ভেক্টর

টর্ক, τ⃗ = r⃗ × F⃗ — এর মান ও দিক দুটোই আছে, তাই ভেক্টর।

কাজ, ক্ষমতা ও তাপ শুধু মান দিয়েই সম্পূর্ণ — এগুলো স্কেলার।

রোধের কোনো দিক নেই, শুধু মান আছে — তাই স্কেলার।

ভরবেগ, কৌণিক বেগ ও তড়িৎ প্রাবল্য — তিনটাই ভেক্টর।

তড়িৎ প্রবাহের দিক থাকলেও এটি স্কেলার।

কারণ দুইটি প্রবাহ মেশালে ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে না — কার্শফের সূত্র অনুসারে সাধারণ বীজগাণিতিক যোগ হয়।

নিয়ম: শুধু দিক থাকলেই ভেক্টর নয়, ভেক্টর যোগের নিয়মও মানতে হবে।

ভেক্টর রাশি সাধারণ বীজগাণিতিক নিয়মে যোগ হয় না — ত্রিভুজ বা সামান্তরিক সূত্র মেনে যোগ হয়।

যেমন 3 N ও 4 N লম্ব হলে লব্ধি 7 N নয়, 5 N।

ভেক্টরের তিনটি শর্ত — মান থাকতে হবে, দিক থাকতে হবে, এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম (সামান্তরিক সূত্র) মানতে হবে।

তৃতীয় শর্তটির কারণেই তড়িৎ প্রবাহ ভেক্টর নয়।

সরণ ও ভরবেগ — দুইটাই ভেক্টর।

চাপ, কাজ, শক্তি ও দ্রুতি স্কেলার। বেগ ভেক্টর হলেও দ্রুতি স্কেলার, তাই (গ) জোড়াটি মেশানো।

তড়িৎ প্রবাহ ঘনত্ব J⃗ একটি ভেক্টর রাশি — এর সুনির্দিষ্ট দিক আছে এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে।

কিন্তু তড়িৎ প্রবাহ I স্কেলার, কারণ এটি বীজগাণিতিক নিয়মে যোগ হয়।

নাল ভেক্টরের মান শূন্য, একক ভেক্টরের মান ঠিক ১ — দুইটা আলাদা জিনিস।

ধর্ম: A⃗ + 0⃗ = A⃗  এবং  λ0⃗ = 0⃗।

সরণ = শেষ অবস্থান − শুরুর অবস্থান।

শুরু ও শেষ বিন্দু এক হওয়ায় সরণ শূন্য, অর্থাৎ নাল ভেক্টর।
তবে অতিক্রান্ত দূরত্ব পরিধির সমান — দূরত্ব স্কেলার, সরণ ভেক্টর।

দুইটি লম্ব ভেক্টরের ক্রস গুণফল সর্বোচ্চ — AB sin90° = AB, শূন্য নয়।

বাকি তিনটিতেই ফল নাল ভেক্টর:
• A⃗ + (−A⃗) = 0⃗
• 0 · A⃗ = 0⃗
• সমান্তরাল হলে sin0° = 0।

একক ভেক্টর, Â = A⃗|A⃗|

লব ও হর — দুইটারই একক এক, তাই ভাগ করলে একক কেটে যায়।
ফলে একক ভেক্টর মাত্রাহীন ও এককবিহীন, শুধু দিক বোঝায়।

যেকোনো ভেক্টরকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করলে ঐ দিকের একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

 = A⃗|A⃗|   এবং   A⃗ = |A⃗| Â।

î, ĵ, k̂ হলো x, y, z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।

একক ভেক্টর মাত্রাহীন — এদের কোনো মাত্রা নেই, তাই (খ) ভুল।
বাকি তিনটি সঠিক।

λ ধনাত্মক হলে λA⃗ এর দিক A⃗ এর মতোই থাকে, শুধু মান λ গুণ হয়।

λ ঋণাত্মক হলে দিক ঠিক উল্টে যায়।

ঋণাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করলে দুইটা কাজ হয় —
• মান |−3| = 3 গুণ হয়
• চিহ্ন ঋণাত্মক হওয়ায় দিক ঠিক ১৮০° উল্টে যায়।

দুইটি ভেক্টর সমান হয় তখনই যখন তাদের মান সমান এবং দিক একই।

শুরুর বিন্দু আলাদা হলেও সমস্যা নেই — মুক্ত ভেক্টরকে সমান্তরালে সরানো যায়।

একই দিকে ক্রিয়াশীল ভেক্টরগুলোকে সদৃশ ভেক্টর বলে — মান সমান হওয়া জরুরি নয়।

মান ও দিক দুইটাই এক হলে সেগুলো সমান ভেক্টর।

−A⃗ হলো A⃗ এর বিপরীত ভেক্টর — মান একই |A⃗|, কিন্তু দিক ঠিক উল্টো।

তাই A⃗ + (−A⃗) = 0⃗।

মূলবিন্দু O থেকে P বিন্দুতে টানা ভেক্টর r⃗ = xî + yĵ + zk̂ হলো P-এর অবস্থান ভেক্টর।

এটি সবসময় মূলবিন্দু থেকে গণনা করা হয়।

যে ভেক্টরগুলো একই সমতলে অবস্থান করে তাদের সহাবস্থ ভেক্টর বলে।

একই সরলরেখায় থাকলে বলা হয় সমরেখ (collinear) ভেক্টর।