ইসহাক · ১ম পত্র · অধ্যায় ৫
কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা — গাণিতিক সমস্যা
দেওয়া আছে,
প্রযুক্ত বল, F = 50 N
ওই বলে প্রসারণ, x1 = 20 cm = 0.2 m
কাঙ্ক্ষিত প্রসারণ, x = 8 cm = 0.08 m
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি, স্প্রিং ধ্রুবক, k = Fx1
= 500.2
= 250 N m−1
আবার, স্প্রিংকে x প্রসারিত করতে কাজ,
W = 12kx2
= 12 × 250 × (0.08)2
= 125 × 0.0064
= 0.8 J
দেওয়া আছে,
বল, F = 6ı − 3ȷ + 2k N
সরণ, r = 2ı + 2ȷ − k m
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি, W = F·r
= 6ı − 3ȷ + 2k
·2ı + 2ȷ − k
= 6 × 2 + (−3) × 2 + 2 × (−1)
= 12 − 6 − 2
= 4 J
দেওয়া আছে,
বল, F = 200 N
বলের অভিমুখে সরণ, s = 300 m
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি, W = Fs
= 200 × 300
= 60000 J
= 6 × 104 J
দেওয়া আছে,
বালকের ওজন, mg = 250 N
কৃতকাজ, W = 2000 J
মইয়ের দৈর্ঘ্য (উচ্চতা), h = ?
আমরা জানি, W = mgh
∴ h = Wmg
= 2000250
= 8 m
দেওয়া আছে,
দড়ির টান, F = 10 N
সরণ, s = 5 m
বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ, θ = 30°
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি, W = Fscos θ
= 10 × 5 × cos 30°
= 50 × 0.866
= 43.3 J
দেওয়া আছে,
মেঘের উচ্চতা, h = 5 km = 5000 m
ক্ষেত্রফল, A = 100 km2 = 100 × 106 m2 = 108 m2
পানির গভীরতা, d = 1 mm = 10−3 m
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
প্রয়োজনীয় কাজ, W = ?
পানির আয়তন, V = Ad
= 108 × 10−3
= 105 m3
পানির ভর, m = Vρ
= 105 × 1000
= 108 kg
আমরা জানি, W = mgh
= 108 × 9.8 × 5000
= 4.9 × 1012 J
= 49 × 1011 J
লক্ষ করো: বইয়ে 40 × 1011 J লেখা, কিন্তু প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 49 × 1011 J — সম্ভবত 49 ছাপায় 40 হয়ে গেছে।
দেওয়া আছে,
বল, F = 2ı + 3ȷ + 4k N
Z-অক্ষ বরাবর সরণ, r = 3k m
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি, W = F·r
= 2ı + 3ȷ + 4k·3k
= 4 × 3
= 12 J
ধরি, পৃথিবীর ভর M, ব্যাসার্ধ R এবং বস্তুর ভর m।
পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে r দূরত্বে বস্তুর ওপর অভিকর্ষ বল,
F = GMmr2
বস্তুকে dr দূরত্ব ওপরে তুলতে কাজ, dW = F dr
বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ (r = R) থেকে R উচ্চতায় (r = 2R) তুলতে মোট কাজ,
W = ∫2RRGMmr2 dr
= GMmlbrack − 1rrbrack2RR
= GMm−12R + 1R
= GMm1R − 12R
= GMm2R
আবার, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = GMR2
বা, GM = gR2
এই মান বসিয়ে, W = gR2m2R
∴ W = 12mgR (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
আদি অবস্থান, r1 = 3ı + 4ȷ m
শেষ অবস্থান, r2 = 4ı + 8ȷ m
বল, F = 12ı + 3ȷ N
কৃতকাজ, W = ?
সরণ, r = r2 − r1
= (4 − 3)ı + (8 − 4)ȷ
= ı + 4ȷ m
আমরা জানি, W = F·r
= 12ı + 3ȷ·ı + 4ȷ
= 12 × 1 + 3 × 4
= 12 + 12
= 24 J
লক্ষ করো: বইয়ে 64 J লেখা, কিন্তু প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 24 J — বইয়ের উত্তরে বা প্রদত্ত মানে ছাপার ভুল আছে।
দেওয়া আছে,
প্রযুক্ত বল, F = 32.4 N
ওই বলে সংকোচন, x1 = 1 cm = 0.01 m
কাঙ্ক্ষিত সংকোচন, x = 20 cm = 0.2 m
কৃতকাজ, W = ?
আমরা জানি, স্প্রিং ধ্রুবক, k = Fx1
= 32.40.01
= 3240 N m−1
আবার, W = 12kx2
= 12 × 3240 × (0.2)2
= 1620 × 0.04
= 64.8 J
দেওয়া আছে,
বুলেটের ভর, m = 40 g = 0.04 kg
বুলেটের বেগ, v = 100 m s−1
কাঠের বাধা, F = 3600 N
প্রবেশের দূরত্ব, s = ?
বুলেটের সমস্ত গতিশক্তি বাধার বিরুদ্ধে কাজে ব্যয় হয়।
আমরা জানি, 12mv2 = Fs
∴ s = mv22F
= 0.04 × (100)22 × 3600
= 4007200
= 0.0556 m
= 5.56 cm
দেওয়া আছে,
বস্তুর ভর, m = 0.05 kg
পতনের উচ্চতা, h = 20 m
মাটিতে প্রবেশের গভীরতা, d = 2 m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s−2
মাটির গড় বিরুদ্ধ বল, F = ?
বস্তুটি মোট (h + d) উচ্চতা নামে; হারানো সমস্ত স্থিতিশক্তি মাটির বাধার বিরুদ্ধে কাজে ব্যয় হয়।
আমরা জানি, mg(h + d) = Fd
∴ F = mg(h + d)d
= 0.05 × 9.8 × (20 + 2)2
= 0.05 × 9.8 × 222
= 5.39 N
দেওয়া আছে,
হাতুড়ির ভর, m = 2 kg
দেয়ালের বাধা, F = 640 N
পেরেকের প্রবেশ, s = 0.025 m
হাতুড়ির বেগ, v = ?
হাতুড়ির গতিশক্তি বাধার বিরুদ্ধে কাজে ব্যয় হয়।
আমরা জানি, 12mv2 = Fs
∴ v = 2Fsm
= 2 × 640 × 0.0252
= 16
= 4 m s−1
দেওয়া আছে,
বস্তুর ভর, m = 2 kg
পতনের উচ্চতা, h = 5 m
স্প্রিং ধ্রুবক, k = 980 N m−1
g = 9.8 m s−2
সর্বোচ্চ সংকোচন, x = ?
সংকোচনের সময় বস্তুটি আরও x নামে, তাই মোট উচ্চতা (h + x)।
আমরা জানি, হারানো স্থিতিশক্তি = স্প্রিংয়ে সঞ্চিত শক্তি
mg(h + x) = 12kx2
মান বসিয়ে, 2 × 9.8 × (5 + x) = 12 × 980 × x2
বা, 19.6(5 + x) = 490x2
বা, 490x2 − 19.6x − 98 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানে (ধনাত্মক মূল),
x = 19.6 + (19.6)2 + 4 × 490 × 982 × 490
= 19.6 + 438.7980
= 0.468 m
= 46.8 cm
লক্ষ করো: বইয়ে 44.7 cm লেখা — সেখানে সংকোচনের সময় বস্তুর আরও x নামার স্থিতিশক্তি বাদ দিয়ে (mgh = 12kx2) হিসাব করা হয়েছে; সঠিকভাবে তা ধরলে উত্তর 46.8 cm (২২ নং প্রশ্নে বই নিজেই এটা ধরেছে)।
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 160 m
g = 9.8 m s−2
গড়িয়ে যাওয়ার বেগ, v = ?
শক্তির অপচয় না হলে স্থিতিশক্তি সম্পূর্ণ গতিশক্তিতে পরিণত হয়।
আমরা জানি, mgh = 12mv2
∴ v = 2gh
= 2 × 9.8 × 160
= 3136
= 56 m s−1
দেওয়া আছে,
ভর, m = 5 kg
আদি উচ্চতা, H = 100 m
সময়, t = 4 s
আদিবেগ, u = 0
g = 9.8 m s−2
গতিশক্তি, Ek = ? ও স্থিতিশক্তি, Ep = ?
আমরা জানি, v = u + gt
= 0 + 9.8 × 4
= 39.2 m s−1
গতিশক্তি, Ek = 12mv2
= 12 × 5 × (39.2)2
= 3841.6 J
আবার, 4 s-এ পতনের দূরত্ব, s = ut + 12gt2
= 0 + 12 × 9.8 × 42
= 78.4 m
∴ ভূমি থেকে উচ্চতা, h = H − s = 100 − 78.4 = 21.6 m
স্থিতিশক্তি, Ep = mgh
= 5 × 9.8 × 21.6
= 1058.4 J
লক্ষ করো: বইয়ে স্থিতিশক্তি 1058.6 J লেখা, কিন্তু সঠিক মান 1058.4 J (মোট শক্তি 4900 J থেকেও তা-ই মেলে) — সামান্য ছাপার ভুল।
দেওয়া আছে,
আদিবেগ, v1 = 15 m s−1
শেষবেগ (বিপরীত দিকে), v2 = 20 m s−1
গতিশক্তির পরিবর্তন, ΔEk = 8.75 J
ভরবেগের পরিবর্তন, Δp = ?
আমরা জানি, ΔEk = 12mv22 − v21
∴ m = 2ΔEkv22 − v21
= 2 × 8.75(20)2 − (15)2
= 17.5175
= 0.1 kg
বেগের দিক উল্টে যায়, তাই ভরবেগের পরিবর্তন,
Δp = mv2 − m−v1 = mv2 + v1
= 0.1 × (20 + 15)
= 3.5 kg m s−1
দেওয়া আছে,
ট্রলির ভর, M = 40 kg
ট্রলির গতিশক্তি, Ek = 180 J
নামানো বস্তুর ভর, m = 20 kg
শেষ গতিশক্তি, Ek′ = ?
আমরা জানি, Ek = 12Mv2
∴ v = 2EkM
= 2 × 18040
= 9 = 3 m s−1
বস্তুটি খাড়াভাবে নামানো হয়েছে, তাই অনুভূমিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে:
Mv = (M + m)v′
∴ v′ = MvM + m = 40 × 340 + 20
= 2 m s−1
শেষ গতিশক্তি, Ek′ = 12(M + m)v′2
= 12 × 60 × (2)2
= 120 J
দেওয়া আছে,
গতিশক্তি, Ek = 1 J
বিপরীত বল, F = 1 N
দূরত্ব, s = ?
বস্তুর সমস্ত গতিশক্তি বলের বিরুদ্ধে কাজে ব্যয় হয়।
আমরা জানি, Ek = Fs
∴ s = EkF
= 11
= 1 m
দেওয়া আছে,
বন্দুকের ভর, M = 10 kg
গুলির ভর, m = 40 g = 0.04 kg
গুলির বেগ, v = 80 cm s−1 = 0.8 m s−1
গুলির গতিশক্তি = ?, বন্দুকের গতিশক্তি = ?
গুলির গতিশক্তি, E1 = 12mv2
= 12 × 0.04 × (0.8)2
= 0.0128 J
ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র থেকে, MV = mv
∴ বন্দুকের পশ্চাৎ বেগ, V = mvM
= 0.04 × 0.810
= 3.2 × 10−3 m s−1
বন্দুকের গতিশক্তি, E2 = 12MV2
= 12 × 10 × 3.2 × 10−32
= 5 × 1.024 × 10−5
= 51.2 × 10−6 J
দেওয়া আছে,
বন্দুকের ভর, M = 3.6 kg
বুলেটের ভর, m = 0.05 kg
উৎপন্ন মোট গতিশক্তি, E = 365 J
বুলেটের বেগ, v = ?
ধরি, বন্দুকের পশ্চাৎ বেগ V। ভরবেগের সংরক্ষণ থেকে,
mv = MV ∴ V = mvM
মোট শক্তি, E = 12mv2 + 12MV2
= 12mv2 + 12Mm2v2M2
= 12mv21 + mM
∴ বুলেটের গতিশক্তি, 12mv2 = EMM + m
= 365 × 3.63.6 + 0.05
= 360 J
∴ v = 2 × 360m
= 7200.05
= 14400
= 120 m s−1
দেওয়া আছে,
ব্লকের ভর, m = 2 kg
উচ্চতা, h = 0.4 m
স্প্রিং ধ্রুবক, k = 1960 N m−1
g = 9.8 m s−2
সর্বাধিক সংকোচন, x = ?
সংকোচনের সময় ব্লকটি আরও x নামে।
আমরা জানি, mg(h + x) = 12kx2
মান বসিয়ে, 2 × 9.8 × (0.4 + x) = 12 × 1960 × x2
বা, 7.84 + 19.6x = 980x2
বা, 980x2 − 19.6x − 7.84 = 0
ধনাত্মক মূল,
x = 19.6 + (19.6)2 + 4 × 980 × 7.842 × 980
= 19.6 + 176.41960
= 1961960
= 0.1 m
দেওয়া আছে,
ববের ভর, m = 0.2 kg
দোলকের দৈর্ঘ্য, l = 1.2 m
উল্লম্ব রেখা থেকে অনুভূমিক সরণ, d = 0.2 m
g = 9.8 m s−2
সর্বনিম্ন বিন্দুতে গতিশক্তি Ek = ?, বেগ v = ?
চিত্রে সুতার উল্লম্ব উপাংশ l2 − d2, তাই ববের উত্থিত উচ্চতা,
h = l − l2 − d2
= 1.2 − (1.2)2 − (0.2)2
= 1.2 − 1.40
= 1.2 − 1.1832
= 0.01678 m
সর্বনিম্ন বিন্দুতে সম্পূর্ণ স্থিতিশক্তি গতিশক্তিতে পরিণত হয়:
আমরা জানি, Ek = mgh
= 0.2 × 9.8 × 0.01678
= 0.033 J
আবার, 12mv2 = mgh
∴ v = 2gh
= 2 × 9.8 × 0.01678
= 0.57 m s−1
দেওয়া আছে,
কণার ভর, m = 10 kg
বেগ, v = 7ı − 6ȷ + 5k m s−1
গতিশক্তি, Ek = ?
বেগের মানের বর্গ, v2 = 72 + (−6)2 + 52
= 49 + 36 + 25
= 110 m2 s−2
আমরা জানি, Ek = 12mv2
= 12 × 10 × 110
= 550 J
দেওয়া আছে,
আদি উচ্চতা, H = 300 m
যে উচ্চতায় Ek = 12Ep, সেই উচ্চতা h = ?
ধরি, ভূমি থেকে h উচ্চতায় গতিশক্তি স্থিতিশক্তির অর্ধেক।
সেখানে স্থিতিশক্তি, Ep = mgh
গতিশক্তি, Ek = 12mgh
শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, mgH = Ep + Ek
বা, mgH = mgh + 12mgh
বা, H = 32h
∴ h = 2H3 = 2 × 3003
= 200 m
অর্থাৎ, ভূমি থেকে 200 m উচ্চতায়, বা পতনের বিন্দু থেকে 300 − 200 = 100 m নিচে।
দেওয়া আছে,
নিউট্রনের ভর, m = 1.67 × 10−27 kg
বেগ, v = 4 × 104 m s−1
গতিশক্তি, Ek = ?
আমরা জানি, Ek = 12mv2
= 12 × 1.67 × 10−27 × 4 × 1042
= 12 × 1.67 × 10−27 × 16 × 108
= 1.336 × 10−18 J
দেওয়া আছে,
ভর, m = 200 g = 0.2 kg
উচ্চতা, h = 10 m
g = 9.8 m s−2
ভূপৃষ্ঠ স্পর্শের পূর্বে গতিশক্তি, Ek = ?
হারানো স্থিতিশক্তি গতিশক্তিতে পরিণত হয়।
আমরা জানি, Ek = mgh
= 0.2 × 9.8 × 10
= 19.6 J
ধরি, বস্তুর ভর m এবং আদিবেগ u = 0।
আমরা জানি, t-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
ht = u + 12g(2t − 1)
u = 0 বসিয়ে, ht = 12g(2t − 1)
এই দূরত্ব নামায় হারানো স্থিতিশক্তি,
ΔEp = mg × ht
= mg × 12g(2t − 1)
= 12mg2(2t − 1)
শক্তির সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী হারানো স্থিতিশক্তিই অর্জিত গতিশক্তি।
∴ হারানো স্থিতিশক্তি = অর্জিত গতিশক্তি = 12mg2(2t − 1) (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
ভর, m = 500 g = 0.5 kg
উচ্চতা, h = 10 m
g = 9.8 m s−2
(i) প্রাথমিক স্থিতিশক্তি:
আমরা জানি, Ep = mgh
= 0.5 × 9.8 × 10
= 49 J
(ii) পানি স্পর্শের মুহূর্তে সমস্ত স্থিতিশক্তি গতিশক্তি হয়, তাই সর্বোচ্চ গতিশক্তি,
Ek, max = 49 J
(iii) আমরা জানি, v = 2gh
= 2 × 9.8 × 10
= 196
= 14 m s−1
(iv) পানি থেকে h′ = 3 m ওপরে স্থিতিশক্তি,
Ep′ = mgh′ = 0.5 × 9.8 × 3
= 14.7 J
গতিশক্তি, Ek′ = Ep − Ep′
= 49 − 14.7
= 34.3 J
দেওয়া আছে,
ভর, m = 2 kg
উচ্চতা, h = 5 m
g = 9.8 m s−2
অভিকর্ষ বল দ্বারা কাজ W = ?, হারানো স্থিতিশক্তি = ?
আমরা জানি, W = mgh
= 2 × 9.8 × 5
= 98 J
হারানো স্থিতিশক্তি = mgh = 98 J
দেওয়া আছে,
ভর, m = 2 kg
গতিশক্তি, Ek = 2401 J
g = 9.8 m s−2
উচ্চতা, h = ?
আমরা জানি, mgh = Ek
∴ h = Ekmg
= 24012 × 9.8
= 122.5 m
দেওয়া আছে,
ভর, m = 6 kg
বল, F = 30 N
সময়, t = 10 s
আদিবেগ, u = 0
গতিশক্তি, Ek = ?
আমরা জানি, F = ma
∴ a = Fm = 306 = 5 m s−2
আবার, v = u + at
= 0 + 5 × 10
= 50 m s−1
∴ Ek = 12mv2
= 12 × 6 × (50)2
= 7500 J
দেওয়া আছে,
গাড়ির ভর, M = 1 × 103 kg
গাড়ির বেগ, V = 70 km h−1
মোটর সাইকেলের ভর, m = 300 kg
মোটর সাইকেলের বেগ, v = ?
শর্তমতে, উভয়ের গতিশক্তি সমান:
12MV2 = 12mv2
∴ v = VMm
= 70 × 1000300
= 70 × 1.8257
= 127.80 km h−1
দেওয়া আছে,
ভর, m = 0.50 kg
উচ্চতা, h = 1 km = 1000 m
g = 9.8 m s−2
গতিশক্তি, Ek = ?
ভূমি স্পর্শের মুহূর্তে হারানো স্থিতিশক্তি গতিশক্তিতে পরিণত হয়।
আমরা জানি, Ek = mgh
= 0.5 × 9.8 × 1000
= 4.9 × 103 J
দেওয়া আছে,
ভর, m = 0.50 kg
আদিবেগ, u = 15 m s−1
(i) সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ শূন্য, তাই গতিশক্তি = 0
শক্তির সংরক্ষণে, সর্বোচ্চ উচ্চতায় স্থিতিশক্তি = আদি গতিশক্তি
Ep = 12mu2
= 12 × 0.5 × (15)2
= 56.25 J
(ii) ভূমিতে ফিরে এলে পুরো স্থিতিশক্তি আবার গতিশক্তিতে পরিণত হয়,
Ek = 56.25 J
দেওয়া আছে,
ভর, m = 1 kg
উচ্চতা, h = 20 m
g = 9.8 m s−2
(i) আমরা জানি, Ep = mgh
= 1 × 9.8 × 20
= 196 J
(ii) আমরা জানি, v = 2gh
= 2 × 9.8 × 20
= 392
= 19.8 m s−1
(iii) সর্বোচ্চ গতিশক্তি = প্রাথমিক স্থিতিশক্তি = 196 J
(iv) ভূমি থেকে h′ = 2 m উচ্চতায়,
স্থিতিশক্তি, Ep′ = mgh′ = 1 × 9.8 × 2
= 19.6 J
গতিশক্তি, Ek′ = Ep − Ep′
= 196 − 19.6
= 176.4 J
দেওয়া আছে,
বুলেটের ভর, m = 50 g = 0.05 kg
বুলেটের বেগ, v = 10 m s−1
খণ্ডের ভর, M = 950 g = 0.95 kg
হারানো গতিশক্তি = ?
বুলেট আটকে যায়, তাই ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র থেকে,
mv = (m + M)v′
∴ v′ = mvm + M = 0.05 × 100.05 + 0.95
= 0.5 m s−1
আদি গতিশক্তি, E1 = 12mv2
= 12 × 0.05 × (10)2 = 2.5 J
শেষ গতিশক্তি, E2 = 12(m + M)v′2
= 12 × 1 × (0.5)2 = 0.125 J
হারানো গতিশক্তি, ΔE = E1 − E2
= 2.5 − 0.125
= 2.375 J
লক্ষ করো: বইয়ে 2.5 J লেখা — এটা বুলেটের আদি গতিশক্তি, হারানো গতিশক্তি নয়; প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 2.375 J।
ধরি, দোলকের দৈর্ঘ্য l, পিণ্ডের ভর m। পিণ্ডকে সাম্যাবস্থান A থেকে θ কোণে সরিয়ে B অবস্থানে নেওয়া হলো।
চিত্র থেকে, B বিন্দুতে সুতার উল্লম্ব উপাংশ lcos θ।
∴ পিণ্ডের উত্থিত উচ্চতা, h = l − lcos θ
= l1 − cos θ
B বিন্দুতে পিণ্ডের স্থিতিশক্তি, Ep = mgh = mgl1 − cos θ
ছেড়ে দিলে সাম্যাবস্থান A-তে এই স্থিতিশক্তি সম্পূর্ণ গতিশক্তিতে পরিণত হয়:
12mv2 = mgl1 − cos θ
বা, v2 = 2gl1 − cos θ
∴ v = 2gl1 − cos θ (দেখানো হলো)
লক্ষ করো: বইয়ের সূত্রে l বাদ পড়েছে; সঠিক রাশি v = 2gl1 − cos θ (প্রশ্নেও l-এর উল্লেখ আছে)।
দেওয়া আছে,
লোকের ভর, m = 70 kg
প্রতি সিঁড়ির উচ্চতা = 15 cm = 0.15 m
সিঁড়ির সংখ্যা = 30
সময়, t = 20 s
g = 9.8 m s−2
ক্ষমতা, P = ?
মোট উচ্চতা, h = 30 × 0.15 = 4.5 m
আমরা জানি, P = Wt = mght
= 70 × 9.8 × 4.520
= 308720
= 154.35 W
দেওয়া আছে,
প্রতি মিনিটে পানির ভর, m = 5.5 × 105 kg
উচ্চতা, h = 100 m
সময়, t = 1 min = 60 s
দক্ষতা, η = 70% = 0.7
g = 9.8 m s−2
মোটরের ক্ষমতা, P = ?
আমরা জানি, লভ্য ক্ষমতা, Po = mght
= 5.5 × 105 × 9.8 × 10060
= 8.98 × 106 W
আবার, দক্ষতা, η = PoP
∴ P = Poη
= 8.98 × 1060.7
= 1.28 × 107 W
দেওয়া আছে,
মোটরের দক্ষতা, η1 = 80% = 0.8
ক্রেনের দক্ষতা, η2 = 50% = 0.5
মোটরে প্রযুক্ত ক্ষমতা, P = 3.73 kW = 3730 W
বস্তুর ওজন, F = 746 N
ঊর্ধ্বমুখী বেগ, v = ?
ক্রেন থেকে লভ্য ক্ষমতা,
Po = η1 × η2 × P
= 0.8 × 0.5 × 3730
= 1492 W
আমরা জানি, Po = Fv
∴ v = PoF
= 1492746
= 2 m s−1
দেওয়া আছে,
কূয়ার গভীরতা, h = 100 m
প্রতি মিনিটে পানির ভর, m = 1000 kg
সময়, t = 60 s
নষ্ট ক্ষমতা 42%, তাই দক্ষতা, η = 100% − 42% = 58% = 0.58
g = 9.8 m s−2, 1 HP = 746 W
অশ্বক্ষমতা, P = ?
আমরা জানি, লভ্য ক্ষমতা, Po = mght
= 1000 × 9.8 × 10060
= 16333 W
আবার, P = Poη
= 163330.58
= 28161 W
= 28161746 HP
= 37.75 HP
দেওয়া আছে,
পাম্পের ক্ষমতা, P = 6 kW = 6000 W
দক্ষতা, η = 82.2% = 0.822
উচ্চতা, h = 20 m
সময়, t = 1 min = 60 s
g = 9.8 m s−2
প্রতি মিনিটে পানির ভর, m = ?
লভ্য ক্ষমতা, Po = ηP
= 0.822 × 6000
= 4932 W
আমরা জানি, Po = mght
∴ m = Potgh
= 4932 × 609.8 × 20
= 1509.8 kg
1 kg পানির আয়তন 1 লিটার, তাই প্রতি মিনিটে প্রায় 1510 লিটার পানি তোলা যাবে।
লক্ষ করো: বইয়ে 1620 লিটার লেখা, কিন্তু প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর প্রায় 1510 লিটার — দক্ষতা 88.2% ধরলে বইয়ের উত্তর মেলে, তাই সম্ভবত দক্ষতার মানে ছাপার ভুল।
দেওয়া আছে,
কুয়ার গভীরতা, h = 7.2 m
কুয়ার ব্যাস = 4 m, তাই ব্যাসার্ধ, r = 2 m
সময়, t = 31.4 min = 31.4 × 60 = 1884 s
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3, g = 9.8 m s−2
পাম্পের ক্ষমতা, P = ?
পানির আয়তন, V = πr2h
= 3.14 × (2)2 × 7.2
= 90.432 m3
পানির ভর, m = Vρ = 90432 kg
কুয়া খালি করতে পানির ভরকেন্দ্রকে গড়ে h2 = 3.6 m তুলতে হয়।
কৃতকাজ, W = mgh2
= 90432 × 9.8 × 3.6
= 3.19 × 106 J
আমরা জানি, P = Wt
= 3.19 × 1061884
= 1693.44 W
দেওয়া আছে,
গাড়ির ভর, m = 1200 kg
ইঞ্জিনের ক্ষমতা = 134.05 HP
কর্মদক্ষতা, η = 90% = 0.9
আদিবেগ u = 0, শেষবেগ v = 20 m s−1
1 HP = 0.746 kW = 746 W
সময়, t = ?
লভ্য ক্ষমতা, P = η × 134.05 × 746
= 0.9 × 100001.3
= 9 × 104 W
ইঞ্জিনের কাজ গাড়ির গতিশক্তি বাড়ায়:
আমরা জানি, Pt = 12mv2
∴ t = mv22P
= 1200 × (20)22 × 9 × 104
= 480000180000
= 2.67 s
দেওয়া আছে,
প্রতি মিনিটে পানির ভর, m = 6000 kg
সময়, t = 60 s
পানির বেগ, v = 15 m s−1
ইঞ্জিনের ক্ষমতা, P = ?
প্রতি সেকেন্ডে ছোড়া পানির ভর, mt = 600060 = 100 kg s−1
ইঞ্জিন প্রতি সেকেন্ডে পানিকে যে গতিশক্তি দেয় সেটাই ক্ষমতা:
আমরা জানি, P = 12mv2t = 12mtv2
= 12 × 100 × (15)2
= 11250 W
= 11.25 kW
লক্ষ করো: বইয়ে 14.7 kW লেখা — এটা মেলে পানিকে 15 m উচ্চতায় তুললে (mgh/t); কিন্তু প্রশ্নে 15 m s−1 বেগ দেওয়া, তাই সঠিক উত্তর 11.25 kW।
দেওয়া আছে,
প্রতি সেকেন্ডে পানির ভর, mt = 50 kg s−1
জলাধারের গভীরতা = 3 m, দেয়ালের উচ্চতা = 10 m
∴ মোট উত্তোলন উচ্চতা, h = 3 + 10 = 13 m
দেয়ালে আঘাতের বেগ, v = 5 m s−1
g = 9.8 m s−2
পাম্পের ক্ষমতা, P = ?
পাম্প প্রতি সেকেন্ডে পানিকে স্থিতিশক্তি ও গতিশক্তি দুটোই দেয়:
আমরা জানি, P = mtgh + 12v2
= 50 × 9.8 × 13 + 12 × 52
= 50 × (127.4 + 12.5)
= 50 × 139.9
= 6995 W = 6.995 kW
দেওয়া আছে,
পাম্পের ক্ষমতা, P = 746 W
সময়, t = 1 min = 60 s
উচ্চতা, h = 10 m
g = 9.8 m s−2
পানির ভর, m = ?
আমরা জানি, P = mght
∴ m = Ptgh
= 746 × 609.8 × 10
= 4476098
= 456.7 kg
বন্ধনীর মান 9.8 m s−1 ≈ 32 ft s−1 ধরে FPS এককে সমাধান করি।
দেওয়া আছে,
প্রতি মিনিটে পানির পরিমাণ = 1200 gallon
1 gallon পানির ওজন = 10 lb
∴ প্রতি মিনিটে পানির ওজন, W = 1200 × 10 = 12000 lb
উচ্চতা, h = 6 ft
বেগ, v = 32 ft s−1
g = 32 ft s−2
1 HP = 33000 ft lb min−1
অশ্বক্ষমতা, P = ?
প্রতি মিনিটে স্থিতিশক্তি বৃদ্ধি = Wh
= 12000 × 6 = 72000 ft lb
প্রতি মিনিটে গতিশক্তি = 12Wgv2
= 12 × 1200032 × (32)2
= 192000 ft lb
প্রতি মিনিটে মোট কাজ = 72000 + 192000 = 264000 ft lb
∴ P = 26400033000 HP
= 8 HP
লক্ষ করো: প্রশ্নে 12 ft s−1 ছাপা, কিন্তু বন্ধনীর 9.8 m s−1 আসলে প্রায় 32 ft s−1; বইয়ের 8 HP উত্তরও 32 ft s−1 ধরে মেলে (12 ft s−1 ধরলে 3 HP হতো)।
দেওয়া আছে,
কুয়ার দৈর্ঘ্য = 3 m, প্রস্থ = 2 m
গভীরতা, h = 20 m
দক্ষতা, η = 70% = 0.7
সময়, t = 20 min = 1200 s
পানির ঘনত্ব, ρ = 1000 kg m−3, g = 9.8 m s−2
অশ্বক্ষমতা, P = ?
পানির আয়তন, V = 3 × 2 × 20 = 120 m3
পানির ভর, m = Vρ = 120 × 1000 = 1.2 × 105 kg
পানির ভরকেন্দ্র গড়ে h2 = 10 m তুলতে হয়।
কৃতকাজ, W = mgh2
= 1.2 × 105 × 9.8 × 10
= 1.176 × 107 J
লভ্য ক্ষমতা, Po = Wt
= 1.176 × 1071200
= 9800 W
আমরা জানি, P = Poη
= 98000.7
= 14000 W
= 14000746 HP = 18.77 HP
দেওয়া আছে,
গাড়ির ভর, m = 1200 kg
ইঞ্জিনের ক্ষমতা = 134.05 HP
কর্মদক্ষতা, η = 0.9
শেষবেগ, v = 30 m s−1 (আদিবেগ শূন্য)
1 HP = 746 W
সময়, t = ?
লভ্য ক্ষমতা, P = 0.9 × 134.05 × 746
= 9 × 104 W
আমরা জানি, Pt = 12mv2
∴ t = mv22P
= 1200 × (30)22 × 9 × 104
= 1080000180000
= 6 s
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 20 m
প্রতি মিনিটে পানির ভর, m = 600 kg
সময়, t = 60 s
পানির বেগ, v = 5 m s−1
g = 9.8 m s−2, 1 HP = 746 W
পাম্পের ক্ষমতা, P = ?
প্রতি সেকেন্ডে পানির ভর, mt = 60060 = 10 kg s−1
আমরা জানি, P = mtgh + 12v2
= 10 × 9.8 × 20 + 12 × 52
= 10 × (196 + 12.5)
= 2085 W
= 2085746 HP = 2.79 HP
লক্ষ করো: বইয়ে 15204 HP লেখা — এটা আসলে ৫৩ নং প্রশ্নের উত্তর, ভুল করে এখানে বসেছে; প্রদত্ত মানে সঠিক উত্তর 2085 W ≈ 2.79 HP।
দেওয়া আছে,
প্রতি ঘণ্টায় পানির ভর, m = 25 × 106 kg
উচ্চতা, h = 50 m
সময়, t = 1 h = 3600 s
ক্ষমতা ক্ষয় 70%, তাই দক্ষতা, η = 30% = 0.3
g = 9.8 m s−2, 1 HP = 746 W
অশ্বক্ষমতা, P = ?
আমরা জানি, লভ্য ক্ষমতা, Po = mght
= 25 × 106 × 9.8 × 503600
= 3.403 × 106 W
আবার, P = Poη
= 3.403 × 1060.3
= 1.134 × 107 W
= 1.134 × 107746 HP
= 1.52 × 104 HP