্তুর ভর, m = 300 g = 0.3 kg

আনত তলের কোণ, θ = 30°

A বিন্দুতে গতিশক্তি, E_k = 5.88 J

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

(ক) আনত তল AE-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

ধরি, E বিন্দুর উচ্চতা h। ঘর্ষণ নেই বলে A-তে প্রদত্ত সম্পূর্ণ গতিশক্তি E-তে বিভবশক্তিতে পরিণত হয়।

আমরা জানি,

mgh = E_k

∴ h = E_kmg

= 5.880.3 × 9.8

= 5.882.94

= 2 m

আবার, sin θ = hAE

∴ AE = hsin θ

= 2sin 30°

= 20.5

= 4 m

(খ) D ও C বিন্দুতে মোট যান্ত্রিকশক্তি নির্ণয়:

AB = BC = CD = DE = 44 = 1 m

E বিন্দুতে বস্তুটি স্থির, তাই সেখানে মোট শক্তি = mgh = 5.88 J।

**D বিন্দুতে:**

AD = 3 m, ∴ উচ্চতা, h_D = ADsin 30° = 3 × 0.5 = 1.5 m

E থেকে D-তে উলম্ব পতন, y_D = 2 − 1.5 = 0.5 m

আমরা জানি,

v² = u² + 2gy

∴ v2D = 0 + 2 × 9.8 × 0.5 = 9.8 m²s⁻²

বিভবশক্তি, E_pD = mgh_D

= 0.3 × 9.8 × 1.5 = 4.41 J

গতিশক্তি, E_kD = 12mv2D

= 12 × 0.3 × 9.8 = 1.47 J

মোট শক্তি, E_D = 4.41 + 1.47 = 5.88 J

**C বিন্দুতে:**

AC = 2 m, ∴ উচ্চতা, h_C = 2 × 0.5 = 1 m

E থেকে C-তে উলম্ব পতন, y_C = 2 − 1 = 1 m

∴ v2C = 0 + 2 × 9.8 × 1 = 19.6 m²s⁻²

বিভবশক্তি, E_pC = mgh_C

= 0.3 × 9.8 × 1 = 2.94 J

গতিশক্তি, E_kC = 12mv2C

= 12 × 0.3 × 19.6 = 2.94 J

মোট শক্তি, E_C = 2.94 + 2.94 = 5.88 J

∴ E_D = E_C = 5.88 J, যা E বিন্দুর মোট শক্তির সমান। সুতরাং বস্তুটি তল বরাবর পড়ার সময় যান্ত্রিকশক্তির সংরক্ষণ সূত্র মেনে চলে।

উত্তর: (ক) 4 m; (খ) D ও C উভয় বিন্দুতে মোট যান্ত্রিকশক্তি 5.88 J, তাই যান্ত্রিকশক্তির সংরক্ষণ সূত্র মেনে চলে।

লক্ষ করো: উদ্দীপকে "AB = AC = CD = DE" ছাপা হয়েছে; চিত্র অনুযায়ী হবে AB = BC = CD = DE।

৫ঘ২

উপরের উদ্দীপকে 0.02 kg ভরের একটি বস্তুকে O বিন্দু থেকে 1 m লম্বা সুতার সাহায্যে ঝুলানো হলো। A বিন্দু সর্বোচ্চ বিস্তার নির্দেশ করে যা O বিন্দুতে 30° কোণ উৎপন্ন করে, এটিকে A বিন্দু পর্যন্ত টেনে ছেড়ে দেয়া হলে এটি দুলতে শুরু করে। [g = 9.8 m s⁻²]

(ক) উদ্দীপকের B বিন্দুতে দোলকটির গতিশক্তি বের করো।

(খ) উদ্দীপকে ব্যবহৃত দোলকটি যান্ত্রিকশক্তির নিত্যতা সূত্র মেনে চলে কিনা—গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

রাজশাহী বোর্ড ২০১৫

সমাধান

দেওয়া আছে,

ববের ভর, m = 0.02 kg

সুতার দৈর্ঘ্য, L = 1 m

A বিন্দুতে কৌণিক সরণ, θ_A = 30°

B বিন্দুতে কৌণিক সরণ, θ_B = 15°

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

C (সর্বনিম্ন বিন্দু) থেকে উচ্চতা মাপা হলো।

আমরা জানি,

θ কোণে ববের উচ্চতা, h = L(1 − cos θ)

∴ h_A = 1 × (1 − cos 30°)

= 1 − 0.8660 = 0.1340 m

h_B = 1 × (1 − cos 15°)

= 1 − 0.9659 = 0.0341 m

(ক) B বিন্দুতে গতিশক্তি নির্ণয়:

A বিন্দুতে বব স্থির; A থেকে B-তে আসতে বিভবশক্তির হ্রাসই গতিশক্তি।

আমরা জানি,

E_kB = mg(h_A − h_B)

= 0.02 × 9.8 × (0.1340 − 0.0341)

= 0.196 × 0.0999

= 0.0196 J

(খ) A, B ও C বিন্দুতে মোট যান্ত্রিকশক্তি নির্ণয়:

**A বিন্দুতে:** বব স্থির, ∴ E_kA = 0

E_pA = mgh_A

= 0.196 × 0.1340 = 0.0263 J

মোট শক্তি, E_A = 0.0263 + 0 = 0.0263 J

**B বিন্দুতে:**

E_pB = mgh_B

= 0.196 × 0.0341 = 0.0067 J

E_kB = 0.0196 J [(ক) থেকে]

মোট শক্তি, E_B = 0.0067 + 0.0196 = 0.0263 J

**C বিন্দুতে:** h_C = 0, ∴ E_pC = 0

E_kC = mg(h_A − 0)

= 0.196 × 0.1340 = 0.0263 J

মোট শক্তি, E_C = 0 + 0.0263 = 0.0263 J

∴ E_A = E_B = E_C = 0.0263 J

অর্থাৎ A, B ও C প্রতিটি বিন্দুতে মোট যান্ত্রিকশক্তি একই। সুতরাং উদ্দীপকের দোলকটি যান্ত্রিকশক্তির নিত্যতা সূত্র মেনে চলে।

উত্তর: (ক) 0.0196 J; (খ) A, B ও C প্রতিটি বিন্দুতে মোট যান্ত্রিকশক্তি 0.0263 J, তাই দোলকটি যান্ত্রিকশক্তির নিত্যতা সূত্র মেনে চলে।

৫ঘ৩

250 kg ভরের একটি গাড়ি উল্লম্বের সাথে 66.42° কোণে আনত একটি রাস্তা ধরে 12.393 m s⁻¹ বেগে নিচে নামার সময় গাড়ির চালক ব্রেক করার 30 m দূরত্ব অতিক্রম করার পর থেমে গেলো।

(ক) গাড়িটি থামাতে বাধাদানকারী বলের মান নির্ণয় করো।

(খ) উদ্দীপকে সংরক্ষণশীলতার নীতি রক্ষিত হবে কি? গাণিতিক যুক্তিসহ বিশ্লেষণ করো।

যশোর বোর্ড ২০১৬

সমাধান

দেওয়া আছে,

গাড়ির ভর, m = 250 kg

উল্লম্বের সাথে রাস্তার কোণ, α = 66.42°

ব্রেক করার মুহূর্তে বেগ, v = 12.393 m s⁻¹

থামার আগে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s = 30 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

(ক) বাধাদানকারী বল নির্ণয়:

30 m চলার সময় গাড়ির উলম্ব অবনমন,

h = scos α

= 30 × cos 66.42°

= 30 × 0.4 = 12 m

ব্রেক করার মুহূর্তে গতিশক্তি,

E_k = 12mv²

= 12 × 250 × (12.393)²

= 125 × 153.586

= 19198.3 J

h উচ্চতা নামায় বিভবশক্তির হ্রাস,

E_p = mgh

= 250 × 9.8 × 12

= 29400 J

গাড়ির গতিশক্তি ও বিভবশক্তির হ্রাস মিলে বাধাদানকারী বলের বিরুদ্ধে কাজ করে।

আমরা জানি,

Fs = E_k + E_p

∴ F = E_k + E_ps

= 19198.3 + 2940030

= 48598.330

= 1619.94 N ≈ 1620 N

(খ) সংরক্ষণশীলতার নীতি যাচাই:

থেমে যাওয়ার বিন্দুকে (নিম্নতম বিন্দু) বিভবশক্তির শূন্য তল ধরি।

শীর্ষবিন্দুতে (ব্রেক করার মুহূর্তে):

মোট শক্তি, E₁ = E_k + E_p

= 19198.3 + 29400

= 48598.3 J ≈ 4.86 × 10⁴ J

নিম্নতম বিন্দুতে (থেমে যাওয়ার পর):

গাড়ি স্থির ও উচ্চতা শূন্য, তাই যান্ত্রিকশক্তি শূন্য; কিন্তু এই পথে বাধাদানকারী বলের বিরুদ্ধে কৃতকাজ তাপশক্তিতে রূপান্তরিত হয়েছে।

আমরা জানি,

রূপান্তরিত শক্তি, W = Fs

= 1619.94 × 30

= 48598.3 J ≈ 4.86 × 10⁴ J

∴ নিম্নতম বিন্দুতে মোট শক্তি, E₂ = 4.86 × 10⁴ J

অর্থাৎ E₁ = E₂; শক্তি কেবল এক রূপ থেকে অন্য রূপে (তাপে) রূপান্তরিত হয়েছে, মোট শক্তি অপরিবর্তিত। সুতরাং উদ্দীপকে শক্তির সংরক্ষণশীলতার নীতি রক্ষিত হবে।

উত্তর: (ক) 1620 N; (খ) শীর্ষবিন্দু ও নিম্নতম বিন্দুতে মোট শক্তি একই অর্থাৎ 4.86 × 10⁴ J, তাই সংরক্ষণশীলতার নীতি রক্ষিত হবে।

৫ঘ৪

একটি জলপ্রপাত 900 m উঁচু। যদি ধরা হয় পতিত পানির গতিশক্তির অর্ধেক তাপে পরিণত হয়, তাহলে তাপমাত্রা বৃদ্ধি কত হবে?

খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৫ঙ১

250 kg ভরের একটি বোঝা একটি ক্রেনের সাহায্যে 0.1 m s⁻¹ ধ্রুব বেগে ওঠানো হলো। ক্রেনের কত ক্ষমতা ব্যয় হয়?

তপন

৫ঙ২

1000 kg ভরের একটি লিফট সর্বোচ্চ 800 kg ওজন বহন করতে পারে। 4000 N মানের একটি ধ্রুব ঘর্ষণ বল এর ঊর্ধ্বমুখী গতি ব্যাহত করে। লিফটিকে 3 m s⁻¹ সমদ্রুতিতে ওপরের দিকে ওঠাতে হলে মোটরের সর্বনিম্ন কত ক্ষমতা সরবরাহ করতে হবে?

তপন

৫ঙ৩

ভূমি থেকে 20 m উঁচু ছাদে ইট তোলার জন্য 10 kW এর একটি ইঞ্জিন ব্যবহার করা হলো। 1 ঘণ্টায় ইঞ্জিনটি কী পরিমাণ ইট ছাদে তুলতে পারে?

তপন

৫ঙ৪

একটি পাম্প 4.9 মিনিটে কুয়া থেকে 10,000 লিটার পানি 6 m গড় উচ্চতায় তুলতে পারে। পাম্পের ক্ষমতার 80% কার্যকর হলে এর ক্ষমতা নির্ণয় করো।

তপন

৫ঙ৫

100 m গভীর একটি কুয়া থেকে ইঞ্জিনের সাহায্যে প্রতি মিনিটে 1000 kg পানি ওঠানো হয়। যদি ইঞ্জিনের ক্ষমতা 42% নষ্ট হয়, তাহলে এর অশ্বক্ষমতা নির্ণয় করো।

সিলেট বোর্ড ২০০৬কুমিল্লা বোর্ড ২০০১

৫ঙ৬

একটি পাম্প ঘণ্টায় 25 × 10⁶ kg পানি 50 m উঁচুতে তুলতে পারে। পাম্পের ক্ষমতার 70% কার্যকর হলে প্রকৃত ক্ষমতা কত?

তপন

৫ঙ৭

একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা 10 m এবং ব্যাস 6 m। একটি পাম্প 20 মিনিটে কুয়াটিকে পানিশূন্য করতে পারে। পাম্পটির অশ্বক্ষমতা কত?

বরিশাল বোর্ড ২০১৫

৫ঙ৮

একটি বিজ্ঞাপনে দাবি করা হলো যে, একটি 1200 kg ভরের গাড়ি স্থির অবস্থা থেকে 8 s-এ 25 m s⁻¹ বেগ অর্জন করতে পারে। এ ত্বরণ প্রদানের জন্য গাড়িটির ইঞ্জিনকে গড়ে কত ক্ষমতা প্রয়োগ করতে হবে? ঘর্ষণজনিত ক্ষয় উপেক্ষা করো।

তপন

৫ঙ৯

একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা 20 m ও ব্যাস 2 m কুয়াটিকে পানিশূন্য করার জন্য 5 hp এর একটি পাম্প লাগানো হলো। অর্ধেক পানি তোলার পর পাম্পটি নষ্ট হয়ে গেলো। বাকি পানি তোলার জন্য একই ক্ষমতাসম্পন্ন আর একটি পাম্প লাগানো হলো।

(ক) প্রথম পাম্প দ্বারা সম্পাদিত কাজের পরিমাণ নির্ণয় করো।

(খ) প্রথম ও দ্বিতীয় পাম্প দ্বারা পানি তুলতে একই সময় লাগবে কিনা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও।

চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭

সমাধান

দেওয়া আছে,

কুয়ার গভীরতা, h = 20 m

ব্যাস = 2 m, ∴ ব্যাসার্ধ, r = 1 m

প্রতিটি পাম্পের ক্ষমতা, P = 5 hp = 5 × 746 = 3730 W

পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m⁻³

প্রথম পাম্পের কাজ, W₁ = ?

প্রথম ও দ্বিতীয় পাম্পের সময়, t₁ = ?, t₂ = ?

(ক) প্রথম পাম্পের কাজ নির্ণয়:

আমরা জানি,

V = πr²h

বা, V = 3.1416 × 1² × 20

= 62.83 m³

∴ মোট পানির ভর, m = ρV = 62832 kg

প্রথম পাম্প ওপরের অর্ধেক পানি (10 m উচ্চতার স্তর) তোলে।

এর ভর, m₁ = m2 = 31416 kg

এ অংশের ভারকেন্দ্র কুয়ার মুখ থেকে h₁ = 102 = 5 m নিচে।

আমরা জানি,

W₁ = m₁gh₁

বা, W₁ = 31416 × 9.8 × 5

= 1.54 × 10⁶ J

(খ) দুই পাম্পের সময় তুলনা:

দ্বিতীয় পাম্প নিচের অর্ধেক পানি তোলে, এর ভর m₂ = 31416 kg।

এ অংশের ভারকেন্দ্র কুয়ার মুখ থেকে h₂ = 10 + 5 = 15 m নিচে।

আমরা জানি,

W₂ = m₂gh₂

বা, W₂ = 31416 × 9.8 × 15

= 4.618 × 10⁶ J

আবার, আমরা জানি,

P = Wt

∴ t = WP

প্রথম পাম্পের জন্য, t₁ = W₁P

বা, t₁ = 1.539 × 10⁶3730

= 412.7 s

দ্বিতীয় পাম্পের জন্য, t₂ = W₂P

বা, t₂ = 4.618 × 10⁶3730

= 1238.1 s

∴ t₂ = 3t₁, অর্থাৎ t₁ ≠ t₂।

সুতরাং দুই পাম্পের ক্ষমতা সমান হলেও নিচের অর্ধেক পানি বেশি উচ্চতায় তুলতে হয় বলে দ্বিতীয় পাম্পের তিনগুণ সময় লাগবে; পাম্প দুটি দ্বারা পানি তুলতে একই সময় লাগবে না।

উত্তর: (ক) 1.54 × 10⁶ J; (খ) t₁ = 412.7 s, t₂ = 1238.1 s, একই সময় লাগবে না।

৫ঙ১০

একটি জলবিদ্যুৎ কেন্দ্রের বাঁধের উচ্চতা 10 m। 1 MW বিদ্যুৎ উৎপাদনের জন্য প্রতি সেকেন্ডে টারবাইনটির ব্লেডগুলোর ওপর কত কিলোগ্রাম পানি পড়তে হবে?

বুয়েট ২০১০-১১

৫ঙ১১

একটি মোটরের ক্ষমতা 160 W। মিনিটে এর দ্বারা কৃতকাজ কত?

হাবিপ্রবি ২০১৬-১৭

৫ঙ১২

একটি পানিপূর্ণ কুয়ার দৈর্ঘ্য 5 m, প্রস্থ 3 m, গভীরতা 10 m। 80% কর্মদক্ষতাবিশিষ্ট একটি পাম্প 20 মিনিটে কুয়াটিকে পানিশূন্য করতে পারে। পাম্পটির অশ্বক্ষমতা কত?

কুয়েট ২০১৫-১৬

৫ঙ১৩

100 kg ভরের একজন লোক প্রতিটি 25 cm উঁচু 20টি সিঁড়ি 10 s-এ ওঠতে পারেন। তাঁর ক্ষমতা কত ওয়াট (W)?

খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৫ঙ১৪

একটি অর্ধপূর্ণ কুয়ার গভীরতা 12 m এবং ব্যাস 1.8 m। কোনো ইঞ্জিন 24 মিনিটে কুয়াটির পানি সম্পূর্ণ খালি করতে পারলে তার অশ্বক্ষমতা কত?

যবিপ্রবি ২০১৬-১৭

৫ঙ১৫

20000 kg ভরের একটি গাড়ির ইঞ্জিনের ক্ষমতা 560 hp। কর্মদক্ষতা 80%। গাড়িটিকে স্থির অবস্থা থেকে 25 m s⁻¹ বেগে আনতে ন্যূনতম কত সময় লাগবে? [1 hp = 0.746 kW]

খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৫ঙ১৬

1200 kg ভরের একটি গাড়ির ইঞ্জিনের ক্ষমতা 134.65 hp ও কর্মক্ষমতা 90%। গাড়িটিকে স্থিরাবস্থা থেকে 30 m s⁻¹ বেগে আনতে ন্যূনতম কত সময় লাগবে? [1 hp = 0.746 kW]

বুয়েট ২০১০-১১

৫ঙ১৭

270 kg ভরের একটি বোমা একটি ক্রেনের সাহায্যে 0.1 m s⁻¹ দ্রুত বেগে ওঠানো হলো। ক্রেনের কত ক্ষমতা ব্যয় হয়?

জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৫ঙ১৮

একটি পাম্প মিনিটে 1200 gallon পরিমাণ পানি 6 ft উঁচুতে 32 ft s⁻¹ (9.8 m s⁻¹) গতিবেগে নিক্ষেপ করতে পারে। 1 gallon পানির ভর 10 lb হলে ইঞ্জিনের অশ্বক্ষমতা নির্ণয় করো।

রুয়েট ২০১৬-১৭রুয়েট ২০০৫-০৬

৫ঙ১৯

কোনো কুয়া থেকে 20 m ওপরে পানি তোলার জন্য 60 kW-এর একটি পাম্প ব্যবহার করা হচ্ছে। পাম্পের দক্ষতা 82.2% হলে প্রতি মিনিটে কত লিটার পানি তোলা যাবে?

রুয়েট ২০০৮-০৯

৫ঙ২০

একটি ইঞ্জিন 200 m গভীর কুয়া হতে প্রতি মিনিটে 500 kg পানি উত্তোলন করে। যদি 20% ক্ষমতার অপচয় হয় তাহলে ইঞ্জিনের প্রকৃত ক্ষমতা কত?

বুয়েট ২০১৩-১৪

৫ঙ২১

ভূ-পৃষ্ঠের 20 m নিচ হতে পাম্পের সাহায্যে প্রতি মিনিটে 600 kg পানি ওঠানো হয়। যদি পানি বাইরে আসার বেগ 5 m s⁻¹ হয়, তবে পাম্পের ক্ষমতা কত?

কুয়েট ২০১২-১৩

৫ঙ২২

একটি ইঞ্জিন 10⁶ kg ভরের একটি ট্রেনকে ভূমির সাথে 1.17° কোণে 36 km h⁻¹ হারে টেনে নিচ্ছে। যদি ঘর্ষণজনিত বাধা প্রতি 10⁴ kg তে 10 N হয়, তবে ইঞ্জিনের ক্ষমতা নির্ণয় করো। [g = 9.8 m s⁻²]

বুয়েট ১৯৯৯-০০

৫ঙ২৩

একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা 10 m এবং ব্যাস 2 m। একটি পাম্প 20 মিনিটে কুয়াটিকে পানিশূন্য করতে পারে। উক্ত পাম্পের সাথে আরও একটি 1 HP ক্ষমতার পাম্প যুক্ত করে কুয়াটিকে পানিশূন্য করলে কিছু সময় সাশ্রয় হয়।

(ক) প্রথম পাম্পের কৃতকাজ নির্ণয় করো।

(খ) উদ্দীপকের আলোকে কত সময় সাশ্রয় হবে—গাণিতিক যুক্তিসহ মতামত দাও।

বরিশাল বোর্ড ২০১৯

৫ঙ২৪

একটি বানর 20 m উঁচু নারকেল গাছ থেকে নারকেল ফেলছে। প্রত্যেকটি নারকেলের ভর 2 kg এবং বানর প্রতি সেকেন্ডে 2টি করে ফেলছে। নারকেলের সমস্ত বিভবশক্তি বিদ্যুৎশক্তিতে রূপান্তরিত হলে উক্ত বিদ্যুৎ শক্তির সাহায্যে কতটি 60 ওয়াটের বৈদ্যুতিক বাতি জ্বালানো যাবে?

বুয়েট ২০০৯-১০

৫ঙ২৫

মানুষের হৃৎপিণ্ড 10 cm পারদ গড় চাপের বিপরীতে প্রতিটি স্পন্দনে 75 cc রক্ত নিঃসরণ করে। নাড়ির কম্পাঙ্ক প্রতি মিনিটে 80 হলে হৃৎপিণ্ডের ক্ষমতা নির্ণয় করো। পারদের ঘনত্ব 13.6 gcc

বুয়েট ২০২১-২২