n₂ = n₁ [M₁/M₂]a[L₁/L₂]b[T₁/T₂]c — রাশির মাত্রা [MaLbTc] লিখে শুধু এককের অনুপাত বসাও।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন১ নিউটন = কত ডাইন?
সমাধানবল [MLT−2] → n₂ = 1 × (1000)1(100)1(1)−2 = 105 ডাইন।
১ম পত্র · ১. ভৌত জগৎ ও পরিমাপ
Z = AaBb/Cc হলে %Z = a·%A + b·%B + c·%C — ভাগ থাকলেও সবসময় যোগ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নg = 4π²L/T² থেকে g মাপা হচ্ছে। L-এ 2% ও T-তে 1% ত্রুটি হলে g-তে সর্বোচ্চ ত্রুটি কত?
সমাধান%g = 1×2% + 2×1% = 4%।
n ভার্নিয়ার ঘর = (n−1) প্রধান ঘর হলে VC = s/n (s = প্রধান স্কেলের ১ ঘর)। পাঠ = প্রধান পাঠ + মিলে যাওয়া দাগ × VC।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপ্রধান স্কেলের ১ ঘর 1 mm, ভার্নিয়ারের 20 ঘর = প্রধানের 19 ঘর। প্রধান পাঠ 23 mm, ভার্নিয়ারের 7 নং দাগ মিলেছে। দৈর্ঘ্য কত?
সমাধানVC = 1/20 = 0.05 mm → L = 23 + 7×0.05 = 23.35 mm।
পাঠ = রৈখিক পাঠ + বৃত্তাকার পাঠ × LC − (শূন্য ত্রুটি, চিহ্নসহ)। LC = পিচ ÷ বৃত্তাকার স্কেলের ঘর।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপিচ 0.5 mm, বৃত্তাকার স্কেলে 50 ঘর। রৈখিক পাঠ 3 mm, বৃত্তাকার পাঠ 28, শূন্য ত্রুটি +0.02 mm। ব্যাস কত?
সমাধানLC = 0.5/50 = 0.01 mm → D = 3 + 28×0.01 − 0.02 = 3.26 mm।
X যদি a, b, c-এর উপর নির্ভর করে: X = k axbycz লিখে M, L, T-এর ঘাত দুই পাশে সমান করো — x, y, z বেরিয়ে আসে।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নসরল দোলকের পর্যায়কাল T দৈর্ঘ্য l ও g-এর উপর নির্ভর করে। সম্পর্ক কী?
সমাধান[T] = [L]x[LT−2]y → x + y = 0, −2y = 1 → y = −½, x = ½ → T ∝ √(l/g)।
১ম পত্র · ২. ভেক্টর
|A − B| ≤ R ≤ A + B — এর বাইরের কোনো মান লব্ধি হতেই পারে না।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন3 N ও 5 N বলের লব্ধি কোনটি হতে পারে না? (ক) 2 N (খ) 5 N (গ) 8 N (ঘ) 9 N
সমাধানসীমা 2 N থেকে 8 N → 9 N অসম্ভব। উত্তর: (ঘ)।
মান সমান হলে R = 2A cos(θ/2)। θ = 60° → A√3, 90° → A√2, 120° → A।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নদুটি 10 N বল পরস্পর 60° কোণে ক্রিয়া করছে। লব্ধি কত?
সমাধানR = 2×10×cos30° = 10√3 ≈ 17.3 N।
|A + B| = |A − B| ⇒ A·B = 0 ⇒ θ = 90°। আর |A + B| = A = B হলে θ = 120°।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নদুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান। মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধানA² + B² + 2AB cosθ = A² + B² − 2AB cosθ ⇒ cosθ = 0 ⇒ θ = 90°।
A-র B বরাবর অভিক্ষেপ = A·B/|B| — কোণ বের করতে হয় না।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নA = 2i + 2j + k ভেক্টরের B = 3i + 4j বরাবর অভিক্ষেপ কত?
সমাধানA·B = 6 + 8 = 14, |B| = 5 → অভিক্ষেপ = 14/5 = 2.8 একক।
সামান্তরিক = |A×B|, ত্রিভুজ = ½|A×B|। দুই মাত্রায় |A×B| = |AxBy − AyBx|।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নA = 3i + j ও B = i + 2j দুই বাহু হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান|A×B| = |3×2 − 1×1| = 5 → ক্ষেত্রফল = 2.5 বর্গ একক।
কম সময়ে: t = d/v, ভাটিতে সরে u·d/v। সোজাসুজি পার: t = d/√(v² − u²), উজানে কোণ sinθ = u/v।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ননদী 400 m চওড়া, নৌকার বেগ 5 m/s, স্রোত 3 m/s। (ক) সবচেয়ে কম সময় ও সরে যাওয়া দূরত্ব (খ) সোজাসুজি পারের সময়?
সমাধান(ক) t = 400/5 = 80 s, সরে যায় 3×80 = 240 m। (খ) t = 400/√(25 − 9) = 100 s।
বৃষ্টি খাড়া vr, মানুষ হাঁটে vm → ছাতা উল্লম্বের সাথে সামনের দিকে tanθ = vm/vr।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নবৃষ্টি 10√3 m/s বেগে খাড়া পড়ছে, একজন 10 m/s বেগে হাঁটছে। ছাতা কত কোণে ধরবে?
সমাধানtanθ = 10/10√3 = 1/√3 → উল্লম্বের সাথে সামনের দিকে 30°।
১ম পত্র · ৩. গতিবিদ্যা
s = u²/2a ⇒ একই ব্রেকে s ∝ u²।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন36 km/h বেগের গাড়ি ব্রেক কষে 20 m-এ থামে। 72 km/h বেগে কত দূরে থামবে?
সমাধানবেগ 2 গুণ → s = 2² × 20 = 80 m।
x দূরত্বে বেগ অর্ধেক হলে থামার আগে আরও x/3 যায়। সাধারণভাবে বেগ 1/n হলে বাকি দূরত্ব x/(n² − 1)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি গুলি তক্তায় 3 cm ঢুকে বেগের অর্ধেক হারায়। আর কতদূর ঢুকবে?
সমাধানবাকি = 3/3 = 1 cm।
মুক্ত পতনে n-তম সেকেন্ডে hn = g(2n − 1)/2 → n বের করে H = ½gn²। g = 10 হলে hn = 5(2n − 1)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি বস্তু শেষ সেকেন্ডে 45 m পড়ল (g = 10)। কত উচ্চতা থেকে পড়েছিল?
সমাধান5(2n − 1) = 45 → n = 5 → H = 5 × 5² = 125 m।
h উঁচু থেকে একটি ফেলা ও নিচ থেকে u বেগে আরেকটি একসাথে উপরে ছোঁড়া হলে দেখা হয় t = h/u সময়ে (g কেটে যায়)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন100 m উঁচু টাওয়ার থেকে একটি বল ফেলা হলো, একই সাথে নিচ থেকে আরেকটি 25 m/s বেগে উপরে ছোঁড়া হলো। কখন মিলবে?
সমাধানt = 100/25 = 4 s।
Rmax = u²/g → 45°-এ উচ্চতা = Rmax/4; খাড়া ছুড়লে সর্বোচ্চ উচ্চতা = Rmax/2।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকজন সর্বোচ্চ 100 m দূরে বল ছুড়তে পারে। খাড়া উপরে কত উঁচুতে ছুড়তে পারবে?
সমাধানH = 100/2 = 50 m।
θ ও (90° − θ) কোণে পাল্লা সমান; তখন R = 4√(H₁H₂) এবং H₁ + H₂ = u²/2g।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকই পাল্লার দুটি প্রাসের সর্বোচ্চ উচ্চতা 9 m ও 16 m। পাল্লা কত?
সমাধানR = 4√(9×16) = 4×12 = 48 m।
h উঁচু থেকে অনুভূমিকভাবে u বেগে: t = √(2h/g) (u-এর উপর নির্ভর করে না), পাল্লা x = u√(2h/g)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন80 m উঁচু পাড় থেকে 20 m/s বেগে অনুভূমিকভাবে বল ছোঁড়া হলো (g = 10)। কত দূরে পড়বে?
সমাধানt = √(160/10) = 4 s → x = 20×4 = 80 m।
১ম পত্র · ৪. নিউটনীয় বলবিদ্যা
a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂), T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন5 kg ও 3 kg ভর মসৃণ কপিকলে ঝোলানো (g = 9.8)। ত্বরণ ও টান কত?
সমাধানa = 2×9.8/8 = 2.45 m/s², T = 2×5×3×9.8/8 = 36.75 N।
V = mv/M। গতিশক্তির অনুপাত ভরের উল্টো: Eবন্দুক/Eগুলি = m/M।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন5 kg বন্দুক থেকে 50 g গুলি 400 m/s বেগে ছোঁড়া হলো। পশ্চাৎ বেগ কত?
সমাধানV = 0.05×400/5 = 4 m/s।
প্রতি সেকেন্ডে n টা m ভরের গুলি v বেগে ছুড়লে প্রয়োজনীয় বল F = nmv।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি মেশিনগান প্রতি সেকেন্ডে 10টি 20 g গুলি 500 m/s বেগে ছোঁড়ে। কত বল দিয়ে ধরে রাখতে হবে?
সমাধানF = 10 × 0.02 × 500 = 100 N।
নামার সময় a = g(sinθ − μcosθ), ওঠার সময় মন্দন g(sinθ + μcosθ)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন30° নততলে μ = 1/(2√3) হলে বস্তুর নামার ত্বরণ কত?
সমাধানa = g(½ − ¼) = g/4 ≈ 2.45 m/s²।
v = √(2gh/(1 + k²/r²))। k²/r²: নিরেট গোলক 2/5 < চাকতি 1/2 < ফাঁপা গোলক 2/3 < রিং 1। যার k²/r² কম, সে আগে। ভর-ব্যাসার্ধে নির্ভর করে না।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকই নততল থেকে রিং, চাকতি ও নিরেট গোলক একসাথে গড়িয়ে নামলে কে আগে পৌঁছাবে?
সমাধাননিরেট গোলক আগে, তারপর চাকতি, সবার শেষে রিং।
সর্বনিম্ন বেগ: চূড়ায় √(gr), তলায় √(5gr)। তলা ও চূড়ার টানের পার্থক্য সবসময় 6mg।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন0.5 kg পাথর সুতায় বেঁধে খাড়া বৃত্তে ঘোরানো হচ্ছে (g = 9.8)। নিচ ও উপরের বিন্দুতে টানের পার্থক্য কত?
সমাধানΔT = 6×0.5×9.8 = 29.4 N।
m₁ চলমান, m₂ স্থির — ধাক্কায় জোড়া লাগলে গতিশক্তি ক্ষয়ের ভগ্নাংশ = m₂/(m₁ + m₂)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন2 kg-এর চলমান বস্তু স্থির 2 kg বস্তুর সাথে জোড়া লেগে গেল। কত শতাংশ গতিশক্তি হারাল?
সমাধান2/(2 + 2) = ½ → 50%।
Iω ধ্রুব। ঘূর্ণন গতিশক্তি E = L²/2I → I যত গুণ কমে, ω ও E তত গুণ বাড়ে।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকজন স্কেটার হাত গুটিয়ে জড়তার ভ্রামক অর্ধেক করল। কৌণিক বেগ ও ঘূর্ণন গতিশক্তি কী হবে?
সমাধানω দ্বিগুণ, গতিশক্তিও দ্বিগুণ (বাড়তি শক্তি আসে তার নিজের পেশির কাজ থেকে)।
১ম পত্র · ৫. কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা
h উঁচু থেকে ফেলা বস্তুর Ek = nEp হয় ভূমি থেকে x = h/(n + 1) উচ্চতায়।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন60 m উঁচু থেকে একটি বস্তু ফেলা হলো। কোন উচ্চতায় গতিশক্তি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হবে?
সমাধানx = 60/(2 + 1) = 20 m।
p ∝ √Ek → গতিশক্তি k গুণ হলে ভরবেগ √k গুণ। উল্টোভাবে ভরবেগ দ্বিগুণ → গতিশক্তি 4 গুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি বস্তুর গতিশক্তি 44% বাড়ানো হলে ভরবেগ কত শতাংশ বাড়বে?
সমাধান√1.44 = 1.2 → ভরবেগ 20% বাড়বে।
L দৈর্ঘ্য ও M ভরের শিকলের 1/n অংশ টেবিল থেকে ঝুললে টেনে তুলতে কাজ W = MgL/(2n²)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন2 m লম্বা 4 kg শিকলের এক-চতুর্থাংশ টেবিল থেকে ঝুলছে (g = 9.8)। পুরোটা তুলতে কত কাজ?
সমাধানW = 4×9.8×2/(2×16) = 2.45 J।
W = ½k(x₂² − x₁²) — ½k(x₂ − x₁)² লিখলেই ভুল, এটাই ফাঁদ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নk = 800 N/m স্প্রিংকে 5 cm থেকে 15 cm প্রসারিত করতে কত কাজ?
সমাধানW = ½×800×(0.15² − 0.05²) = 400×0.02 = 8 J।
প্রত্যাবস্থান গুণাঙ্ক e হলে প্রতি লাফে বেগ e গুণ, উচ্চতা e² গুণ → n-তম লাফের পর hn = e2nh।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন16 m উঁচু থেকে বল ফেলা হলো, e = 0.5। দ্বিতীয় লাফের পর কত উঁচুতে উঠবে?
সমাধানh₂ = (0.5)4 × 16 = 1 m।
P = mgh/t; দক্ষতা η হলে মোটর লাগবে mgh/(ηt)। পানির ক্ষেত্রে 1 L = 1 kg।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি পাম্প 1 মিনিটে 600 L পানি 20 m উঁচুতে তোলে, দক্ষতা 80% (g = 9.8)। মোটরের ক্ষমতা কত?
সমাধানP = 600×9.8×20/(0.8×60) = 2450 W।
১ম পত্র · ৬. মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ
ছোট উচ্চতায় g′ ≈ g(1 − 2h/R), গভীরতায় g′ = g(1 − d/R) → একই পরিমাণ g কমে যখন d = 2h।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নভূপৃষ্ঠ থেকে 1 km উপরে যতটা g কমে, কত গভীরে গেলে ততটা কমবে?
সমাধানd = 2 × 1 = 2 km।
g′ = g/n² হয় h = (n − 1)R উচ্চতায়।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নভূপৃষ্ঠ থেকে কত উচ্চতায় একজনের ওজন 1/9 অংশ হবে?
সমাধানn = 3 → h = 2R।
ve ∝ √(M/R); একই ঘনত্বে ve ∝ R। পৃথিবীতে 11.2 km/s থেকে অনুপাতে গুণ করো।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি গ্রহের ভর পৃথিবীর 8 গুণ ও ব্যাসার্ধ 2 গুণ। মুক্তিবেগ কত?
সমাধানv = 11.2 × √(8/2) = 22.4 km/s।
ভূপৃষ্ঠ ঘেঁষা উপগ্রহ T₀ ≈ 84.6 মিনিট। কেন্দ্র থেকে nR দূরে T = n3/2T₀।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপৃথিবীর কেন্দ্র থেকে 4R দূরে ঘুরন্ত উপগ্রহের পর্যায়কাল কত?
সমাধানT = 43/2 × 84.6 = 8 × 84.6 ≈ 677 মিনিট (≈ 11.3 ঘণ্টা)।
কক্ষপথে গতিশক্তি K হলে বিভবশক্তি = −2K, মোট শক্তি = −K। মুক্ত করতে আরও K শক্তি লাগে।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি উপগ্রহের গতিশক্তি 5×109 J। মোট শক্তি ও বিভবশক্তি কত?
সমাধানE = −5×109 J, U = −1010 J।
ve = √2 × কক্ষবেগ → বেগ (√2 − 1) ≈ 41.4% বাড়ালেই মুক্ত। গতিশক্তি বাড়াতে হবে 100%।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নভূপৃষ্ঠ ঘেঁষা উপগ্রহের বেগ কত শতাংশ বাড়ালে পৃথিবীর আকর্ষণ ছেড়ে যাবে?
সমাধান(1.414 − 1)×100 ≈ 41.4%।
M ও m ভরের মাঝে d দূরত্ব হলে M থেকে x = d/(1 + √(m/M)) দূরে নিট প্রাবল্য শূন্য।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপৃথিবীর ভর চাঁদের 81 গুণ, দূরত্ব d। পৃথিবী থেকে কত দূরে নিট মহাকর্ষ বল শূন্য?
সমাধানx = d/(1 + 1/9) = 9d/10।
১ম পত্র · ৭. পদার্থের গাঠনিক ধর্ম
তলা থেকে উঠে বুদবুদের আয়তন n গুণ হলে গভীরতা h = (n − 1)P₀/ρg। P₀ = 10⁵, g = 10 → (n − 1)×10 m; g = 9.8 → (n − 1)×10.2 m; P₀ = 1 atm → (n − 1)×10.3 m। ব্যাসার্ধ n গুণ হলে n-এর জায়গায় n³।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নহ্রদের তলা থেকে উঠে বুদবুদের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলো (P₀ = 10⁵ N/m², g = 10, তাপমাত্রা ধ্রুব)। গভীরতা কত?
সমাধানh = (2³ − 1)×10 = 70 m।
ΔL = FL/(πr²Y) → একই পদার্থ ও বলে ΔL₁/ΔL₂ = (L₁/L₂)(r₂/r₁)²।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকই পদার্থের দুটি তারের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:2, ব্যাসার্ধের অনুপাত 2:1। একই বলে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির অনুপাত কত?
সমাধান(1/2)×(1/2)² = 1/8 → 1 : 8।
n টি সমান ফোঁটা মিললে R = n1/3r; প্রান্তবেগ ∝ r² → n2/3 গুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন8টি সমান বৃষ্টির ফোঁটা প্রতিটি 5 cm/s প্রান্তবেগে পড়ছিল। মিলে একটি হলে প্রান্তবেগ কত?
সমাধানv = 82/3 × 5 = 4×5 = 20 cm/s।
ফোঁটায় অতিরিক্ত চাপ 2T/r, সাবানের বুদবুদে 4T/r। বুদবুদ ফোলাতে কাজ W = 8πr²T।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন1 cm ব্যাসার্ধের সাবানের বুদবুদ ফোলাতে কত কাজ? (T = 0.03 N/m)
সমাধানW = 8π(0.01)²×0.03 ≈ 7.5×10−5 J।
hr = ধ্রুবক। নলের দৈর্ঘ্য উত্থানের চেয়ে কম হলে পানি মুখ পর্যন্ত উঠে থামে, উপচায় না — মেনিস্কাসের বক্রতার ব্যাসার্ধ বেড়ে R′ = Rh/h′ হয়।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি কৈশিক নলে পানি 6 cm ওঠে। নলের মাত্র 4 cm পানির উপরে রাখলে কী হবে?
সমাধানপানি 4 cm পর্যন্ত উঠে থামবে, উপচাবে না; বক্রতার ব্যাসার্ধ 6/4 = 1.5 গুণ হবে।
W = ½FΔL; একক আয়তনে শক্তি = ½ × পীড়ন × বিকৃতি।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন100 N বলে একটি তার 2 mm প্রসারিত হলো। সঞ্চিত শক্তি কত?
সমাধানW = ½ × 100 × 0.002 = 0.1 J।
১ম পত্র · ৮. পর্যাবৃত্ত গতি
সাম্যাবস্থা থেকে A/2: T/12; A/√2: T/8; A/2 থেকে প্রান্ত: T/6।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন12 s পর্যায়কালের সরল ছন্দিত স্পন্দনে সাম্যাবস্থা থেকে অর্ধেক বিস্তারে যেতে কত সময়?
সমাধানt = 12/12 = 1 s।
v = ω√(A² − x²) → বেগ সর্বোচ্চের অর্ধেক হয় x = (√3/2)A-তে; গতিশক্তি = বিভবশক্তি হয় x = A/√2-তে।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নবিস্তার 10 cm। কোন সরণে বেগ সর্বোচ্চ বেগের অর্ধেক?
সমাধানx = (√3/2)×10 ≈ 8.66 cm।
T ∝ √L → ΔT/T = ½ × ΔL/L। দিনে হারানো সময় = 86400 × ½ × (ΔL/L)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নদোলক ঘড়ির দৈর্ঘ্য 1% বাড়লে দিনে কত সেকেন্ড ধীরে চলবে?
সমাধান86400 × 0.005 = 432 s।
স্প্রিং n সমান ভাগ করলে প্রতিটির k′ = nk → একই ভরে T′ = T/√n। n টুকরো সমান্তরালে লাগালে T′ = T/n।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি স্প্রিং-ভর সিস্টেমের T = 2 s। স্প্রিং 4 ভাগ করে একটি অংশে একই ভর ঝোলালে T কত?
সমাধানT′ = 2/√4 = 1 s।
T = 2π√(L/geff) — উপরে ত্বরণে g + a, নিচে g − a। মুক্ত পতনে T = ∞। স্প্রিং দোলকের T বদলায় না।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি দোলকের T = 2 s। লিফট g ত্বরণে উপরে উঠলে T কত?
সমাধানgeff = 2g → T′ = 2/√2 ≈ 1.41 s।
gচাঁদ = g/6 → Tচাঁদ = √6 T ≈ 2.45T।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপৃথিবীর সেকেন্ড দোলক চাঁদে নিলে পর্যায়কাল কত?
সমাধানT = 2√6 ≈ 4.9 s।
১ম পত্র · ৯. তরঙ্গ
δ = (2π/λ)·x → λ/4 = π/2, λ/2 = π, λ = 2π।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নλ = 60 cm তরঙ্গে 15 cm দূরের দুই কণার দশা পার্থক্য কত?
সমাধানδ = 2π×15/60 = π/2।
খোলা নল f = v/2L (সব হারমোনিক), বদ্ধ নল f = v/4L (শুধু 1, 3, 5…)। একই দৈর্ঘ্যে খোলা নলের মৌলিক = বদ্ধের দ্বিগুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন25 cm লম্বা একমুখ বদ্ধ নলের মৌলিক কম্পাঙ্ক ও প্রথম উপসুর কত? (v = 340 m/s)
সমাধানf = 340/(4×0.25) = 340 Hz; প্রথম উপসুর = 3f = 1020 Hz।
f = (1/2L)√(T/μ) → টান 4 গুণ = f দ্বিগুণ; দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ = f অর্ধেক।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি তারের কম্পাঙ্ক 200 Hz। টান 4 গুণ ও দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে কম্পাঙ্ক কত?
সমাধানf = 200 × √4 ÷ 2 = 200 Hz (অপরিবর্তিত)।
মোম লাগালে কম্পাঙ্ক কমে, ঘষলে বাড়ে। অজানাটায় মোম লাগিয়ে বিট বাড়লে f = জানা − বিট; কমলে f = জানা + বিট।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন256 Hz সুরশলাকার সাথে B 4টি বিট দেয়। B-তে মোম লাগালে বিট বেড়ে 6 হয়। B-এর কম্পাঙ্ক কত?
সমাধানমোমে কমল আর বিট বাড়ল → B আগে থেকেই কম → 256 − 4 = 252 Hz।
I ∝ 1/r², Δβ = 10 log(I₂/I₁)। তীব্রতা 10 গুণ = +10 dB; দূরত্ব 2 গুণ = −6 dB; দূরত্ব 10 গুণ = −20 dB।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন1 m দূরে শব্দের লেভেল 80 dB। 10 m দূরে কত?
সমাধানতীব্রতা কমে 100 গুণ → 80 − 20 = 60 dB।
v ∝ √T (কেলভিন) → বেগ n গুণ করতে T = n²T₀।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন0°C-এর তুলনায় কোন তাপমাত্রায় বাতাসে শব্দের বেগ দ্বিগুণ হবে?
সমাধানT = 4×273 = 1092 K = 819°C।
১ম পত্র · ১০. আদর্শ গ্যাস ও গ্যাসের গতিতত্ত্ব
vrms ∝ √(T/M) → সমান বেগে T₁/M₁ = T₂/M₂।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন27°C-এ O₂-এর vrms-এর সমান হতে H₂-এর তাপমাত্রা কত হবে?
সমাধানT = 300 × 2/32 = 18.75 K।
বেগ n গুণ করতে কেলভিন তাপমাত্রা n² গুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন27°C-এ একটি গ্যাসের vrms = v। কত °C-এ 2v হবে?
সমাধানT = 4×300 = 1200 K = 927°C।
vrms : vগড় : vসম্ভাব্য = √3 : √(8/π) : √2 ≈ 1.73 : 1.60 : 1.41।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি গ্যাসের সম্ভাব্যতম বেগ 400 m/s। vrms কত?
সমাধান400 × √3/√2 = 400 × 1.225 ≈ 490 m/s।
γ = 1 + 2/f, Cv = (f/2)R। এক-পরমাণুক 5/3, দ্বি-পরমাণুক 7/5, বহু-পরমাণুক 4/3।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি গ্যাসের অণুর স্বাধীনতার মাত্রা 6 হলে γ কত?
সমাধানγ = 1 + 2/6 = 4/3।
একই তাপমাত্রায় P = (P₁V₁ + P₂V₂)/(V₁ + V₂)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন2 L পাত্রে 3 atm ও 3 L পাত্রে 2 atm গ্যাস। নল দিয়ে জুড়লে চাপ কত?
সমাধানP = (6 + 6)/5 = 2.4 atm।
R = (শিশিরাঙ্কে সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ ÷ বায়ুর তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ) × 100%।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নশিশিরাঙ্কে সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ 12 mm Hg, বায়ুর তাপমাত্রায় 16 mm Hg। আপেক্ষিক আর্দ্রতা কত?
সমাধান12/16 × 100 = 75%।
২য় পত্র · ১. তাপগতিবিদ্যা
η = 1 − T₂/T₁ উল্টে নাও → T₁ = T₂/(1 − η) (কেলভিনে)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নআধার 300 K-এ কার্নো ইঞ্জিনের দক্ষতা 25%। দক্ষতা 50% করতে উৎসের তাপমাত্রা কত বাড়াতে হবে?
সমাধানএখন T₁ = 300/0.75 = 400 K; লাগবে 300/0.5 = 600 K → 200 K বাড়াতে হবে।
COP = T₂/(T₁ − T₂) = Q₂/W (T₂ = ঠান্ডা অংশ, কেলভিনে)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নফ্রিজের ভেতর 0°C, ঘর 27°C। আদর্শ COP কত?
সমাধান273/27 ≈ 10.1।
T₂ = T₁(V₁/V₂)γ − 1, P₂ = P₁(V₁/V₂)γ। বাতাসে γ = 1.4।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন27°C-এর বাতাসকে হঠাৎ সংকুচিত করে আয়তন 1/32 করা হলো (γ = 1.4)। নতুন তাপমাত্রা কত?
সমাধান320.4 = 22 = 4 → T₂ = 1200 K = 927°C।
W = 2.303 nRT log(V₂/V₁); আয়তন দ্বিগুণে W = 0.693 nRT।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন1 mol গ্যাস 300 K-এ সমোষ্ণভাবে প্রসারিত হয়ে আয়তন দ্বিগুণ হলো। কাজ কত? (R = 8.31)
সমাধানW = 0.693×8.31×300 ≈ 1728 J।
ধ্রুব তাপমাত্রায় ΔS = mL/T; তাপমাত্রা বদলালে ΔS = ms ln(T₂/T₁)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন1 kg বরফ 0°C-এ গলে পানি হলো (L = 3.36×105 J/kg)। এন্ট্রপির পরিবর্তন কত?
সমাধানΔS = 3.36×105/273 ≈ 1231 J/K।
(পাঠ − নিম্ন স্থিরাঙ্ক) ÷ (ঊর্ধ্ব − নিম্ন স্থিরাঙ্ক) সব স্কেলে সমান।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি থার্মোমিটার বরফে 5° ও ফুটন্ত পানিতে 95° দেখায়। এটি 41° দেখালে প্রকৃত তাপমাত্রা কত?
সমাধান(41 − 5)/(95 − 5) × 100 = 40°C।
সমচাপে W = nRΔT, Q = nCpΔT, ΔU = nCvΔT। এক-পরমাণুকে Cp = 5R/2।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন2 mol এক-পরমাণুক গ্যাসকে সমচাপে 50 K উত্তপ্ত করা হলো। গ্যাসের কাজ ও প্রদত্ত তাপ কত?
সমাধানW = 2×8.31×50 = 831 J; Q = 2×2.5×8.31×50 ≈ 2078 J।
২য় পত্র · ২. স্থির তড়িৎ
একই রকম দুই গোলক ছোঁয়ালে প্রতিটির আধান (q₁ + q₂)/2 (চিহ্নসহ)। F′/F = (q₁′q₂′)/(q₁q₂)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন+6 μC ও −2 μC আধানের দুটি একই গোলক F বলে আকর্ষণ করছে। ছুঁইয়ে আগের জায়গায় রাখলে বল কত?
সমাধানপ্রতিটি +2 μC → F′ = F × 4/12 = F/3, এখন বিকর্ষণ।
সমজাতীয় q₁ ও q₂ (দূরত্ব d) হলে q₁ থেকে x = d/(1 + √(q₂/q₁)) দূরে E = 0।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন4q ও q আধান 30 cm দূরে। 4q থেকে কত দূরে প্রাবল্য শূন্য?
সমাধানx = 30/(1 + 1/2) = 20 cm।
n টি সমান আধানের ফোঁটা মিললে আধান nq, ধারকত্ব n1/3C, বিভব n2/3V।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন27টি সমান ফোঁটার প্রতিটির বিভব 10 V। মিলে একটি হলে বিভব কত?
সমাধানV = 272/3 × 10 = 9×10 = 90 V।
সাধারণ বিভব V = (C₁V₁ + C₂V₂)/(C₁ + C₂); শক্তি ক্ষয় = C₁C₂(V₁ − V₂)²/2(C₁ + C₂)। সমান চার্জহীন ধারকে জুড়লে অর্ধেক শক্তি হারায়।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন100 V-এ চার্জিত 2 μF ধারক চার্জহীন 2 μF ধারকের সাথে জোড়া হলো। সাধারণ বিভব ও শক্তি ক্ষয় কত?
সমাধানV = 50 V; ক্ষয় = (2×2×10−12×104)/(8×10−6) = 5×10−3 J (শুরুর শক্তির অর্ধেক)।
C = ε₀A/(d − t + t/K)। পুরো ভরলে C′ = KC; ধাতব পাত দিলে C = ε₀A/(d − t)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপাতের দূরত্ব 4 mm, মাঝে 2 mm পুরু K = 2 পাত ঢোকানো হলো। ধারকত্ব আগের কত গুণ?
সমাধানকার্যকর দূরত্ব = 4 − 2 + 1 = 3 mm → C′ = 4C/3।
V বিভবে ত্বরিত: K = qV, v = √(2qV/m) ∝ √(q/m)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপ্রোটন ও আলফা কণা একই বিভবে ত্বরিত হলে গতিশক্তি ও বেগের অনুপাত কত?
সমাধানKp : Kα = 1 : 2; vp : vα = √1 : √(2/4) = √2 : 1।
২য় পত্র · ৩. চল তড়িৎ
আয়তন ধ্রুব → R ∝ L² ∝ 1/r⁴। দৈর্ঘ্য n গুণ = R n² গুণ; ব্যাসার্ধ অর্ধেক = R 16 গুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন10 Ω তারকে টেনে দৈর্ঘ্য 3 গুণ করা হলো। নতুন রোধ কত?
সমাধানR = 3² × 10 = 90 Ω।
R রোধের তার n সমান টুকরো করে সমান্তরালে জুড়লে তুল্য রোধ R/n²।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন20 Ω তার দুই সমান ভাগ করে সমান্তরালে জোড়া হলো। তুল্য রোধ কত?
সমাধান20/2² = 5 Ω।
R = V²/P → কম ওয়াটের বাল্বের রোধ বেশি। শ্রেণিতে P = I²R → সেটাই বেশি উজ্জ্বল; সমান্তরালে উল্টো।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন220 V-এর 40 W ও 100 W বাল্ব শ্রেণিতে 220 V-এ জোড়া হলো। কোনটি বেশি জ্বলবে?
সমাধান40 W বাল্বটি (রোধ বেশি)।
পাল্লা n গুণ করতে অ্যামিটারে শান্ট S = G/(n − 1); ভোল্টমিটারে শ্রেণি রোধ R = G(n − 1)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন99 Ω রোধের গ্যালভানোমিটারের পাল্লা 100 গুণ করতে কত শান্ট লাগবে?
সমাধানS = 99/99 = 1 Ω।
টার্মিনাল ভোল্টেজ V = E − Ir → r = R(E/V − 1)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন1.5 V কোষে 4 Ω রোধ লাগালে টার্মিনাল ভোল্টেজ 1.2 V। অভ্যন্তরীণ রোধ কত?
সমাধানr = 4(1.5/1.2 − 1) = 4×0.25 = 1 Ω।
বাইরের রোধ = অভ্যন্তরীণ রোধ হলে সর্বোচ্চ ক্ষমতা Pmax = E²/4r।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন12 V emf ও 2 Ω অভ্যন্তরীণ রোধের ব্যাটারি থেকে সর্বোচ্চ কত ক্ষমতা নেওয়া যাবে?
সমাধানP = 144/8 = 18 W (R = 2 Ω হলে)।
বাম ফাঁকে X, ডান ফাঁকে R, বাম প্রান্ত থেকে l cm-এ নিস্পন্দ বিন্দু → X = Rl/(100 − l)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নডান ফাঁকে 6 Ω, নিস্পন্দ বিন্দু 40 cm-এ। অজানা রোধ কত?
সমাধানX = 6×40/60 = 4 Ω।
12টি সমান R দিয়ে ঘনক: প্রধান কর্ণ বরাবর 5R/6, তলের কর্ণ বরাবর 3R/4, এক বাহু বরাবর 7R/12।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপ্রতিটি 6 Ω-এর 12টি রোধে ঘনক বানানো হলো। বিপরীত কোণ দুটির মধ্যে তুল্য রোধ কত?
সমাধান5×6/6 = 5 Ω।
২য় পত্র · ৪. তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব
কেন্দ্রে B = μ₀NI/2r। একই তার দিয়ে n পাক বানালে r হয় r/n → B হয় n² গুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি তারে এক পাকের বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্রে ক্ষেত্র B। একই তারে 2 পাক বানালে (একই প্রবাহ) কত?
সমাধানB′ = 2² × B = 4B।
লম্বা সোজা তারের জন্য B = μ₀I/2πd = 2×10−7 I/d — π কাটাকাটি করে মনে রাখো।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন10 A প্রবাহবাহী লম্বা তার থেকে 5 cm দূরে B কত?
সমাধানB = 2×10−7×10/0.05 = 4×10−5 T।
r = mv/qB = √(2mK)/qB ∝ √m/q। একই K-তে p ও α: 1/1 = 2/2 → সমান। একই বিভবে ত্বরিত হলে r ∝ √(m/q) → 1 : √2।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপ্রোটন ও আলফা কণা একই গতিশক্তিতে একই চৌম্বক ক্ষেত্রে লম্বভাবে ঢুকলে ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
সমাধান(√1/1) : (√4/2) = 1 : 1।
T = 2πm/qB — বেগ বা ব্যাসার্ধ বাড়লেও বদলায় না (সাইক্লোট্রনের মূলনীতি)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নচৌম্বক ক্ষেত্রে বৃত্তপথে ঘুরন্ত ইলেকট্রনের বেগ দ্বিগুণ হলে পর্যায়কাল ও ব্যাসার্ধ কী হবে?
সমাধানপর্যায়কাল একই; r = mv/qB → ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ।
n = প্রতি মিটারে পাক (মোট পাক নয়)। প্রান্তে B অর্ধেক।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন50 cm লম্বা সলিনয়েডে 500 পাক, প্রবাহ 2 A। ভেতরে B কত?
সমাধানn = 1000/m → B = 4π×10−7×1000×2 ≈ 2.5×10−3 T।
খাটো দণ্ড চুম্বকে একই দূরত্বে অক্ষ বরাবর ক্ষেত্র নিরক্ষীয় রেখার ক্ষেত্রের দ্বিগুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নখাটো দণ্ড চুম্বকের অক্ষ বরাবর d দূরে B = 4×10−5 T। নিরক্ষীয় রেখায় একই দূরে কত?
সমাধান4×10−5/2 = 2×10−5 T।
২য় পত্র · ৫. তাড়িতচৌম্বক আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ
সোজা চললে e = Blv; এক প্রান্ত ঘিরে ঘুরলে e = ½Bωl² (গড় বেগ ωl/2)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন1 m লম্বা দণ্ড এক প্রান্ত ঘিরে 10 rad/s বেগে 0.2 T ক্ষেত্রে ঘুরছে। emf কত?
সমাধানe = ½×0.2×10×1² = 1 V।
কুণ্ডলী দিয়ে মোট আধান Q = NΔΦ/R — দ্রুত বা ধীরে, যেভাবেই ফ্লাক্স বদলাক।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন100 পাকের 10 Ω কুণ্ডলীতে ফ্লাক্স 0.02 Wb থেকে শূন্য হলো। কত আধান প্রবাহিত হবে?
সমাধানQ = 100×0.02/10 = 0.2 C।
e = L·ΔI/Δt; সঞ্চিত শক্তি U = ½LI²।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন0.5 H কুণ্ডলীতে প্রবাহ 0.1 s-এ 4 A থেকে শূন্য হলো। আবিষ্ট emf ও শুরুর সঞ্চিত শক্তি কত?
সমাধানe = 0.5×4/0.1 = 20 V; U = ½×0.5×16 = 4 J।
e₀ = NBAω = NBA·2πf।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন100 পাক, ক্ষেত্রফল 0.01 m², B = 0.5 T, 50 Hz-এ ঘুরছে। শীর্ষ emf কত?
সমাধানe₀ = 100×0.5×0.01×314 ≈ 157 V।
f₀ = 1/(2π√(LC)) → শুধু LC গুণফল দেখো।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নLC বর্তনীর L দ্বিগুণ ও C অর্ধেক করলে অনুনাদী কম্পাঙ্ক কী হবে? দুটোই দ্বিগুণ করলে?
সমাধানপ্রথমে LC একই → f অপরিবর্তিত। দ্বিতীয়তে LC 4 গুণ → f অর্ধেক।
P = VrmsIrmscosφ। বিশুদ্ধ L বা C-তে φ = 90° → ক্ষমতা শূন্য।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন220 V AC-তে 5 A প্রবাহ, দশা পার্থক্য 60°। গড় ক্ষমতা কত?
সমাধানP = 220×5×0.5 = 550 W।
Vs/Vp = Ns/Np = Ip/Is। দক্ষতা η হলে VsIs = ηVpIp।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন220 V-কে 11000 V করতে মুখ্যে 100 পাক থাকলে গৌণে কত পাক? মুখ্যে 10 A হলে গৌণে প্রবাহ কত (আদর্শ)?
সমাধানNs = 100×50 = 5000; Is = 10/50 = 0.2 A।
২য় পত্র · ৬. জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান
আপাত গভীরতা = প্রকৃত/μ; সরণ = t(1 − 1/μ)। কাচে (1.5) সরণ t/3, পানিতে (4/3) t/4।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন12 cm পুরু কাচ ফলক (μ = 1.5) দিয়ে দেখলে বস্তু কতটা কাছে মনে হবে?
সমাধান12(1 − 1/1.5) = 4 cm।
360/θ জোড় হলে প্রতিবিম্ব n = 360/θ − 1। সমান্তরাল দর্পণে অসীম।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নদুটি সমতল দর্পণ 60° কোণে। মাঝে রাখা বস্তুর কয়টি প্রতিবিম্ব?
সমাধান360/60 − 1 = 5টি।
আপতিত রশ্মি স্থির রেখে সমতল দর্পণ θ ঘোরালে প্রতিফলিত রশ্মি 2θ ঘোরে।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নসমতল দর্পণ 15° ঘোরানো হলো। প্রতিফলিত রশ্মি কত ঘুরবে?
সমাধান2×15 = 30°।
নিজের পূর্ণ প্রতিবিম্ব দেখতে ন্যূনতম দর্পণ = উচ্চতা/2 — দূরত্বে নির্ভর করে না।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন1.8 m লম্বা মানুষের পূর্ণ প্রতিবিম্বের জন্য কত লম্বা দর্পণ লাগবে?
সমাধান1.8/2 = 0.9 m।
fপানি/fবায়ু = (μg − 1)/(μg/μw − 1)। μg = 1.5, μw = 4/3 → 0.5/0.125 = 4।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নবাতাসে 10 cm ফোকাস দূরত্বের কাচের লেন্স (μ = 1.5) পানিতে ডোবালে ফোকাস দূরত্ব কত?
সমাধানf = 4×10 = 40 cm।
ছোট কোণের প্রিজমে বিচ্যুতি δ = (μ − 1)A — আপতন কোণ লাগে না।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন6° কোণের পাতলা প্রিজমে μ = 1.5 হলে বিচ্যুতি কত?
সমাধানδ = 0.5×6 = 3°।
বস্তু-পর্দা দূরত্ব D, লেন্সের দুই স্পষ্ট অবস্থানের দূরত্ব x। বাস্তব বিম্ব পেতে D ≥ 4f লাগবে।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নবস্তু ও পর্দা 100 cm দূরে, লেন্সের দুই অবস্থান 20 cm তফাতে স্পষ্ট বিম্ব দেয়। f কত?
সমাধানf = (10000 − 400)/400 = 24 cm।
২য় পত্র · ৭. ভৌত আলোকবিজ্ঞান
β = λD/d; মাধ্যমে λ → λ/μ, তাই β → β/μ। n-তম উজ্জ্বল x = nβ, n-তম অন্ধকার x = (n − ½)β।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নবাতাসে ইয়ং পরীক্ষায় ফ্রিঞ্জ প্রস্থ 0.6 mm। পুরো ব্যবস্থা পানিতে (μ = 4/3) ডোবালে কত?
সমাধান0.6 × 3/4 = 0.45 mm।
Imax/Imin = (√I₁ + √I₂)²/(√I₁ − √I₂)²। বিস্তারের অনুপাত দিলে সরাসরি (a₁ + a₂)²/(a₁ − a₂)²।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নব্যতিচারী দুই আলোর তীব্রতার অনুপাত 9 : 1। Imax : Imin কত?
সমাধান(3 + 1)²/(3 − 1)² = 16/4 = 4 : 1।
প্রথম পোলারয়েডে অসমবর্তিত আলো I₀/2 হয়; এরপর প্রতিটায় I = I cos²θ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঅসমবর্তিত আলো পরপর দুটি পোলারয়েড দিয়ে যায়, অক্ষ দুটি 60° কোণে। নির্গত তীব্রতা কত?
সমাধান(I₀/2) × cos²60° = I₀/8।
সমবর্তন কোণে প্রতিফলিত ও প্রতিসৃত রশ্মি লম্ব → θp + r = 90°।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নμ = √3 মাধ্যমের সমবর্তন কোণ ও প্রতিসরণ কোণ কত?
সমাধানθp = 60°, r = 30°।
d sinθ = nλ, d = 1/(একক দৈর্ঘ্যে দাগ)। সর্বোচ্চ ক্রম = d/λ-এর পূর্ণ অংশ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপ্রতি cm-এ 5000 দাগের গ্রেটিংয়ে 6000 Å আলো ফেললে সর্বোচ্চ কোন ক্রম দেখা যাবে?
সমাধানd = 2×10−6 m → d/λ = 3.33 → সর্বোচ্চ 3য় ক্রম।
প্রথম অন্ধকার a sinθ = λ; কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল পটির প্রস্থ = 2λD/a।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন0.1 mm চিড়ে 5000 Å আলো, পর্দা 1 m দূরে। কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল পটির প্রস্থ কত?
সমাধান2×5×10−7×1/10−4 = 10−2 m = 1 cm।
দূরে সরলে λ বাড়ে (লোহিত সরণ), কাছে এলে কমে (নীল সরণ)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি ছায়াপথের 5000 Å রেখা 5050 Å-এ দেখা গেল। বেগ কত ও কোন দিকে?
সমাধানv = (50/5000)×3×108 = 3×106 m/s, দূরে সরছে।
২য় পত্র · ৮. আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সূচনা
hc ≈ 12400 eV·Å (= 1240 eV·nm) — h, c আলাদা বসানোর দরকার নেই।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন4000 Å আলোর ফোটনের শক্তি কত eV?
সমাধানE = 12400/4000 = 3.1 eV।
eV₀ = 12400/λ − W₀ (সব eV-তে)। গতিশক্তি যত eV, নিবৃত্তি বিভব তত V।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন2000 Å আলো 4.2 eV কার্যাপেক্ষকের ধাতুতে পড়ল। নিবৃত্তি বিভব কত?
সমাধান12400/2000 = 6.2 eV → 6.2 − 4.2 = 2 eV → V₀ = 2 V।
V ভোল্টে ত্বরিত ইলেকট্রনের λ = 12.27/√V Å।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন100 V-এ ত্বরিত ইলেকট্রনের দ্য ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত?
সমাধানλ = 12.27/10 = 1.227 Å।
λ = h/√(2mqV) ∝ 1/√(mq)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নপ্রোটন ও আলফা কণা একই বিভবে ত্বরিত হলে λp : λα কত?
সমাধান√(4×2) = 2√2 → 2√2 : 1।
√(1 − v²/c²): 0.6c → 0.8, 0.8c → 0.6, 0.866c → 0.5। দৈর্ঘ্য এই গুণ হয়; সময় ও ভর এর উল্টো গুণ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন100 m লম্বা রকেট 0.8c বেগে চললে পৃথিবী থেকে কত লম্বা দেখাবে?
সমাধান100 × 0.6 = 60 m।
m = γm₀; γ = n হলে v = c√(1 − 1/n²)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নকোন বেগে চললে বস্তুর ভর স্থির ভরের দ্বিগুণ হবে?
সমাধানv = c√(3/4) = 0.866c।
২য় পত্র · ৯. পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান
n = t/T½ হলে অবশিষ্ট = (1/2)n; গড় আয়ু τ = 1.44 T½।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঅর্ধায়ু 5 দিন। 20 দিন পর কত অংশ থাকবে ও কত অংশ ক্ষয় হবে?
সমাধানn = 4 → অবশিষ্ট 1/16, ক্ষয় 15/16।
α সংখ্যা = (A₁ − A₂)/4; β সংখ্যা = 2×α − (Z₁ − Z₂)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন²³⁸₉₂U ক্ষয় হয়ে ²⁰⁶₈₂Pb হয়। কয়টি α ও β কণা নির্গত হয়?
সমাধানα = 32/4 = 8; β = 16 − 10 = 6।
rn = 0.529 n²/Z Å, En = −13.6 Z²/n² eV, vn = 2.18×106 Z/n m/s।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নহাইড্রোজেনের 3য় কক্ষের ব্যাসার্ধ ও শক্তি কত?
সমাধানr = 0.529×9 = 4.76 Å; E = −13.6/9 = −1.51 eV।
n-তম স্তর থেকে নামলে সর্বোচ্চ রেখা n(n − 1)/2।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নn = 5 স্তর থেকে ইলেকট্রন নামলে সর্বোচ্চ কয়টি বর্ণালী রেখা?
সমাধান5×4/2 = 10টি।
ΔE (eV) বের করে λ(Å) = 12400/ΔE — রিডবার্গ সূত্র লাগে না।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নহাইড্রোজেনে n = 2 থেকে n = 1-এ নামলে নির্গত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত?
সমাধানΔE = 13.6 − 3.4 = 10.2 eV → λ = 12400/10.2 ≈ 1216 Å (অতিবেগুনি)।
R = R₀A1/3 (R₀ ≈ 1.2 fm) → সব নিউক্লিয়াসের ঘনত্ব প্রায় সমান।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন²⁷Al ও ¹²⁵Te নিউক্লিয়াসের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
সমাধান(27/125)1/3 = 3 : 5।
২য় পত্র · ১০. সেমিকন্ডাক্টর ও ইলেকট্রনিক্স
β = α/(1 − α), α = β/(1 + β); IE = IB + IC।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি ট্রানজিস্টরে IE = 10 mA, IC = 9.8 mA। α ও β কত?
সমাধানα = 0.98; IB = 0.2 mA → β = 49।
সম্মুখী বায়াসে I = (V − Vknee)/R; সিলিকন 0.7 V, জার্মেনিয়াম 0.3 V। বিমুখীতে I ≈ 0।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন5 V ব্যাটারি, 1 kΩ রোধ ও সিলিকন ডায়োড সম্মুখী বায়াসে শ্রেণিতে। প্রবাহ কত?
সমাধানI = (5 − 0.7)/1000 = 4.3 mA।
অর্ধতরঙ্গে রিপল f, সর্বোচ্চ দক্ষতা 40.6%; পূর্ণতরঙ্গে রিপল 2f, 81.2%।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন50 Hz AC পূর্ণতরঙ্গ রেক্টিফায়ারে দিলে রিপল কম্পাঙ্ক কত?
সমাধান2×50 = 100 Hz।
AND: সব 1 হলেই 1। OR: সব 0 হলেই 0। NAND: সব 1 হলেই 0। NOR: সব 0 হলেই 1। XOR: ইনপুট ভিন্ন হলে 1।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নA = 1, B = 0 হলে NAND, NOR ও XOR-এর আউটপুট কত?
সমাধানNAND = 1, NOR = 0, XOR = 1।
A + AB = A; A(A + B) = A; A + A̅B = A + B; A + 1 = 1; A·A̅ = 0।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নY = A + A̅B + AB সরল করো।
সমাধানA + AB = A → Y = A + A̅B = A + B।
ডান থেকে ঘরের মান 1, 2, 4, 8, 16, 32… — যেখানে 1 আছে সেগুলো যোগ। উল্টোটায় বড় ঘাত থেকে বিয়োগ করতে থাকো।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন(101101)₂ = ? এবং (25)₁₀ = ?
সমাধান32 + 8 + 4 + 1 = 45; 25 = 16 + 8 + 1 → (11001)₂।
CE বিবর্ধকে Av = β × RL/Rin।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নβ = 50, লোড রোধ 4 kΩ, ইনপুট রোধ 1 kΩ। ভোল্টেজ লাভ কত?
সমাধানAv = 50×4/1 = 200।
২য় পত্র · ১১. জ্যোতির্বিজ্ঞান
t = d/c; 1 AU ≈ 1.5×1011 m → ≈ 500 s। চাঁদ থেকে ≈ 1.3 s।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নসূর্যের আলো পৃথিবীতে আসতে কত সময় লাগে?
সমাধান1.5×1011/3×108 = 500 s = 8 মিনিট 20 সেকেন্ড।
d (পারসেক) = 1/p (আর্কসেকেন্ড); 1 pc = 3.26 আলোকবর্ষ।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি নক্ষত্রের লম্বন 0.5″। দূরত্ব কত আলোকবর্ষ?
সমাধানd = 2 pc = 2×3.26 = 6.52 আলোকবর্ষ।
λmaxT = 2.9×10−3 m·K → শীর্ষ λ দেখেই পৃষ্ঠের তাপমাত্রা।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নসূর্যের বিকিরণের শীর্ষ 5000 Å-এ। পৃষ্ঠের তাপমাত্রা কত?
সমাধানT = 2.9×10−3/5×10−7 = 5800 K।
নক্ষত্রের ঔজ্জ্বল্য L = 4πR²σT⁴ → অনুপাতে শুধু R² ও T⁴ গুণ করো।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নএকটি নক্ষত্রের ব্যাসার্ধ সূর্যের 2 গুণ, তাপমাত্রা অর্ধেক। ঔজ্জ্বল্য সূর্যের কত গুণ?
সমাধান2² × (1/2)⁴ = 1/4 গুণ।
Rs = 2GM/c² ≈ 3 km × (M/Mসূর্য)।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন10 সৌরভরের কৃষ্ণগহ্বরের ঘটনা দিগন্তের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান≈ 3 × 10 = 30 km।
সরণ বেগ দূরত্বের সমানুপাতিক; মহাবিশ্বের আনুমানিক বয়স ≈ 1/H₀।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নH₀ = 70 km/s/Mpc হলে 100 Mpc দূরের ছায়াপথের সরণ বেগ কত?
সমাধানv = 70×100 = 7000 km/s।
কিছু পাওয়া যায়নি — অন্য শব্দে খুঁজো।