গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান

৬ক১

একটি মহাশূন্যযান পৃথিবী থেকে চাঁদের দিকে যাচ্ছে। পৃথিবী থেকে এমন একটি অবস্থান বের করো যেখানে এর ওপর মহাকর্ষীয় বল শূন্য। দেয়া আছে— পৃথিবীর ভর = 6.0 × 10²⁴ kg, চাঁদের ভর = 7.4 × 10²² kg; পৃথিবীর কেন্দ্র ও চাঁদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 3.8 × 10⁸ m।

তপন

৬ক২

M ভরের বস্তুকে কেটে m ও (M − m) ভরের বস্তুতে রূপান্তরিত করা হলো। Mm এর অনুপাত কি হলে এদের মধ্যকার মহাকর্ষ বল সর্বাধিক হবে?

বুয়েট ২০১৫-১৬

৬ক৩

পৃথিবীর ভর চন্দ্রের ভরের 81 গুণ এবং তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব 38.6 × 10⁴ km। চন্দ্র ও পৃথিবীর সংযোগকারী রেখার কোথায় কোনো বস্তুর ওপর উভয়ের টান সমান?

রুয়েট ২০০৮-০৯

৬ক৪

শূন্য মাধ্যমে দুটি ইলেকট্রনের মধ্যকার কুলম্ব বল F_E এবং মহাকর্ষ বল F_G এর অনুপাত কত হবে?

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৬ক৫

যদি পৃথিবী ও সূর্যের মধ্যে দূরত্ব বর্তমান দূরত্বের অর্ধেক করা হয় তাহলে কত দিনে এক বছর হবে?

পাবিপ্রবি ২০১৬-১৭

৬ক৬

দুটি কণার মধ্যে মহাকর্ষ বলের মান কেমন পরিবর্তন হবে যদি একটি কণার পূর্বের দ্বিগুণ, অন্য কণার ভর তিনগুণ করা হয় এবং একই সাথে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব দ্বিগুণ করা হয়।

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৫-১৬

৬খ১

বৃহস্পতির ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের 10.97 গুণ এবং বৃহস্পতির ভর পৃথিবীর ভরের 318.3 গুণ। ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান 9.8 m s⁻² বৃহস্পতির পৃষ্ঠে তার অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কত হবে?

তপন

৬খ২

পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান পৃথিবীপৃষ্ঠের ত্বরণের মানের শতকরা চল্লিশ ভাগ হবে? পৃথিবীর ব্যাসার্ধ = 6.38 × 10⁶ m।

তপন

৬খ৩

পৃথিবীকে 6400 km ব্যাসার্ধের একটি গোলক ধরলে ভূ-পৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় অভিকর্ষীয় ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষীয় ত্বরণের মানের 164 অংশ হবে?

তপন

৬খ৪

পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় g-এর মান 4.9 m s⁻²? পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.4 × 10⁶ m, অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীপৃষ্ঠে 9.8 m s⁻²।

তপন

৬খ৫

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.4 × 10⁶ m এবং এর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 m s⁻²। ভূ-পৃষ্ঠ থেকে 6.4 × 10⁵ m উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান বের করো।

বুয়েট ২০০৩-০৪বুয়েট ২০০৯-১০

৬খ৬

লেখচিত্রে দেখানো হলো চন্দ্রের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব r, চন্দ্রপৃষ্ঠের ওপরের বিভিন্ন দূরত্বের সাথে 1000 kg ভরের একটি বস্তুর ওপর চন্দ্রে অভিকর্ষজ বল F এর পরিবর্তন।

দেওয়া আছে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R = 6.4 × 10⁶ m, পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ g = 9.8 m s⁻², G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²।

(ক) উদ্দীপকের ডাটা ব্যবহার করে চন্দ্রের ভর নির্ণয় করো।

(খ) উদ্দীপকের ডাটা ব্যবহার করে পৃথিবীপৃষ্ঠ ও চন্দ্রপৃষ্ঠ থেকে 2.55 × 10⁶ m উচ্চতায় ঐ বস্তুর ওপর অভিকর্ষজ বলের তুলনা করো।

যশোর বোর্ড ২০১৭

৬খ৭

পৃথিবীপৃষ্ঠে একজন লোকের ওজন 80 kg। পৃথিবীর ভর চন্দ্র অপেক্ষা 81গুণ বেশি হলে চন্দ্রপৃষ্ঠে লোকটির ওজন কত হবে? [পৃথিবী ও চন্দ্রের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 1]

রুয়েট ২০০৪-০৫

৬খ৮

পৃথিবীপৃষ্ঠে একজন লোকের ওজন 90 kg হলে মঙ্গলপৃষ্ঠে তার ওজন কত হবে? মঙ্গল-এর ভর পৃথিবীর ভরের 19 অংশ এবং মঙ্গলের ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের অর্ধেক।

চুয়েট ২০০৩-০৪

৬খ৯

ভূ-পৃষ্ঠ হতে 1000 km উঁচুতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কত?

কুয়েট ২০১৬-১৭

৬খ১০

ভূ-পৃষ্ঠের 200 km ঊর্ধ্বে অভিকর্ষজ ত্বরণ কত m s⁻²? (পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km এবং ভূ-পৃষ্ঠে g-এর মান 9.6 m s⁻²)

শাবিপ্রবি ২০১৬-১৭

৬খ১১

পৃথিবীপৃষ্ঠের একটি বস্তুর ওজন 180 kg। মঙ্গলগ্রহের ভর পৃথিবীর গ্রহের 19 এবং ব্যাসার্ধ 12 হলে, মঙ্গল গ্রহে বস্তুটির ওজন কত?

কুয়েট ২০১৫-১৬

৬খ১২

পৃথিবীকে R ব্যাসার্ধের একটি গোলক কল্পনা করলে কত উচ্চতার অভিকর্ষজ ত্বরণ ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক হবে?

বশেমুরবিপ্রবি ২০১৬-১৭

৬খ১৩

ভূ-পৃষ্ঠে একজন লোকের ওজন 600 N হলে চাঁদে গিয়ে তিনি কতটুকু ওজন হারাবেন? পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে চাঁদের ভর ও ব্যাসার্ধ 81 ও 4 গুণ।

জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৬খ১৪

একটি লিফট 1 m s⁻² ত্বরণে নিচে নামছে। লিফটের মধ্যে দাঁড়ানো একজন ব্যক্তির ভর 65 kg হলে, তিনি কত বল অনুভব করেন?

রুয়েট ২০১৩-১৪

৬খ১৫

চাঁদের ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের 14 th এবং ভর 180 th। ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান 9.8 m s⁻² হলে চাঁদের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান বের করো।

বুয়েট ২০০৭-০৮

৬খ১৬

ভূ-পৃষ্ঠ হতে কত উঁচুতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক হবে? (পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.38 × 10⁶ m)।

চুয়েট ২০১৩-১৪

৬খ১৭

ভূ-পৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় গেলে সেখানকার অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের ত্বরণের মানের 25% হবে?

বুয়েট ২০১১-১২

৬গ১

পৃথিবীতে 5.5 × 10³ kg m⁻³ গড় ঘনত্বের তৈরি 6.4 × 10⁶ m ব্যাসার্ধের একটি গোলক বিবেচনা করে এর পৃষ্ঠে বিভব নির্ণয় করো।

তপন

৬গ২

2 m বাহুবিশিষ্ট ABCD বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্র O এবং উক্ত বিন্দুতে 1 kg ভরের বস্তু রাখা আছে। A, B, C ও D বিন্দুতে যথাক্রমে 4 kg, 4 kg, 2 kg ও 2 kg ভরের চারটি বস্তু রাখা আছে। [G = 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²]

(ক) 'O' বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব নির্ণয় করো।

(খ) 'O' বিন্দুতে বস্তুটি স্থির থাকবে কী না—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭

সমাধান

(ক) O বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

বর্গের বাহু, a = 2 m

ভরসমূহ, m_A = 4 kg, m_B = 4 kg

m_C = 2 kg, m_D = 2 kg

G = 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

O বিন্দুতে বিভব, V = ?

কেন্দ্র থেকে প্রতিটি কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব (অর্ধকর্ণ),

r = 2a2 = 2 × 22 = 2 m

আমরা জানি,

V = −Gmr

∴ মোট বিভব, V = −Gr(m_A + m_B + m_C + m_D)

= −6.673 × 10⁻¹¹2 × (4 + 4 + 2 + 2)

= −6.673 × 10⁻¹¹ × 121.4142

= −5.66 × 10⁻¹⁰ J kg⁻¹

(খ) O বিন্দুতে বস্তুটি স্থির থাকবে কি না বিশ্লেষণ:

আমরা জানি,

E = Gmr², যার দিক ভরের দিকে।

এখানে, r² = (2)² = 2 m²

A ও C একই কর্ণের দুই প্রান্তে, তাই এদের প্রাবল্য বিপরীতমুখী।

OA বরাবর লব্ধি, E₁ = G(m_A − m_C)r²

= 6.673 × 10⁻¹¹ × (4 − 2)2

= 6.673 × 10⁻¹¹ N kg⁻¹ (A-এর দিকে)

একইভাবে, B ও D অপর কর্ণের দুই প্রান্তে।

OB বরাবর লব্ধি, E₂ = G(m_B − m_D)r²

= 6.673 × 10⁻¹¹ × (4 − 2)2

= 6.673 × 10⁻¹¹ N kg⁻¹ (B-এর দিকে)

বর্গের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব, তাই ∠AOB = 90°।

আমরা জানি,

E = E21 + E22

= 2 × 6.673 × 10⁻¹¹

= 9.44 × 10⁻¹¹ N kg⁻¹

E₁ = E₂ হওয়ায় লব্ধি প্রাবল্য ∠AOB-এর সমদ্বিখণ্ডক বরাবর ক্রিয়া করে।

O বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য শূন্য নয়, তাই 1 kg ভরের বস্তুটির ওপর

F = mE = 1 × 9.44 × 10⁻¹¹

= 9.44 × 10⁻¹¹ N

বল ক্রিয়া করবে। সুতরাং বস্তুটি O বিন্দুতে স্থির থাকবে না, AB বাহুর মধ্যবিন্দুর দিকে সরে যাবে।

উত্তর: (ক) −5.66 × 10⁻¹⁰ J kg⁻¹; (খ) লব্ধি প্রাবল্য 9.44 × 10⁻¹¹ N kg⁻¹, ∠AOB-এর সমদ্বিখণ্ডক বরাবর; তাই বস্তুটি স্থির থাকবে না।

৬গ৩

একটি সুষম গোলকের ভর 1 × 10⁹ kg এবং ব্যাসার্ধ 1 km। গোলক কর্তৃক গোলকের কেন্দ্র হতে 5 km দূরত্বে অবস্থিত m₁ ভরের একটি কণার ওপর মহাকর্ষ বলের মান কত? [G = 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²]

বুয়েট ২০১৬-১৭

৬গ৪

10 kg ভরের একটি বস্তুর দরুন (ক) 15 m এবং (খ) 25 m দূরত্বে কোনো বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব নির্ণয় করো। মহাকর্ষীয় ধ্রুবক G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²।

তপন

৬গ৫

মঙ্গলগ্রহকে একটি সুষম গোলক বিবেচনা করলে এর পৃষ্ঠে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র প্রাবল্য কত হবে নির্ণয় করো। মঙ্গল গ্রহের ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 6.420 × 10²³ kg এবং 3.375 × 10⁶ m।

তপন

৬ঘ১

মঙ্গলের পৃষ্ঠে মুক্তিবেগ বের করো। মঙ্গলের ভর পৃথিবীর ভরের 0.11 গুণ এবং ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের 0.532 গুণ। পৃথিবীর ভর 5.975 × 10²⁴ kg, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.371 × 10⁶ m এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

তপন

৬ঘ২

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.38 × 10⁶ m এবং অভিকর্ষীয় ত্বরণ 9.8 m s⁻² হলে পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে কোনো বস্তুর মুক্তিবেগ নির্ণয় করো।

তপন

৬ঘ৩

বৃহস্পতির ভর এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 1.9 × 10²⁷ kg এবং 7 × 10⁷ m। বৃহস্পতিতে মুক্তিবেগ নির্ণয় করো।

তপন

৬ঘ৪

মঙ্গলগ্রহের ব্যাস 6000 km এবং এর পৃষ্ঠে অভিকর্ষীয় ত্বরণ 3.8 m s⁻²। মঙ্গলগ্রহের পৃষ্ঠ হতে একটি বস্তুর মুক্তিবেগ নির্ণয় করো।

তপন

৬ঘ৫

একটি মহাজাগতিক বস্তুর ব্যাসার্ধ ও ভর যথাক্রমে 3.2 × 10⁶ m এবং 4 × 10²⁴ kg। মহাকর্ষীয় ধ্রুবক G = 6.657 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²। একটি ধূমকেতুর আঘাতে মহাজাগতিক বস্তুটি আটটি সমান খণ্ডে বিভক্ত হলো।

(ক) মহাজাগতিক বস্তুর পৃষ্ঠে মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ নির্ণয় করো।

(খ) প্রতিটি খণ্ডের মুক্তিবেগ মূল বস্তুটির মুক্তিবেগের এক-অষ্টমাংশ হবে কিনা যাচাই করো।

দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭

৬ঘ৬

পৃথিবীপৃষ্ঠে মুক্তিবেগ 11.2 km s⁻¹। কোনো গ্রহের ব্যাসার্ধ যদি পৃথিবীর ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হয় এবং ভর পৃথিবীর ভরের আটগুণ হয় তবে সেখানে মুক্তিবেগ কত?

বুয়েট ২০১৩-১৪

৬ঘ৭

5 × 10²⁴ kg ভর এবং 6.1 × 10⁶ m ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি গ্রহের পৃষ্ঠ হতে 2 kg ভরের একটি বস্তুকে মহাশূন্যে পাঠাতে প্রয়োজনীয় শক্তির পরিমাণ কত? [G = 6.75 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²]

বুয়েট ২০১১-১২

৬ঘ৮

একটি উপগ্রহ পৃথিবী তলের কাছ দিয়ে ঘুরছে এটিকে অসীমে পাঠাতে হলে গতি কী পরিমাণ বাড়াতে হবে?

বুটেক্স ২০১৬-১৭

৬ঘ৯

একটি গ্রহের ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। উক্ত গ্রহের অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণের আট গুণ। উক্ত গ্রহের মুক্তিবেগ পৃথিবীর মুক্তিবেগের তুলনায় কতগুণ তা নির্ণয় করো।

কুয়েট ২০০৮-০৯

৬ঘ১০

মঙ্গল গ্রহের পৃষ্ঠ থেকে খাড়া ওপরের দিকে একটি রকেটকে 2 km s⁻¹ বেগে উৎক্ষেপণ করা হলো। মঙ্গল গ্রহের বায়ুমণ্ডলের বাধার কারণে যদি রকেটের প্রাথমিক শক্তির 2% হারায়, তবে রকেটটি ফিরবার ঠিক পূর্ব মুহূর্তে মঙ্গল গ্রহের পৃষ্ঠ থেকে কত উচ্চতায় পৌঁছাবে তা বের করো। দেওয়া আছে, মঙ্গল গ্রহের ভর = 6.4 × 10²³ kg, মঙ্গল গ্রহের ব্যাসার্ধ = 3395 km এবং G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²।

বুয়েট ২০২২-২৩

৬ঙ১

পৃথিবী থেকে 1600 km উচ্চতায় একটি কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার পথে প্রদক্ষিণ করছে। এর বেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার হবে? পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km, ভর 6 × 10²⁴ kg এবং G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

তপন

৬ঙ২

পৃথিবী থেকে 7 × 10⁵ m উচ্চতায় একটি কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার পথে প্রদক্ষিণ করছে। পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 6 × 10²⁴ kg এবং 6.4 × 10⁶ m। উপগ্রহটির অনুভূমিক বেগ ও পর্যায়কাল নির্ণয় করো।

কুমিল্লা বোর্ড ২০১৫

৬ঙ৩

মহাশূন্যযান ভস্টক-১-এ করে প্রথম মহাশূন্যচারী ইউরি গ্যাগারিন 89 মিনিট 6 সেকেন্ডে একবার পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করেন। তিনি কত উচ্চতায় থেকে পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করেছিলেন? তার মহাশূন্যযানের বেগ কত ছিল? পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R = 6.371 × 10⁶ m; পৃথিবীর ভর, M = 5.975 × 10²⁴ kg এবং G = 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

তপন

৬ঙ৪

120 kg ভরের একটি কৃত্রিম উপগ্রহকে ভূ-পৃষ্ঠ হতে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় তুলে তার মধ্যে 3.6 × 10⁹ joule গতিশক্তি সঞ্চারিত করা হলো। পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 6 × 10²⁴ kg এবং 6.4 × 10⁶ m. G = 6.6 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻², g = 9.8 m s⁻²।

(ক) উপগ্রহটি ভূ-পৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় আছে?

(খ) গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই করো যে, সঞ্চারিত গতিশক্তি উপগ্রহটিকে বহির্বিশ্বে পাঠানোর জন্য পর্যাপ্ত নয়।

ঢাকা বোর্ড ২০১৫

সমাধান

দেওয়া আছে,

উপগ্রহের ভর, m = 120 kg

সঞ্চারিত গতিশক্তি, K = 3.6 × 10⁹ J

পৃথিবীর ভর, M = 6 × 10²⁴ kg

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6.4 × 10⁶ m

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.6 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

উচ্চতা, h = ?

(ক) উচ্চতা নির্ণয়:

উপগ্রহটি (R + h) ব্যাসার্ধের কক্ষপথে ঘুরছে।

আমরা জানি,

কক্ষীয় বেগ, v = GMR + h

∴ গতিশক্তি, K = 12mv² = GMm2(R + h)

বা, R + h = GMm2K

= 6.6 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 1202 × 3.6 × 10⁹

= 4.752 × 10¹⁶7.2 × 10⁹

= 6.6 × 10⁶ m

∴ h = 6.6 × 10⁶ − 6.4 × 10⁶

= 2 × 10⁵ m = 200 km

(খ) যাচাই:

ঐ অবস্থান থেকে উপগ্রহটিকে বহির্বিশ্বে পাঠাতে হলে একে মুক্তিবেগ দিতে হবে।

আমরা জানি,

ঐ উচ্চতায় মুক্তিবেগ, v_e = 2GMR + h

∴ প্রয়োজনীয় গতিশক্তি, K_e = 12mv2e = GMmR + h

= 4.752 × 10¹⁶6.6 × 10⁶

= 7.2 × 10⁹ J

কিন্তু সঞ্চারিত গতিশক্তি K = 3.6 × 10⁹ J, যা K_e-এর অর্ধেক।

যেহেতু K < K_e, তাই সঞ্চারিত গতিশক্তি উপগ্রহটিকে বহির্বিশ্বে পাঠানোর জন্য পর্যাপ্ত নয়। (যাচাই করা হলো)

উত্তর: (ক) 2 × 10⁵ m বা 200 km; (খ) প্রয়োজনীয় গতিশক্তি 7.2 × 10⁹ J, যা সঞ্চারিত গতিশক্তি 3.6 × 10⁹ J অপেক্ষা বেশি; তাই পর্যাপ্ত নয়।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে প্রয়োজনীয় গতিশক্তি 7.5 × 10⁹ J (ভূপৃষ্ঠ থেকে হিসাব, GMmR = 7.43 × 10⁹ J) এবং সঞ্চারিত শক্তি 3.5 × 10⁹ J লেখা আছে; উপগ্রহটি 200 km উচ্চতায় থাকায় সেখান থেকে প্রয়োজনীয় শক্তি 7.2 × 10⁹ J, আর 3.5 সম্ভবত 3.6-এর ছাপার ভুল। সিদ্ধান্ত একই।

৬ঙ৫

উদ্দীপকে বস্তুটির ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে [M = 6 × 10²⁴ kg এবং R = 6.4 × 10⁶ m]

(ক) কৃত্রিম উপগ্রহটির কেন্দ্রমুখী ত্বরণ নির্ণয় করো।

(খ) কৃত্রিম উপগ্রহটির মহাশূন্যে মিলিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা আছে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে সঠিক সিদ্ধান্ত দাও।

সিলেট বোর্ড ২০১৫

৬ঙ৬

E = পৃথিবী

S = ভূ-স্থির উপগ্রহ

R = 6.4 × 10⁶ m

M = 6 × 10²⁴ kg

G = 6.7 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

বাংলাদেশ 3, 500 kg ভরে একটি ভূ-স্থির উপগ্রহ উৎক্ষেপণ করবে।

(ক) ভূ-স্থির উপগ্রহটি কত উচ্চতায় (h) উৎক্ষেপণ করতে হবে?

(খ) h-এর মান দ্বিগুণ হলে উপগ্রহটির বেগ কত বৃদ্ধি করতে হবে? গাণিতিকভাবে দেখাও।

চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৬

সমাধান

দেওয়া আছে,

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6.4 × 10⁶ m

পৃথিবীর ভর, M = 6 × 10²⁴ kg

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.7 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

ভূ-স্থির উপগ্রহের পর্যায়কাল, T = 24 h = 86400 s

উচ্চতা, h = ?

(ক) উচ্চতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

T = 2π(R + h)³GM

বা, (R + h)³ = GMT²4π²

এখানে, GM = 6.7 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴

= 4.02 × 10¹⁴ N m² kg⁻¹

∴ (R + h)³ = 4.02 × 10¹⁴ × (86400)²4 × (3.1416)²

= 3.0009 × 10²⁴39.478

= 7.6014 × 10²² m³

∴ R + h = (7.6014 × 10²²)^1/3

= 4.2361 × 10⁷ m

∴ h = 4.2361 × 10⁷ − 0.64 × 10⁷

= 3.596 × 10⁷ m

= 3.6 × 10⁴ km

(খ) বেগের পরিবর্তন নির্ণয়:

প্রথম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r₁ = R + h = 4.2361 × 10⁷ m

h দ্বিগুণ হলে কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r₂ = R + 2h

= 6.4 × 10⁶ + 2 × 3.596 × 10⁷

= 7.832 × 10⁷ m

আমরা জানি,

কক্ষীয় বেগ, v = GMr

∴ v₁ = 4.02 × 10¹⁴4.2361 × 10⁷

= 9.4899 × 10⁶

= 3080.6 m s⁻¹

v₂ = 4.02 × 10¹⁴7.832 × 10⁷

= 5.1327 × 10⁶

= 2265.5 m s⁻¹

∴ বেগের পরিবর্তন, v₁ − v₂ = 3080.6 − 2265.5

= 815.1 m s⁻¹ ≈ 0.82 km s⁻¹

অর্থাৎ h দ্বিগুণ হলে বৃত্তাকার কক্ষপথে টিকে থাকার জন্য উপগ্রহের বেগ বাড়াতে হবে না, বরং বেগ 0.82 km s⁻¹ কম হবে।

উত্তর: (ক) 3.6 × 10⁴ km; (খ) h দ্বিগুণ হলে কক্ষীয় বেগ 3.08 km s⁻¹ থেকে কমে 2.27 km s⁻¹ হয়, অর্থাৎ বেগ প্রায় 0.82 km s⁻¹ কম হবে।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর "বেগ 2.62 km s⁻¹ বৃদ্ধি" এসেছে নতুন উচ্চতাতেও পর্যায়কাল 24 h ধরে v = 2πrT থেকে (5.70 − 3.08); কিন্তু ঐ উচ্চতায় বৃত্তাকার কক্ষপথে পর্যায়কাল 24 h হতে পারে না, তাই সেটি পদার্থবিজ্ঞানসম্মত নয়।

৬ঙ৭

একদল বিজ্ঞানী 100 kg ভরের একটি কৃত্রিম উপগ্রহকে 3.6 × 10⁴ km ওপরে ওঠিয়ে 3.1 km/s রৈখিক বেগ প্রদান করে চাঁদ সদৃশ উপগ্রহে পরিণত করার চেষ্টা করলো। পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধ চাঁদের ভর ও ব্যাসার্ধের যথাক্রমে 81 ও 16 গুণ। পৃথিবী হতে চাঁদের দূরত্ব 3 × 10⁵ km। পৃথিবীতে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 m s⁻² মহাকর্ষ ধ্রুবকের মান 6.673 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²।

(ক) পৃথিবী ও চাঁদের মধ্যবর্তী কোন বিন্দুতে মহাকর্ষ প্রাবল্য সমান হবে?

(খ) উদ্দীপকের কৃত্রিম উপগ্রহটি চাঁদের মতো উপগ্রহে পরিণত হবে কি না গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করো।

চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭

সমাধান

(ক) সমান মহাকর্ষ প্রাবল্যের বিন্দু নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

পৃথিবী ও চাঁদের ভরের অনুপাত, M_eM_m = 81

পৃথিবী হতে চাঁদের দূরত্ব, d = 3 × 10⁵ km = 3 × 10⁸ m

ধরি, পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে চাঁদের দিকে x দূরত্বে প্রাবল্য সমান। তাহলে চাঁদ থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্ব (d − x)।

পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব, x = ?

আমরা জানি,

মহাকর্ষ প্রাবল্য, E = GMr²

ঐ বিন্দুতে, GM_ex² = GM_m(d − x)²

বা, x²(d − x)² = M_eM_m

বা, xd − x = 81 = 9

বা, x = 9d − 9x

বা, 10x = 9d

∴ x = 9d10

= 9 × 3 × 10⁸10

= 2.7 × 10⁸ m

(খ) উপগ্রহটি চাঁদের মতো উপগ্রহ হবে কি না বিশ্লেষণ:

দেওয়া আছে,

ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6400 km = 6.4 × 10⁶ m (ধরে নিয়ে)

উচ্চতা, h = 3.6 × 10⁴ km = 3.6 × 10⁷ m

প্রদত্ত বেগ, v′ = 3.1 km s⁻¹

ঐ উচ্চতায় কক্ষপথে ঘোরার প্রয়োজনীয় বেগ, v = ?

আমরা জানি,

v = GMR + h এবং GM = gR²

∴ v = RgR + h

এখানে, R + h = 6.4 × 10⁶ + 3.6 × 10⁷

= 4.24 × 10⁷ m

∴ v = 6.4 × 10⁶ × 9.84.24 × 10⁷

= 6.4 × 10⁶ × 4.808 × 10⁻⁴

= 3077 m s⁻¹

≈ 3.08 km s⁻¹

উপগ্রহটি চাঁদের মতো স্থায়ী বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘুরতে হলে এর বেগ ঠিক 3.08 km s⁻¹ হতে হবে। কিন্তু প্রদত্ত বেগ 3.1 km s⁻¹, যা প্রয়োজনীয় বেগের সমান নয়। সুতরাং উপগ্রহটি চাঁদের মতো উপগ্রহে পরিণত হবে না।

উত্তর: (ক) পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে চাঁদের দিকে 2.7 × 10⁸ m দূরে; (খ) প্রয়োজনীয় বেগ ≈ 3.08 km s⁻¹, যা প্রদত্ত 3.1 km s⁻¹-এর সমান নয়, তাই চাঁদের মতো উপগ্রহ হবে না।

লক্ষ করো: উদ্দীপকে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ দেওয়া নেই; R = 6400 km ধরে হিসাব করা হয়েছে।

৬ঙ৮

কোনো গ্রহের একটি কৃত্রিম উপগ্রহ বৃত্তাকার কক্ষপথে 7.8 km s⁻¹ বেগে ঘুরছে যেখানে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.0 m s⁻²। অন্য একটি গ্রহের সাথে গ্রহটির ভর ও ব্যাসার্ধের অনুপাত যথাক্রমে 80:1 ও 4:1।

(ক) বৃত্তাকার কক্ষপথের উচ্চতা নির্ণয় করো।

(খ) গ্রহ দুটির মধ্যে একটি নভোযান যাতায়াত করলে কোন গ্রহ হতে অধিক গতিশক্তি নিয়ে নভোযানটিকে যাত্রা শুরু করতে হবে গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মন্তব্য করো।

সিলেট বোর্ড ২০১৭

সমাধান

(ক) কক্ষপথের উচ্চতা নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

উপগ্রহের বেগ, v = 7.8 km s⁻¹ = 7.8 × 10³ m s⁻¹

কক্ষপথে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g_h = 9.0 m s⁻²

গ্রহের ব্যাসার্ধ, R

কক্ষপথের উচ্চতা, h = ?

আমরা জানি,

কক্ষপথে অভিকর্ষজ ত্বরণই কেন্দ্রমুখী ত্বরণ যোগায়,

g_h = v²R + h

∴ R + h = v²g_h

= (7.8 × 10³)²9.0

= 6.084 × 10⁷9.0

= 6.76 × 10⁶ m

∴ h = (6.76 × 10⁶ − R) m

(খ) কোন গ্রহ থেকে অধিক গতিশক্তি লাগবে তা নির্ণয়:

ধরি, প্রথম গ্রহের (উপগ্রহটি যে গ্রহের) ভর M₁, ব্যাসার্ধ R₁ এবং দ্বিতীয় গ্রহের ভর M₂, ব্যাসার্ধ R₂।

দেওয়া আছে,

M₁M₂ = 801

R₁R₂ = 41

গতিশক্তির অনুপাত, E₁E₂ = ?

একটি গ্রহ থেকে অন্য গ্রহে যেতে হলে নভোযানকে অন্তত মুক্তিবেগে যাত্রা করতে হবে।

আমরা জানি,

মুক্তিবেগ, v_e = 2GMR

যাত্রাকালীন গতিশক্তি, E = 12mv2e = GMmR

∴ E₁E₂ = M₁M₂ × R₂R₁

= 80 × 14

= 20

∴ E₁ = 20E₂

অর্থাৎ প্রথম গ্রহ (যার ভর ও ব্যাসার্ধ বেশি) থেকে যাত্রা শুরু করতে দ্বিতীয় গ্রহের চেয়ে 20 গুণ বেশি গতিশক্তি লাগবে।

উত্তর: (ক) (6.76 × 10⁶ − R) m; (খ) প্রথম গ্রহ থেকে যাত্রা শুরু করতে দ্বিতীয় গ্রহের চেয়ে 20 গুণ বেশি গতিশক্তি লাগবে।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে "দ্বিতীয় গ্রহ হতে প্রথম গ্রহের চেয়ে 20 গুণ বেশি" লেখা আছে, যা উল্টো; ভর ও ব্যাসার্ধ বেশি এমন প্রথম গ্রহ থেকেই 20 গুণ বেশি গতিশক্তি লাগে।

৬ঙ৯

উপরের উদ্দীপকটি লক্ষ্য করো।

(ক) উপগ্রহটির বেগ নির্ণয় করো।

(খ) গ্রহ থেকে উপগ্রহের দিকে যাওয়ার পথে কোনো স্থানে নভোযানটির ওপর লব্ধি বল শূন্য হবে কিনা— গাণিতিকভাবে সিদ্ধান্ত দাও।

সকল বোর্ড ২০১৮ (অভিন্ন প্রশ্ন, খ সেট)

৬ঙ১০

পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে সর্বদা 620 km উর্ধ্বে থেকে একটি কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীর চারদিকে কত অনুভূমিক বেগে প্রদক্ষিণ করে? দেওয়া আছে g = 9.8 m s⁻² এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6380 km।

রুয়েট ২০১৪-১৫

৬ঙ১১

40 kg ওজনের একটি কৃত্রিম উপগ্রহ ভূ-পৃষ্ঠ থেকে কত উচ্চতায় স্থাপন করলে তা প্রতি 24 ঘণ্টায় 2 বার একই স্থানে পর্যবেক্ষণ করতে পারবে? [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km ও তার ভর 6 × 10²¹ Ton]

বুয়েট ২০১৭-১৮

৬ঙ১২

ভূ-পৃষ্ঠের চতুর্দিকে নিরক্ষবৃত্ত বরাবর বৃত্তাকার পথে আবর্তনশীল একটি ভূ-স্থির যোগাযোগ উপগ্রহ ভূ-পৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় ঘুরেছে?

বুয়েট ২০০১-০২

৬ঙ১৩

ভূ-পৃষ্ঠ হতে 500 km ওপরে একটি স্যাটেলাইট ঘুরছে। এর বেগ কত? [ঐ উচ্চতায় g = 9.3 m s⁻²]

তপন

৬ঙ১৪

আমাদের পৃথিবীর ব্যাস 12800 km। একটি উপগ্রহ বৃত্তাকার কক্ষে 7.8 km s⁻¹ গতিবেগে ঘুরে। বৃত্তাকার কক্ষে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.2 m s⁻² হলে, (i) উপগ্রহের গতিবেগ ও (ii) একবার পূর্ণঘূর্ণনের সময়কাল নির্ণয় করো।

বুয়েট ১৯৯৭-৯৮

৬ঙ১৫

একটি কৃত্রিম উপগ্রহ ভূ-পৃষ্ঠ থেকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় 8 km s⁻¹ বেগে ঘুরছে। সেখানে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান g_h = 8 m s⁻²। ভূ-পৃষ্ঠ থেকে উপগ্রহটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

চুয়েট ২০১৫-১৬

৬ঙ১৬

একটি 20 kg ভরের কৃত্রিম উপগ্রহ অজানা ভরের একটি গ্রহের চারদিকে 8.0 × 10⁶ m ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে আবর্তিত হলে তার পর্যায়কাল 2.4 h হয়। গ্রহপৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের মান 8.0 m s⁻² হলে গ্রহটির ব্যাসার্ধ কত?

বুয়েট ২০১৪-১৫

৬ঙ১৭

একটি রিমোট সেন্সিং স্যাটেলাইট পৃথিবীর চারদিকে ভূ-পৃষ্ঠ হতে 250 km ওপরে বৃত্তাকার পথে ঘুরছে। এ পথে স্যাটেলাইটটির গতিবেগ এবং ঘূর্ণনকাল নির্ণয় করো। (R_e = 6400 km; g = 9.8 m s⁻²)।

বুয়েট ২০১০-১১

৬ঙ১৮

একটি কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে পৃথিবীর ব্যাসার্ধের অর্ধেক উচ্চতায় ঘুরে। ঐ উচ্চতায় এর গতিবেগ কত?

রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৬-১৭

৬ঙ১৯

পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে 700.0 km উর্ধ্বে একটি কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করছে। উপগ্রহটির অনুভূমিক বেগ কত m s⁻¹?

শাবিপ্রবি ২০১৫-১৬

৬ঙ২০

পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে 620 km উর্ধ্বে থেকে একটি কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীর চারদিকে কত অনুভূমিক বেগে প্রদক্ষিণ করে? দেওয়া আছে g = 9.8 m s⁻² এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R = 6380 km।

রুয়েট ২০১৪-১৫

৬ঙ২১

ভূ-পৃষ্ঠের চতুর্দিকে নিরক্ষবৃত্ত বরাবর বৃত্তাকার পথে পূর্বদিকে গতিশীল একটি যোগাযোগ উপগ্রহের আবর্তনকাল 1 দিন। (i) এরূপ স্থির উপগ্রহের বৃত্তাকার পথের ব্যাস কত? (ii) উপগ্রহটি ভূ-পৃষ্ঠ থেকে কত দূরে থেকে ঘুরছে? [দেয়া আছে, পৃথিবীর ভর 5.98 × 10²⁴ kg এবং ব্যাসার্ধ 6.38 × 10⁶ m।]

বুয়েট ২০১৭-১৮

৬ঙ২২

পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে 600 km উচ্চতায় একটি কৃত্রিম উপগ্রহ স্থাপন করা হলো। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km এবং পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 m s⁻²।

(ক) উদ্দীপকের উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান নির্ণয় করো।

(খ) উদ্দীপকের উপগ্রহটি ভূ-স্থির উপগ্রহে রূপান্তর করা সম্ভব কিনা গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

বরিশাল বোর্ড ২০১৯

৬ঙ২৩

200 kg ভরের একটি কৃত্রিম উপগ্রহকে ভূ-পৃষ্ঠ থেকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় তুলে তার মধ্যে 6000 MJ গতিশক্তি দেয়া হলো। উপগ্রহটি কত উচ্চতায় পৃথিবীকে পরিভ্রমণ করবে? পৃথিবীর ভর 6 × 10²⁴ kg, ব্যাসার্ধ 6400 km এবং G = 6.6 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²।

বুয়েট ২০২০-২১