ভেক্টর

ডাইভারজেন্স শূন্য মানে ক্ষেত্রের কোনো উৎস বা সিংক নেই — যত রেখা ঢোকে ততই বের হয়।

এমন ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল বলে। উদাহরণ: চৌম্বক ক্ষেত্র, কারণ ∇ · B⃗ = 0।

কার্ল শূন্য মানে ক্ষেত্রে কোথাও ঘূর্ণন নেই — একে অঘূর্ণনশীল বলে।

এমন ক্ষেত্র সংরক্ষণশীলও হয়, অর্থাৎ A⃗ = −∇φ আকারে লেখা যায়।
উদাহরণ: স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র, মহাকর্ষ ক্ষেত্র।

দ্বিতীয় বস্তুর সাপেক্ষে প্রথম বস্তুর আপেক্ষিক বেগ —

v⃗₁₂ = v⃗₁ − v⃗₂

এটি একটি ভেক্টর বিয়োগ, সাধারণ বিয়োগ নয়।

v⃗₁₂ = v⃗₁ − v⃗₂ = 0⃗

তাই পাশাপাশি একই বেগে চলা দুইটি ট্রেনের যাত্রীর কাছে অন্য ট্রেনটি স্থির মনে হয়।

v⃗₂ বিপরীত দিকে হওয়ায় সেটি ঋণাত্মক।

v₁₂ = v₁ − (−v₂) = v₁ + v₂

তাই মুখোমুখি আসা দুইটি গাড়ি অনেক দ্রুত কাছে আসছে মনে হয়।

লোকটির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ = v⃗_{বৃষ্টি} − v⃗_লোক

লোকের বেগ বিয়োগ হওয়ায় আপেক্ষিক বেগ পেছনদিকে হেলে যায় — অর্থাৎ বৃষ্টি সামনে থেকে আসছে মনে হয়।
তাই ছাতা সামনের দিকে হেলাতে হয়।

পার হতে সময় নির্ভর করে শুধু লম্ব উপাংশের ওপর: t = dv_লম্ব

নৌকা সরাসরি লম্ব বরাবর চালালে পুরো বেগটাই লম্ব উপাংশ হয়, তাই সময় সবচেয়ে কম।
তবে তখন নৌকা স্রোতে ভেসে কিছুটা নিচে গিয়ে পৌঁছাবে।

তিনটি সমান বল ১২০° ব্যবধানে থাকলে তারা একটি বদ্ধ সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।

বদ্ধ বহুভুজ গঠন করলে লব্ধি শূন্য।
এটাই সাম্যাবস্থার একটি সাধারণ উদাহরণ।

লামির উপপাদ্য: একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সহাবস্থ বল সাম্যাবস্থায় থাকলে —

Psinα = Qsinβ = Rsinγ

প্রতিটি বল বাকি দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সাইনের সমানুপাতিক।

সাম্যাবস্থার শর্ত: ΣF⃗ = 0⃗

অর্থাৎ সব বলের ভেক্টর যোগফল শূন্য হতে হবে, তখনই বস্তু স্থির থাকে বা সমবেগে চলে।

তিনটি বল ক্রমানুসারে সাজালে যদি একটি বদ্ধ ত্রিভুজ তৈরি হয়, তবে লব্ধি শূন্য — বস্তু সাম্যাবস্থায়।

বলগুলোর মান সমান হওয়া জরুরি নয়।

|A⃗ + B⃗| = |A⃗ − B⃗|
বর্গ করে: A² + B² + 2ABcosθ = A² + B² − 2ABcosθ
বা, 4ABcosθ = 0
∴ θ = 90°।

cos²α + cos²β + cos²γ = 1

কারণ A_x² + A_y² + A_z²A² = 1

এটি একক ভেক্টরের উপাংশ হওয়ারই ফল।

মহাকর্ষ ক্ষেত্রে বদ্ধ পথে ঘুরে এলে মোট কাজ শূন্য — তাই এটি সংরক্ষণশীল।

সংরক্ষণশীল হওয়ায় এর কার্লও শূন্য, অর্থাৎ অঘূর্ণনশীল।
একে মহাকর্ষ বিভবের গ্রেডিয়েন্ট আকারে লেখা যায়।

লম্বভাবে যেতে হলে নৌকার বেগের অনুভূমিক উপাংশ স্রোতকে কাটাতে হবে —

5 sinα = 3
বা, sinα = 35 = 0.6
∴ α = 37°

তখন পারাপারের কার্যকর বেগ = √(5² − 3²) = 4 ms⁻¹।

লম্ব বরাবর চালালে পুরো বেগটাই লম্ব উপাংশ।

t = dv = 1205 = 24 s

স্রোত সময়ের ওপর প্রভাব ফেলে না — শুধু নৌকাকে ভাটিতে সরিয়ে দেয়।

v₂₁ = v₂ − v₁
= 54 − 72 = −18 kmh⁻¹

ঋণাত্মক চিহ্ন মানে দ্বিতীয় ট্রেনটি প্রথমটির সাপেক্ষে পিছিয়ে পড়ছে।

v⃗_{বাতাস,লোক} = v⃗_{বাতাস} − v⃗_লোক
= 3î − 4ĵ (পূর্ব = î, উত্তর = ĵ)

মান = √(3² + 4²) = 5 kmh⁻¹।

A_y = A sinθ = 20 × sin30°
= 20 × 12 = 10

(x-উপাংশ হতো 20 cos30° = 10√3 ≈ 17.3)

সামান্তরিক সূত্র: R = √(P² + Q² + 2PQ cosθ)

θ হলো দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ। ঋণাত্মক চিহ্নওয়ালা সূত্রটি বিয়োগফলের জন্য।