ভেক্টর

এখানে, A = 5, B = 6, θ = 60°
|A × B| = AB sinθ = 5 × 6 × sin60° = 30 × 32 = 153 একক
ডট গুণফল হতো AB cosθ = 30 × 12 = 15 একক।

স্কেলার রাশির শুধু মান আছে, দিক নেই; দুটি অশূন্য স্কেলারের গুণফল কখনো শূন্য হয় না, আর স্কেলারের মধ্যে কোনো 'কোণ' ধারণাও নেই, তাই গ বক্তব্যটি সঠিক নয়।
স্কেলারের যোগ, বিয়োগ, গুণ সাধারণ বীজগণিতের নিয়মে হয় এবং মান বদলালেই রাশি বদলায়।
দুটি স্কেলারের গুণফল স্কেলার, যেমন ঘনত্ব × আয়তন = ভর, ক্ষমতা × সময় = কাজ।
ভেক্টরের ক্ষেত্রে অশূন্য দুটি ভেক্টর লম্ব হলে A·B = AB cosθ = 0, আর সমান্তরাল হলে |A × B| = AB sinθ = 0 হতে পারে; এটি ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য।

এখানে, পূর্বে 12 m, উত্তরে 5 m (পরস্পর লম্ব)
সরণ = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13 m
অতিক্রান্ত দূরত্ব 12 + 5 = 17 m, সরণ পূর্বের সাথে tan⁻¹(512) কোণে।

তড়িৎ বিভব স্কেলার রাশি: অসীম থেকে একক ধনাত্মক আধানকে কোনো বিন্দুতে আনতে কৃত কাজ, V = Wq = kqr, একক V (= JC⁻¹)। বিভবের শুধু মান আছে, দিক নেই; একাধিক আধানের বিভব বীজগাণিতিকভাবে যোগ হয়।
তড়িৎ প্রাবল্য E = Fq ভেক্টর (একক NC⁻¹ বা Vm⁻¹), E = −dVdr; ভরবেগ p = mv ভেক্টর; বেগ ভেক্টর।
অন্যান্য স্কেলার: কাজ, শক্তি, ভর, তাপমাত্রা, চাপ, বিভব শক্তি, তড়িৎ আধান, ধারকত্ব।

এখানে, ব্যক্তির বেগ v_m = 3 ms⁻¹, বৃষ্টির বেগ v_r = 3 ms⁻¹ (উল্লম্ব)
ব্যক্তির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ = v_r − v_m
tanθ = v_mv_r = 33 = 1, θ = 45°
উল্লম্বের সাথে 45° কোণে সামনের দিকে ছাতা ধরতে হবে।

স্কেলার রাশি: শুধু মান দ্বারা সম্পূর্ণ প্রকাশিত, ভর, দৈর্ঘ্য, সময়, তাপমাত্রা, কাজ, শক্তি, দ্রুতি, ঘনত্ব, বিভব।
ভেক্টর রাশি: মান ও দিক উভয় প্রয়োজন, সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল, ওজন, ভরবেগ, তড়িৎ প্রাবল্য, টর্ক।
ভর স্কেলার রাশি, তাই "সরণ, ওজন, বেগ, ভর, ত্বরণ, বল, তড়িৎ প্রাবল্য" তালিকায় ভরকে ভেক্টর বলা সঠিক নয়।
একটি ভেক্টরকে দুই বা ততোধিক উপাংশে বিভাজন করা যায় (লম্বাংশ Acosθ, Asinθ); ভেক্টর বীজগণিতের সূত্র: বিনিময় সূত্র A + B = B + A, সংযোগ সূত্র (A + B) + C = A + (B + C), বণ্টন সূত্র m(A + B) = mA + mB।

এখানে, u = 5 kmh⁻¹ (স্রোত), v = 10 kmh⁻¹ (নৌকা)
সোজাসুজি পার হতে v cosθ + u = 0, cosθ = −uv = −510 = −12
θ = 120° (স্রোতের সাথে)

এখানে, P = 20 N, Q = 60 N, α = 30°
R = P² + Q² + 2PQ cosα = 400 + 3600 + 2 × 20 × 60 × 0.866 = 6078.46 = 77.96 N

ভেক্টর যোগ বা সংযোজনের সূত্র: সাধারণ সূত্র (ত্রিভুজ সূত্র), সামান্তরিক সূত্র, বহুভুজ সূত্র ও উপাংশ সূত্র; 'সমান্তরাল' নামে কোনো ভেক্টর সূত্র নেই।
সামান্তরিক সূত্র: R = P² + Q² + 2PQ cosα, tanθ = Q sinαP + Q cosα।
উপাংশ সূত্র: R_x = ΣA cosθ, R_y = ΣA sinθ, R = R_x² + R_y²; বিয়োগ A − B = A + (−B)।

1586 সালে ডাচ বিজ্ঞানী সাইমন স্টেভিনাস বল ত্রিভুজ সূত্র (ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র) প্রকাশ করেন।
ত্রিভুজ সূত্র: দুটি ভেক্টর ত্রিভুজের দুই সন্নিহিত বাহু দ্বারা একই ক্রমে সূচিত হলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে লব্ধি নির্দেশ করে।
স্টেভিনাস আনত তলে বলের বিশ্লেষণ ও তরলস্থিতিবিদ্যাতেও (হাইড্রোস্ট্যাটিক প্যারাডক্স) অবদান রাখেন।

ভেক্টরের প্রকারভেদ: সমান ভেক্টর (মান ও দিক একই), ঋণ ভেক্টর (মান সমান, দিক বিপরীত), সমতলীয় ভেক্টর (একই তলে অবস্থিত), সমরেখ ভেক্টর, একক ভেক্টর (মান 1), শূন্য/নাল ভেক্টর (মান 0), অবস্থান ভেক্টর, সদৃশ ও বিসদৃশ ভেক্টর, স্বাধীন ও সীমাবদ্ধ ভেক্টর, অক্ষীয় ও মেরু ভেক্টর।
'ধন ভেক্টর' বলে আলাদা কোনো প্রকার নেই, যেকোনো ভেক্টর A-এর ঋণ ভেক্টর −A, কিন্তু 'ধন ভেক্টর' শ্রেণিবিভাগে নেই।
একক ভেক্টর a = A|A|; কার্তেসীয় একক ভেক্টর i, j, k।

কাজ W = F·s = Fs cosθ, দুটি ভেক্টরের স্কেলার (ডট) গুণফল, তাই কাজ স্কেলার রাশি; একক J, মাত্রা ML²T⁻²।
বল, ত্বরণ ও সরণ, প্রত্যেকের মান ও দিক দুটোই আছে এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে চলে, তাই এরা ভেক্টর।
অন্য পরিচিত স্কেলার: শক্তি, ক্ষমতা, ভর, সময়, তাপমাত্রা, ঘনত্ব, চাপ, বিভব; ভেক্টর: বেগ, ভরবেগ, টর্ক, তড়িৎ ক্ষেত্র, কৌণিক বেগ।