ভেক্টর

দূরত্ব হলো পুরো পথের দৈর্ঘ্য, সরণ হলো সরাসরি ব্যবধান।

সরলরেখায় একদিকে চললে দুইটা সমান হয়, বাকি সব ক্ষেত্রে সরণ ছোট।
∴ |সরণ| ≤ দূরত্ব — সবসময় সত্য।

ভেক্টরের মান |A⃗| সবসময় অঋণাত্মক — শূন্য বা ধনাত্মক।

ঋণাত্মক চিহ্ন দিক বোঝায়, মান নয়। যেমন −5 m/s মানে মান 5, দিক উল্টো।

সর্বোচ্চ (θ = 0°): R = 8 + 6 = 14 N
সর্বনিম্ন (θ = 180°): R = |8 − 6| = 2 N

লব্ধির মান সবসময় এই দুইটার মাঝে থাকে।

R = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 N

(৫, ১২, ১৩ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী।)

তল বরাবর উপাংশ = F cosθ = 20 × cos30°
= 20 × √32 = 10√3 ≈ 17.3 N।

4P² = 2P²(1 + cosθ)
বা, 1 + cosθ = 2
∴ cosθ = 1 ⟹ θ = 0°

অর্থাৎ দুইটি সমান বল একই দিকে থাকলেই লব্ধি দ্বিগুণ হয়।

A_x = A cos45°
10 = A × 1√2
∴ A = 10√2 ≈ 14.14।

দূরত্ব = পুরো পথ = 30 + 40 = 70 m (স্কেলার)

সরণ = √(30² + 40²) = √2500 = 50 m (ভেক্টর)

সরণ সবসময় দূরত্বের চেয়ে ছোট বা সমান।

A⃗ + B⃗ = (4+3)î + (3+4)ĵ = 7î + 7ĵ

মান = √(7² + 7²) = √98 = 7√2 ≈ 9.9।

লব্ধি = (3 − 5)î + 4ĵ = −2î + 4ĵ

মান = √((−2)² + 4²) = √20 = 2√5 N ≈ 4.47 N।

লব্ধি বল, R = √(9² + 12²) = √225 = 15 N

a = Rm = 155 = 3 ms⁻²।

সরণ = 8î + 6ĵ + 10k̂

মান = √(8² + 6² + 10²)
= √(64 + 36 + 100) = √200 = 10√2 m ≈ 14.1 m।

কৌণিক বেগ ω⃗ একটি ভেক্টর — এর দিক ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর, ডান-হাত নিয়মে নির্ধারিত।

উল্লেখ্য, বৃহৎ কৌণিক সরণ ভেক্টর নয়, কারণ এটি বিনিময় সূত্র মানে না — ঘূর্ণনের ক্রম বদলালে ফল বদলে যায়।

বৃহৎ কৌণিক সরণ ভেক্টর যোগের বিনিময় সূত্র মানে না — একটি বইকে আগে x তারপর y অক্ষে ৯০° ঘোরালে যে অবস্থান হয়, উল্টো ক্রমে ঘোরালে সেটা হয় না।

তবে ক্ষুদ্র কৌণিক সরণ বিনিময় সূত্র মানে, তাই সেটি ভেক্টর।

তড়িৎ বিভব V স্কেলার — শুধু মান আছে।
তড়িৎ প্রাবল্য E⃗ ভেক্টর — মান ও দিক দুইটাই আছে।

এদের সম্পর্ক: E⃗ = −∇V।

বল ভেক্টর হলেও চাপ স্কেলার।

কারণ তরলের ভেতরে কোনো বিন্দুতে চাপ সব দিকে সমান — কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই।
দিক আসে তলের অভিলম্ব থেকে, চাপ থেকে নয়।

HSC পর্যায়ে জড়তার ভ্রামক I = Σmr² কে স্কেলার ধরা হয়।

তবে টর্ক ও কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর।

দূরত্ব স্কেলার, সরণ ভেক্টর — এদের মাত্রা এক হলেও ধরন আলাদা।

বল ও টর্ক দুইটাই ভেক্টর; কাজ ও শক্তি দুইটাই স্কেলার; বেগ ও ত্বরণ দুইটাই ভেক্টর।

বিভব শক্তি-সংক্রান্ত রাশি, তাই স্কেলার।
প্রাবল্য একক ভরের ওপর বল, তাই ভেক্টর।

তড়িৎ ক্ষেত্রেও ঠিক একই সম্পর্ক দেখা যায়।

লব্ধি = P + Q হয় শুধু তখনই যখন θ = 0°, অর্থাৎ দুইটি একই দিকে।

অন্য যেকোনো কোণে লব্ধি এর চেয়ে ছোট হবে।