ভেক্টর

এখানে, বল = F, অনুভূমিকের সাথে কোণ = θ
অনুভূমিক উপাংশ = F cos θ, উল্লম্ব উপাংশ = F sin θ
লন রোলার টানলে উল্লম্ব উপাংশ F sin θ উপরের দিকে কাজ করায় কার্যকর ওজন W − F sin θ হয়।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র V-এর ডাইভারজেন্স ∇ · V = ∂V_x∂x + ∂V_y∂y + ∂V_z∂z, এটি স্কেলার, তাই ফলটি একটি স্কেলার ক্ষেত্র।
ডাইভারজেন্স কোনো বিন্দু থেকে ক্ষেত্রের নির্গত (বা অভিসারী) ফ্লাক্সের হার নির্দেশ করে।
গ্রেডিয়েন্ট ∇φ স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপ দেয় (নতিমাত্রা), কার্ল ∇ × V ভেক্টর ক্ষেত্র দেয়।
কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational), ডাইভারজেন্স শূন্য হলে সলিনয়ডাল।

যে ভেক্টরের আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই, অর্থাৎ মান শূন্য, তাকে শূন্য বা নাল ভেক্টর বলে।
এর দিক অনির্দিষ্ট; প্রকাশ 0। A + (−A) = 0, আবার A + 0 = A।
বদ্ধ বহুভুজে পরপর সাজানো ভেক্টরগুলোর লব্ধি শূন্য ভেক্টর, এটিই সাম্যাবস্থার শর্ত।
সমান মানের বিপরীতমুখী ভেক্টর বিপরীত ভেক্টর, একই সরলরেখা বরাবর ভেক্টর সমরেখ ভেক্টর।

যে রাশির মান ও দিক দুটোই আছে এবং যা ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে তা ভেক্টর রাশি।
তড়িৎ ক্ষেত্র E = Fq (একক NC⁻¹ বা Vm⁻¹) এবং বল F (একক N), দুটোই ভেক্টর।
গতিশক্তি, তড়িৎ বিভব, তাপমাত্রা, কাজ, ক্ষমতা, চাপ, এগুলো স্কেলার, কেবল মান আছে।
বেগ, ত্বরণ, কেন্দ্রমুখী ত্বরণ, ভরবেগ, টর্ক, চৌম্বক ক্ষেত্র ভেক্টর রাশি।

স্কেলার রাশির সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার ও গ্রেডিয়েন্টের মান সমান (Equal)।
স্কেলার ক্ষেত্র φ-এর গ্রেডিয়েন্ট ∇φ একটি ভেক্টর, যার দিক φ-এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির দিক এবং মান |∇φ| = দূরত্বের সাপেক্ষে φ-এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার (dφdr)_max।
অন্য যেকোনো দিকে φ-এর বৃদ্ধির হার = ∇φ · n = |∇φ| cosθ, যা |∇φ|-এর চেয়ে কম।
যেমন বিভব V-এর গ্রেডিয়েন্টের মান তড়িৎক্ষেত্রের মানের সমান: E = −∇V।

গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার ফাংশনের উপর ক্রিয়া করে ভেক্টর রাশি দেয়।
grad φ = ∇φ = i ∂φ∂x + j ∂φ∂y + k ∂φ∂z
ডাইভারজেন্স ∇·A ভেক্টরকে স্কেলারে রূপান্তর করে, কার্ল ∇×A ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়।
ক্রস গুণন দুটি ভেক্টরের মধ্যে সংজ্ঞায়িত, স্কেলার ফাংশনের উপর নয়। উদাহরণ: E = −∇V, F = −∇U

তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য E = Fq, বলের সাথে সমমুখী; তাই এর মান ও দিক দুই-ই আছে, এটি ভেক্টর রাশি, একক N C⁻¹ বা V m⁻¹।
কাজ (W = F·s) ও শক্তি স্কেলার, কারণ ডট গুণফল সর্বদা স্কেলার দেয়, একক J।
তড়িৎ প্রবাহের দিক থাকলেও এটি ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে না (সংযোগস্থলে বীজগাণিতিক যোগ), তাই স্কেলার।
অন্য ভেক্টর: বল, বেগ, ত্বরণ, ভরবেগ, টর্ক, চৌম্বক ক্ষেত্র; স্কেলার: ভর, বিভব, আধান, তাপমাত্রা।

স্কেলার রাশির শুধু মান আছে, দিক নেই, যেমন কাজ, বিভব, তাপমাত্রা, ভর।
কোনো স্কেলার ক্ষেত্র φ-এর গ্রেডিয়েন্ট ∇φ = (∂φ∂x)i + (∂φ∂y)j + (∂φ∂z)k একটি ভেক্টর; এর মান |∇φ| ঐ বিন্দুতে φ-এর সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে এবং দিক হয় সর্বোচ্চ বৃদ্ধির দিকে।
উদাহরণ: E = −∇V, অর্থাৎ তড়িৎ প্রাবল্য হলো বিভবের ঋণাত্মক গ্রেডিয়েন্ট।
স্কেলার রাশির মান ও তার গ্রেডিয়েন্টের মান একই রাশি নয়, φ ধ্রুব হলে |∇φ| = 0, আবার φ = kx হলে |∇φ| = k (φ-এর মান যাই হোক)।

এখানে, পূর্ব দিকে 12 m, উত্তর দিকে 5 m (পরস্পর লম্ব)
s = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13 m
অতিক্রান্ত দূরত্ব 12 + 5 = 17 m হলেও সরণ 13 m।

দ্রুতি স্কেলার রাশি, এর কেবল মান আছে, দিক নেই; এটি বেগের মান বা |v|।
বেগ, ত্বরণ ও বল ভেক্টর রাশি, মান ও দিক দুই-ই আছে এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে।
অন্যান্য স্কেলার: দূরত্ব, ভর, সময়, কাজ, শক্তি, ক্ষমতা, তাপমাত্রা, আধান।
বৃত্তাকার পথে এক পাক ঘুরলে দ্রুতি স্থির থাকলেও দিক বদলায় বলে বেগ পরিবর্তিত হয়।

তড়িৎ ক্ষেত্র E = Fq, একক ধনাত্মক আধানের উপর বল, তাই ভেক্টর; একক N/C বা V/m।
কাজ (W = F·s, স্কেলার গুণফল), তড়িৎ বিভব (V = Wq, JC) ও তাপমাত্রা, তিনটিই স্কেলার।
ভেক্টরের উদাহরণ: সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল, ভরবেগ, টর্ক, তড়িৎ ও চৌম্বক ক্ষেত্র; স্কেলার: ভর, শক্তি, ক্ষমতা, চাপ, আধান, বিভব।

ভেক্টর যোগের বিনিময় সূত্র: P + Q = Q + P, যোগের ক্রম বদলালে লব্ধি বদলায় না; এটি সামান্তরিক সূত্র থেকে প্রমাণ হয়।
সংযোগ সূত্র: (P + Q) + R = P + (Q + R)। বণ্টন সূত্র: P·(Q + R) = P·Q + P·R এবং m(P + Q) = mP + mQ।
স্কেলার গুণন বিনিময়যোগ্য (P·Q = Q·P), কিন্তু ভেক্টর গুণন নয়: P × Q = −(Q × P)।
P + Q = P − Q কেবল Q = 0 হলে সম্ভব, এটি কোনো সূত্র নয়।

শূন্য বা নাল ভেক্টরের মান শূন্য, তাই এর দিক নির্দিষ্ট নয় (যেকোনো দিক ধরা যায়)। A − A = 0।
বিপ্রতীপ ভেক্টর: A ও B পরস্পর বিপ্রতীপ হলে A·B = 1 ও উভয়ের দিক একই।
সমান ভেক্টর: মান ও দিক উভয়ই সমান; বিপরীত ভেক্টর: মান সমান, দিক বিপরীত (A ও −A)।
একক ভেক্টরের মান 1, দিক নির্দিষ্ট: A = A|A|।

i·(j × k) = i·i = 1
j·(i × k) = j·(−j) = −1
k·(i × j) = k·k = 1
যোগফল = 1 − 1 + 1 = 1
(i × j = k, j × k = i, k × i = j; ক্রম উল্টালে চিহ্ন ঋণাত্মক)

বৃষ্টি খাড়া নিচে v_r বেগে পড়ে, আর গাড়ি সামনে v_c বেগে চলে; গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ v_(r) − v_(c), যা তীর্যক।
এর অনুভূমিক উপাংশ গাড়ির গতির বিপরীতে (পিছনের দিকে), তাই চালকের কাছে বৃষ্টি সামনের দিক থেকে হেলে আসছে বলে মনে হয়।
খাড়ার সাথে কোণ tanθ = v_cv_r; ফলে ফোঁটা সামনের কাচে আঘাত করে, পিছনের কাচ আড়ালে থাকায় ভেজে না।
একই কারণে চলন্ত অবস্থায় ছাতা সামনের দিকে হেলে ধরতে হয়।

যে ভেক্টরের পাদবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু একই বিন্দুতে, তার মান শূন্য, একে নাল বা শূন্য ভেক্টর বলে, এর দিক অনির্দিষ্ট।
A + (−A) = 0, A − A = 0, 0 × A = 0।
ব্যাসার্ধ ভেক্টর বা অবস্থান ভেক্টর: মূলবিন্দু থেকে কোনো বিন্দু পর্যন্ত টানা ভেক্টর r = xi + yj + zk।
সদৃশ ভেক্টর: একই দিকের ভেক্টর; সমরেখ ভেক্টর: একই সরলরেখা বরাবর ক্রিয়াশীল ভেক্টর।

এখানে, A = −(15)i, |A| = 15
বিপ্রতীপ ভেক্টরের দিক A এর দিকে (−i) এবং মান 1|A| = 5
বিপ্রতীপ ভেক্টর = 5 × (−i) = −5i

এখানে, |A + B| = |A − B|
A² + B² + 2AB cosθ = A² + B² − 2AB cosθ ⇒ 4AB cosθ = 0
cosθ = 0 ⇒ θ = 90°

বৃষ্টির ফোঁটা উল্লম্বভাবে নিচে পড়লেও চলন্ত গাড়ির সাপেক্ষে এর আপেক্ষিক বেগ v_rg = v_r − v_g, উল্লম্ব ও গাড়ির গতির বিপরীত অনুভূমিক উপাংশের লব্ধি, যা তির্যকভাবে সামনের দিক থেকে পিছনের দিকে ক্রিয়া করে।
তাই বৃষ্টি সামনের কাচে আঘাত করে, পিছনের কাচ আড়ালে থেকে যায় ও ভেজে না।
উল্লম্বের সাথে আপেক্ষিক বেগের কোণ tanθ = v_gv_r; একই কারণে বৃষ্টিতে হাঁটার সময় ছাতা সামনে হেলিয়ে ধরতে হয়।

এখানে, |A + B| = |A − B|
A² + B² + 2AB cosθ = A² + B² − 2AB cosθ
4AB cosθ = 0 → cosθ = 0 → θ = 90°
অর্থাৎ দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের লব্ধি ও বিয়োগফলের মান সমান হয়।