তপন · ২য় পত্র · অধ্যায় ১১
জ্যোতির্বিজ্ঞান
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, d = 7.8 × 107 ly
আমরা জানি, 1 Mpc = 3.26 × 106 ly
∴ d = 7.8 × 1073.26 × 106 Mpc
= 23.93 Mpc
হাবল ধ্রুবক, H0 = 67 km s−1 Mpc−1
পশ্চাদপসরণ বেগ, v = ?
আমরা জানি,
v = H0d
বা, v = 67 × 23.93
= 1603 km s−1
উত্তর: 1603 km s−1 (প্রায়)
দেওয়া আছে,
পশ্চাদপসরণ বেগ, v = 2.7 × 108 m s−1
= 2.7 × 105 km s−1
হাবল ধ্রুবক, H0 = 2.3 × 10−18 s−1 (ধরে নিয়ে)
দূরত্ব, d = ?
আমরা জানি,
v = H0d
∴ d = vH0
বা, d = 2.7 × 105 km s−12.3 × 10−18 s−1
= 1.174 × 1023 km
উত্তর: 1.174 × 1023 km
লক্ষ করো: প্রশ্নে হাবল ধ্রুবক দেওয়া নেই; বইয়ের উত্তর H0 = 2.3 × 10−18 s−1 (প্রায় 71 km s−1 Mpc−1) ধরে পাওয়া যায়।
দেওয়া আছে,
পশ্চাদপসরণ দ্রুতি, v = 770 km s−1
হাবল ধ্রুবক, H0 = 55 km s−1 Mpc−1
দূরত্ব, d = ?
আমরা জানি,
v = H0d
∴ d = vH0
বা, d = 77055
= 14 Mpc
উত্তর: 14 Mpc
দেওয়া আছে,
দূরত্ব, d = 2.44 × 109 ly
= 2.44 × 109 × 9.46 × 1015 m
= 2.308 × 1025 m
হাবল ধ্রুবক, H0 = 2.3 × 10−18 s−1 (ধরে নিয়ে)
পশ্চাদপসরণ দ্রুতি, v = ?
আমরা জানি,
v = H0d
বা, v = 2.3 × 10−18 × 2.308 × 1025
= 5.31 × 107 m s−1
= 5.31 × 104 km s−1
উত্তর: 5.31 × 104 km s−1
লক্ষ করো: প্রশ্নে হাবল ধ্রুবক দেওয়া নেই (এখানে ১১ক২-এর মতো H0 = 2.3 × 10−18 s−1, অর্থাৎ প্রায় 71 km s−1 Mpc−1 ধরা হয়েছে)। বইয়ের উত্তর 5.31 × 103 km s−1-এ ঘাতে ছাপার ভুল; সঠিক মান 5.31 × 104 km s−1।
দেওয়া আছে,
সূর্যের ভর, M⊙ = 2 × 1030 kg
নক্ষত্রের ভর, M = 5M⊙ = 1 × 1031 kg
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
সোয়ার্জস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ, Rs = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
বা, Rs = 2 × 6.67 × 10−11 × 1031(3 × 108)2
= 1.334 × 10219 × 1016
= 1.482 × 104 m
= 14.82 km
উত্তর: 14.82 km
দেওয়া আছে,
সোয়ার্জস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ, Rs = 17.7 km = 1.77 × 104 m
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ভর, M = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
∴ M = Rsc22G
বা, M = 1.77 × 104 × 9 × 10162 × 6.67 × 10−11
= 1.593 × 10211.334 × 10−10
= 1.194 × 1031 kg
= 11.94 × 1030 kg
উত্তর: 11.94 × 1030 kg
দেওয়া আছে,
ঘটনা দিগন্তের ব্যাসার্ধ, Rs = 5.9 km = 5900 m
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ভর, M = ?
গড় ঘনত্ব, ρ = ?
(i) ভর নির্ণয়:
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
∴ M = Rsc22G
বা, M = 5900 × 9 × 10162 × 6.67 × 10−11
= 5.31 × 10201.334 × 10−10
= 3.98 × 1030 kg
(ii) গড় ঘনত্ব নির্ণয়:
আমরা জানি,
ρ = MV = M43πR3s
এখানে, V = 43 × 3.1416 × (5900)3
= 8.603 × 1011 m3
∴ ρ = 3.98 × 10308.603 × 1011
= 4.63 × 1018 kg m−3
উত্তর: ভর 3.98 × 1030 kg, গড় ঘনত্ব 4.63 × 1018 kg m−3
লক্ষ করো: বইয়ের উত্তরে ভর 40 × 1030 kg ছাপার ভুল; সঠিক মান প্রায় 4.0 × 1030 kg (বইয়ের ঘনত্বের মানও এই ভর থেকেই আসে)।
দেওয়া আছে,
প্রথম কৃষ্ণবিবরের ব্যাসার্ধ, R1 = 21 km
দ্বিতীয় কৃষ্ণবিবরের ব্যাসার্ধ, R2 = 6 km
ভরের অনুপাত, M1:M2 = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
এখানে G ও c ধ্রুবক, ∴ Rs ∝ M
∴ M1M2 = R1R2
বা, M1M2 = 216
= 3.5
∴ M1:M2 = 3.5:1
উত্তর: 3.5:1
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধের অনুপাত, R1R2 = 2.251
সূর্যের ভর, M⊙ = 2 × 1030 kg
প্রথমটির ভর, M1 = 5M⊙ = 1 × 1031 kg
দ্বিতীয়টির ভর, M2 = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
∴ Rs ∝ M, অর্থাৎ M1M2 = R1R2
∴ M2 = M1 × R2R1
বা, M2 = 1 × 1031 × 12.25
= 4.44 × 1030 kg
উত্তর: 4.44 × 1030 kg
দেওয়া আছে,
সূর্যের ভর, M⊙ = 2 × 1030 kg
নক্ষত্রের ভর, M = 4M⊙ = 8 × 1030 kg
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
শোয়ার্জস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ, Rs = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
বা, Rs = 2 × 6.67 × 10−11 × 8 × 1030(3 × 108)2
= 1.0672 × 10219 × 1016
= 1.186 × 104 m
= 11.86 km
উত্তর: 11.86 km
দেওয়া আছে,
কৃষ্ণবিবরের ভর, M = 1.99 × 1030 kg
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
ব্যাসার্ধ, Rs = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
বা, Rs = 2 × 6.67 × 10−11 × 1.99 × 1030(3 × 108)2
= 2.6547 × 10209 × 1016
= 2949.7 m
= 2.95 km
উত্তর: 2.95 km
দেওয়া আছে,
সূর্যের ভর, M⊙ = 2 × 1030 kg
তারকার ভর, M = 5M⊙ = 1 × 1031 kg
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
শোয়ার্জস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ, Rs = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
বা, Rs = 2 × 6.67 × 10−11 × 1031(3 × 108)2
= 1.334 × 10219 × 1016
= 1.482 × 104 m
= 14.82 km
উত্তর: 14.82 km
দেওয়া আছে,
ঘটনা দিগন্তের ব্যাসার্ধ, R1 = 42 km, R2 = 21 km, R3 = 7 km
ভরের অনুপাত, M1:M2:M3 = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
এখানে G ও c ধ্রুবক, ∴ M ∝ Rs
∴ M1:M2:M3 = R1:R2:R3
বা, M1:M2:M3 = 42:21:7
= 6:3:1 (৭ দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: 6:3:1
দেওয়া আছে,
ঘটনা দিগন্তের ব্যাসার্ধ, Rs = 17.7 km = 1.77 × 104 m
সূর্যের ভর, M⊙ = 2 × 1030 kg
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
নক্ষত্রের ভর ও সূর্যের ভরের অনুপাত, MM⊙ = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
∴ M = Rsc22G
বা, M = 1.77 × 104 × 9 × 10162 × 6.67 × 10−11
= 1.593 × 10211.334 × 10−10
= 1.194 × 1031 kg
∴ MM⊙ = 1.194 × 10312 × 1030
= 5.97
উত্তর: প্রায় 5.97 গুণ
দেওয়া আছে,
শোয়ার্জস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ, Rs = 11.80 km = 1.18 × 104 m
সূর্যের ভর, M⊙ = 1.99 × 1030 kg
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2
আলোর বেগ, c = 3 × 108 m s−1
নক্ষত্রের ভর, M = ?
আমরা জানি,
Rs = 2GMc2
∴ M = Rsc22G
বা, M = 1.18 × 104 × 9 × 10162 × 6.67 × 10−11
= 1.062 × 10211.334 × 10−10
= 7.96 × 1030 kg
∴ MM⊙ = 7.96 × 10301.99 × 1030
= 4, অর্থাৎ নক্ষত্রের ভর সূর্যের ভরের ৪ গুণ।
উত্তর: 7.96 × 1030 kg (সূর্যের ভরের ৪ গুণ)