পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান

দেওয়া আছে,

আদি শক্তিস্তরের শক্তি, E_i = −1.5 eV

শেষ শক্তিস্তরের শক্তি, E_f = −3.4 eV

প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s

ফোটনের কম্পাঙ্ক, f = ?

আমরা জানি,

hf = E_i − E_f

বা, hf = −1.5 − (−3.4) = 1.9 eV

= 1.9 × 1.6 × 10⁻¹⁹ J

= 3.04 × 10⁻¹⁹ J

∴ f = E_i − E_fh

= 3.04 × 10⁻¹⁹6.63 × 10⁻³⁴

= 4.59 × 10¹⁴ Hz

উত্তর: 4.59 × 10¹⁴ Hz

দেওয়া আছে,

কক্ষপথের ক্রম, n = 1

পারমাণবিক সংখ্যা, Z = 1

শূন্যস্থানের ভেদনযোগ্যতা, ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻²

প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, h = 6.63 × 10⁻³⁴ J s

ইলেকট্রনের ভর, m = 9.1 × 10⁻³¹ kg

ইলেকট্রনের চার্জ, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

প্রথম বোর কক্ষের ব্যাসার্ধ, r₁ = ?

আমরা জানি,

r_n = ε₀n²h²πmZe²

∴ r₁ = ε₀h²πme²

লব, ε₀h²

= 8.85 × 10⁻¹² × (6.63 × 10⁻³⁴)²

= 3.89 × 10⁻⁷⁸

হর, πme²

= 3.1416 × 9.1 × 10⁻³¹ × 2.56 × 10⁻³⁸

= 7.319 × 10⁻⁶⁸

∴ r₁ = 3.89 × 10⁻⁷⁸7.319 × 10⁻⁶⁸

= 5.3 × 10⁻¹¹ m

= 0.53 Å

উত্তর: 0.53 Å

দেওয়া আছে,

কক্ষপথের ক্রম, n = 2

প্রথম বোর কক্ষের ব্যাসার্ধ, r₁ = 0.53 Å (৯ক২ থেকে)

প্রথম কক্ষে ইলেকট্রনের শক্তি, E₁ = −13.6 eV

দ্বিতীয় বোর কক্ষের ব্যাসার্ধ, r₂ = ?

দ্বিতীয় কক্ষে ইলেকট্রনের শক্তি, E₂ = ?

(i) ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

আমরা জানি,

r_n = n²r₁

∴ r₂ = 2² × 0.53 Å

= 4 × 0.53 Å

= 2.12 Å

(ii) শক্তি নির্ণয়:

আমরা জানি,

E_n = E₁n² = −13.6n² eV

∴ E₂ = −13.62² eV

= −13.64 eV

= −3.4 eV

উত্তর: 2.12 Å; −3.4 eV

দেওয়া আছে,

নিম্ন শক্তিস্তর, n₁ = 1

উচ্চ শক্তিস্তর, n₂ = 2

রিডবার্গ ধ্রুবক, R = 109677 cm⁻¹

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, λ = ?

আমরা জানি,

1λ = R1n21 − 1n22

বা, 1λ = 10967711² − 12²

বা, 1λ = 109677 × 34

∴ λ = 43 × 109677 cm

= 1.21569 × 10⁻⁵ cm

= 1.21569 × 10⁻⁷ m

= 1215.69 Å

উত্তর: 1215.69 Å

দেওয়া আছে,

আদি কক্ষপথ, n₁ = 4

পর্যায়কালের অনুপাত, T₁T₂ = 8

নতুন কক্ষপথ, n₂ = ?

আমরা জানি, বোর কক্ষপথে ইলেকট্রনের পর্যায়কাল,

T_n = 2πr_nv_n; যেখানে r_n ∝ n² এবং v_n ∝ 1n

∴ T_n ∝ n³

∴ T₁T₂ = n₁n₂³

বা, 8 = 4n₂³

বা, 4n₂ = [3]8 = 2

∴ n₂ = 42 = 2

উত্তর: n₂ = 2

দেওয়া আছে,

ভর সংখ্যা, A = 235

ধ্রুবক, r₀ = 1.4 fm

নিউক্লিয়াসের ব্যাসার্ধ, R = ?

আমরা জানি,

R = r₀A^1/3

বা, R = 1.4 × (235)^1/3 fm

বা, R = 1.4 × 6.171 fm

∴ R = 8.64 fm

উত্তর: 8.64 fm

দেওয়া আছে,

Ge-এর ভর সংখ্যা, A₁ = 70

Bi-এর ভর সংখ্যা, A₂ = 209

ব্যাসার্ধের অনুপাত, R₁R₂ = ?

আমরা জানি,

R = r₀A^1/3

∴ R₁R₂ = A₁A₂^1/3

বা, R₁R₂ = 70209^1/3

বা, R₁R₂ = (0.3349)^1/3

∴ R₁R₂ = 0.69

অর্থাৎ Ge নিউক্লিয়াসের ব্যাসার্ধ Bi নিউক্লিয়াসের ব্যাসার্ধের 0.69 গুণ।

উত্তর: R_Ge:R_Bi = 0.69

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 5 h = 5 × 3600 s = 18000 s

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

∴ λ = 0.693T_1/2

= 0.69318000

= 3.85 × 10⁻⁵ s⁻¹

উত্তর: 3.85 × 10⁻⁵ s⁻¹

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 3 min = 3 × 60 s = 180 s

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

∴ λ = 0.693T_1/2

= 0.693180

= 3.85 × 10⁻³ s⁻¹

উত্তর: 3.85 × 10⁻³ s⁻¹

দেওয়া আছে,

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = 0.00385 s⁻¹

অর্ধজীবন, T_1/2 = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

= 0.6930.00385

= 180 s

উত্তর: 180 s

দেওয়া আছে,

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = 3.75 × 10⁻³ s⁻¹

অর্ধজীবন, T_1/2 = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

= 0.6933.75 × 10⁻³

= 184.8 s

উত্তর: 184.8 s

দেওয়া আছে,

গড় আয়ু, τ = 2294 y

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ?

অর্ধজীবন, T_1/2 = ?

(i) ক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয়:

আমরা জানি,

τ = 1λ

∴ λ = 1τ

= 12294

= 4.36 × 10⁻⁴ y⁻¹

(ii) অর্ধজীবন নির্ণয়:

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ = 0.693τ

∴ T_1/2 = 0.693 × 2294 y

= 1589.74 y

উত্তর: 4.36 × 10⁻⁴ y⁻¹; 1589.74 y

দেওয়া আছে,

সময়, t = 4000 y

অবশিষ্ট অংশ, NN₀ = 15

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ?

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

বা, N₀N = e^λt

বা, λt = ln N₀N

∴ λ = 1tln N₀N

= ln 54000

= 1.60944000

= 4.02 × 10⁻⁴ y⁻¹

উত্তর: 4.02 × 10⁻⁴ y⁻¹

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 4 d

গড় জীবন, τ = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693τ

∴ τ = T_1/20.693

= 40.693 d

= 5.77 d

উত্তর: 5.77 d

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 45 × 10⁸ y

গড় জীবন, τ = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693τ

∴ τ = T_1/20.693

= 45 × 10⁸0.693 y

= 6.49 × 10⁹ y

উত্তর: 6.49 × 10⁹ বছর

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 5 y

আদি ভর, m₀ = 20 × 10⁻³ kg

সময়, t = 10 y

অবশিষ্ট ভর, m = ?

আমরা জানি,

m = m₀12^t/T_1/2

বা, m = 20 × 10⁻³ × 12^10/5

বা, m = 20 × 10⁻³ × 14

∴ m = 5 × 10⁻³ kg

উত্তর: 5 × 10⁻³ kg

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 15 h

প্রারম্ভিক ভর, m₀ = 4 g

সময়, t = 60 h

অবশিষ্ট ভর, m = ?

আমরা জানি,

m = m₀12^t/T_1/2

বা, m = 4 × 12^60/15

বা, m = 4 × 12⁴

বা, m = 4 × 116

∴ m = 0.25 g

উত্তর: 0.25 g

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 10 d

75% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 25%, ∴ NN₀ = 25100 = 14

সময়, t = ?

আমরা জানি,

N = N₀12^t/T_1/2

বা, 14 = 12^t/10

বা, 12² = 12^t/10

বা, t10 = 2

∴ t = 20 d

উত্তর: 20 d

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 15 d

65% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 35%, ∴ NN₀ = 0.35

সময়, t = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2 = 0.69315 d⁻¹

= 0.0462 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t = 1λln N₀N

= 10.0462ln 10.35

= 1.04980.0462 d

= 22.72 d

উত্তর: 22.72 d

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 5 y

সময়, t = 15 y

ক্ষয়প্রাপ্ত অংশ, N₀ − NN₀ = ?

আমরা জানি,

N = N₀12^t/T_1/2

বা, NN₀ = 12^15/5

বা, NN₀ = 12³ = 18

∴ ক্ষয়প্রাপ্ত অংশ, N₀ − NN₀ = 1 − NN₀

= 1 − 18 = 78

= 78 × 100% = 87.5%

উত্তর: 87.5%

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 2.7 d

75% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 25%, ∴ NN₀ = 14

সময়, t = ?

আমরা জানি,

N = N₀12^t/T_1/2

বা, 14 = 12^t/2.7

বা, 12² = 12^t/2.7

বা, t2.7 = 2

∴ t = 5.4 d

উত্তর: 5.4 d

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 3.80 d

অপরিবর্তিত অংশ, NN₀ = 120

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ?

সময়, t = ?

(i) ক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয়:

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

∴ λ = 0.6933.80 d⁻¹

= 0.1824 d⁻¹

(ii) সময় নির্ণয়:

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t = 1λln N₀N

= ln 200.1824

= 2.99570.1824 d

= 16.43 d

উত্তর: 0.1824 d⁻¹; 16.43 d

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 3.82 d

40% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 60%, ∴ NN₀ = 0.6

সময়, t = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2 = 0.6933.82 d⁻¹

= 0.1814 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t = 1λln N₀N

= 10.1814ln 10.6

= 0.51080.1814 d

= 2.82 d

উত্তর: 2.82 d

দেওয়া আছে,

অর্ধজীবন, T_1/2 = 3.82 d

75% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 25%, ∴ NN₀ = 14

সময়, t = ?

আমরা জানি,

N = N₀12^t/T_1/2

বা, 14 = 12^t/3.82

বা, 12² = 12^t/3.82

বা, t3.82 = 2

∴ t = 7.64 d

উত্তর: 7.64 d

দেওয়া আছে,

আদি পরমাণু সংখ্যা, N₀ = 10⁸

অর্ধজীবন, T_1/2 = 4 d

সময়, t = 1 d

ভেঙে যাওয়া পরমাণু সংখ্যা, N₀ − N = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2 = 0.6934 d⁻¹

= 0.17325 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

বা, N = 10⁸ × e^{−0.17325 × 1}

বা, N = 10⁸ × 0.8409

∴ N = 8.409 × 10⁷

∴ ভেঙে যাওয়া পরমাণু, N₀ − N = 10⁸ − 8.409 × 10⁷

= 1.591 × 10⁷

= 15.91 × 10⁶ টি

উত্তর: 15.91 × 10⁶ টি

(ক) নুবার মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয়:

লেখচিত্র থেকে পাই,

আদি পরমাণু সংখ্যা (t = 0), N₀ = 100 × 10⁶

t = 3 min পরে অক্ষত পরমাণু, N = 65 × 10⁶

ক্ষয় ধ্রুবক, λ_N = ?

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ λ = 1tln N₀N

∴ λ_N = 13ln 100 × 10⁶65 × 10⁶

= 13ln 1.5385

= 0.43083

= 0.144 min⁻¹

[যাচাই: t = 5 min-এর বিন্দু নিলে λ_N = 15ln 10048.77 = 0.144 min⁻¹, একই মান।]

(খ) কার মৌল আগে ভেঙে যাবে:

সারার মৌলের লেখচিত্র থেকে পাই,

t₁ = 1 min-এ অক্ষত পরমাণু, N₁ = 84.09 × 10⁶

t₂ = 6 min-এ অক্ষত পরমাণু, N₂ = 14.8 × 10⁶

সারার মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক, λ_S = ?

আমরা জানি,

N₂ = N₁e^{−λ(t₂ − t₁)}

∴ λ_S = 1t₂ − t₁ln N₁N₂

= 16 − 1ln 84.09 × 10⁶14.8 × 10⁶

= 15ln 5.6818

= 1.73735

= 0.347 min⁻¹

(ক) থেকে, নুবার মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক, λ_N = 0.144 min⁻¹

আমরা জানি, গড় আয়ু τ = 1λ

∴ τ_S = 10.347 = 2.88 min

এবং τ_N = 10.144 = 6.94 min

যেহেতু λ_S > λ_N, তাই τ_S < τ_N; অর্থাৎ সারার মৌলের ক্ষয়ের হার বেশি এবং গড় আয়ু কম। সুতরাং সারার মৌল আগে ভেঙে যাবে।

উত্তর: (ক) 0.144 min⁻¹; (খ) λ_S = 0.347 min⁻¹ > λ_N = 0.144 min⁻¹, ∴ সারার মৌল আগে ভেঙে যাবে।

লক্ষ করো: সারার লেখচিত্রের t = 4 min-এর মান (50 × 10⁶) বাকি দুই বিন্দুর সাথে একই সূচকীয় ক্ষয়ে মেলে না; বইয়ের উত্তরের মতো t = 1 ও t = 6 min-এর বিন্দু নেওয়া হয়েছে। যেকোনো জোড়া বিন্দু নিলেও λ_S > λ_N, তাই সিদ্ধান্ত একই।

(ক) অবক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয়:

ছক থেকে, t = 8 d-এ N = N₀2, অর্থাৎ অর্ধায়ু, T_1/2 = 8 d

অবক্ষয় ধ্রুবক, λ = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

∴ λ = 0.693T_1/2

= 0.6938 d⁻¹

= 0.0866 d⁻¹

(খ) t′ ও গড় আয়ুর তুলনা:

t = t′ সময়ে NN₀ = 13

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t′ = 1λln N₀N

= ln 30.0866

= 1.09860.0866 d

= 12.68 d

আবার, আমরা জানি,

গড় আয়ু, τ = 1λ

= 10.0866 d

= 11.54 d

যেহেতু t′ = 12.68 d এবং τ = 11.54 d, তাই t′ > τ।

অর্থাৎ t′ এর মান তেজস্ক্রিয় বস্তুটির গড় আয়ু অপেক্ষা বেশি হবে। (সাধারণভাবে, t = τ সময়ে NN₀ = e⁻¹ = 0.368; আর 13 = 0.333 < 0.368, তাই N₀3-এ পৌঁছাতে τ-এর চেয়ে বেশি সময় লাগে।)

উত্তর: (ক) 0.0866 d⁻¹; (খ) t′ = 12.68 d, τ = 11.54 d, ∴ t′ > τ।

দেওয়া আছে,

অবক্ষয় ধ্রুবক, λ = 5.54 × 10⁻² y⁻¹

(ক) 70% ক্ষয় হওয়ার সময় নির্ণয়:

70% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 30%, ∴ NN₀ = 0.3

সময়, t = ?

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t = 1λln N₀N

= 15.54 × 10⁻²ln 10.3

= 1.2045.54 × 10⁻² y

= 21.73 y

(খ) অর্ধায়ু ও গড় আয়ুর তুলনা:

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

= 0.6935.54 × 10⁻² y

= 12.51 y

আবার, আমরা জানি,

τ = 1λ

= 15.54 × 10⁻² y

= 18.05 y

যেহেতু T_1/2 = 12.51 y এবং τ = 18.05 y, তাই τ > T_1/2।

অর্থাৎ মৌলটির অর্ধায়ু অপেক্ষা গড় আয়ু বেশি—উক্তিটি সত্য।

উত্তর: (ক) 21.73 y; (খ) T_1/2 = 12.51 y, τ = 18.05 y, ∴ গড় আয়ু অর্ধায়ু অপেক্ষা বেশি (উক্তিটি সত্য)।

দেওয়া আছে,

প্রথম পদার্থের অর্ধায়ু, T₁ = 3 h

দ্বিতীয় পদার্থের অর্ধায়ু, T₂ = 7 h

(ক) প্রথম পদার্থের ক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয়:

ক্ষয় ধ্রুবক, λ₁ = ?

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

∴ λ₁ = 0.693T₁

= 0.6933 h⁻¹

= 0.231 h⁻¹

(খ) পরমাণু সংখ্যার অনুপাত:

দ্বিতীয় পদার্থের ক্ষয় ধ্রুবক,

λ₂ = 0.693T₂ = 0.6937 h⁻¹

= 0.099 h⁻¹

আমরা জানি, সক্রিয়তা,

A = dNdt = λN

সক্রিয়তা সমান হলে, A₁ = A₂

বা, λ₁N₁ = λ₂N₂

∴ N₁N₂ = λ₂λ₁

= 0.0990.231

= 37

[অর্থাৎ N₁N₂ = λ₂λ₁ = T₁T₂ = 37]

সুতরাং সক্রিয়তার হার সমান হলে উক্ত সময়ে পদার্থদ্বয়ের উপস্থিত পরমাণুর সংখ্যার অনুপাত শুধু অর্ধায়ু (বা ক্ষয় ধ্রুবক) থেকেই নির্ণয় করা সম্ভব, এবং তা N₁:N₂ = 3:7।

উত্তর: (ক) 0.231 h⁻¹; (খ) সম্ভব, N₁:N₂ = 3:7।

দেওয়া আছে,

অবক্ষয় ধ্রুবক, λ = 5.54 × 10⁻² y⁻¹

(ক) 64% ক্ষয় হওয়ার সময় নির্ণয়:

64% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 36%, ∴ NN₀ = 0.36

সময়, t = ?

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t = 1λln N₀N

= 15.54 × 10⁻²ln 10.36

= 1.02175.54 × 10⁻² y

= 18.44 y

(খ) অর্ধায়ু ও গড় আয়ুর তুলনা:

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

= 0.6935.54 × 10⁻² y

= 12.51 y

আবার, আমরা জানি,

τ = 1λ

= 15.54 × 10⁻² y

= 18.05 y

যেহেতু τ = 18.05 y > T_1/2 = 12.51 y, তাই মৌলটির অর্ধায়ু অপেক্ষা গড় আয়ু বেশি—উক্তিটি সত্য।

উত্তর: (ক) 18.44 y; (খ) T_1/2 = 12.51 y, τ = 18.05 y, ∴ গড় আয়ু অর্ধায়ু অপেক্ষা বেশি (উক্তিটি সত্য)।

দেওয়া আছে,

আদি সক্রিয়তা, A₀ = 4750 কাউন্ট/min

t = 5 min পর সক্রিয়তা, A = 2700 কাউন্ট/min

ক্ষয় ধ্রুবক, λ = ?

অর্ধায়ু, T_1/2 = ?

(i) ক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয়:

আমরা জানি,

A = A₀e^−λt

∴ λ = 1tln A₀A

= 15ln 47502700

= 15ln 1.7593

= 0.56495

= 0.11298 min⁻¹

(ii) অর্ধায়ু নির্ণয়:

আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

= 0.6930.11298 min

= 6.134 min

উত্তর: 6.134 min; 0.11298 min⁻¹

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 4 d

60% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে 40%, ∴ NN₀ = 0.4

সময়, t = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2 = 0.6934 d⁻¹

= 0.17325 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t = 1λln N₀N

= 10.17325ln 10.4

= 0.91630.17325 d

= 5.29 d

উত্তর: 5.29 d

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 3.8 d

সময়, t = 8 d

অবশিষ্ট অংশ, NN₀ × 100% = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2 = 0.6933.8 d⁻¹

= 0.18237 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

বা, NN₀ = e^{−0.18237 × 8}

বা, NN₀ = e^−1.459

বা, NN₀ = 0.2325

∴ NN₀ × 100% = 23.25%

উত্তর: 23.25%

দেওয়া আছে,

ট্যাবলেটের ভর, m = 10 μg = 10 × 10⁻⁶ g

পারমাণবিক ভর, M = 228 g mol⁻¹

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1600 y

সময়, t = 24 h = 1 d = 1365 y

বিপজ্জনক বিয়োজন সংখ্যা = 2.23 × 10¹³

বিয়োজিত পরমাণু সংখ্যা, ΔN = ?

আমরা জানি,

আদি পরমাণু সংখ্যা, N₀ = mM × N_A

= 10 × 10⁻⁶228 × 6.02 × 10²³

= 2.64 × 10¹⁶

আবার, আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2 = 0.6931600 y⁻¹

= 4.331 × 10⁻⁴ y⁻¹

∴ λt = 4.331 × 10⁻⁴ × 1365

= 1.187 × 10⁻⁶

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ ΔN = N₀ − N = N₀1 − e^−λt

= 2.64 × 10¹⁶ × 1 − e^{−1.187 × 10−6}

= 2.64 × 10¹⁶ × 1.187 × 10⁻⁶

= 3.13 × 10¹⁰ টি

যেহেতু 3.13 × 10¹⁰ < 2.23 × 10¹³, তাই রোগী নিরাপদ থাকবে।

উত্তর: 3.13 × 10¹⁰টি পরমাণু বিয়োজিত হবে, যা 2.23 × 10¹³-এর চেয়ে কম; সুতরাং রোগী নিরাপদ থাকবে।

লক্ষ করো: বইয়ের উত্তর 3.1 × 10⁹টি; প্রদত্ত অর্ধায়ু 1600 বছর ধরলে সঠিক মান 3.13 × 10¹⁰টি (বইয়ের মান অর্ধায়ু 16000 বছর ধরলে আসে)। দুই ক্ষেত্রেই রোগী নিরাপদ।

দেওয়া আছে,

ভর, m = 1 g = 10⁻³ kg

পারমাণবিক ভর, M = 226 kg/kmol

অ্যাভোগাড্রো নম্বর, N_A = 6.02 × 10²⁶ kmol⁻¹

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1620 y

= 1620 × 365 × 24 × 3600 s

= 5.1088 × 10¹⁰ s

প্রতি সেকেন্ডে বিয়োজিত পরমাণু, dNdt = ?

আমরা জানি,

পরমাণু সংখ্যা, N = mM × N_A

= 10⁻³226 × 6.02 × 10²⁶

= 2.6637 × 10²¹

আবার, আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2

= 0.6935.1088 × 10¹⁰

= 1.3565 × 10⁻¹¹ s⁻¹

আমরা জানি,

dNdt = λN

= 1.3565 × 10⁻¹¹ × 2.6637 × 10²¹

= 3.61 × 10¹⁰ s⁻¹

উত্তর: প্রতি সেকেন্ডে 3.61 × 10¹⁰টি

দেওয়া আছে,

আদি পরমাণু সংখ্যা, N₀ = 10⁹

ভেঙে যাওয়া পরমাণু সংখ্যা = 3 × 10⁸

∴ অবশিষ্ট পরমাণু, N = 10⁹ − 3 × 10⁸ = 7 × 10⁸

অর্ধায়ু, T_1/2 = 2.70 d

সময়, t = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2 = 0.6932.70 d⁻¹

= 0.2567 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

∴ t = 1λln N₀N

= 10.2567ln 10⁹7 × 10⁸

= 10.2567ln 1.4286

= 0.35670.2567 d

= 1.39 d

উত্তর: 1.39 d

দেওয়া আছে,

ভর, m = 1 g

পারমাণবিক ভর, M = 238 g mol⁻¹

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1.42 × 10¹⁷ s

প্রতি সেকেন্ডে ভাঙা পরমাণু, dNdt = ?

আমরা জানি,

পরমাণু সংখ্যা, N = mM × N_A

= 1238 × 6.02 × 10²³

= 2.5294 × 10²¹

আবার, আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2

= 0.6931.42 × 10¹⁷

= 4.8803 × 10⁻¹⁸ s⁻¹

আমরা জানি,

dNdt = λN

= 4.8803 × 10⁻¹⁸ × 2.5294 × 10²¹

= 12344 s⁻¹

উত্তর: প্রতি সেকেন্ডে প্রায় 12344টি পরমাণু

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1000 y

আদি তেজস্ক্রিয়তা = A₀ হলে, শেষ তেজস্ক্রিয়তা, A = A₀10

সময়, t = ?

গড় আয়ু, τ = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2

= 0.6931000 y

= 6.93 × 10⁻⁴ y⁻¹

আবার, আমরা জানি,

A = A₀e^−λt

বা, A₀10 = A₀e^−λt

বা, e^λt = 10

বা, λt = ln 10 = 2.3026

∴ t = 2.3026λ

= 2.30266.93 × 10⁻⁴

= 3322.66 y

গড় আয়ুর জন্য আমরা জানি,

τ = 1λ

= 16.93 × 10⁻⁴

= 1443 y

উত্তর: 3322.66 বছর পর; গড় আয়ু 1443 বছর

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1600 y

ক্ষয়প্রাপ্ত অংশ = 1516

∴ অবশিষ্ট অংশ, NN₀ = 1 − 1516 = 116

সময়, t = ?

আমরা জানি,

NN₀ = 12ⁿ, যেখানে n = tT_1/2

বা, 116 = 12ⁿ

বা, 12⁴ = 12ⁿ

∴ n = 4

∴ t = n T_1/2

= 4 × 1600 y

= 6400 y

উত্তর: 6400 বছর

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 26.8 min = 26.8 × 60 s = 1608 s

সক্রিয়তা, A = 1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq

পারমাণবিক ভর, M = 214 g mol⁻¹

অ্যাভোগাড্রোর সংখ্যা, N_A = 6.023 × 10²³ mol⁻¹

ভর, m = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2

= 0.6931608

= 4.31 × 10⁻⁴ s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

A = λN

∴ N = Aλ

= 3.7 × 10¹⁰4.31 × 10⁻⁴

= 8.585 × 10¹³ টি পরমাণু

আবার, আমরা জানি,

N = mMN_A

∴ m = NMN_A

= 8.585 × 10¹³ × 2146.023 × 10²³

= 3.05 × 10⁻⁸ g

উত্তর: 3.05 × 10⁻⁸ g

দেওয়া আছে,

আদি ভর, m₀ = 1.0 g

অবশিষ্ট ভর, m = 1.0 − 0.9 = 0.1 g

সময়, t = 55 d

অর্ধায়ু, T_1/2 = ?

গড় আয়ু, τ = ?

আমরা জানি,

m = m₀e^−λt

বা, 0.1 = 1.0 × e^{−λ × 55}

বা, e^55λ = 10

বা, 55λ = ln 10 = 2.3026

∴ λ = 2.302655

= 0.041865 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

T_1/2 = 0.693λ

= 0.6930.041865

= 16.55 d

এবং, τ = 1λ

= 10.041865

= 23.886 d

উত্তর: অর্ধায়ু 16.55 দিন; গড় আয়ু 23.886 দিন

দেওয়া আছে,

অর্ধায়ু, T_1/2 = 3.8 d

সময়, t = 8 d

ক্ষয়প্রাপ্ত অংশ (শতকরা) = ?

আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2

= 0.6933.8

= 0.18237 d⁻¹

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

বা, NN₀ = e^{−0.18237 × 8}

= e^−1.459

= 0.2325

∴ ক্ষয়প্রাপ্ত অংশ = N₀ − NN₀ × 100%

= (1 − 0.2325) × 100%

= 76.75%

উত্তর: 76.75% (প্রায় 76.8%)

(ক) এক-পঞ্চমাংশ হওয়ার সময় নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

অবক্ষয় ধ্রুবক, λ = 4.02 × 10⁻⁴ s⁻¹

অক্ষত পরমাণু, N = N₀5

সময়, t = ?

আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

বা, N₀5 = N₀e^−λt

বা, e^λt = 5

বা, λt = ln 5 = 1.6094

∴ t = 1.6094λ

= 1.60944.02 × 10⁻⁴

= 4003.5 s

≈ 4.0 × 10³ s

(খ) গড় আয়ুর সমান সময় পর অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা যাচাই:

চিত্র থেকে, B বিন্দুতে অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা = 0.37N₀

আমরা জানি, গড় আয়ু,

τ = 1λ

= 14.02 × 10⁻⁴

= 2487.6 s

গড় আয়ুর সমান সময় পর, t = τ = 1λ

আবার, আমরা জানি,

N = N₀e^−λt

বা, N = N₀e^{−λ × 1λ}

= N₀e⁻¹

= N₀2.718

= 0.368N₀

≈ 0.37N₀

অর্থাৎ গড় আয়ুর সমান সময় (2487.6 s) পর অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা 0.37N₀, যা B বিন্দুর মানের সমান। সুতরাং গড় আয়ুর সমান সময়ের পর অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা B বিন্দুতে হবে।

উত্তর: (ক) 4.0 × 10³ s; (খ) গড় আয়ুর সমান সময় পর অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা 0.37N₀, অর্থাৎ B বিন্দুতে হবে।

দেওয়া আছে,

ভর, m = 5 mg = 5 × 10⁻³ g

পারমাণবিক ভর, M = 226 g mol⁻¹

অর্ধায়ু, T_1/2 = 1600 y

= 1600 × 365 × 24 × 3600 s

= 5.046 × 10¹⁰ s

অ্যাভোগাড্রোর সংখ্যা, N_A = 6.023 × 10²³ mol⁻¹

সক্রিয়তা, A = ?

আমরা জানি,

N = mMN_A

= 5 × 10⁻³226 × 6.023 × 10²³

= 1.3325 × 10¹⁹ টি পরমাণু

আবার, আমরা জানি,

λ = 0.693T_1/2

= 0.6935.046 × 10¹⁰

= 1.3734 × 10⁻¹¹ s⁻¹

আবার, আমরা জানি,

A = λN

= 1.3734 × 10⁻¹¹ × 1.3325 × 10¹⁹

= 1.83 × 10⁸ Bq

উত্তর: 1.83 × 10⁸ Bq

দেওয়া আছে,

প্রোটন সংখ্যা, Z = 92

ভরসংখ্যা, A = 238

নিউট্রন সংখ্যা, N = A − Z = 238 − 92 = 146

হাইড্রোজেনের পারমাণবিক ভর, m_H = 1.007825 u

নিউট্রনের ভর, m_n = 1.008665 u

ইউরেনিয়ামের পারমাণবিক ভর, M = 238.05078 u

বন্ধনশক্তি, E_B = ?

নিউক্লিয়ন প্রতি বন্ধনশক্তি, E_BA = ?

আমরা জানি, ভরত্রুটি,

Δm = Zm_H + Nm_n − M

এখানে, Zm_H = 92 × 1.007825 = 92.7199 u

Nm_n = 146 × 1.008665 = 147.26509 u

∴ Δm = 92.7199 + 147.26509 − 238.05078

= 239.98499 − 238.05078

= 1.93421 u

আমরা জানি,

1 u≡931.5 MeV

∴ E_B = 1.93421 × 931.5 MeV

= 1801.72 MeV

∴ E_BA = 1801.72238

= 7.570 MeV/nucleon

জুল এককে, আমরা জানি,

1 MeV = 1.6 × 10⁻¹³ J

∴ E_B = 1801.72 × 1.6 × 10⁻¹³ J

= 2.88 × 10⁻¹⁰ J

∴ E_BA = 2.88 × 10⁻¹⁰238

= 1.21 × 10⁻¹² J/nucleon

উত্তর: বন্ধনশক্তি 1801.72 MeV বা 2.88 × 10⁻¹⁰ J; নিউক্লিয়ন প্রতি বন্ধনশক্তি 7.570 MeV বা 1.21 × 10⁻¹² J

লক্ষ করো: বইয়ে নিউক্লিয়ন প্রতি বন্ধনশক্তি 3.13 × 10⁻¹² J ছাপা আছে, যা ভুল; 2.88 × 10⁻¹⁰238 = 1.21 × 10⁻¹² J (= 7.57 MeV)।

দেওয়া আছে,

প্রোটন সংখ্যা, Z = 28

ভরসংখ্যা, A = 62

নিউট্রন সংখ্যা, N = A − Z = 62 − 28 = 34

হাইড্রোজেনের পারমাণবিক ভর, m_H = 1.007825 u

নিউট্রনের ভর, m_n = 1.008665 u

নিকেলের পারমাণবিক ভর, M = 61.928348 u

ভরত্রুটি, Δm = ?

বন্ধনশক্তি, E_B = ?

নিউক্লিয়ন প্রতি বন্ধনশক্তি, E_BA = ?

আমরা জানি,

Δm = Zm_H + Nm_n − M

এখানে, Zm_H = 28 × 1.007825 = 28.2191 u

Nm_n = 34 × 1.008665 = 34.29461 u

∴ Δm = 28.2191 + 34.29461 − 61.928348

= 62.51371 − 61.928348

= 0.585362 u

আমরা জানি,

1 u≡931.5 MeV

∴ E_B = 0.585362 × 931.5 MeV

= 545.26 MeV

∴ E_BA = 545.2662

= 8.79 MeV/nucleon

উত্তর: ভরত্রুটি 0.585362 u; বন্ধনশক্তি 545.26 MeV; নিউক্লিয়ন প্রতি বন্ধনশক্তি 8.79 MeV

(ক) 23592U এর ভরত্রুটি নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

প্রোটন সংখ্যা, Z = 92

নিউট্রন সংখ্যা, N = 235 − 92 = 143

প্রোটনের ভর, m_p = 1.007277 amu

নিউট্রনের ভর, m_n = 1.008665 amu

U নিউক্লিয়াসের ভর, M_U = 236.0526 amu

ভরত্রুটি, Δm_U = ?

আমরা জানি,

Δm = Zm_p + Nm_n − M

এখানে, Zm_p = 92 × 1.007277 = 92.669484 amu

Nm_n = 143 × 1.008665 = 144.239095 amu

∴ Δm_U = 92.669484 + 144.239095 − 236.0526

= 236.908579 − 236.0526

= 0.855979 amu

kg এককে, Δm_U = 0.855979 × 1.66 × 10⁻²⁷ kg

= 1.42 × 10⁻²⁷ kg

(খ) কোন নিউক্লিয়াস লেখচিত্রে ওপরে থাকবে তা নির্ণয়:

Ba নিউক্লিয়াসের ক্ষেত্রে (পারমাণবিক সংখ্যা 56),

প্রোটন সংখ্যা, Z = 56

নিউট্রন সংখ্যা, N = 141 − 56 = 85

Ba নিউক্লিয়াসের ভর, M_Ba = 140.9139 amu

আমরা জানি,

Δm = Zm_p + Nm_n − M

এখানে, Zm_p = 56 × 1.007277 = 56.407512 amu

Nm_n = 85 × 1.008665 = 85.736525 amu

∴ Δm_Ba = 56.407512 + 85.736525 − 140.9139

= 142.144037 − 140.9139

= 1.230137 amu

আবার, আমরা জানি,

1 amu≡931.5 MeV এবং E_BA = Δm × 931.5A

U এর ক্ষেত্রে,

E_BA_U = 0.855979 × 931.5235

= 797.34235

= 3.39 MeV

Ba এর ক্ষেত্রে,

E_BA_Ba = 1.230137 × 931.5141

= 1145.87141

= 8.13 MeV

যেহেতু E_BA_Ba > E_BA_U, তাই নিউক্লিয়ন প্রতি বন্ধনশক্তি বনাম ভরসংখ্যা লেখচিত্রে 14156Ba নিউক্লিয়াস 23592U-এর চেয়ে ওপরে অবস্থান করবে।

উত্তর: (ক) 0.855979 amu বা 1.42 × 10⁻²⁷ kg; (খ) Ba-এর E_BA = 8.13 MeV, U-এর E_BA = 3.39 MeV; তাই লেখচিত্রে 14156Ba ওপরে থাকবে।

লক্ষ করো: প্রশ্নে Ba-এর পারমাণবিক সংখ্যা 36 ছাপা হয়েছে, সঠিক হলো 56। বইয়ের উত্তর 8.31 MeV এসেছে Z = 36 ধরে; Z = 56 নিলে 8.13 MeV। সিদ্ধান্ত একই থাকে।

(ক) নির্গত নিউট্রনের সংখ্যা নির্ণয়:

ধরি, নির্গত নিউট্রনের সংখ্যা = x

নিউক্লিয় বিক্রিয়ায় ভরসংখ্যা সংরক্ষিত থাকে।

∴ 235 + 1 = 141 + 92 + x × 1

বা, 236 = 233 + x

∴ x = 3

পারমাণবিক সংখ্যা যাচাই: 92 + 0 = 56 + 36 + 3 × 0 = 92 (মিলে যায়)

(খ) নির্গত শক্তি নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

U এর ভর, m_U = 236.0526 amu

Ba এর ভর, m_Ba = 140.9139 amu

Kr এর ভর, m_Kr = 91.8973 amu

নিউট্রনের ভর, m_n = 1.0087 amu

নির্গত শক্তি, E = ?

বিক্রিয়ার আগে মোট ভর,

m_U + m_n = 236.0526 + 1.0087

= 237.0613 amu

বিক্রিয়ার পরে মোট ভর,

m_Ba + m_Kr + 3m_n

= 140.9139 + 91.8973 + 3 × 1.0087

= 235.8373 amu

∴ ভরত্রুটি, Δm = 237.0613 − 235.8373

= 1.224 amu

আমরা জানি,

1 amu≡931.5 MeV

∴ E = Δm × 931.5 MeV

= 1.224 × 931.5 MeV

= 1140.156 MeV

উত্তর: (ক) 3টি নিউট্রন; (খ) 1140.156 MeV

দেওয়া আছে,

U এর ভর, m_U = 238.05078836 u

নিউট্রনের ভর, m_n = 1.0087 u

Sr এর ভর, m_Sr = 95.921750 u

Xe এর ভর, m_Xe = 139.92164 u

প্রতি ফিশনে উৎপন্ন শক্তি, E = ?

বিক্রিয়ার আগে মোট ভর,

m_U + m_n = 238.05078836 + 1.0087

= 239.05948836 u

বিক্রিয়ার পরে মোট ভর,

m_Sr + m_Xe + 3m_n

= 95.921750 + 139.92164 + 3 × 1.0087

= 238.86949 u

∴ ভরত্রুটি, Δm = 239.05948836 − 238.86949

= 0.18999836 u

আমরা জানি,

E = Δmc², এবং 1 u × c² = 931.5 MeV

∴ E = 0.18999836 × 931.5 MeV

= 176.98 MeV

উত্তর: 176.98 MeV (প্রায় 177 MeV)

(ক) ফিশন বিক্রিয়ার ভরত্রুটি নির্ণয়:

দেওয়া আছে,

U এর ভর, m_U = 235.04 amu

Ba এর ভর, m_Ba = 140.91 amu

Kr এর ভর, m_Kr = 91.91 amu

নিউট্রনের ভর, m_n = 1.008 amu

ভরত্রুটি, Δm = ?

আমরা জানি,

Δm = (m_U + m_n) − (m_Ba + m_Kr + 3m_n)

এখানে, m_U + m_n = 235.04 + 1.008 = 236.048 amu

m_Ba + m_Kr + 3m_n

= 140.91 + 91.91 + 3 × 1.008

= 235.844 amu

∴ Δm = 236.048 − 235.844

= 0.204 amu

(খ) নির্গত শক্তি দিয়ে 5626Fe ভাঙা যাবে কিনা যাচাই:

ফিশনে নির্গত শক্তি,

E = Δm × 931.5 MeV

= 0.204 × 931.5 MeV

= 190.026 MeV

Fe নিউক্লিয়াসের ক্ষেত্রে,

প্রোটন সংখ্যা, Z = 26

নিউট্রন সংখ্যা, N = 56 − 26 = 30

প্রোটনের ভর, m_p = 1.0072 amu

Fe এর ভর, M_Fe = 55.9349 amu

আমরা জানি,

Δm_Fe = Zm_p + Nm_n − M_Fe

এখানে, Zm_p = 26 × 1.0072 = 26.1872 amu

Nm_n = 30 × 1.008 = 30.24 amu

∴ Δm_Fe = 26.1872 + 30.24 − 55.9349

= 56.4272 − 55.9349

= 0.4923 amu

∴ Fe এর বন্ধনশক্তি, E_B = 0.4923 × 931.5 MeV

= 458.58 MeV

নিউক্লিয়াসকে ভাঙতে হলে কমপক্ষে বন্ধনশক্তির সমান শক্তি লাগে। এখানে E_B = 458.58 MeV > E = 190.026 MeV।

সুতরাং ফিশন বিক্রিয়ায় নির্গত শক্তি 5626Fe-কে ভাঙতে পারবে না।

উত্তর: (ক) 0.204 amu; (খ) নির্গত শক্তি 190.026 MeV, Fe-এর বন্ধনশক্তি 458.58 MeV; তাই Fe-কে ভাঙতে পারবে না।

লক্ষ করো: বইয়ে Fe-এর বন্ধনশক্তি 1.047 × 10⁵ MeV ছাপা আছে, যা ভুল (ভরত্রুটি বের করতে বিয়োগের বদলে যোগ করা হয়েছে); সঠিক মান 458.58 MeV। সিদ্ধান্ত একই থাকে।

দেওয়া আছে,

প্রতি ফিশনে শক্তি, E₁ = 200 MeV

= 200 × 1.6 × 10⁻¹³ J

= 3.2 × 10⁻¹¹ J

ইউরেনিয়ামের ভর, m = 2 g

পারমাণবিক ভর, M = 235 g mol⁻¹

অ্যাভোগাড্রোর সংখ্যা, N_A = 6.023 × 10²³ mol⁻¹

মোট শক্তি, E = ?

আমরা জানি,

N = mMN_A

= 2235 × 6.023 × 10²³

= 5.126 × 10²¹ টি পরমাণু

প্রতিটি পরমাণু একবার ফিশন হলে মোট শক্তি,

E = NE₁

= 5.126 × 10²¹ × 3.2 × 10⁻¹¹ J

= 1.6403 × 10¹¹ J

আমরা জানি,

1 kW h = 3.6 × 10⁶ J

∴ E = 1.6403 × 10¹¹3.6 × 10⁶ kW h

= 45564 kW h

উত্তর: 45564 kW h (প্রায় 4.56 × 10⁴ kW h)