পর্যাবৃত্ত গতি — গাণিতিক সমস্যা

দেওয়া আছে,

সর্বোচ্চ বেগ, v_max = 0.2 m s⁻¹

বিস্তার, A = 0.004 m

পর্যায়কাল, T = ?

আমরা জানি,

v_max = ωA

∴ ω = v_maxA

= 0.20.004

= 50 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

T = 2πω

= 2 × 3.141650

= 0.1257 s

উত্তর: 0.1257 s

দেওয়া আছে,

ভর, m = 2.5 kg

কম্পাঙ্ক, f = 3 Hz

সরণ, x = 5 cm = 0.05 m

ত্বরণ, a = ?

পুনরানয়ন বল, F = ?

আমরা জানি,

ω = 2πf

= 2 × 3.1416 × 3

= 18.85 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

a = −ω²x

= −(18.85)² × 0.05

= −355.31 × 0.05

= −17.77 m s⁻²

পুনরানয়ন বলের মান,

আমরা জানি,

F = m|a|

= 2.5 × 17.77

= 44.41 N

উত্তর: ত্বরণ −17.77 m s⁻²; পুনরানয়ন বল 44.41 N

দেওয়া আছে,

ভর, m = 0.05 kg

বিস্তার, A = 20 cm = 0.2 m

পর্যায়কাল, T = 2 s

সর্বোচ্চ দ্রুতি, v_max = ?

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 2π2

= π rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

v_max = ωA

= 3.1416 × 0.2

= 0.628 m s⁻¹

উত্তর: 0.628 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

ভর, m = 500 g = 0.5 kg

কম্পাঙ্ক, f = 5 Hz

সরণ, x = 5 cm = 0.05 m

বিস্তার, A = 10 cm = 0.1 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

বেগ, v = ?

ক্রিয়ারত বল, F = ?

(ক) বেগ নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = 2πf

= 2 × 3.1416 × 5

= 31.416 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

v = ωA² − x²

= 31.416 × (0.1)² − (0.05)²

= 31.416 × 0.0075

= 31.416 × 0.0866

= 2.72 m s⁻¹

(খ) বল ও ওজনের তুলনা:

আমরা জানি,

F = mω²x

= 0.5 × (31.416)² × 0.05

= 0.5 × 986.96 × 0.05

= 24.67 N

আবার, আমরা জানি,

ওজন, W = mg

= 0.5 × 9.8

= 4.9 N

∴ FW = 24.674.9

= 5.03

অর্থাৎ 5 cm সরণে ক্রিয়ারত বল ওজনের প্রায় 5 গুণ, 10 গুণ নয়। সুতরাং উদ্দীপকের উক্তিটি সঠিক নয়।

উত্তর: (ক) 2.72 m s⁻¹; (খ) ক্রিয়ারত বল 24.67 N, ওজন 4.9 N; বল ওজনের প্রায় 5 গুণ, তাই 10 গুণ হবে—উক্তিটি সঠিক নয়।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে বল 49.3 N (10 গুণ) ধরা হয়েছে, যা x = A = 0.1 m (বিস্তার অবস্থান) বসালে আসে; উল্লেখিত সরণ 5 cm-এর জন্য বল 24.67 N।

প্রদত্ত সমীকরণকে x = Acos (ωt + δ)-এর সাথে তুলনা করে পাই,

বিস্তার, A = 6 m

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 3π rad s⁻¹

আদি দশা, δ = π3

সময়, t = 2 s

সরণ, x = ?; বেগ, v = ?; ত্বরণ, a = ?

t = 2 s-এ দশা,

ωt + δ = 3π × 2 + π3

= 6π + π3

(i) সরণ নির্ণয়:

আমরা জানি,

x = Acos (ωt + δ)

= 6cos 6π + π3

= 6cos π3

= 6 × 0.5

= 3 m

(ii) বেগ নির্ণয়:

আমরা জানি,

v = dxdt = −Aωsin (ωt + δ)

= −6 × 3π × sin 6π + π3

= −18π × sin π3

= −56.549 × 0.866

= −48.97 m s⁻¹

(iii) ত্বরণ নির্ণয়:

আমরা জানি,

a = −ω²x

= −(3π)² × 3

= −88.826 × 3

= −266.48 m s⁻²

উত্তর: সরণ 3 m, বেগ −48.97 m s⁻¹, ত্বরণ −266.48 m s⁻²

দেওয়া আছে,

3d²xdt² + 27x = 0

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = ?

উভয় পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করে,

d²xdt² + 9x = 0

আমরা জানি, সরল ছন্দিত স্পন্দনের অন্তরক সমীকরণ,

d²xdt² + ω²x = 0

তুলনা করে পাই,

ω² = 9

∴ ω = 3 rad s⁻¹

উত্তর: 3 rad s⁻¹

দেওয়া আছে,

বিস্তার, A = 20 cm (আদি সরণ cm এককে দেওয়া)

পর্যায়কাল, T = 30 s

আদি সরণ (t = 0-তে), y₀ = 5 cm

সময়, t = 10 s

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = ?

আদি দশা, δ = ?

10 s পরে দশা, φ = ?

(i) কৌণিক কম্পাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 2 × 3.141630

= 0.2094 rad s⁻¹

(ii) আদি দশা নির্ণয়:

আমরা জানি,

y = Asin (ωt + δ)

t = 0-তে, y₀ = Asin δ

বা, 5 = 20sin δ

বা, sin δ = 0.25

∴ δ = sin ⁻¹(0.25)

= 14.48°

= 0.2527 rad

(iii) 10 s পরে দশা নির্ণয়:

আমরা জানি,

φ = ωt + δ

= 0.2094 × 10 + 0.2527

= 2.094 + 0.2527

= 2.347 rad

ডিগ্রিতে, φ = 2.347 × 180°π

= 134.48°

উত্তর: ω = 0.2094 rad s⁻¹; আদি দশা 14.48° বা 0.2527 rad; 10 s পরে দশা 134.48° বা 2.347 rad

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে আদি দশা "2527 rad" ছাপা হয়েছে; সঠিক মান 0.2527 rad।

দেওয়া আছে,

ভর, m = 40 g = 0.04 kg

বিস্তার, A = 12 cm = 0.12 m

পর্যায়কাল, T = 1.5 s

সরণ, x = 6 cm = 0.06 m

দ্রুতি, v = ?

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 2 × 3.14161.5

= 4.189 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

v = ωA² − x²

= 4.189 × (0.12)² − (0.06)²

= 4.189 × 0.0108

= 4.189 × 0.1039

= 0.435 m s⁻¹

উত্তর: 0.435 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

সর্বোচ্চ বেগ, v_max = 0.02 m s⁻¹

বিস্তার, A = 5 mm = 0.005 m

পর্যায়কাল, T = ?

আমরা জানি,

v_max = ωA

∴ ω = v_maxA

= 0.020.005

= 4 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

T = 2πω

= 2 × 3.14164

= 1.57 s

উত্তর: 1.57 s

প্রদত্ত সমীকরণকে x = Acos ωt-এর সাথে তুলনা করে পাই,

বিস্তার, A = 3 m

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 40 rad s⁻¹

সর্বোচ্চ বেগ, v_max = ?

আমরা জানি,

v_max = ωA

= 40 × 3

= 120 m s⁻¹

উত্তর: 120 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

সর্বোচ্চ বেগ, v_max = 0.03 m s⁻¹

বিস্তার, A = 0.006 m

পর্যায়কাল, T = ?

আমরা জানি,

v_max = ωA

∴ ω = v_maxA

= 0.030.006

= 5 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

T = 2πω

= 2 × 3.14165

= 1.26 s

উত্তর: 1.26 s

দেওয়া আছে,

I₁ = I₀₁sin 300t

I₂ = I₀₂sin [300(t + T/6)]

প্রথম প্রবাহের দশা, φ₁ = 300t

দ্বিতীয় প্রবাহের দশা, φ₂ = 300t + T6

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 300 rad s⁻¹

(ক) দশা পার্থক্য নির্ণয়:

আমরা জানি,

Δφ = φ₂ − φ₁

= 300t + 50T − 300t

= 50T

যেহেতু T = 2πω = 2π300,

∴ Δφ = 50 × 2π300

= π3 rad

(খ) দ্বিতীয় প্রবাহের দশা:

φ₂ = 300t + T6

(গ) প্রথম প্রবাহের কম্পাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = 2πf

∴ f = ω2π

= 3002π

= 150π

= 47.75 Hz

উত্তর: (ক) 50T বা π3 rad; (খ) 300t + T6; (গ) 150π Hz বা 47.75 Hz

প্রদত্ত সমীকরণকে y = Asin (ωt + δ)-এর সাথে তুলনা করে পাই,

বিস্তার, A = 10 m

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 12 rad s⁻¹

আদি দশা, δ = −π3

সময়, t = 6.28 s ≈ 2π s

ত্বরণ, a = ?

t = 2π-তে দশা,

ωt + δ = 12 × 2π − π3

= 24π − π3

আমরা জানি,

a = −ω²Asin (ωt + δ)

= −(12)² × 10 × sin 24π − π3

= −1440 × sin −π3

= −1440 × (−0.866)

= 1247 m s⁻²

= 1.25 km s⁻²

উত্তর: 1.25 km s⁻²

প্রদত্ত সমীকরণকে x = Asin (ωt + δ)-এর সাথে তুলনা করে পাই,

বিস্তার, A = 20 m

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 31 rad s⁻¹

সর্বাধিক বেগ, v_max = ?

আমরা জানি,

v_max = ωA

= 31 × 20

= 620 m s⁻¹

উত্তর: 620 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

বিস্তার, A = 20 cm (আদি সরণ cm এককে দেওয়া)

পর্যায়কাল, T = 20 s

আদি সরণ, y₀ = 10 cm

সময়, t = 30 s

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = ?

আদি দশা, δ = ?

30 s পরে দশা, φ = ?

(i) কৌণিক কম্পাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 2 × 3.141620

= 0.314 rad s⁻¹

(ii) আদি দশা নির্ণয়:

আমরা জানি,

y = Asin (ωt + δ)

t = 0-তে, y₀ = Asin δ

বা, 10 = 20sin δ

বা, sin δ = 0.5

∴ δ = 30°

= π6 = 0.524 rad

(iii) 30 s পরে দশা নির্ণয়:

আমরা জানি,

φ = ωt + δ

= 2π20 × 30 + π6

= 3π + π6

= 9.948 rad

ডিগ্রিতে, φ = 540° + 30°

= 570°

উত্তর: ω = 0.314 rad s⁻¹; আদি দশা 30° বা 0.524 rad; 30 s পরে দশা 570° বা 9.948 rad

প্রদত্ত সমীকরণকে x = Acos (ωt + δ)-এর সাথে তুলনা করে পাই,

বিস্তার, A = 10 m

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = 5π rad s⁻¹

আদি দশা, δ = π4

সময়, t = 2 s

সরণ, x = ?; বেগ, v = ?; ত্বরণ, a = ?

t = 2 s-এ দশা,

ωt + δ = 5π × 2 + π4

= 10π + π4

(ক) সরণ নির্ণয়:

আমরা জানি,

x = Acos (ωt + δ)

= 10cos 10π + π4

= 10cos π4

= 10 × 0.7071

= 7.07 m

(খ) বেগ নির্ণয়:

আমরা জানি,

v = dxdt = −Aωsin (ωt + δ)

= −10 × 5π × sin 10π + π4

= −50π × sin π4

= −157.08 × 0.7071

= −111.07 m s⁻¹

(গ) ত্বরণ নির্ণয়:

আমরা জানি,

a = −ω²x

= −(5π)² × 7.071

= −246.74 × 7.071

= −1744.72 m s⁻²

ঋণাত্মক চিহ্ন দিক নির্দেশ করে; মান যথাক্রমে 111.07 m s⁻¹ ও 1744.72 m s⁻²।

উত্তর: (ক) 7.07 m; (খ) −111.07 m s⁻¹; (গ) −1744.72 m s⁻²

দেওয়া আছে,

বিস্তার, A = 10 m

পর্যায়কাল, T = 30 s

আদি সরণ, y₀ = 0.05 m

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = ?

আদি দশা, δ = ?

(ক) কৌণিক কম্পাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 2π30

= π15 rad s⁻¹

= 0.2094 rad s⁻¹

(খ) আদি দশা নির্ণয়:

আমরা জানি,

y = Asin (ωt + δ)

t = 0-তে, y₀ = Asin δ

বা, 0.05 = 10sin δ

বা, sin δ = 0.005

∴ δ = sin ⁻¹(0.005)

= 0.287°

= 5 × 10⁻³ rad

উত্তর: (ক) π15 rad s⁻¹; (খ) 0.287° বা 5 × 10⁻³ rad

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে আদি দশা "5 × 10⁻⁸ mol" ছাপা হয়েছে; সঠিক 5 × 10⁻³ rad।

দেওয়া আছে,

কম্পাঙ্ক, f = 262 Hz

বিস্তার, A = 1.5 × 10⁻⁴ m

t = 0-তে সরণ, x = A

সরণ, বেগ ও ত্বরণের সমীকরণ = ?

আমরা জানি,

ω = 2πf

= 2π × 262

= 524π rad s⁻¹

t = 0-তে x = A হওয়ায় সরণের সমীকরণ কোসাইন রূপে লেখা যায়।

আমরা জানি,

x = Acos ωt

∴ x = 1.5 × 10⁻⁴cos 524πt

বেগ, আমরা জানি,

v = dxdt = −Aωsin ωt

এখানে, Aω = 1.5 × 10⁻⁴ × 524π

= 1.5 × 10⁻⁴ × 1646.19

= 0.2469

∴ v = −0.2469sin 524πt

ত্বরণ, আমরা জানি,

a = dvdt = −Aω²cos ωt

এখানে, Aω² = 1.5 × 10⁻⁴ × (1646.19)²

= 406.49

∴ a = −406.49cos 524πt

উত্তর: x = 1.5 × 10⁻⁴cos 524πt m; v = −0.2469sin 524πt m s⁻¹; a = −406.49cos 524πt m s⁻²

দেওয়া আছে,

ভর, m = 55 g = 0.055 kg

স্প্রিং ধ্রুবক, k = 24 N m⁻¹

বিস্তার, A = 8.6 cm = 0.086 m

সরণ, x = 5.1 cm = 0.051 m

দ্রুতি, v = ?

সর্বোচ্চ দ্রুতি, v_max = ?

আমরা জানি,

ω = km

= 240.055

= 436.36

= 20.89 rad s⁻¹

(ক) 5.1 cm দূরে দ্রুতি নির্ণয়:

আমরা জানি,

v = ωA² − x²

= 20.89 × (0.086)² − (0.051)²

= 20.89 × 0.004795

= 20.89 × 0.06925

= 1.447 m s⁻¹

(খ) সর্বোচ্চ দ্রুতি নির্ণয়:

আমরা জানি,

v_max = ωA

= 20.89 × 0.086

= 1.80 m s⁻¹

উত্তর: (ক) 1.447 m s⁻¹; (খ) 1.80 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

ভর, m = 100 g = 0.1 kg

বিস্তার, A = 10 cm = 0.1 m

সাম্যাবস্থান থেকে বিস্তারে যেতে সময়, T4 = 0.5 s

∴ পর্যায়কাল, T = 2 s

সরণ, x = 8 cm = 0.08 m

বেগ, v = ?

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 2π2

= π rad s⁻¹

(ক) 8 cm সরণে বেগ নির্ণয়:

আমরা জানি,

v = ωA² − x²

= π × (0.1)² − (0.08)²

= 3.1416 × 0.0036

= 3.1416 × 0.06

= 0.188 m s⁻¹

(খ) শক্তির তুলনা:

সাম্যাবস্থানে বেগ সর্বোচ্চ, v_max = ωA।

আমরা জানি,

সাম্যাবস্থানে গতিশক্তি, E_k = 12mv2max = 12mω²A²

= 12 × 0.1 × π² × (0.1)²

= 4.93 × 10⁻³ J

আবার, স্প্রিং ধ্রুবক,

আমরা জানি,

k = mω²

= 0.1 × π²

= 0.987 N m⁻¹

বিস্তার অবস্থানে স্থিতিশক্তি,

আমরা জানি,

E_p = 12kA²

= 12 × 0.987 × (0.1)²

= 4.93 × 10⁻³ J

∴ E_k = E_p; অর্থাৎ সাম্যাবস্থানে গতিশক্তি ও বিস্তার অবস্থানে স্থিতিশক্তি সমান।

উত্তর: (ক) 0.188 m s⁻¹; (খ) উভয়ের মান 4.93 × 10⁻³ J, অর্থাৎ সমান।

দেওয়া আছে,

x₁ = 4 m সরণে বেগ, v₁ = 3 m s⁻¹

x₂ = 3 m সরণে বেগ, v₂ = 4 m s⁻¹

ভর, m = 50 kg

বিস্তার, A = ?; পর্যায়কাল, T = ?; মোট শক্তি, E = ?

(ক) বিস্তার ও পর্যায়কাল নির্ণয়:

আমরা জানি,

v² = ω²(A² − x²)

প্রথম ক্ষেত্রে, 9 = ω²(A² − 16) ... (i)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, 16 = ω²(A² − 9) ... (ii)

(ii) থেকে (i) বিয়োগ করে,

16 − 9 = ω²(A² − 9 − A² + 16)

বা, 7 = 7ω²

∴ ω = 1 rad s⁻¹

(i)-এ বসিয়ে,

9 = 1 × (A² − 16)

বা, A² = 25

∴ A = 5 m

আবার, আমরা জানি,

T = 2πω

= 2 × 3.14161

= 6.28 s

(খ) মোট শক্তি নির্ণয়:

আমরা জানি,

E = 12mω²A²

= 12 × 50 × 1² × 5²

= 625 J

উত্তর: (ক) বিস্তার 5 m, পর্যায়কাল 6.28 s; (খ) 625 J

দেওয়া আছে,

বেগ, v = 2 m s⁻¹

ভর, m = 4 kg

স্প্রিং ধ্রুবক, k = 100 N m⁻¹

সর্বোচ্চ সংকোচন, x = ?

সর্বোচ্চ সংকোচনে বস্তুর সম্পূর্ণ গতিশক্তি স্প্রিং-এর বিভবশক্তিতে রূপান্তরিত হয়।

আমরা জানি,

12kx² = 12mv²

∴ x = vmk

= 2 × 4100

= 2 × 0.2

= 0.4 m

উত্তর: 0.4 m

দেওয়া আছে,

স্প্রিং ধ্রুবক, k = 2 N m⁻¹

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, x = 0.1 m

বিভবশক্তি, U = ?

আমরা জানি,

U = 12kx²

= 12 × 2 × (0.1)²

= 0.01 J

উত্তর: 0.01 J

দেওয়া আছে,

ভর, m = 0.1 kg

বিস্তার, A = 0.1 m

সাম্যাবস্থানে গতিশক্তি (সর্বোচ্চ), E_k = 8 × 10⁻³ J

আদি দশা, δ = 45° = π4

গতির সমীকরণ = ?

সাম্যাবস্থানে গতিশক্তি সর্বোচ্চ।

আমরা জানি,

E_k = 12mω²A²

∴ ω² = 2E_kmA²

= 2 × 8 × 10⁻³0.1 × (0.1)²

= 0.0160.001

= 16

∴ ω = 4 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

y = Asin (ωt + δ)

∴ y = 0.1sin 4t + π4 m

উত্তর: y = 0.1sin 4t + π4 m

দেওয়া আছে,

প্রমাণ ভর, m₁ = 1.000 kg

প্রথম পর্যায়কাল, T₁ = 1.43 s

দ্বিতীয় পর্যায়কাল, T₂ = 1.85 s

অজ্ঞাত ভর, m₂ = ?

স্প্রিং ধ্রুবক, k = ?

(ক) অজ্ঞাত ভর নির্ণয়:

আমরা জানি,

T = 2πmk

একই স্প্রিং-এর জন্য T ∝ m,

∴ m₂m₁ = T₂T₁²

বা, m₂ = 1 × 1.851.43²

= 3.42252.0449

= 1.67 kg

(খ) স্প্রিং ধ্রুবক নির্ণয়:

আমরা জানি,

T₁ = 2πm₁k

∴ k = 4π²m₁T21

= 4 × (3.1416)² × 1(1.43)²

= 39.4782.0449

= 19.3 N m⁻¹

উত্তর: (ক) 1.67 kg; (খ) 19.3 N m⁻¹

দেওয়া আছে,

দোলনকাল, T = 0.8 s

ভর, m = 64 kg

স্প্রিং ধ্রুবক, k = ?

আমরা জানি,

T = 2πmk

∴ k = 4π²mT²

= 39.478 × 64(0.8)²

= 2526.620.64

= 3947.84 N m⁻¹

উত্তর: 3947.84 N m⁻¹

দেওয়া আছে,

ভর, m = 50 × 10⁻³ kg

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, l = 10 × 10⁻² m = 0.1 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পর্যায়কাল, T = ?

সাম্যাবস্থায় kl = mg, ∴ mk = lg

আমরা জানি,

T = 2πmk = 2πlg

= 2 × 3.1416 × 0.19.8

= 6.2832 × 0.101

= 0.635 s

উত্তর: 0.635 s

দেওয়া আছে,

বিস্তার, A = 4.9 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

কৌণিক কম্পাঙ্ক, ω = ?

প্লাটফর্মের সর্বোচ্চ ত্বরণ (নিচের দিকে) g-এর সমান হলে মানুষের ওপর প্লাটফর্মের প্রতিক্রিয়া বল শূন্য হয়, তখন পা প্লাটফর্ম থেকে আলাদা হয়।

আমরা জানি,

a_max = ω²A

শর্ত অনুযায়ী, ω²A = g

∴ ω = gA

= 9.84.9

= 2 rad s⁻¹

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

প্রসারণ, l = 20 cm = 0.2 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

কম্পাঙ্ক, f = ?

সাম্যাবস্থায় kl = mg, ∴ km = gl

আমরা জানি,

f = 12πkm = 12πgl

= 12 × 3.14169.80.2

= 496.2832

= 76.2832

= 1.11 Hz

উত্তর: 1.11 Hz

দেওয়া আছে,

ভর, m = 0.3 kg

প্রসারণ, l = 0.10 m

বিস্তার, A = 8 × 10⁻² m = 0.08 m

সরণ, x = 5 × 10⁻² m = 0.05 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

মোট শক্তি, E = ?

বেগ, v = ?

আমরা জানি,

kl = mg

∴ k = mgl

= 0.3 × 9.80.10

= 29.4 N m⁻¹

(ক) মোট শক্তি নির্ণয়:

আমরা জানি,

E = 12kA²

= 12 × 29.4 × (0.08)²

= 14.7 × 0.0064

= 0.094 J

(খ) বেগ নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = km

= 29.40.3

= 98

= 9.9 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

v = ωA² − x²

= 9.9 × (0.08)² − (0.05)²

= 9.9 × 0.0039

= 9.9 × 0.06245

= 0.618 m s⁻¹

উত্তর: (ক) 0.094 J; (খ) 0.618 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

ভর, m = 20.0 kg

কার্যকর দৈর্ঘ্য, L = 3.0 m

বিস্তার, A = 0.2 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পর্যায়কাল, T = ?; কম্পাঙ্ক, f = ?; সর্বোচ্চ বেগ, v_max = ?

(ক) পর্যায়কাল ও কম্পাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি,

T = 2πLg

= 2 × 3.1416 × 3.09.8

= 6.2832 × 0.5533

= 3.48 s

আবার, আমরা জানি,

f = 1T

= 13.476

= 0.29 Hz

(খ) সর্বোচ্চ বেগ নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 6.28323.476

= 1.807 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

v_max = ωA

= 1.807 × 0.2

= 0.36 m s⁻¹

উত্তর: (ক) 3.48 s, 0.29 Hz; (খ) 0.36 m s⁻¹

দেওয়া আছে,

সুতার দৈর্ঘ্য, l = 99 cm = 0.99 m

গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1.82 cm = 0.9 cm = 0.009 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.81 m s⁻²

দোলনকাল, T = ?

কার্যকর দৈর্ঘ্য,

L = l + r

= 0.99 + 0.009

= 0.999 m

আমরা জানি,

T = 2πLg

= 2 × 3.1416 × 0.9999.81

= 6.2832 × 0.3191

= 2.005 s

উত্তর: 2.005 s

দেওয়া আছে,

দোলনকাল, T = 1.8 s

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

কার্যকরী দৈর্ঘ্য, L = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ L = gT²4π²

= 9.8 × (1.8)²4 × (3.1416)²

= 31.75239.478

= 0.8043 m

= 80.43 cm

উত্তর: 80.43 cm

দেওয়া আছে,

সুতার দৈর্ঘ্য, l = 99 cm

দোলনকাল, T = 2 s

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

দোলকপিণ্ডের ব্যাসার্ধ, r = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ L = gT²4π²

= 9.8 × (2)²39.478

= 39.239.478

= 0.9929 m = 99.29 cm

আবার, আমরা জানি,

L = l + r

∴ r = L − l

= 99.29 − 99

= 0.29 cm

উত্তর: 0.29 cm

দেওয়া আছে,

প্রথম দৈর্ঘ্য, L₁ = 40 cm

প্রথম দোলনকাল, T₁ = 60 s40 = 1.5 s

দ্বিতীয় দৈর্ঘ্য, L₂ = 160 cm

দোলন সংখ্যা, N = 60

60 বার দুলতে সময়, t = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

একই স্থানে T ∝ L,

∴ T₂T₁ = L₂L₁

বা, T₂ = 1.5 × 16040

= 1.5 × 2

= 3 s

আবার, আমরা জানি,

t = NT₂

= 60 × 3

= 180 s = 3 min

উত্তর: 3 min

দেওয়া আছে,

দোলনকালের অনুপাত, T₁:T₂ = 3:2

দৈর্ঘ্যের অনুপাত, L₁:L₂ = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

একই স্থানে g ধ্রুব, ∴ L ∝ T²

∴ L₁L₂ = T₁T₂²

= 32²

= 94

উত্তর: L₁:L₂ = 9:4

দেওয়া আছে,

দৈর্ঘ্যের অনুপাত, L₁:L₂ = 16:25

দোলনকালের অনুপাত, T₁:T₂ = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

একই স্থানে T ∝ L

∴ T₁T₂ = L₁L₂

= 1625

= 45

উত্তর: T₁:T₂ = 4:5

দেওয়া আছে,

L_A = 4L_B

B-এর দোলনকাল, T_B = 2 s

A-এর দোলনকাল, T_A = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

একই স্থানে T ∝ L

∴ T_AT_B = L_AL_B

বা, T_A = 2 × 4

= 4 s

উত্তর: 4 s

দেওয়া আছে,

দৈর্ঘ্যের অনুপাত, L_e:L_m = 81:16

পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g_e = 9.81 m s⁻²

উভয় সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T = 2 s

চন্দ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g_m = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

T সমান হলে, Lg ধ্রুব, ∴ L ∝ g

∴ g_mg_e = L_mL_e

বা, g_m = 9.81 × 1681

= 1.94 m s⁻²

উত্তর: 1.94 m s⁻²

দেওয়া আছে,

সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T₁ = 2 s

আদি দৈর্ঘ্য, L₁ = L

2.5 গুণ বৃদ্ধিতে নতুন দৈর্ঘ্য, L₂ = L + 2.5L = 3.5L

নতুন দোলনকাল, T₂ = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

একই স্থানে T ∝ L

∴ T₂T₁ = L₂L₁

বা, T₂ = 2 × 3.5LL

= 2 × 1.871

= 3.74 s

উত্তর: 3.74 s

দেওয়া আছে,

পৃথিবীতে দোলনকাল, T_e = 2 s

M_m = 0.107M_e

R_m = 0.53R_e

মঙ্গলে দোলনকাল, T_m = ?

আমরা জানি,

g = GMR²

∴ g_mg_e = M_mM_e × R_eR_m²

= 0.107(0.53)²

= 0.1070.2809

= 0.381

আবার, আমরা জানি,

T = 2πLg

একই দোলকের জন্য T ∝ 1g

∴ T_mT_e = g_eg_m

বা, T_m = 2 × 10.381

= 2 × 1.620

= 3.24 s

উত্তর: 3.24 s

দেওয়া আছে,

ভূ-পৃষ্ঠে দোলনকাল, T = 3 s

ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পাহাড়ে 10 ঘণ্টায় দোলন সংখ্যা, N = 11990

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6400 km

এভারেস্টের উচ্চতা, h_E = 8.854 km

কার্যকর দৈর্ঘ্য, L = ?

পাহাড়ের উচ্চতা, h = ?

(ক) কার্যকর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ L = gT²4π²

= 9.8 × (3)²39.478

= 88.239.478

= 2.23 m

(খ) পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় ও তুলনা:

পাহাড়ে দোলনকাল,

T_h = 10 × 360011990

= 3600011990

= 3.0025 s

আমরা জানি,

T = 2πLg এবং g_h = gRR + h²

∴ T_hT = gg_h = R + hR

∴ h = RT_hT − 1

= 6400 × 3.00253 − 1

= 6400 × 0.000834

= 5.338 km

এভারেস্টের সাথে পার্থক্য,

h_E − h = 8.854 − 5.338

= 3.516 km

অর্থাৎ পাহাড়টি এভারেস্টের চেয়ে 3.516 km নিচু ছিল।

উত্তর: (ক) 2.23 m; (খ) পাহাড়ের উচ্চতা 5.338 km, এভারেস্টের চেয়ে 3.516 km নিচু

দেওয়া আছে,

সুতার দৈর্ঘ্য, l = 1.1 m

ববের ব্যাসার্ধ, r = 1.5 cm = 0.015 m

ভর, m = 60 g = 0.06 kg

A বিন্দুতে সরণ, x_A = 0

B বিন্দুতে সরণ, x_B = PB = 2 cm = 0.02 m

C বিন্দুতে সরণ, x_C = QC = 3 cm = 0.03 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

দোলনকাল, T = ?

A, B, C বিন্দুতে কার্যকর বল, F_A, F_B, F_C = ?

কার্যকর দৈর্ঘ্য,

L = l + r

= 1.1 + 0.015

= 1.115 m

(ক) দোলনকাল নির্ণয়:

আমরা জানি,

T = 2πLg

= 2 × 3.1416 × 1.1159.8

= 6.2832 × 0.3373

= 2.12 s

(খ) কার্যকর (প্রত্যয়নী) বল নির্ণয়:

আমরা জানি,

F = mgsin θ = mgxL

A বিন্দুতে, F_A = 0.06 × 9.8 × 01.115

= 0

B বিন্দুতে, F_B = 0.06 × 9.8 × 0.021.115

= 0.011761.115

= 1.05 × 10⁻² N

C বিন্দুতে, F_C = 0.06 × 9.8 × 0.031.115

= 0.017641.115

= 1.58 × 10⁻² N

∴ F_A < F_B < F_C; অর্থাৎ সাম্যাবস্থান A-তে কার্যকর বল শূন্য এবং সরণ বাড়ার সাথে বল সরণের সমানুপাতে বাড়ে (F_C:F_B = 3:2)।

উত্তর: (ক) 2.12 s; (খ) A, B ও C বিন্দুতে কার্যকর বল যথাক্রমে 0, 1.05 × 10⁻² N ও 1.58 × 10⁻² N

দেওয়া আছে,

বিস্তার, A = CD = 0.03 m

সর্বোচ্চ বেগ, v_max = 0.1 m s⁻¹

পর্যায়কাল, T = ?

বিভবশক্তি ও গতিশক্তি সমান হওয়ার সরণ, x = ?

(ক) পর্যায়কাল নির্ণয়:

আমরা জানি,

v_max = ωA

∴ ω = v_maxA

= 0.10.03

= 3.333 rad s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

T = 2πω

= 2 × 3.14163.333

= 1.885 s

(খ) বিভবশক্তি ও গতিশক্তি সমান হওয়ার সরণ নির্ণয়:

আমরা জানি, সরণ x এ

বিভবশক্তি, E_p = 12mω²x²

গতিশক্তি, E_k = 12mω²(A² − x²)

শর্তমতে, E_p = E_k

বা, 12mω²x² = 12mω²(A² − x²)

বা, x² = A² − x²

বা, 2x² = A²

∴ x = A2

= 0.032

= 0.0212 m

যেহেতু x = 0.0212 m < A = 0.03 m, অর্থাৎ বিস্তারের মধ্যেই এমন একটি অবস্থান আছে যেখানে বিভবশক্তি ও গতিশক্তি সমান। সুতরাং আদিবার পরীক্ষালব্ধ ফলাফল সমর্থনযোগ্য।

উত্তর: (ক) 1.885 s; (খ) সাম্যাবস্থা থেকে A2 = 0.0212 m সরণে বিভবশক্তি ও গতিশক্তি সমান, তাই ফলাফল সমর্থনযোগ্য।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে 0.212 m ছাপা হয়েছে, যা বিস্তার 0.03 m-এর চেয়েও বড়; সঠিক মান 0.032 = 0.0212 m।

দেওয়া আছে,

সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T = 2 s

A স্থানে কার্যকর দৈর্ঘ্য, L_A = 1 m

B স্থানে কার্যকর দৈর্ঘ্য, L_B = 0.9 m

কৌণিক বেগ, ω = ?

ওজনের অনুপাত, W_BW_A = ?

(ক) কৌণিক বেগ নির্ণয়:

আমরা জানি,

ω = 2πT

= 2 × 3.14162

= 3.1416 rad s⁻¹

(খ) ওজনের তুলনা:

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ g = 4π²LT²

উভয় স্থানে T = 2 s (সেকেন্ড দোলক), ∴ g ∝ L

আবার, ওজন W = mg, ∴ W ∝ g ∝ L

∴ W_BW_A = g_Bg_A = L_BL_A

= 0.91

= 0.9

∴ W_B = 0.9 W_A

অর্থাৎ B স্থানে ওজন A স্থানের ওজনের 0.9 গুণ। সুতরাং A হতে B-তে কোনো বস্তু নিয়ে গেলে ওজন কমবে।

উত্তর: (ক) 3.1416 rad s⁻¹; (খ) W_B = 0.9 W_A, অর্থাৎ ওজন কমবে।

দেওয়া আছে,

কার্যকর দৈর্ঘ্য, L = 1 m

ববের ভর, m = 300 g = 0.3 kg

আদি কৌণিক সরণ, θ₀ = 60°

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

সাম্যাবস্থায় গতিশক্তি, E_k1 = ?

30° কোণে গতিশক্তি, E_k2 = ?

θ কোণে সরলে বব সর্বনিম্ন বিন্দু থেকে h = L(1 − cos θ) উচ্চতায় ওঠে।

(i) সাম্যাবস্থায় গতিশক্তি:

শক্তির সংরক্ষণশীলতা অনুযায়ী, আমরা জানি,

E_k1 = mgL(1 − cos θ₀)

= 0.3 × 9.8 × 1 × (1 − cos 60°)

= 2.94 × (1 − 0.5)

= 1.47 J

(ii) 30° কোণে গতিশক্তি:

আমরা জানি,

E_k2 = mgL(cos θ − cos θ₀)

= 0.3 × 9.8 × 1 × (cos 30° − cos 60°)

= 2.94 × (0.866 − 0.5)

= 2.94 × 0.366

= 1.076 J

উত্তর: 1.47 J; 1.076 J

দেওয়া আছে,

স্থির লিফটে দোলনকাল, T

চলন্ত লিফটে দোলনকাল, T′ = T2

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

লিফটের ত্বরণ, a = ?

দোলনকাল কমেছে, তাই কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণ বেড়েছে; অর্থাৎ লিফট ঊর্ধ্বমুখী ত্বরণে চলছে, কার্যকর ত্বরণ g′ = g + a।

আমরা জানি,

T = 2πLg এবং T′ = 2πLg + a

∴ T′T = gg + a

বা, 12 = gg + a

বা, 14 = gg + a

বা, g + a = 4g

∴ a = 3g

= 3 × 9.8

= 29.4 m s⁻²

উত্তর: 29.4 m s⁻², ঊর্ধ্বমুখী

দেওয়া আছে,

আদি দোলনকাল, T = 2 s

আদি দৈর্ঘ্য, L

নতুন দৈর্ঘ্য, L′ = L + 1% of L = 1.01L

একদিন, t = 86400 s

দিনে সময় হারানো, Δt = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ T′T = L′L

বা, T′ = 2 × 1.01

= 2.00998 s

একদিনে দোলকটি 86400T′ টি দোলন দেয়, কিন্তু ঘড়ি প্রতিটি দোলনকে 2 s ধরে।

∴ ঘড়ির দেখানো সময় = 86400T′ × T

∴ Δt = 86400 − 86400 × TT′

= 864001 − TT′

= 864001 − 11.01

= 86400 × (1 − 0.995037)

= 86400 × 0.004963

= 428.8 s

উত্তর: প্রায় 429 s

দেওয়া আছে,

পাদদেশে দোলনকাল, T = 2 s

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6400 km

দিনে ধীরে চলে, 2 min = 120 s

একদিন = 86400 s

পাহাড়ের উচ্চতা, h = ?

শৃঙ্গে ঘড়ি একদিনে দেখায় 86400 − 120 = 86280 s

শৃঙ্গে দোলনকাল T′ হলে, দোলন সংখ্যা সমান ধরে,

86400T′ × T = 86280

∴ T′T = 8640086280

আমরা জানি,

T = 2πLg এবং g_h = gRR + h²

∴ T′T = gg_h = R + hR

বা, R + hR = 8640086280

বা, 1 + hR = 1.0013908

বা, hR = 0.0013908

∴ h = 0.0013908 × 6400

= 8.90 km

উত্তর: 8.9 km

দেওয়া আছে,

ঢাকায় সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য, L_D = 100 cm

কাঠমুন্ডুতে সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য, L_K = 95 cm

ওজনের পরিবর্তন, W_D − W_KW_K = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

উভয় স্থানে T = 2 s, ∴ g ∝ L

আবার, W = mg, ∴ W ∝ g ∝ L

∴ W_DW_K = L_DL_K

= 10095

= 1.0526

∴ W_D − W_KW_K = 1.0526 − 1

= 0.0526

= 5.26%

উত্তর: ওজন 5.26% (অর্থাৎ 0.0526 গুণ) বৃদ্ধি পাবে।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে "0.05% বৃদ্ধি" লেখা, যা ভুল; বৃদ্ধি ভগ্নাংশে প্রায় 0.05 গুণ, শতকরা হিসেবে 5.26%।

দেওয়া আছে,

সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, T₁ = 2 s

সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য, L₁ = 1 m

দ্বিতীয় দোলকের দোলনকাল, T₂ = 6020 = 3 s

দ্বিতীয় দোলকের দৈর্ঘ্য, L₂ = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

একই স্থানে g সমান, ∴ T₂T₁ = L₂L₁

∴ L₂ = L₁T₂T₁²

= 1 × 32²

= 2.25 m

উত্তর: 2.25 m

দেওয়া আছে,

পৃথিবীপৃষ্ঠে দোলনকাল, T_e = 2 s

চন্দ্রপৃষ্ঠে দোলনকাল, T_m = 4.5 s

ভরের অনুপাত, M_eM_m = 81

ব্যাসার্ধের অনুপাত, R_eR_m = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

একই দোলক, ∴ g_eg_m = T_mT_e²

= 4.52²

= 5.0625

আবার, আমরা জানি,

g = GMR²

∴ g_eg_m = M_eM_m × R_mR_e²

বা, 5.0625 = 81 × R_mR_e²

বা, R_eR_m² = 815.0625

= 16

∴ R_eR_m = 4

উত্তর: 4:1

দেওয়া আছে,

আদি দোলনকাল, T = 2 s

আদি দৈর্ঘ্য, L

নতুন দৈর্ঘ্য, L′ = L + 200% of L = 3L

নতুন দোলনকাল, T′ = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ T′T = L′L

∴ T′ = T3LL

= 23 s

= 3.464 s

উত্তর: 23 s = 3.464 s

দেওয়া আছে,

রাজশাহীতে সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য, L_R = 95 cm

চট্টগ্রামে সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য, L_C = 100 cm

রাজশাহীতে ওজন, W_R = 95 gm-wt

চট্টগ্রামে ওজন, W_C = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

উভয় স্থানে T = 2 s, ∴ g ∝ L

আবার, W = mg, ∴ W ∝ L

∴ W_CW_R = L_CL_R

∴ W_C = W_R × L_CL_R

= 95 × 10095

= 100 gm-wt

উত্তর: 100 gm-wt

দেওয়া আছে,

কার্যকর দৈর্ঘ্য, L = 10 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

দোলনকাল, T = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

= 2 × 3.1416 × 109.8

= 6.2832 × 1.0102

= 6.35 s

উত্তর: 6.35 s

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর (6.34 s) স্কেলটিকে 10 m কার্যকর দৈর্ঘ্যের সরল দোলক ধরে বের করা হয়েছে। বাস্তবে ভারকেন্দ্র বরাবর ঝুলালে স্কেলটি দুলবে না; এক প্রান্ত থেকে ঝুলালে যৌগিক দোলক হিসেবে T = 2π2L3g ≈ 5.18 s হতো।

দেওয়া আছে,

সঠিক দোলনকাল, T = 2 s

বর্তমান দোলনকাল, T′

দিনে ধীরে চলে, 20 s

একদিন = 86400 s

বর্তমান দৈর্ঘ্য L′, সঠিক দৈর্ঘ্য L

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন, L′ − LL′ = ?

ঘড়ি একদিনে দেখায় 86400 − 20 = 86380 s

∴ 86400T′ × T = 86380

∴ TT′ = 8638086400

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ LL′ = TT′²

= 8638086400²

= 0.999537

∴ L′ − LL′ = 1 − LL′

= 1 − 0.999537

= 0.000463

= 0.0463%

উত্তর: দৈর্ঘ্য 0.046% হ্রাস করতে হবে।

দেওয়া আছে,

আদি দোলনকাল, T

নতুন দোলনকাল, T′ = T + 50% of T = 1.5T

আদি দৈর্ঘ্য, L

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন, L′ − LL × 100% = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ L′L = T′T²

= (1.5)²

= 2.25

∴ L′ − LL × 100% = (2.25 − 1) × 100%

= 125%

উত্তর: কার্যকর দৈর্ঘ্য 125% বাড়াতে হবে।

দেওয়া আছে,

সঠিক দোলনকাল, T = 2 s

পরিবর্তিত দোলনকাল, T′ = 2.041 s

এক ঘণ্টা, t = 3600 s

ঘণ্টায় সময় হারানো, Δt = ?

এক ঘণ্টায় দোলন সংখ্যা 3600T′, ঘড়ি প্রতিটিকে T = 2 s ধরে।

আমরা জানি,

Δt = t − tT′ × T

= t1 − TT′

= 3600 × 1 − 22.041

= 3600 × (1 − 0.97991)

= 3600 × 0.020088

= 72.32 s

উত্তর: 72.32 s

দেওয়া আছে,

ভর, m = 60 kg

দোলনার দৈর্ঘ্য, L = 4 m

বিস্তার, A = 3 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

সর্বোচ্চ গতিশক্তি, E_{k, max} = ?

দোলনাটিকে সরল দোলক ধরে, আমরা জানি,

ω² = gL

= 9.84

= 2.45 s⁻²

আবার, আমরা জানি,

E_{k, max} = 12mω²A²

= 12 × 60 × 2.45 × (3)²

= 30 × 2.45 × 9

= 661.5 J

উত্তর: 661.5 J

লক্ষ করো: এখানে সরল ছন্দিত গতির সূত্র ধরা হয়েছে; কিন্তু বিস্তার (3 m) দৈর্ঘ্যের (4 m) তুলনায় বড়, তাই মান আসন্ন। 3 m অনুভূমিক সরণ ধরে mgh দিয়ে হিসাব করলে প্রায় 796 J হয়।

দেওয়া আছে,

আদি দোলনকাল, T; আদি দৈর্ঘ্য, L

নতুন দোলনকাল, T′ = 2T

নতুন দৈর্ঘ্য, L′ = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ L′L = T′T²

= 2TT²

= 4

∴ L′ = 4L

উত্তর: দৈর্ঘ্য 4 গুণ করতে হবে।

দেওয়া আছে,

আদি দোলনকাল, T = 2 s

আদি দৈর্ঘ্য, L

দৈর্ঘ্য 2.5 গুণ বৃদ্ধি পেলে নতুন দৈর্ঘ্য, L′ = L + 2.5L = 3.5L

নতুন দোলনকাল, T′ = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ T′T = L′L

∴ T′ = 2 × 3.5

= 2 × 1.8708

= 3.74 s

উত্তর: 3.74 s

দেওয়া আছে,

দৈর্ঘ্যের অনুপাত, L_eL_m = 8116

পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g_e = 9.81 m s⁻²

চন্দ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g_m = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

উভয় দোলকের T = 2 s, ∴ L_eg_e = L_mg_m

∴ g_m = g_e × L_mL_e

= 9.81 × 1681

= 1.94 m s⁻²

উত্তর: 1.94 m s⁻²

দেওয়া আছে,

A স্থানে দৈর্ঘ্য, L_A = 98 cm

B স্থানে দৈর্ঘ্য, L_B = 96 cm

ওজনের আপেক্ষিক পরিবর্তন, W_A − W_BW_A = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

উভয় স্থানে T = 2 s, ∴ g ∝ L; আবার W = mg, ∴ W ∝ L

∴ W_BW_A = L_BL_A = 9698

∴ W_A − W_BW_A = 1 − 9698

= 298

= 149

যেহেতু W_B < W_A, ওজন কমবে।

উত্তর: ওজন 149 গুণ কমবে।

দেওয়া আছে,

ঢাকায় দৈর্ঘ্য, L_D = 100 cm

রাজশাহীতে দৈর্ঘ্য, L_R = 96 cm

ওজনের আপেক্ষিক বৃদ্ধি, W_D − W_RW_R = ?

আমরা জানি,

T = 2πLg

উভয় স্থানে T = 2 s, ∴ g ∝ L; আবার W = mg, ∴ W ∝ L

∴ W_DW_R = L_DL_R = 10096

∴ W_D − W_RW_R = 10096 − 1

= 496

= 124

উত্তর: ওজন 124 গুণ বাড়বে।

দেওয়া আছে,

সঠিক দোলনকাল, T = 2 s

দিনে লাভ, 30 s

একদিন = 86400 s

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 980 cm s⁻²

বর্তমান দৈর্ঘ্য L′, সঠিক দৈর্ঘ্য L

দৈর্ঘ্যের আপেক্ষিক পরিবর্তন, L − L′L′ = ?

ঘড়ি একদিনে দেখায় 86400 + 30 = 86430 s

∴ 86400T′ × T = 86430

∴ TT′ = 8643086400

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ LL′ = TT′²

= 8643086400²

= 1.0006945

∴ L − L′L′ = 1.0006945 − 1

= 0.0006945

= 0.06945%

সঠিক দৈর্ঘ্য, L = gT²4π² = 980 × 44π²

= 99.29 cm

∴ দৈর্ঘ্য বাড়াতে হবে প্রায় L − L′ = 0.069 cm

উত্তর: দৈর্ঘ্য 0.0006945 গুণ বা 0.06945% (প্রায় 0.069 cm) বাড়াতে হবে।

দেওয়া আছে,

ভূ-পৃষ্ঠে দোলনকাল, T = 2 s

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.81 m s⁻²

A পাহাড়ের উচ্চতা, h_A = 8.85 km

B পাহাড়ে দোলনকাল, T_B = 36001780 = 2.0225 s

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6400 km (ধরে নেওয়া)

কার্যকর দৈর্ঘ্য, L = ?

B পাহাড়ের উচ্চতা, h_B = ?

(ক) কার্যকর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

আমরা জানি,

T = 2πLg

∴ L = gT²4π²

= 9.81 × (2)²4 × (3.1416)²

= 39.2439.478

= 0.994 m

(খ) B পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয়:

আমরা জানি,

g_h = gRR + h²

∴ T_BT = gg_h = R + h_BR

বা, 1 + h_BR = 2.02252

বা, h_BR = 1.01124 − 1

= 0.01124

∴ h_B = 0.01124 × 6400

= 71.9 km

যেহেতু h_B = 71.9 km > h_A = 8.85 km, সুতরাং B পাহাড়টি A পাহাড়ের তুলনায় বেশি উঁচু।

উত্তর: (ক) 0.994 m; (খ) B পাহাড়ের উচ্চতা 71.9 km, অর্থাৎ B পাহাড়টি A পাহাড়ের তুলনায় বেশি উঁচু।

লক্ষ করো: প্রশ্নে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ দেওয়া নেই; বইয়ের উত্তরের মতো R = 6400 km ধরা হয়েছে।

দেওয়া আছে,

বাম থেকে ডানে যেতে সময় 1 s, ∴ দোলনকাল, T = 2 s (সেকেন্ড দোলক)

দিনে সময় হারানো, 120 s (দৈনিক ধরে)

একদিন = 86400 s

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6450 km

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s⁻²

পাহাড়ের উচ্চতা, h = ?

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন, ΔL = ?

(ক) পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয়:

চূড়ায় ঘড়ি একদিনে দেখায় 86400 − 120 = 86280 s

∴ 86400T′ × T = 86280

∴ T′T = 8640086280

আমরা জানি,

g_h = gRR + h² এবং T = 2πLg

∴ T′T = gg_h = R + hR

বা, 1 + hR = 8640086280

বা, hR = 1.0013908 − 1

= 0.0013908

∴ h = 0.0013908 × 6450

= 8.97 km