ভেক্টর

মান শূন্য হলে সেটি নাল ভেক্টর, আর নাল ভেক্টরের দিক অনির্দিষ্ট।

যেকোনো দিক ধরে নেওয়া যায়, কারণ শূন্যকে যেকোনো দিকে বসালেও ফল একই।

ভেক্টরের মান সবসময় অঋণাত্মক।

−5 ms⁻¹ মানে মান 5, দিক ধরে নেওয়া ধনাত্মক দিকের বিপরীতে।

যেকোনো বদ্ধ বহুভুজের বাহু ক্রমানুসারে সাজালে লব্ধি শূন্য।

ষড়ভুজ, পঞ্চভুজ, ত্রিভুজ — সবার ক্ষেত্রেই একই কথা।

ডট ও ক্রস — দুইটাই বণ্টন সূত্র মানে:

A⃗ · (B⃗ + C⃗) = A⃗ · B⃗ + A⃗ · C⃗
A⃗ × (B⃗ + C⃗) = A⃗ × B⃗ + A⃗ × C⃗

তবে ক্রস বিনিময় সূত্র মানে না।

A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)

ক্রম উল্টালে চিহ্ন বদলে যায়, তাই ক্রস গুণফল বিনিময় সূত্র মানে না।

ডান-হাত নিয়ম ও ডান-হাতি স্ক্রু নিয়ম — দুইটাই ক্রস গুণফলের দিক দেয়, ফল একই।

ফ্লেমিংয়ের বাম-হাত নিয়ম আলাদা জিনিস — এটি মোটরে বলের দিক বের করতে ব্যবহৃত হয়।

A⃗ × A⃗ = A·A·sin0° · n̂ = 0⃗

নিজের সাথে কোণ শূন্য, তাই sin0° = 0।
তুলনায় A⃗ · A⃗ = A² (শূন্য নয়)।

স্রোত বিপরীত দিকে হওয়ায় সেটি নৌকার বেগ থেকে বিয়োগ হয়।

v_{কার্যকর} = v_নৌকা − v_{স্রোত}

স্রোতের বেগ বেশি হলে নৌকা পিছিয়ে যাবে।

সাম্যাবস্থায় প্রতিটি অক্ষ বরাবর উপাংশের সমষ্টি শূন্য —
ΣF_x = 0 এবং ΣF_y = 0

এই দুইটি সমীকরণ থেকেই দুইটি টান বের করা যায়। লামির উপপাদ্যও ব্যবহার করা যায়।

বেগ সবসময় গতিপথের স্পর্শক বরাবর।

কেন্দ্রমুখী ত্বরণ থাকে ব্যাসার্ধ বরাবর কেন্দ্রের দিকে — বেগের সাথে লম্ব।
এই লম্বতার কারণেই সুষম বৃত্তাকার গতিতে দ্রুতি বদলায় না।

যেকোনো ভেক্টরকে লেখা যায় — মান × দিক

A⃗ = |A⃗| Â

মান স্কেলার, একক ভেক্টর দিক দেয় — দুইটা মিলে পূর্ণ ভেক্টর।

|যোগফল|² − |বিয়োগফল|² = 4AB cosθ

cosθ ঋণাত্মক হলে (θ > 90°) যোগফল ছোট হয়ে যায়।
θ = 90° এ দুইটা সমান, আর θ < 90° এ যোগফল বড়।

A⃗ · Â = A × 1 × cos0° = A

অর্থাৎ ঐ দিকে ভেক্টরটির অভিক্ষেপ পাওয়া যায় — এক্ষেত্রে পুরো মানটাই।

ডট শূন্য হতে θ = 90° লাগে, ক্রস শূন্য হতে θ = 0° বা 180° লাগে।

দুইটা শর্ত একসাথে সম্ভব নয় — যদি না A = 0 বা B = 0 হয়।
∴ অন্তত একটি নাল ভেক্টর।

তিনটি উপাংশ সমান হলে দিক কোসাইনও সমান: cosα = cosβ = cosγ

3cos²α = 1 ⟹ cosα = 1√3
∴ α = cos⁻¹(1/√3) ≈ 54.7°।

মান = 3² + 4² = 25 = 5
ফাঁদ: উপাংশ দুটি যোগ করে 7 বা বর্গের যোগফল 25 লেখা — বর্গমূল নিতে ভুলে যাওয়া সবচেয়ে সাধারণ ভুল।

R = A² + A² + 2A² cos θ = A ধরে বর্গ করে:
2A²(1 + cos θ) = A² ⇒ cos θ = −12 ⇒ θ = 120°
ফাঁদ: 60° দিলে লব্ধি হয় A3, সমান নয়।

A·B = AB cos θ = 0 এবং A, B ≠ 0 ⇒ cos θ = 0 ⇒ θ = 90°।
অন্যদিকে ভেক্টর গুণফল শূন্য হলে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল বা বিপরীতমুখী হয়।
ফাঁদ: ডট ও ক্রস গুণফলের শর্ত দুটি উল্টে ফেলা।

mA-এর মান |m|A, আর m ঋণাত্মক হলে দিক ঠিক বিপরীত হয়ে যায়।
যেমন −2A-এর মান 2A, দিক A-এর বিপরীত।
ফাঁদ: m = −1 হলে শুধু দিক বদলায় — কিন্তু সাধারণভাবে মানও বদলায়।

R = A² + B² + 2AB cos θ; cos θ সর্বনিম্ন (−1) হলে R সর্বনিম্ন = |A − B|।
cos θ = −1 ⇒ θ = 180°, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী।
ফাঁদ: 0° দিলে লব্ধি সর্বোচ্চ (A + B) হয়।