তপন · ২য় পত্র · অধ্যায় ৮
আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সূচনা
দেওয়া আছে,
যাত্রার শুরুতে বয়স = 25 বছর
মহাশূন্যযানের বেগ, v = 1.8 × 108 m s−1
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
পৃথিবীর হিসেবে অতিক্রান্ত সময়, t = 30 বছর
মহাশূন্যচারীর নিজের কাঠামোতে অতিক্রান্ত সময়, t0 = ?
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
∴ t0 = t1 − v2c2
এখানে, vc = 1.8 × 1083 × 108 = 0.6
∴ t0 = 30 × 1 − (0.6)2
= 30 × 1 − 0.36
= 30 × 0.64
= 30 × 0.8
= 24 বছর
∴ ফিরে আসার পর মহাশূন্যচারীর বয়স = 25 + 24 = 49 বছর
উত্তর: 49 বছর
দেওয়া আছে,
নিশ্চল দৈর্ঘ্য = L0
চলমান দৈর্ঘ্য, L = L02
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
রকেটের দ্রুতি, v = ?
আমরা জানি,
L = L01 − v2c2
বা, L02 = L01 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = 12
বা, 1 − v2c2 = 14
বা, v2c2 = 34
∴ v = 32c
= 0.866 × 3 × 108
= 2.598 × 108 m s−1
উত্তর: 2.598 × 108 m s−1
দেওয়া আছে,
স্থির অবস্থায় দৈর্ঘ্য = L0
চলমান দৈর্ঘ্য, L = L03
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ট্রেনের দ্রুতি, v = ?
আমরা জানি,
L = L01 − v2c2
বা, L03 = L01 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = 19
বা, v2c2 = 89
∴ v = 83c
= 0.9428 × 3 × 108
= 2.83 × 108 m s−1
উত্তর: 2.83 × 108 m s−1
দেওয়া আছে,
বস্তুকণার বেগ, v = 0.5c
স্থির ভর ও গতিশীল ভরের অনুপাত, m0m = ?
আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
∴ m0m = 1 − v2c2
= 1 − (0.5c)2c2
= 1 − 0.25
= 0.75
= 0.866
উত্তর: 0.866
দেওয়া আছে,
নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
ইলেকট্রনের দ্রুতি, v = 90% of c = 0.9c
গতিশীল ভর, m = ?
আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
= 9.1 × 10−311 − (0.9)2
= 9.1 × 10−311 − 0.81
= 9.1 × 10−310.19
= 9.1 × 10−310.4359
= 20.88 × 10−31 kg
উত্তর: 20.88 × 10−31 kg
দেওয়া আছে,
কণার বেগ, v = c3
ধরি, কণার নিশ্চল ভর = m0
গতিশক্তি, K = ?
মোট শক্তি, E = ?
আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
= m01 − 13
= m023
= 1.2247 m0
মোট শক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = mc2
= 1.2247 m0c2
≈ 1.22 m0c2
গতিশক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
K = mc2 − m0c2
= 1.2247 m0c2 − m0c2
= 0.2247 m0c2
≈ 0.22 m0c2
উত্তর: গতিশক্তি 0.22 m0c2, মোট শক্তি 1.22 m0c2
দেওয়া আছে,
নিশ্চল শক্তি, E0 = 4.0 × 1026 J
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
নিশ্চল ভর, m0 = ?
আমরা জানি,
E0 = m0c2
∴ m0 = E0c2
= 4.0 × 1026(3 × 108)2
= 4.0 × 10269 × 1016
= 4.44 × 109 kg
উত্তর: 4.44 × 109 kg
দেওয়া আছে,
গতিশক্তি, K = 1.4 × 105 eV
= 1.4 × 105 × 1.6 × 10−19 J
= 2.24 × 10−14 J
স্থির ভর, m0 = 9.1 × 10−28 g = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
গতিশীল ভর, m = ?
আমরা জানি,
K = mc2 − m0c2
∴ m = m0 + Kc2
এখানে, Kc2 = 2.24 × 10−149 × 1016
= 2.489 × 10−31 kg
∴ m = 9.1 × 10−31 + 2.489 × 10−31
= 11.59 × 10−31 kg
উত্তর: 11.59 × 10−31 kg
দেওয়া আছে,
নিশ্চল ভর, m0 = 9.028 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
সমতুল্য শক্তি, E0 = ?
আমরা জানি,
E0 = m0c2
= 9.028 × 10−31 × (3 × 108)2
= 9.028 × 10−31 × 9 × 1016
= 8.125 × 10−14 J
আবার, 1 MeV = 1.6 × 10−13 J
∴ E0 = 8.125 × 10−141.6 × 10−13 MeV
= 0.508 MeV
≈ 0.51 MeV
উত্তর: 0.51 MeV
দেওয়া আছে,
ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
ইলেকট্রনের গতিশীল ভর, m = 1.67 × 10−27 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ইলেকট্রনের বেগ, v = ?
আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = m0m
বা, 1 − v2c2 = m0m2
∴ v = c1 − m0m2
এখানে, m0m = 9.1 × 10−311.67 × 10−27
= 5.449 × 10−4
∴ m0m2 = 2.969 × 10−7
∴ v = 3 × 108 × 1 − 2.969 × 10−7
= 3 × 108 × 0.99999985
= 2.99999955 × 108 m s−1
≈ 3 × 108 m s−1
অর্থাৎ ইলেকট্রনের বেগ প্রায় আলোর বেগের সমান হতে হবে।
উত্তর: 2.9999996 × 108 m s−1 (প্রায় c)
দেওয়া আছে,
ভর, m = 5 g = 5 × 10−3 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
সমতুল্য শক্তি, E = ?
আমরা জানি,
E = mc2
= 5 × 10−3 × (3 × 108)2
= 5 × 10−3 × 9 × 1016
= 4.5 × 1014 J
আবার, 1 eV = 1.6 × 10−19 J
∴ E = 4.5 × 10141.6 × 10−19 eV
= 2.81 × 1033 eV
= 2.81 × 1033106 MeV
= 2.81 × 1027 MeV
উত্তর: 4.5 × 1014 J, 2.81 × 1033 eV, 2.81 × 1027 MeV
দেওয়া আছে,
ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্রাপ্ত শক্তি, E = ?
আমরা জানি,
E = m0c2
= 9.1 × 10−31 × (3 × 108)2
= 9.1 × 10−31 × 9 × 1016
= 8.19 × 10−14 J
= 8.19 × 10−141.6 × 10−19 eV
= 5.12 × 105 eV
উত্তর: 5.12 × 105 eV (বা 8.19 × 10−14 J)
দেওয়া আছে,
মোট শক্তি, E = 1.5E0 = 1.5 m0c2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
কণার দ্রুতি, v = ?
আমরা জানি,
E = mc2 = m0c21 − v2c2
বা, 1.5 m0c2 = m0c21 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = 11.5
বা, 1 − v2c2 = 12.25
বা, v2c2 = 1 − 0.4444 = 0.5556
∴ v = 0.5556 c
= 0.7454 × 3 × 108
= 2.24 × 108 m s−1
উত্তর: 2.24 × 108 m s−1
(ক) প্রথম ইলেকট্রনের গতিশীল ভর নির্ণয় করো।
(খ) প্রথম ইলেকট্রনের আপেক্ষিকতার গতিশক্তি দ্বিতীয় ইলেকট্রনের চেয়ে কম—গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে প্রমাণ করো।
দেওয়া আছে,
নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
প্রথম ইলেকট্রনের বেগ, v1 = 0.866c
দ্বিতীয় ইলেকট্রনের বেগ, v2 = 0.99c
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্রথম ইলেকট্রনের গতিশীল ভর, m1 = ?
গতিশক্তি, K1 = ?, K2 = ?
(ক) প্রথম ইলেকট্রনের গতিশীল ভর নির্ণয়:
আমরা জানি,
m1 = m01 − v21c2
= 9.1 × 10−311 − (0.866)2
= 9.1 × 10−311 − 0.75
= 9.1 × 10−310.5
= 1.82 × 10−30 kg
(খ) গতিশক্তির তুলনা:
ইলেকট্রনের নিশ্চল শক্তি,
m0c2 = 9.1 × 10−31 × (3 × 108)2
= 8.19 × 10−14 J
আমরা জানি,
K = (m − m0)c2
= 11 − v2c2 − 1m0c2
প্রথম ইলেকট্রনের জন্য, 11 − (0.866)2 = 2
∴ K1 = (2 − 1) × 8.19 × 10−14
= 8.19 × 10−14 J
দ্বিতীয় ইলেকট্রনের জন্য,
11 − (0.99)2 = 10.0199
= 10.1411 = 7.089
∴ K2 = (7.089 − 1) × 8.19 × 10−14
= 6.089 × 8.19 × 10−14
= 4.99 × 10−13 J
যেহেতু 8.19 × 10−14 J < 4.99 × 10−13 J, অর্থাৎ K1 < K2
∴ প্রথম ইলেকট্রনের আপেক্ষিকতার গতিশক্তি দ্বিতীয় ইলেকট্রনের চেয়ে কম। (প্রমাণিত)
উত্তর: (ক) 1.82 × 10−30 kg; (খ) K1 = 8.19 × 10−14 J, K2 = 4.99 × 10−13 J, তাই K1 < K2
মহাশূন্যযানের ভর = 720 kg, মহাশূন্যযানের বেগ = 3.72 × 105 m s−1, আলোর গতি = 3 × 10−8 m s−1
(ক) পৃথিবীতে মহাশূন্যচারীর বয়স নির্ণয় করো।
(খ) মহাশূন্যযানের মূল ভরের পরিবর্তন কীরূপ হবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।
দেওয়া আছে,
যাত্রার শুরুতে বয়স = 50 বছর
মহাশূন্যচারীর কাঠামোতে অতিক্রান্ত সময়, t0 = 30 বছর
মহাশূন্যযানের নিশ্চল ভর, m0 = 720 kg
মহাশূন্যযানের বেগ, v = 3.72 × 105 m s−1
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
পৃথিবীর হিসেবে অতিক্রান্ত সময়, t = ?
গতিশীল ভর, m = ?
এখানে, vc = 3.72 × 1053 × 108 = 1.24 × 10−3
∴ v2c2 = 1.5376 × 10−6
v2c2 খুব ছোট বলে দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী,
11 − v2c2 ≈ 1 + 12v2c2
= 1 + 7.688 × 10−7
= 1.0000007688
(ক) পৃথিবীতে মহাশূন্যচারীর বয়স নির্ণয়:
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
= 30 × 1.0000007688
= 30.000023 বছর
≈ 30 বছর
∴ পৃথিবীর হিসেবে মহাশূন্যচারীর বয়স = 50 + 30 = 80 বছর
(খ) মূল ভরের পরিবর্তন নির্ণয়:
আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
= 720 × 1.0000007688
= 720.00055 kg
∴ ভরের পরিবর্তন, Δm = m − m0
= 720.00055 − 720
= 5.5 × 10−4 kg
≈ 0.0006 kg
অর্থাৎ গতিশীল অবস্থায় মহাশূন্যযানের ভর বাড়বে, তবে বেগ আলোর বেগের তুলনায় খুব কম হওয়ায় বৃদ্ধি অতি সামান্য (প্রায় 0.0006 kg)।
উত্তর: (ক) 80 বছর; (খ) ভর বেড়ে প্রায় 720.0006 kg হবে, অর্থাৎ পরিবর্তন প্রায় 0.0006 kg
লক্ষ করো: প্রশ্নে আলোর গতি 3 × 10−8 m s−1 ছাপার ভুল; সঠিক মান 3 × 108 m s−1 ধরে সমাধান করা হয়েছে।
(ক) চলন্ত অবস্থায় কাছিমের শক্তি নির্ণয় করো।
(খ) কাছিমটি জীবিত অবস্থায় ঐ গ্রহে পৌঁছতে সক্ষম হবে কিনা যাচাই করো।
দেওয়া আছে,
গ্রহের দূরত্ব, d = 370 আলোক বর্ষ
নভোযানের বেগ, v = 0.7c
কাছিমের নিশ্চল ভর, m0 = 30 kg
কাছিমের বয়স = 50 বছর, গড় আয়ু = 450 বছর
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
চলন্ত অবস্থায় শক্তি, E = ?
গ্রহে পৌঁছানোর সময় কাছিমের বয়স = ?
(ক) চলন্ত অবস্থায় কাছিমের শক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = mc2 = m0c21 − v2c2
এখানে, 1 − (0.7)2 = 0.51 = 0.7141
∴ E = 30 × (3 × 108)20.7141
= 30 × 9 × 10160.7141
= 2.7 × 10180.7141
= 3.78 × 1018 J
(খ) কাছিমটি জীবিত অবস্থায় পৌঁছাবে কিনা যাচাই:
1 আলোক বর্ষ হলো আলো 1 বছরে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, অর্থাৎ d = 370c × 1 বছর।
পৃথিবীর হিসেবে যাত্রার সময়,
t = dv = 370c × 1 বছর0.7c
= 528.57 বছর
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
∴ t0 = t1 − v2c2
= 528.57 × 0.7141
= 377.5 বছর
∴ গ্রহে পৌঁছানোর পর কাছিমের বয়স = 50 + 377.5 = 427.5 বছর
যেহেতু 427.5 বছর < 450 বছর (গড় আয়ু), তাই কাছিমটি জীবিত অবস্থায় ঐ গ্রহে পৌঁছতে সক্ষম হবে।
উত্তর: (ক) 3.78 × 1018 J; (খ) পৌঁছানোর সময় বয়স 427.5 বছর, যা গড় আয়ু 450 বছরের কম, তাই জীবিত অবস্থায় পৌঁছতে সক্ষম হবে।
(ক) পৃথিবী থেকে পরিমাপকৃত গতিশীল রকেটের দৈর্ঘ্য কত হবে?
(খ) অনুসন্ধান শেষে উক্ত নভোচারী পৃথিবীর হিসাবে 50 বছর পর ফিরে আসলে আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে তার বয়স পৃথিবীর ক্যালেন্ডার অনুযায়ী একই হবে কিনা—ব্যাখ্যা করো।
দেওয়া আছে,
রকেটের বেগ, v = 2.5 × 108 m s−1
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
রকেটের নিশ্চল দৈর্ঘ্য, L0 = 80 m
পৃথিবীর হিসেবে অতিক্রান্ত সময়, t = 50 বছর
যাত্রার শুরুতে বয়স = 30 বছর
গতিশীল দৈর্ঘ্য, L = ?
নভোচারীর কাঠামোতে অতিক্রান্ত সময়, t0 = ?
এখানে, v2c2 = 2.5 × 1083 × 1082 = 0.6944
∴ 1 − v2c2 = 0.3056 = 0.5528
(ক) গতিশীল রকেটের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
আমরা জানি,
L = L01 − v2c2
= 80 × 0.5528
= 44.22 m
(খ) নভোচারীর বয়স যাচাই:
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
∴ t0 = t1 − v2c2
= 50 × 0.5528
= 27.64 বছর
∴ ফেরার পর নভোচারীর নিজের বয়স = 30 + 27.64 = 57.64 বছর
পৃথিবীর ক্যালেন্ডার অনুযায়ী তার বয়স = 30 + 50 = 80 বছর
যেহেতু 57.64 বছর ≠ 80 বছর, তাই আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে (কাল দীর্ঘায়নের কারণে) তার বয়স পৃথিবীর ক্যালেন্ডার অনুযায়ী বয়সের সমান হবে না।
উত্তর: (ক) 44.22 m; (খ) নভোচারীর বয়স 57.64 বছর, কিন্তু পৃথিবীর ক্যালেন্ডারে 80 বছর, তাই একই হবে না।
(ক) পর্যবেক্ষকের দৃষ্টিতে গতিশীল অবস্থায় বস্তুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
(খ) আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে প্রাপ্ত গতিশক্তি, নিউটনীয় বলবিদ্যা হতে প্রাপ্ত গতিশক্তি হতে ভিন্ন—গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।
দেওয়া আছে,
বস্তুর নিশ্চল ভর, m0 = 10 kg
নিশ্চল দৈর্ঘ্য, L0 = 5 m
বস্তুর বেগ, v = 0.8c = 0.8 × 3 × 108 = 2.4 × 108 m s−1
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
গতিশীল দৈর্ঘ্য, L = ?
আপেক্ষিক গতিশক্তি, K = ?; নিউটনীয় গতিশক্তি, KN = ?
এখানে, 1 − v2c2 = 1 − (0.8)2 = 0.36 = 0.6
(ক) গতিশীল অবস্থায় দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
আমরা জানি,
L = L01 − v2c2
= 5 × 0.6
= 3 m
(খ) গতিশক্তির তুলনা:
আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে,
আমরা জানি,
K = (m − m0)c2
= 11 − v2c2 − 1m0c2
= 10.6 − 1 × 10 × (3 × 108)2
= 0.6667 × 9 × 1017
= 6 × 1017 J
নিউটনীয় বলবিদ্যা অনুসারে,
আমরা জানি,
KN = 12m0v2
= 12 × 10 × (2.4 × 108)2
= 5 × 5.76 × 1016
= 2.88 × 1017 J
যেহেতু 6 × 1017 J ≠ 2.88 × 1017 J, তাই আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে প্রাপ্ত গতিশক্তি নিউটনীয় গতিশক্তি হতে ভিন্ন (এবং বৃহত্তর)।
উত্তর: (ক) 3 m; (খ) আপেক্ষিক গতিশক্তি 6 × 1017 J, নিউটনীয় গতিশক্তি 2.88 × 1017 J, অর্থাৎ দুটি ভিন্ন।
দেওয়া আছে,
মহাশূন্যযানে অতিবাহিত সময়, t0 = 1 দিন
পৃথিবীতে অতিবাহিত সময়, t = 2 দিন
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
মহাশূন্যযানের দ্রুতি, v = ?
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
বা, 2 = 11 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = 14
বা, v2c2 = 34
∴ v = 32c
= 0.866 × 3 × 108
= 2.598 × 108 m s−1
উত্তর: 2.598 × 108 m s−1
দেওয়া আছে,
প্রোটনের বেগ, v = 8.3 × 107 m s−1
স্থির ভর, m0 = 1.67265 × 10−27 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
আপেক্ষিক গতিশক্তি, K = ?
সনাতন গতিশক্তি, KN = ?
আপেক্ষিক গতিশক্তি নির্ণয়:
এখানে, vc = 8.3 × 1073 × 108 = 0.27667
∴ v2c2 = 0.076544
∴ 1 − v2c2 = 0.923456 = 0.960966
নিশ্চল শক্তি,
m0c2 = 1.67265 × 10−27 × 9 × 1016
= 1.505385 × 10−10 J
আমরা জানি,
K = 11 − v2c2 − 1m0c2
= 10.960966 − 1 × 1.505385 × 10−10
= 0.040620 × 1.505385 × 10−10
= 6.115 × 10−12 J
সনাতন গতিশক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
KN = 12m0v2
= 12 × 1.67265 × 10−27 × (8.3 × 107)2
= 0.836325 × 10−27 × 6.889 × 1015
= 5.761 × 10−12 J
তুলনা:
KKN = 6.115 × 10−125.761 × 10−12
= 1.061
অর্থাৎ আপেক্ষিক গতিশক্তি সনাতন গতিশক্তির 1.061 গুণ।
উত্তর: 6.115 × 10−12 J; আপেক্ষিক গতিশক্তি সনাতন গতিশক্তির 1.061 গুণ।
দেওয়া আছে,
পিতার কাঠামোতে মোট সময়, t0 = 2 + 2 = 4 বছর
যাত্রার আগে পিতা কন্যার চেয়ে 20 বছরের বড়ো, ফেরার পর 20 বছরের ছোটো।
ধরি, পৃথিবীর হিসেবে অতিক্রান্ত সময় = t
∴ কন্যার বয়স বেড়েছে t, পিতার বয়স বেড়েছে t0
∴ t − t0 = 20 + 20 = 40 বছর
∴ t = 40 + 4 = 44 বছর
মহাকাশযানের বেগ, v = ?
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
বা, 44 = 41 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = 444 = 111
বা, 1 − v2c2 = 1121
বা, v2c2 = 120121
∴ v = 120121 c
= 0.996c
উত্তর: 0.996c
দেওয়া আছে,
নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
ইলেকট্রনের দ্রুতি, v = 0.9c
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
গতিশক্তি, K = ?
এখানে, 1 − (0.9)2 = 0.19 = 0.4359
নিশ্চল শক্তি,
m0c2 = 9.1 × 10−31 × 9 × 1016
= 8.19 × 10−14 J
আমরা জানি,
K = 11 − v2c2 − 1m0c2
= 10.4359 − 1 × 8.19 × 10−14
= (2.2942 − 1) × 8.19 × 10−14
= 1.2942 × 8.19 × 10−14
= 1.06 × 10−13 J
উত্তর: 1.06 × 10−13 J
দেওয়া আছে,
পৃথিবীর হিসেবে অতিক্রান্ত সময়, t = 1000 দিন
নভোযানের বেগ, v = 0.995c
দ্বিগুণ হওয়ার সময় = 20 দিন
প্রাথমিক জীবাণুর সংখ্যা = 2
নভোযানে অতিক্রান্ত সময়, t0 = ?
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
∴ t0 = t1 − v2c2
= 1000 × 1 − (0.995)2
= 1000 × 0.009975
= 1000 × 0.0999
= 99.9 দিন ≈ 100 দিন
∴ নভোযানে জীবাণুগুলো দ্বিগুণ হবে 10020 = 5 বার
∴ জীবাণুর সংখ্যা = 2 × 25
= 2 × 32
= 64
উত্তর: 64টি
দেওয়া আছে,
গতিশক্তি, K = 15E, যেখানে E মোট শক্তি
বস্তুর দ্রুতি, v = ?
আমরা জানি,
K = E − E0
বা, 15E = E − E0
বা, E0 = 45E
বা, m0c2 = 45mc2
বা, m0m = 45
আবার, আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
∴ 1 − v2c2 = m0m = 45
বা, 1 − v2c2 = 1625
বা, v2c2 = 925
∴ v = 35c = 0.6c
উত্তর: 0.6c (বা 1.8 × 108 m s−1)
দেওয়া আছে,
মাঠের নিশ্চল দৈর্ঘ্য, L0 = 110 m
মাঠের প্রস্থ, b0 = 50 m
আপেক্ষিক বেগ, v = 0.6c
গ্রহবাসীর পরিমাপে দৈর্ঘ্য, L = ?
গ্রহবাসীর পরিমাপে প্রস্থ, b = ?
আমরা জানি,
L = L01 − v2c2
= 110 × 1 − (0.6)2
= 110 × 0.64
= 110 × 0.8
= 88 m
দৈর্ঘ্য সংকোচন শুধু গতির দিক বরাবর ঘটে। প্রস্থ গতির লম্ব দিকে, তাই প্রস্থের কোনো পরিবর্তন হবে না।
∴ b = b0 = 50 m
উত্তর: দৈর্ঘ্য 88 m এবং প্রস্থ 50 m
দেওয়া আছে,
গ্রহের দূরত্ব (পৃথিবীর কাঠামোতে), d = 4 আলোকবর্ষ
মহাশূন্যযানের বেগ, v = 0.9c
পৃথিবীর হিসেবে যাওয়া-আসার সময়, t = ?
ভদ্রমহিলার কাঠামোতে সময়, t0 = ?
বয়সের পার্থক্য, t − t0 = ?
যাওয়া-আসায় মোট দূরত্ব = 2 × 4 = 8 আলোকবর্ষ = 8c × 1 বছর
∴ পৃথিবীর হিসেবে সময়,
t = 8c × 1 বছর0.9c
= 8.889 বছর
আমরা জানি,
t = t01 − v2c2
∴ t0 = t1 − v2c2
= 8.889 × 1 − (0.9)2
= 8.889 × 0.19
= 8.889 × 0.4359
= 3.875 বছর
∴ বয়সের পার্থক্য = t − t0
= 8.889 − 3.875
= 5.01 বছর
উত্তর: প্রায় 5.01 বছর কম হবে।
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর 11.5 বছর ভুল। 4 আলোকবর্ষ দূরত্ব পৃথিবীর কাঠামোতে মাপা, তাই 80.9 = 8.889 বছর পৃথিবীর সময়; বইয়ে একে ভদ্রমহিলার সময় ধরে পৃথিবীর সময় 20.39 বছর বের করে পার্থক্য 11.5 বছর নেওয়া হয়েছে।
দেওয়া আছে,
আসল (নিশ্চল) দৈর্ঘ্য, L0
গতিশীল অবস্থায় দৈর্ঘ্য, L = L02
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
বেগ, v = ?
আমরা জানি,
L = L01 − v2c2
বা, L02 = L01 − v2c2
বা, 14 = 1 − v2c2
বা, v2c2 = 34
∴ v = 32c
= 0.866 × 3 × 108
= 2.6 × 108 m s−1
উত্তর: 2.6 × 108 m s−1
দেওয়া আছে,
নিশ্চল ভর, m0 = 99 kg
গতিশীল ভর, m = 100 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
বেগ, v = ?
আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
বা, 1 − v2c2 = m0m
বা, 1 − v2c2 = m0m2
∴ v = c1 − m0m2
= 3 × 1081 − 991002
= 3 × 1081 − 0.9801
= 3 × 108 × 0.0199
= 3 × 108 × 0.1411
= 4.23 × 107 m s−1
উত্তর: 4.23 × 107 m s−1
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 2000 kV = 2 × 106 V
∴ অর্জিত গতিশক্তি, K = eV = 2 MeV
নিশ্চল শক্তি, m0c2 = 0.511 MeV
নিশ্চল ভর, m0 = 9.11 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
চলন্ত অবস্থায় ভর, m = ?
বেগ, v = ?
(i) ভর নির্ণয়:
আমরা জানি, মোট শক্তি = নিশ্চল শক্তি + গতিশক্তি
mc2 = m0c2 + K
বা, mc2 = 0.511 + 2 = 2.511 MeV
∴ mm0 = mc2m0c2 = 2.5110.511
= 4.914
∴ m = 4.914 × 9.11 × 10−31
= 4.48 × 10−30 kg
(ii) বেগ নির্ণয়:
আমরা জানি,
m = m01 − v2c2
∴ v = c1 − m0m2
= 3 × 1081 − 0.5112.5112
= 3 × 1081 − 0.0414
= 3 × 108 × 0.9791
= 2.94 × 108 m s−1
উত্তর: ভর 4.48 × 10−30 kg; বেগ 2.94 × 108 m s−1
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে বেগের একক ভুল করে kg m s−1 ছাপা হয়েছে; বেগের একক m s−1।
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 6630 × 10−10 m
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
কম্পাঙ্ক, f = ?
শক্তি, E = ?
(i) কম্পাঙ্ক নির্ণয়:
আমরা জানি,
c = fλ
∴ f = cλ
= 3 × 1086630 × 10−10
= 4.52 × 1014 Hz
(ii) শক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = hf
= 6.63 × 10−34 × 4.525 × 1014
= 3 × 10−19 J
= 3 × 10−191.6 × 10−19 eV
= 1.875 eV
উত্তর: কম্পাঙ্ক 4.52 × 1014 Hz; শক্তি 1.875 eV
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 3000 Å = 3 × 10−7 m
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ফোটনের শক্তি, E = ?
আমরা জানি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1083 × 10−7
= 6.63 × 10−19 J
= 6.63 × 10−191.6 × 10−19 eV
= 4.14 eV
উত্তর: 4.14 eV
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 1 Å = 10−10 m
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
শক্তি, E = ?
আমরা জানি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 10810−10
= 1.99 × 10−15 J
≈ 2 × 10−15 J
উত্তর: 1.99 × 10−15 J (≈ 2 × 10−15 J)
দেওয়া আছে,
বাল্বের ক্ষমতা, P = 60 W
আলোক শক্তিতে রূপান্তরিত ক্ষমতা, P′ = 60 × 2100 = 1.2 W
অর্থাৎ প্রতি সেকেন্ডে আলোক শক্তি = 1.2 J
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 5550 × 10−10 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্রতি সেকেন্ডে নির্গত ফোটন সংখ্যা, n = ?
আমরা জানি, একটি ফোটনের শক্তি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1085550 × 10−10
= 3.584 × 10−19 J
আবার, P′ = nE (প্রতি সেকেন্ডে)
∴ n = P′E
= 1.23.584 × 10−19
= 3.35 × 1018 টি
উত্তর: 3.35 × 1018 টি
দেওয়া আছে,
বাতির ক্ষমতা, P = 40 W
আলোক শক্তিতে রূপান্তরিত ক্ষমতা, P′ = 40 × 3100 = 1.2 W
আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 55 nm = 5.5 × 10−8 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
প্রতি সেকেন্ডে নির্গত ফোটন সংখ্যা, n = ?
আমরা জানি, একটি ফোটনের শক্তি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1085.5 × 10−8
= 3.616 × 10−18 J
আবার, P′ = nE (প্রতি সেকেন্ডে)
∴ n = P′E
= 1.23.616 × 10−18
= 3.32 × 1017 টি
উত্তর: 3.32 × 1017 টি
লক্ষ করো: 55 nm আসলে সবুজ আলো নয় (অতিবেগুনি); সবুজ আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রায় 550 nm, সেটা ধরলে উত্তর হতো 3.32 × 1018 টি। বইয়ের উত্তর ছাপা মান 55 nm ধরে।
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 6630 Å = 6.63 × 10−7 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
শক্তি, E = ?
আমরা জানি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1086.63 × 10−7
= 3 × 10−19 J
উত্তর: 3 × 10−19 J
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 100 kV = 105 V
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ন্যূনতম তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λmin = ?
গতিশক্তি, K = ?
(i) গতিশক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
K = eV
= 1.6 × 10−19 × 105
= 1.6 × 10−14 J
(ii) ন্যূনতম তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ইলেকট্রনের সম্পূর্ণ গতিশক্তি একটি ফোটনে রূপান্তরিত হলে তরঙ্গদৈর্ঘ্য ন্যূনতম হয়।
আমরা জানি,
eV = hcλmin
∴ λmin = hceV
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1081.6 × 10−14
= 1.243 × 10−11 m
= 0.124 Å
উত্তর: ন্যূনতম তরঙ্গদৈর্ঘ্য 0.124 Å; গতিশক্তি 1.6 × 10−14 J
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 1.1 Å = 1.1 × 10−10 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
সর্বনিম্ন ভোল্টেজ, V = ?
আমরা জানি,
eV = hcλ
∴ V = hceλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1081.6 × 10−19 × 1.1 × 10−10
= 1.989 × 10−251.76 × 10−29
= 11301 V
= 11.3 kV
উত্তর: 11.3 kV
দেওয়া আছে,
বিভব পার্থক্য, V = 80 kV = 8 × 104 V
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
সর্বোচ্চ বেগ, v = ?
সর্বনিম্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λmin = ?
(i) সর্বোচ্চ বেগ নির্ণয়:
আমরা জানি,
12mv2 = eV
∴ v = 2eVm
= 2 × 1.6 × 10−19 × 8 × 1049.1 × 10−31
= 2.813 × 1016
= 1.68 × 108 m s−1
(ii) সর্বনিম্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ইলেকট্রনের শক্তি, eV = 1.6 × 10−19 × 8 × 104
= 1.28 × 10−14 J
এক্স-রেতে রূপান্তরিত শক্তি, E = 1.28 × 10−14 × 2100
= 2.56 × 10−16 J
আমরা জানি,
E = hcλmin
∴ λmin = hcE
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1082.56 × 10−16
= 7.77 × 10−10 m
= 0.777 nm
উত্তর: সর্বোচ্চ বেগ 1.68 × 108 m s−1; সর্বনিম্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য 0.777 nm
দেওয়া আছে,
কার্যাপেক্ষক, W0 = 1.85 eV = 1.85 × 1.6 × 10−19 J
= 2.96 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
সূচন কম্পাঙ্ক, f0 = ?
আমরা জানি,
W0 = hf0
∴ f0 = W0h
= 2.96 × 10−196.63 × 10−34
= 4.46 × 1014 Hz
উত্তর: 4.46 × 1014 Hz (≈ 4.5 × 1014 Hz)
দেওয়া আছে,
কার্যাপেক্ষক, W0 = 6.2 eV = 6.2 × 1.6 × 10−19 J
= 9.92 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
সূচন কম্পাঙ্ক, f0 = ?
আমরা জানি,
W0 = hf0
∴ f0 = W0h
= 9.92 × 10−196.63 × 10−34
= 1.5 × 1015 Hz
উত্তর: 1.5 × 1015 Hz
দেওয়া আছে,
কার্যাপেক্ষক, W0 = 2.0 eV = 2 × 1.6 × 10−19 J
= 3.2 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = ?
আমরা জানি,
W0 = hcλ0
∴ λ0 = hcW0
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1083.2 × 10−19
= 6.216 × 10−7 m
= 6216 Å
উত্তর: 6216 Å
দেওয়া আছে,
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = 6800 Å = 6.8 × 10−7 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
কার্যাপেক্ষক, W0 = ?
আমরা জানি,
W0 = hcλ0
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1086.8 × 10−7
= 2.925 × 10−19 J
= 2.925 × 10−191.6 × 10−19 eV
= 1.83 eV
উত্তর: 1.83 eV
দেওয়া আছে,
কার্যাপেক্ষক, W0 = 2.20 eV
আপতিত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 6800 Å = 6.8 × 10−7 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
আপতিত ফোটনের শক্তি, E = ?
আমরা জানি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1086.8 × 10−7
= 2.925 × 10−19 J
= 2.925 × 10−191.6 × 10−19 eV
= 1.83 eV
এখানে, E = 1.83 eV < W0 = 2.20 eV
অর্থাৎ ফোটনের শক্তি কার্যাপেক্ষকের চেয়ে কম, তাই কোনো ইলেকট্রন মুক্ত হবে না।
উত্তর: ইলেকট্রন মুক্ত হবে না।
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 2500 Å = 2.5 × 10−7 m
কার্যাপেক্ষক, W0 = 2.3 eV = 2.3 × 1.6 × 10−19 J
= 3.68 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
সর্বোচ্চ বেগ, vmax = ?
(ক) সর্বোচ্চ বেগ নির্ণয়:
আপতিত ফোটনের শক্তি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1082.5 × 10−7
= 7.956 × 10−19 J
আমরা জানি, আইনস্টাইনের ফটোতড়িৎ সমীকরণ,
12mv2max = E − W0
বা, 12mv2max = 7.956 × 10−19 − 3.68 × 10−19
= 4.276 × 10−19 J
∴ vmax = 2 × 4.276 × 10−199.1 × 10−31
= 9.398 × 1011
= 9.694 × 105 m s−1
(খ) লেখচিত্র ও ব্যাখ্যা:
আমরা জানি,
Kmax = hf − W0 = hf − hf0
অর্থাৎ Kmax বনাম f লেখচিত্র একটি সরলরেখা, যার ঢাল h এবং যা কম্পাঙ্ক অক্ষকে f = f0 বিন্দুতে ছেদ করে (ওপরের চিত্র)।
সূচন কম্পাঙ্ক,
f0 = W0h
= 3.68 × 10−196.63 × 10−34
= 5.55 × 1014 Hz
আপতিত ফোটনের কম্পাঙ্ক,
f = cλ
= 3 × 1082.5 × 10−7
= 1.2 × 1015 Hz
লেখটি কম্পাঙ্ক অক্ষকে ছেদ করার কারণ: f = f0 হলে ফোটনের শক্তি hf0 ঠিক কার্যাপেক্ষকের সমান, তাই ইলেকট্রন কেবল মুক্ত হয় কিন্তু কোনো গতিশক্তি পায় না (Kmax = 0)। f < f0 হলে কোনো ইলেকট্রনই নিঃসৃত হয় না, তাই লেখটি মূলবিন্দু দিয়ে না গিয়ে কম্পাঙ্ক অক্ষকে f0 = 5.55 × 1014 Hz বিন্দুতে ছেদ করে। এখানে আপতিত কম্পাঙ্ক f = 1.2 × 1015 Hz > f0, তাই ফটোইলেকট্রন নিঃসৃত হয়।
উত্তর: (ক) 9.694 × 105 m s−1; (খ) সূচন কম্পাঙ্ক f0 = 5.55 × 1014 Hz এবং আপতিত ফোটনের কম্পাঙ্ক f = 1.2 × 1015 Hz
দেওয়া আছে,
কার্যাপেক্ষক, W0 = 6.63 eV = 6.63 × 1.6 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
সূচন কম্পাঙ্ক, f0 = ?
আমরা জানি,
W0 = hf0
∴ f0 = W0h
= 6.63 × 1.6 × 10−196.63 × 10−34
= 1.6 × 1015 Hz
= 16 × 1014 Hz
উত্তর: 16 × 1014 Hz
দেওয়া আছে,
প্রথম ক্ষেত্রে তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ, নিবৃত্ত বিভব V1 = 4.8 V, অর্থাৎ eV1 = 4.8 eV
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে তরঙ্গদৈর্ঘ্য 2λ, নিবৃত্ত বিভব V2 = 1.6 V, অর্থাৎ eV2 = 1.6 eV
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = ?
আমরা জানি,
hcλ = W0 + eV
প্রথম ক্ষেত্রে, hcλ = W0 + 4.8 eV ...(i)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, hc2λ = W0 + 1.6 eV ...(ii)
(i) − (ii) করে,
hcλ − hc2λ = 3.2 eV
বা, hc2λ = 3.2 eV
∴ hcλ = 6.4 eV
(i) থেকে, W0 = 6.4 − 4.8 = 1.6 eV
আবার, আমরা জানি,
W0 = hcλ0
∴ λ0 = hcW0
∴ λ0λ = hc/λW0
= 6.41.6
= 4
∴ λ0 = 4λ
উত্তর: সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রথমে আপতিত তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ৪ গুণ হবে।
লক্ষ করো: নিবৃত্ত বিভবের একক V হবে; প্রশ্নে eV ছাপা হয়েছে (সমাধানে eV1 = 4.8 eV ধরা হয়েছে)।
দেওয়া আছে,
নিবৃত্ত বিভব, V0 = 0.96 V
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
সর্বাধিক বেগ, vmax = ?
আমরা জানি,
12mv2max = eV0
∴ vmax = 2eV0m
= 2 × 1.6 × 10−19 × 0.969.1 × 10−31
= 3.376 × 1011
= 5.81 × 105 m s−1
উত্তর: 5.81 × 105 m s−1
দেওয়া আছে,
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = 6000 Å = 6 × 10−7 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
কার্যাপেক্ষক, W0 = ?
আমরা জানি,
W0 = hcλ0
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1086 × 10−7
= 3.315 × 10−19 J
= 3.315 × 10−191.6 × 10−19 eV
= 2.07 eV
উত্তর: 2.07 eV
দেওয়া আছে,
কার্যাপেক্ষক, W0 = 1.8 eV
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 400 nm = 4 × 10−7 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
নিবৃত্ত বিভব, V0 = ?
সর্বোচ্চ বেগ, vmax = ?
(ক) নিবৃত্ত বিভব নির্ণয়:
আপতিত ফোটনের শক্তি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1084 × 10−7
= 4.9725 × 10−19 J
= 4.9725 × 10−191.6 × 10−19 eV
= 3.108 eV
আমরা জানি,
eV0 = E − W0
বা, eV0 = 3.108 − 1.8 = 1.308 eV
∴ V0 = 1.308 V
(খ) সর্বোচ্চ বেগ নির্ণয়:
আমরা জানি,
12mv2max = eV0
∴ vmax = 2eV0m
= 2 × 1.6 × 10−19 × 1.3089.1 × 10−31
= 4.599 × 1011
= 6.78 × 105 m s−1
উত্তর: (ক) 1.308 V; (খ) 6.78 × 105 m s−1
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 3000 Å = 3 × 10−7 m
কার্যাপেক্ষক, W0 = 2.28 eV = 2.28 × 1.6 × 10−19 J
= 3.648 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.62 × 10−34 J s
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
নির্গত ইলেকট্রনের (সর্বোচ্চ) বেগ, v = ?
আপতিত ফোটনের শক্তি,
E = hcλ
= 6.62 × 10−34 × 3 × 1083 × 10−7
= 6.62 × 10−19 J
আমরা জানি,
12mv2 = E − W0
বা, 12mv2 = 6.62 × 10−19 − 3.648 × 10−19
= 2.972 × 10−19 J
∴ v = 2 × 2.972 × 10−199.1 × 10−31
= 6.532 × 1011
= 8.08 × 105 m s−1
উত্তর: 8.08 × 105 m s−1
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 1000 Å = 10−7 m
নিবৃত্তি বিভব, V0 = 12 V
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ইলেকট্রনের আধান, e = 1.6 × 10−19 C
কম্পাঙ্ক, f = ?; শক্তি, E = ?; কার্যাপেক্ষক, W0 = ?
(ক) কম্পাঙ্ক নির্ণয়:
আমরা জানি,
f = cλ
= 3 × 10810−7
= 3 × 1015 Hz
(খ) শক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = hf
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1015
= 1.989 × 10−18 J
(গ) কার্যাপেক্ষক নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = W0 + eV0
∴ W0 = E − eV0
= 1.989 × 10−18 − 1.6 × 10−19 × 12
= 1.989 × 10−18 − 1.92 × 10−18
= 6.9 × 10−20 J
উত্তর: (ক) 3 × 1015 Hz; (খ) 1.99 × 10−18 J; (গ) 6.9 × 10−20 J (≈ 7 × 10−20 J)
চিত্রে A ও B দুটি ধাতব পাত। পাত দুটির কার্য অপেক্ষক WA ও WB যথাক্রমে 2.1 eV এবং 2.0 eV। আলোক উৎস থেকে যথাক্রমে 6800 Å এবং 5500 Å তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলোকরশ্মি আপতিত হয়। (ক) B ধাতব পাতের সূচন কম্পাঙ্ক কত? (খ) উদ্দীপকে A ও B উভয় পাতে ফটোতড়িৎ ক্রিয়া সংঘটিত হবে কি না—গাণিতিকভাবে মতামত দাও।
দেওয়া আছে,
A পাতের কার্যাপেক্ষক, WA = 2.1 eV
B পাতের কার্যাপেক্ষক, WB = 2.0 eV = 2 × 1.6 × 10−19 J
= 3.2 × 10−19 J
A পাতে আপতিত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λA = 6800 Å = 6.8 × 10−7 m
B পাতে আপতিত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λB = 5500 Å = 5.5 × 10−7 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
(ক) B পাতের সূচন কম্পাঙ্ক নির্ণয়:
সূচন কম্পাঙ্ক, f0B = ?
আমরা জানি,
WB = hf0B
∴ f0B = WBh
= 3.2 × 10−196.63 × 10−34
= 4.83 × 1014 Hz
(খ) ফটোতড়িৎ ক্রিয়া যাচাই:
আমরা জানি, ফোটনের শক্তি,
E = hcλ
A পাতে আপতিত ফোটনের শক্তি,
EA = 6.63 × 10−34 × 3 × 1086.8 × 10−7
= 2.925 × 10−19 J
= 2.925 × 10−191.6 × 10−19 eV = 1.83 eV
B পাতে আপতিত ফোটনের শক্তি,
EB = 6.63 × 10−34 × 3 × 1085.5 × 10−7
= 3.616 × 10−19 J
= 3.616 × 10−191.6 × 10−19 eV = 2.26 eV
এখানে, EA = 1.83 eV < WA = 2.1 eV, তাই A পাতে ফটোতড়িৎ ক্রিয়া সংঘটিত হবে না।
আবার, EB = 2.26 eV > WB = 2.0 eV, তাই B পাতে ফটোতড়িৎ ক্রিয়া সংঘটিত হবে।
উত্তর: (ক) 4.83 × 1014 Hz; (খ) A পাতে ফোটনের শক্তি 1.83 eV < 2.1 eV বলে ফটোতড়িৎ ক্রিয়া হবে না, B পাতে ফোটনের শক্তি 2.26 eV > 2.0 eV বলে ফটোতড়িৎ ক্রিয়া হবে।
দেওয়া আছে,
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ0 = 230 nm = 2.3 × 10−7 m
সর্বোচ্চ গতিশক্তি, Kmax = 1.5 eV = 1.5 × 1.6 × 10−19 J
= 2.4 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
আপতিত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = ?
আমরা জানি,
W0 = hcλ0
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1082.3 × 10−7
= 8.648 × 10−19 J
আবার, আমরা জানি,
hcλ = W0 + Kmax
বা, hcλ = 8.648 × 10−19 + 2.4 × 10−19
= 11.048 × 10−19 J
∴ λ = 6.63 × 10−34 × 3 × 10811.048 × 10−19
= 1.8 × 10−7 m
= 180 nm
উত্তর: 180 nm
দেওয়া আছে,
তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 10−10 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
ফোটনের শক্তি, Ep = ?; ইলেকট্রনের গতিশক্তি, Ke = ?
(i) ফোটনের শক্তি:
আমরা জানি,
Ep = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 10810−10
= 1.989 × 10−15 J
(ii) ইলেকট্রনের গতিশক্তি:
আমরা জানি,
λ = hp এবং Ke = p22m
∴ p = hλ = 6.63 × 10−3410−10
= 6.63 × 10−24 kg m s−1
∴ Ke = (6.63 × 10−24)22 × 9.1 × 10−31
= 4.396 × 10−471.82 × 10−30
= 2.415 × 10−17 J
∴ EpKe = 1.989 × 10−152.415 × 10−17
= 82.36
অর্থাৎ ফোটনের গতিশক্তি বেশি।
উত্তর: ফোটনের গতিশক্তি বেশি, ইলেকট্রনের গতিশক্তির 82.36 গুণ।
দেওয়া আছে,
গতিশক্তি, K = 10 eV = 10 × 1.6 × 10−19 J
= 1.6 × 10−18 J
ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10−31 kg
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = ?
আমরা জানি,
λ = hp = h2mK
= 6.63 × 10−342 × 9.1 × 10−31 × 1.6 × 10−18
= 6.63 × 10−342.912 × 10−48
= 6.63 × 10−341.7065 × 10−24
= 3.885 × 10−10 m
= 3.88 Å
উত্তর: 3.88 Å
দেওয়া আছে,
আপতিত তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 0.40 nm = 4 × 10−10 m
বিক্ষেপণ কোণ, θ = 150°
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
বিক্ষিপ্ত ফোটনের বেগ = ?; তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ′ = ?
ফোটন সর্বদা আলোর বেগে চলে, তাই বিক্ষিপ্ত ফোটনের বেগ = c = 3 × 108 m s−1
আমরা জানি, কম্পটন সরণ,
Δλ = hm0c(1 − cos θ)
এখানে, hm0c = 6.63 × 10−349.1 × 10−31 × 3 × 108
= 2.4286 × 10−12 m
এবং 1 − cos 150° = 1 + 0.866 = 1.866
∴ Δλ = 2.4286 × 10−12 × 1.866
= 4.532 × 10−12 m
আবার, λ′ = λ + Δλ
= 4 × 10−10 + 0.0453 × 10−10
= 4.045 × 10−10 m
= 4.05 Å
উত্তর: বেগ 3 × 108 m s−1; তরঙ্গদৈর্ঘ্য 4.05 Å
দেওয়া আছে,
প্রাথমিক কম্পাঙ্ক, f = 3 × 1019 s−1
বিক্ষেপণ কোণ, θ = 90°
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
নতুন কম্পাঙ্ক, f′ = ?
প্রাথমিক তরঙ্গদৈর্ঘ্য,
λ = cf = 3 × 1083 × 1019
= 10−11 m
আমরা জানি,
Δλ = hm0c(1 − cos θ)
= 6.63 × 10−349.1 × 10−31 × 3 × 108(1 − cos 90°)
= 2.4286 × 10−12 × (1 − 0)
= 2.4286 × 10−12 m
∴ λ′ = λ + Δλ
= 10−11 + 0.24286 × 10−11
= 1.24286 × 10−11 m
আবার, আমরা জানি,
f′ = cλ′
= 3 × 1081.24286 × 10−11
= 2.41 × 1019 s−1
উত্তর: 2.41 × 1019 s−1
দেওয়া আছে,
আপতিত তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = 4400 Å = 4.4 × 10−7 m
বিক্ষেপণ কোণ, θ = 60°
কার্যাপেক্ষক, W0 = 2.5 eV = 4 × 10−19 J
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর, m0 = 9.1 × 10−31 kg
(ক) আপতিত ফোটনের শক্তি নির্ণয়:
আমরা জানি,
E = hcλ
= 6.63 × 10−34 × 3 × 1084.4 × 10−7
= 4.5205 × 10−19 J
= 4.5205 × 10−191.6 × 10−19 eV
= 2.825 eV
(খ) গতিশক্তির তুলনা:
আমরা জানি, কম্পটন সরণ,
Δλ = hm0c(1 − cos θ)
= 2.4286 × 10−12 × (1 − cos 60°)
= 2.4286 × 10−12 × 0.5
= 1.214 × 10−12 m
∴ বিক্ষিপ্ত ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য,
λ′ = λ + Δλ
= 4.4 × 10−7 + 1.214 × 10−12
= 4.4000121 × 10−7 m
বিক্ষিপ্ত ফোটনের শক্তি,
E′ = hcλ′
= 1.989 × 10−254.4000121 × 10−7
= 4.5204 × 10−19 J (≈ 2.825 eV)
ফটোইলেকট্রনের সর্বোচ্চ গতিশক্তি:
আমরা জানি,
Kph = E′ − W0
= 4.5204 × 10−19 − 4 × 10−19
= 5.2 × 10−20 J
= 0.325 eV
বিক্ষিপ্ত (প্রতিক্ষিপ্ত) ইলেকট্রনের গতিশক্তি:
আমরা জানি, শক্তির সংরক্ষণ অনুযায়ী,
Ke = E − E′ = E × Δλλ′
= 4.5205 × 10−19 × 1.214 × 10−124.4000121 × 10−7
= 1.25 × 10−24 J
= 7.8 × 10−6 eV
এখানে, Kph = 5.2 × 10−20 J > Ke = 1.25 × 10−24 J
অর্থাৎ ফটোইলেকট্রনের গতিশক্তি বেশি।
উত্তর: (ক) 2.825 eV; (খ) ফটোইলেকট্রনের গতিশক্তি 5.2 × 10−20 J (0.325 eV) এবং বিক্ষিপ্ত ইলেকট্রনের গতিশক্তি 1.25 × 10−24 J; সুতরাং ফটোইলেকট্রনের গতিশক্তি বেশি।
লক্ষ করো: প্রশ্নে h = 6.63 × 10−14 ছাপার ভুল, হবে 6.63 × 10−34 J s। বইয়ের উত্তরে বিক্ষিপ্ত ইলেকট্রনের গতিশক্তি 4.5 × 10−19 J (২.৮২৫ eV) ধরা হয়েছে, যা আসলে আপতিত ফোটনের পুরো শক্তি; কম্পটন বিক্ষেপণে ইলেকট্রন পায় কেবল E − E′, তাই বইয়ের সিদ্ধান্ত (বিক্ষিপ্ত ইলেকট্রনের গতিশক্তি বেশি) সঠিক নয়।
দেওয়া আছে,
ভরবেগের অনিশ্চয়তা, Δp = 1.25 × 10−24 kg m s−1
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
অবস্থানের অনিশ্চয়তা, Δx = ?
আমরা জানি, হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি অনুযায়ী,
Δx Δp = h4π (ন্যূনতম)
∴ Δx = h4πΔp
= 6.63 × 10−344 × 3.1416 × 1.25 × 10−24
= 6.63 × 10−341.5708 × 10−23
= 4.22 × 10−11 m
= 0.42 Å
উত্তর: 0.42 Å
দেওয়া আছে,
অবস্থানের অনিশ্চয়তা, Δx = 0.35 Å = 3.5 × 10−11 m
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10−34 J s
ভরবেগের অনিশ্চয়তা, Δp = ?
আমরা জানি, হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি অনুযায়ী,
Δx Δp = h4π (ন্যূনতম)
∴ Δp = h4πΔx
= 6.63 × 10−344 × 3.1416 × 3.5 × 10−11
= 6.63 × 10−344.398 × 10−10
= 1.51 × 10−24 kg m s−1
উত্তর: 1.51 × 10−24 kg m s−1