ভেক্টর

স্বাধীন ভেক্টরের ক্রিয়াবিন্দু নির্দিষ্ট নয় — মান ও দিক ঠিক রেখে একে সমান্তরালে যেকোনো জায়গায় সরানো যায়।

অন্যদিকে বদ্ধ ভেক্টরের ক্রিয়াবিন্দু নির্দিষ্ট, যেমন অবস্থান ভেক্টর।

অবস্থান ভেক্টর সবসময় মূলবিন্দু থেকে শুরু হয় — একে সরানো যায় না, তাই এটি বদ্ধ ভেক্টর।

সরণ, বেগ ও ত্বরণকে সমান্তরালে সরানো যায়, তাই এগুলো স্বাধীন ভেক্টর হিসেবে ব্যবহার করা হয়।

ত্রিভুজ সূত্র: প্রথম ভেক্টরের শেষ প্রান্ত থেকে দ্বিতীয় ভেক্টর আঁকতে হয়। তখন প্রথমটির শুরু থেকে দ্বিতীয়টির শেষ পর্যন্ত টানা ভেক্টরই লব্ধি।

সামান্তরিক সূত্রে দুইটি ভেক্টর একই বিন্দু থেকে আঁকা হয়।

ভেক্টর যোগ বিনিময় ও বণ্টন সূত্র মানে, কিন্তু বিয়োগ বিনিময় সূত্র মানে না।

A⃗ − B⃗ = −(B⃗ − A⃗)
অর্থাৎ দুইটির মান সমান হলেও দিক ঠিক উল্টো।

R = √(P² + Q² + 2PQ cosθ)

cosθ সর্বোচ্চ (= 1) হয় θ = 0° এ।
∴ R_max = P + Q।

θ = 180° হলে cosθ = −1

R = √(P² + Q² − 2PQ) = |P − Q|

P = Q না হলে এটি শূন্য হয় না, তাই (ঘ) সবসময় সঠিক নয়।

দুইটি বাহু A⃗ ও B⃗ হলে —

• বড় কর্ণ = A⃗ + B⃗
• ছোট কর্ণ = A⃗ − B⃗

তাই কর্ণ দুইটি যোগফল ও বিয়োগফল দুইটাই দেয়।

বদ্ধ বহুভুজ গঠন করলে শুরুর বিন্দু ও শেষ বিন্দু এক হয়ে যায়।

ফলে মোট সরণ শূন্য, অর্থাৎ লব্ধি নাল ভেক্টর।
এটাই ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্রের ফল।

তিন বা তার বেশি ভেক্টরের লব্ধি বের করতে বহুভুজ সূত্র ব্যবহৃত হয় — প্রতিটির শেষ প্রান্তে পরেরটির শুরু বসিয়ে যেতে হয়।

প্রথমটির শুরু থেকে শেষটির শেষ পর্যন্ত টানা ভেক্টরই লব্ধি।

সমান মানের দুইটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিকটি একটি রম্বস হয়।

রম্বসের কর্ণ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই লব্ধি ঠিক মাঝ বরাবর যায়।

x-অক্ষের সাথে θ কোণ করলে —
R_x = Rcosθ,   R_y = Rsinθ

যাচাই: R_x² + R_y² = R²(cos²θ + sin²θ) = R²।

লম্ব উপাংশ Rcosθ বা Rsinθ কখনো R এর চেয়ে বড় হয় না, কারণ sin ও cos এর মান ১ এর বেশি নয়।

কিন্তু ভেক্টরকে অলম্ব দুই দিকে ভাগ করলে উপাংশ মূল ভেক্টরের চেয়ে বড় হতে পারে।

R_y = R sinθ = 0 ⟹ sinθ = 0 ⟹ θ = 0°

অর্থাৎ ভেক্টরটি সম্পূর্ণভাবে x-অক্ষ বরাবর।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য তিন মাত্রায় বাড়িয়ে —

|A⃗| = √(A_x² + A_y² + A_z²)

উপাংশগুলো যোগ করলে মান পাওয়া যায় না — ওগুলো পরস্পর লম্ব।

|A⃗| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।

|A⃗| = √(6² + 8²) = √100 = 10

 = 6î − 8ĵ10 = 0.6î − 0.8ĵ

যাচাই: √(0.6² + 0.8²) = √1 = 1 ✓।

|A⃗| = √(2² + 3² + 6²)
= √(4 + 9 + 36) = √49 = 7।

tanα = Q sinθP + Q cosθ

θ = 90° হওয়ায় sin90° = 1, cos90° = 0
∴ tanα = 125  ⟹  α = tan⁻¹(12/5) ≈ 67°

অর্থাৎ লব্ধি বড় বলটির দিকে বেশি ঝুঁকে থাকে।

R² = P² + P² + 2P² cosθ
বা, P² = 2P²(1 + cosθ)
বা, 1 + cosθ = 12
∴ cosθ = − 12 ⟹ θ = 120°।

2P² = 2P²(1 + cosθ)
বা, 1 + cosθ = 1
∴ cosθ = 0 ⟹ θ = 90°

অর্থাৎ সমান দুইটি বল লম্ব হলে লব্ধি √2 গুণ হয়।