ভেক্টর

লব্ধি বড় ভেক্টরটির দিকে বেশি ঝুঁকে থাকে, কারণ ঐটার প্রভাব বেশি।

দুইটি ভেক্টরের মান সমান হলে তখনই লব্ধি ঠিক মাঝ বরাবর (কোণের সমদ্বিখণ্ডক) যায়।

P⃗ − Q⃗ মানে P⃗ + (−Q⃗)

−Q⃗ এর দিক উল্টো, তাই অন্তর্ভুক্ত কোণ হয় (180° − θ), আর cos(180° − θ) = −cosθ
∴ সূত্রে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়ে যায়।

A⃗ − A⃗ = 0⃗

সমান ভেক্টর মানে মান ও দিক দুইটাই এক — তাই বিয়োগ করলে নাল ভেক্টর।

লব্ধি P⃗ এর সাথে α কোণ করলে —

tanα = Q sinθP + Q cosθ

লব Q⃗ এর লম্ব উপাংশ, হর হলো P⃗ বরাবর মোট উপাংশ।

লব্ধি P⃗ এর সাথে লম্ব হলে α = 90°, অর্থাৎ tanα অসীম।

তাই হর শূন্য হতে হবে: P + Q cosθ = 0
∴ cosθ = − PQ।

তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য মানে তারা একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করে।

ত্রিভুজ সবসময় একটি সমতলে থাকে, তাই ভেক্টর তিনটি অবশ্যই সহাবস্থ।
মান সমান হওয়া জরুরি নয়।

ভরবেগ, p⃗ = mv⃗

ভর স্কেলার হলেও বেগ ভেক্টর, তাই ভরবেগও ভেক্টর — এর দিক বেগের দিকেই।

F⃗ = dp⃗dt = ma⃗

বল ও ত্বরণ একই দিকে — দুইটাই ভেক্টর।

L⃗ = r⃗ × p⃗ — অবস্থান ভেক্টর আগে।

এর দিক ঘূর্ণন তলের লম্ব বরাবর, ডান-হাত নিয়মে নির্ধারিত হয়।

F⃗ = q(v⃗ × B⃗)

ক্রস গুণফল হওয়ায় বল সবসময় v⃗ ও B⃗ দুইটার ওপরই লম্ব।
এজন্যই চৌম্বক বল কোনো কাজ করে না — বল ও সরণ লম্ব।

|A⃗ × B⃗| = AB sinθ

sinθ সর্বোচ্চ (= 1) হয় θ = 90° এ, আর শূন্য হয় θ = 0° (বা 180°) এ।

অর্থাৎ লম্ব ভেক্টরের ক্রস গুণফল সর্বোচ্চ, সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য — ডট গুণফলে ঠিক উল্টো।

ক্ষেত্রফল ভেক্টর A⃗ তলের লম্ব বরাবর ধরা হয়।

φ = EA cosθ সর্বোচ্চ হয় যখন θ = 0°, অর্থাৎ A⃗ ও E⃗ সমান্তরাল।
তখন তলটি ক্ষেত্রের লম্ব থাকে — সবচেয়ে বেশি বলরেখা ভেদ করে।

W = Fs cos90° = 0

এজন্যই কুলি মাথায় বোঝা নিয়ে সমতলে হাঁটলে মহাকর্ষ বলের বিরুদ্ধে কোনো কাজ হয় না — বল উল্লম্ব, সরণ অনুভূমিক।

ক্ষেত্রফলকে ভেক্টর হিসেবে প্রকাশ করতে তার দিক ধরা হয় তলের অভিলম্ব বরাবর।

এতে ফ্লাক্স হিসাব সহজ হয় — φ = E⃗ · A⃗।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র: a⃗ = ΣF⃗m

তাই ত্বরণ সবসময় লব্ধি বলের দিকে হয় — কোনো একটি নির্দিষ্ট বলের দিকে নয়।

ওজন mg কে ভাগ করা হয় —
• তল বরাবর: mg sinθ (বস্তুকে নিচে টানে)
• তলের লম্ব: mg cosθ (অভিলম্ব বলের সমান)

এই বিভাজনই আনত তলের সব হিসাবের ভিত্তি।

সমবেগ মানে ত্বরণ শূন্য।

F⃗_{লব্ধি} = ma⃗ = 0⃗

অর্থাৎ অভিলম্ব বল ও ওজন সমান ও বিপরীত — বস্তুর আপাত ওজন অপরিবর্তিত থাকে।

শুধু একই জাতের রাশি যোগ করা যায় — বল ও বেগ যোগ করা যায় না।

তাই যোগ করতে হলে মাত্রা ও একক এক হতে হবে। দিক আলাদা হলে সমস্যা নেই, সেটাই তো ভেক্টর যোগ।

ভেক্টর দিয়ে ভেক্টরকে ভাগ করার কোনো সংজ্ঞা নেই।

ভেক্টরকে শুধু স্কেলার দিয়ে ভাগ করা যায় — যেমন একক ভেক্টর বের করার সময়।

ক্রিয়ারেখা বরাবর সরালে মান ও দিক কোনোটাই বদলায় না — ভেক্টরটি একই থাকে।

একে বলা হয় ভেক্টরের সঞ্চারণ নীতি (principle of transmissibility)।