৪১
6 N ও 8 N দুইটি বলের লব্ধি 10 N হলে বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
PV Special
ক
0°
খ
60°
গ
90°
ঘ
180°
ব্যাখ্যা
102 = 62 + 82 + 2(6)(8) cosθ
বা, 100 = 36 + 64 + 96 cosθ
বা, 96 cosθ = 0
∴ θ = 90°
(৬, ৮, ১০ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী — তাই লম্ব হওয়াই স্বাভাবিক।)
বা, 100 = 36 + 64 + 96 cosθ
বা, 96 cosθ = 0
∴ θ = 90°
(৬, ৮, ১০ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী — তাই লম্ব হওয়াই স্বাভাবিক।)
৪২
একটি বস্তুর ওপর 10 N বল x-অক্ষের সাথে 60° কোণে ক্রিয়া করছে। বলের x-উপাংশ কত?
PV Special
ক
5√3 N
খ
5 N
গ
10 N
ঘ
8.66 N
ব্যাখ্যা
Fx = F cosθ = 10 × cos60°
= 10 × 12 = 5 N
(y-উপাংশ হতো 10 sin60° = 5√3 ≈ 8.66 N)
= 10 × 12 = 5 N
(y-উপাংশ হতো 10 sin60° = 5√3 ≈ 8.66 N)
৪৩
দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সঠিক সংজ্ঞা কোনটি?
PV Special
ক
AB sinθ
খ
AB cosθ
গ
AB tanθ
ঘ
AB sinθ n̂
ব্যাখ্যা
A⃗ · B⃗ = AB cosθ
এখানে θ হলো দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ। ফলাফল একটি স্কেলার রাশি।
AB sinθ n̂ হলো ভেক্টর (ক্রস) গুণফল।
এখানে θ হলো দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ। ফলাফল একটি স্কেলার রাশি।
AB sinθ n̂ হলো ভেক্টর (ক্রস) গুণফল।
৪৪
দুইটি অশূন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্য হলে ভেক্টর দুইটি—
PV Special
ক
পরস্পর লম্ব
খ
সমান্তরাল
গ
বিপরীতমুখী
ঘ
সমান
ব্যাখ্যা
AB cosθ = 0, আর A ≠ 0, B ≠ 0
∴ cosθ = 0 ⟹ θ = 90°
এটাই দুইটি ভেক্টরের লম্ব হওয়ার শর্ত।
∴ cosθ = 0 ⟹ θ = 90°
এটাই দুইটি ভেক্টরের লম্ব হওয়ার শর্ত।
৪৫
স্কেলার গুণফল সর্বোচ্চ হয় কখন?
PV Special
ক
θ = 0°
খ
θ = 45°
গ
θ = 90°
ঘ
θ = 180°
ব্যাখ্যা
A⃗ · B⃗ = AB cosθ
cos0° = 1 → সর্বোচ্চ মান AB
cos180° = −1 → সর্বনিম্ন মান −AB।
cos0° = 1 → সর্বোচ্চ মান AB
cos180° = −1 → সর্বনিম্ন মান −AB।
৪৬
স্কেলার গুণফল সম্পর্কে কোন উক্তিটি সঠিক নয়?
PV Special
ক
A⃗ · B⃗ = B⃗ · A⃗
খ
A⃗ · A⃗ = A2
গ
A⃗ · (B⃗ + C⃗) = A⃗ · B⃗ + A⃗ · C⃗
ঘ
ফলাফল একটি ভেক্টর রাশি
ব্যাখ্যা
স্কেলার গুণফলের ফলাফল সবসময় স্কেলার, ভেক্টর নয় — তাই (ঘ) ভুল।
বাকি তিনটি সঠিক: এটি বিনিময় ও বণ্টন সূত্র মানে, আর নিজের সাথে গুণ করলে বর্গ পাওয়া যায়।
বাকি তিনটি সঠিক: এটি বিনিময় ও বণ্টন সূত্র মানে, আর নিজের সাথে গুণ করলে বর্গ পাওয়া যায়।
৪৭
î · î এবং î · ĵ এর মান যথাক্রমে—
PV Special
ক
0 এবং 1
খ
1 এবং 1
গ
0 এবং 0
ঘ
1 এবং 0
ব্যাখ্যা
î · î = (1)(1) cos0° = 1
î · ĵ = (1)(1) cos90° = 0
একই একক ভেক্টরের ডট গুণফল ১, ভিন্ন (লম্ব) হলে ০।
î · ĵ = (1)(1) cos90° = 0
একই একক ভেক্টরের ডট গুণফল ১, ভিন্ন (লম্ব) হলে ০।
৪৮
নিচের কোন রাশিটি স্কেলার গুণফল থেকে পাওয়া যায়?
PV Special
ক
কাজ
খ
টর্ক
গ
কৌণিক ভরবেগ
ঘ
লরেঞ্জ বল
ব্যাখ্যা
কাজ, W = F⃗ · s⃗ = Fs cosθ → স্কেলার গুণফল
বাকিগুলো ক্রস গুণফল:
• টর্ক = r⃗ × F⃗
• কৌণিক ভরবেগ = r⃗ × p⃗
• লরেঞ্জ বল = q(v⃗ × B⃗)
বাকিগুলো ক্রস গুণফল:
• টর্ক = r⃗ × F⃗
• কৌণিক ভরবেগ = r⃗ × p⃗
• লরেঞ্জ বল = q(v⃗ × B⃗)
৪৯
চৌম্বক ফ্লাক্স φ = B⃗ · A⃗ — এই রাশিটি কী ধরনের?
PV Special
ক
ভেক্টর
খ
টেনসর
গ
একক ভেক্টর
ঘ
স্কেলার
ব্যাখ্যা
দুইটি ভেক্টরের ডট গুণফল সবসময় স্কেলার।
তাই চৌম্বক ফ্লাক্স একটি স্কেলার রাশি, যদিও B⃗ ও A⃗ দুইটাই ভেক্টর।
তাই চৌম্বক ফ্লাক্স একটি স্কেলার রাশি, যদিও B⃗ ও A⃗ দুইটাই ভেক্টর।
৫০
A⃗ · B⃗ ঋণাত্মক হলে অন্তর্ভুক্ত কোণ সম্পর্কে কী বলা যায়?
PV Special
ক
θ < 90°
খ
θ = 90°
গ
θ = 0°
ঘ
90° < θ ≤ 180°
ব্যাখ্যা
ডট গুণফলের চিহ্ন cosθ এর চিহ্নের ওপর নির্ভর করে।
cosθ ঋণাত্মক হয় যখন θ স্থূলকোণ, অর্থাৎ 90° < θ ≤ 180°
কাজের ক্ষেত্রে এটাই ঘটে যখন বল সরণের বিপরীতে ক্রিয়া করে — যেমন ঘর্ষণ বল।
cosθ ঋণাত্মক হয় যখন θ স্থূলকোণ, অর্থাৎ 90° < θ ≤ 180°
কাজের ক্ষেত্রে এটাই ঘটে যখন বল সরণের বিপরীতে ক্রিয়া করে — যেমন ঘর্ষণ বল।
৫১
একটি ভেক্টরের নিজের সাথে স্কেলার গুণফল কত?
PV Special
ক
শূন্য
খ
এক
গ
ভেক্টরটির মান
ঘ
ভেক্টরটির মানের বর্গ
ব্যাখ্যা
A⃗ · A⃗ = A · A · cos0° = A2
নিজের সাথে কোণ শূন্য, তাই cos0° = 1।
নিজের সাথে কোণ শূন্য, তাই cos0° = 1।
৫২
ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃত কাজ ঋণাত্মক হয় কেন?
PV Special
ক
বল শূন্য বলে
খ
বল ও সরণের কোণ ১৮০°
গ
সরণ শূন্য বলে
ঘ
ঘর্ষণ ভেক্টর নয় বলে
ব্যাখ্যা
ঘর্ষণ বল সবসময় গতির বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে, তাই θ = 180°
W = Fs cos180° = −Fs
ঋণাত্মক কাজ মানে বল শক্তি শোষণ করছে।
W = Fs cos180° = −Fs
ঋণাত্মক কাজ মানে বল শক্তি শোষণ করছে।
৫৩
স্কেলার গুণফল ব্যবহার করে দুইটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্র—
PV Special
ক
sinθ = A⃗ · B⃗AB
খ
tanθ = A⃗ · B⃗AB
গ
cosθ = ABA⃗ · B⃗
ঘ
cosθ = A⃗ · B⃗AB
ব্যাখ্যা
A⃗ · B⃗ = AB cosθ থেকে সরাসরি —
cosθ = A⃗ · B⃗|A⃗| |B⃗|
উপাংশ জানা থাকলে এভাবেই কোণ বের করা হয়।
cosθ = A⃗ · B⃗|A⃗| |B⃗|
উপাংশ জানা থাকলে এভাবেই কোণ বের করা হয়।
৫৪
দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের সঠিক রূপ কোনটি?
PV Special
ক
AB cosθ
খ
AB tanθ n̂
গ
AB sinθ n̂
ঘ
AB cosθ n̂
ব্যাখ্যা
A⃗ × B⃗ = AB sinθ n̂
এখানে n̂ হলো A⃗ ও B⃗ যে সমতলে আছে তার লম্ব বরাবর একক ভেক্টর, দিক ঠিক হয় ডান-হাত নিয়মে। ফলাফল একটি ভেক্টর।
এখানে n̂ হলো A⃗ ও B⃗ যে সমতলে আছে তার লম্ব বরাবর একক ভেক্টর, দিক ঠিক হয় ডান-হাত নিয়মে। ফলাফল একটি ভেক্টর।
৫৫
ভেক্টর গুণফল সর্বোচ্চ হয় কখন?
PV Special
ক
θ = 0°
খ
θ = 45°
গ
θ = 90°
ঘ
θ = 180°
ব্যাখ্যা
|A⃗ × B⃗| = AB sinθ
sin90° = 1 → সর্বোচ্চ মান AB
sin0° = sin180° = 0 → সমরেখ হলে ক্রস গুণফল শূন্য।
sin90° = 1 → সর্বোচ্চ মান AB
sin0° = sin180° = 0 → সমরেখ হলে ক্রস গুণফল শূন্য।
৫৬
ভেক্টর গুণফল সম্পর্কে কোন উক্তিটি সঠিক?
PV Special
ক
A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)
খ
A⃗ × B⃗ = B⃗ × A⃗
গ
A⃗ × A⃗ = A2
ঘ
ফলাফল একটি স্কেলার
ব্যাখ্যা
ক্রস গুণফল বিনিময় সূত্র মানে না — ক্রম উল্টালে চিহ্ন বদলে যায়।
A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)
আর A⃗ × A⃗ = 0⃗ (sin0° = 0), ফলাফল সবসময় ভেক্টর।
A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)
আর A⃗ × A⃗ = 0⃗ (sin0° = 0), ফলাফল সবসময় ভেক্টর।
৫৭
ĵ × k̂ এর মান কত?
PV Special
খ
1
গ
î
ঘ
−î
ব্যাখ্যা
ডান-হাত নিয়মে চক্রাকার ক্রম — î → ĵ → k̂ → î
î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ
উল্টো ক্রমে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়।
î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ
উল্টো ক্রমে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়।
৫৮
k̂ × ĵ এর মান কত?
PV Special
ক
î
খ
−î
গ
ĵ
ব্যাখ্যা
চক্রাকার ক্রম î → ĵ → k̂ এর উল্টো দিকে গেলে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়।
ĵ × k̂ = î ⟹ k̂ × ĵ = −î।
ĵ × k̂ = î ⟹ k̂ × ĵ = −î।
৫৯
দুইটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি?
PV Special
ক
A⃗ · B⃗
খ
12|A⃗ × B⃗|
গ
|A⃗ × B⃗|
ঘ
|A⃗| + |B⃗|
ব্যাখ্যা
ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = A × (B sinθ) = AB sinθ = |A⃗ × B⃗|
একই দুই বাহু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে এর অর্ধেক।
একই দুই বাহু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে এর অর্ধেক।
৬০
দুইটি ভেক্টরকে দুই বাহু ধরে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
PV Special
ক
|A⃗ × B⃗|
খ
12|A⃗ × B⃗|
গ
12(A⃗ · B⃗)
ঘ
2|A⃗ × B⃗|
ব্যাখ্যা
সামান্তরিকের কর্ণ টানলে দুইটি সমান ত্রিভুজ হয়।
তাই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12|A⃗ × B⃗|।
তাই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12|A⃗ × B⃗|।