ভেক্টর

ক্রস গুণফলের মান পাওয়া যায় AB sinθ থেকে।

কিন্তু ফলাফল ভেক্টরটি সমতলের কোন পাশে থাকবে — উপরে না নিচে — সেটা ঠিক করে ডান-হাত নিয়ম।

τ⃗ = r⃗ × F⃗ — অবস্থান ভেক্টর আগে, বল পরে।

ক্রম উল্টালে টর্কের দিক উল্টে যাবে, কারণ ক্রস গুণফল বিনিময় সূত্র মানে না।

τ = rF sinθ

সমরেখ মানে θ = 0° বা 180°, তখন sinθ = 0
∴ τ = 0

এজন্যই দরজার কব্জা বরাবর ধাক্কা দিলে দরজা ঘোরে না।

স্কেলার ট্রিপল গুণফল A⃗ · (B⃗ × C⃗) হলো তিনটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন।

তিনটি একই সমতলে থাকলে আয়তন শূন্য হয়ে যায়।

(B⃗ × C⃗) এর মান ভূমির ক্ষেত্রফল, আর A⃗ এর সেই লম্ব বরাবর উপাংশ হলো উচ্চতা।

ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = আয়তন।

সমান্তরাল হলে θ = 0° বা 180°, তখন sinθ = 0

∴ A⃗ × B⃗ = 0⃗

অন্যদিকে ডট গুণফল শূন্য হলে ভেক্টর দুইটি লম্ব।

A⃗ · B⃗ = (2)(1) + (3)(−1) + (−1)(2)
= 2 − 3 − 2 = −3।

W = F⃗ · s⃗ = (5)(2) + (3)(4)
= 10 + 12 = 22 J

কাজ স্কেলার, তাই উত্তরে দিক থাকে না।

k̂ উপাংশ = A_xB_y − A_yB_x
= (1)(−1) − (1)(1) = −2

î ও ĵ উপাংশ শূন্য (দুইটাই xy-তলে)
∴ A⃗ × B⃗ = −2k̂।

τ_z = x F_y − y F_x
= (2)(4) − (1)(3) = 8 − 3 = 5

∴ τ⃗ = 5k̂ N·m।

A⃗ · B⃗ = AB cos60°
= 4 × 5 × 12 = 10।

|A⃗ × B⃗| = AB sin30°
= 3 × 4 × 12 = 6।

লম্ব হওয়ার শর্ত: ডট গুণফল = 0

(p)(3) + (2)(−1) = 0
বা, 3p = 2
∴ p = 2/3।

ক্ষেত্রফল = |A⃗ × B⃗|

k̂ উপাংশ = (2)(3) − (1)(1) = 6 − 1 = 5
∴ ক্ষেত্রফল = 5 বর্গ একক।

অভিক্ষেপ (projection) = A cosθ
= 10 × cos60° = 10 × 12 = 5

অর্থাৎ অভিক্ষেপ = A⃗ · B⃗|B⃗|।

∇ একটি ভেক্টর অপারেটর — এতে একক ভেক্টর ও আংশিক অন্তরকলজ দুইটাই থাকে।

∇ = î ∂∂x + ĵ ∂∂y + k̂ ∂∂z

একক ভেক্টর ছাড়া লিখলে সেটা আর ভেক্টর অপারেটর থাকে না।

∇φ (গ্রেডিয়েন্ট) একটি ভেক্টর রাশি।

স্কেলার ক্ষেত্র → গ্রেডিয়েন্ট → ভেক্টর ক্ষেত্র। যেমন বিভব (স্কেলার) থেকে তড়িৎ প্রাবল্য (ভেক্টর) পাওয়া যায়।

∇φ সেই দিকে নির্দেশ করে যেদিকে φ সবচেয়ে দ্রুত বাড়ে, আর এর মান ঐ সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার।

∇φ সর্বদা সমবিভব তলের ওপর লম্ব থাকে।

ডট গুণফলের ফলাফল সবসময় স্কেলার — ∇ · A⃗ ও তাই।

∇ · A⃗ = ∂A_x∂x + ∂A_y∂y + ∂A_z∂z।

ক্রস গুণফলের ফলাফল সবসময় ভেক্টর।

কার্ল ক্ষেত্রের ঘূর্ণন পরিমাপ করে, আর ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর দিক থাকে।