ভেক্টর

পদার্থবিজ্ঞানের অন্তর্গত যে কোনো রাশিকে ভৌত রাশি বলে; ধর্ম অনুসারে ভৌত রাশি দুই প্রকার — স্কেলার বা অদিক রাশি এবং ভেক্টর বা দিক রাশি।

যে সব ভৌত রাশির শুধু মান আছে কিন্তু দিক নেই তাদের স্কেলার রাশি বলে; যেমন দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, তাপমাত্রা, তাপ, তড়িৎ বিভব, দ্রুতি, কাজ, শক্তি।

দ্রুতি, কাজ, তড়িৎ বিভব, শক্তি ও ডাইভারজেন্স স্কেলার রাশি — এরা ভেক্টর রাশি নয়। ডেন্টাল ২০

যে সব ভৌত রাশির মান ও দিক দুই-ই আছে তাদের ভেক্টর রাশি বলে; যেমন সরণ, বেগ, ত্বরণ, মন্দন, বল, ওজন, ভরবেগ।

তড়িৎ ক্ষেত্র বা তড়িৎ প্রাবল্য এবং বল ভেক্টর রাশি। ডেন্টাল ২২

ভর একটি স্কেলার রাশি; তাই ভরকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করতে দিকের প্রয়োজন হয় না। ডেন্টাল ০৬

দুই বা ততোধিক সমজাতীয় ভেক্টরকে যোগ করা যায়, কিন্তু ভিন্ন প্রকৃতির ভেক্টরকে যোগ করা যায় না।

দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল একটি ভেক্টর রাশি এবং স্কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি।

কোনো ভেক্টর রাশি ও তার মানের অনুপাত দ্বারা ভেক্টরটির দিক নির্দেশিত হয় এবং ভেক্টর রাশিকে উপাংশে বিভক্ত করা যায়।

ভেক্টর রাশিকে অক্ষরের ওপর তীর চিহ্ন, অক্ষরের ওপরে বা নিচে রেখা কিংবা মোটা হরফ দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

দুই বা ততোধিক ভেক্টর যোগ করলে প্রাপ্ত লব্ধি ভেক্টর মূল ভেক্টরগুলোর সম্মিলিত ক্রিয়ার ফলাফলের সমান।

যে ভেক্টরের মান এক একক তাকে একক ভেক্টর বলে; মান শূন্য নয় এমন একটি ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে ওই দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং যার কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই তাকে নাল বা শূন্য ভেক্টর বলে; শূন্য ভেক্টরের পাদবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু একই। ডেন্টাল ২২

দুটি সমান ও বিপরীত ভেক্টর কোনো বিন্দুতে একই সাথে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি নাল ভেক্টর হয়।

দুটি সমান ভেক্টরের বিয়োগফল, দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল এবং সমবেগে গতিশীল বস্তুর ত্বরণ প্রকাশে নাল ভেক্টর প্রয়োজন।

দুটি ভেক্টরের পরম মান সমান কিন্তু অভিমুখ বিপরীত হলে তাদের বিপরীত বা ঋণ ভেক্টর এবং মান সমান ও দিক একই হলে সমভেক্টর বলে।

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্দেশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে।

কোনো বস্তুর অবস্থান ভেক্টরের পরিবর্তনকে সরণ ভেক্টর বলে।

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষ বরাবর î, ĵ, k̂ একক ভেক্টরকে আয়ত একক ভেক্টর বলে।

সমজাতীয় অসম মানের দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়া করলে তাদের সদৃশ ভেক্টর বলে; যেমন A⃗ = 2B⃗ হলে ভেক্টরদ্বয় সদৃশ ও সমজাতীয়।

দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপ্রতীপ হলে তাদের বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে; যেমন 5î ও (1/5)î। AFMC ১৭

দুই বা ততোধিক ভেক্টর একই রেখায় বা সমান্তরালে ক্রিয়া করলে তাদের সমরেখ ভেক্টর এবং একই তলে অবস্থান করলে সমতলীয় ভেক্টর বলে।

বস্তুর ঘূর্ণনের সঙ্গে যুক্ত নয় এমন ভেক্টরকে পোলার ভেক্টর বলে; যেমন বল, ভরবেগ, সরণ, বেগ।

বস্তুর ঘূর্ণনের সঙ্গে যুক্ত ভেক্টরকে অক্ষীয় ভেক্টর বলে; যেমন কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ, কৌণিক ভরবেগ ও টর্ক।

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট থাকলে তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে।

ভেক্টরের প্রকারভেদের মধ্যে ধন ভেক্টর নামে কোনো ভেক্টর নেই। মেডি ০৩

A⃗ = −3B⃗ হলে A⃗ ও B⃗ সমজাতীয় এবং পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল; A⃗ = −B⃗ হলে A⃗ × B⃗ এর মান শূন্য।

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর যোগের পাঁচটি সূত্র — সাধারণ সূত্র, ত্রিভুজ সূত্র, বহুভুজ সূত্র, সামান্তরিক সূত্র এবং উপাংশ সূত্র।

ভেক্টর বিয়োজনের সূত্রের মধ্যে 'সমান্তরাল সূত্র' নামে কোনো সূত্র নেই। মেডি ০৪

1586 সালে বিজ্ঞানী স্টেভিনাস বল ত্রিভুজ সূত্র প্রকাশ করেন। মেডি ০৪

ত্রিভুজ সূত্র: কোনো ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু বরাবর একইক্রমে দুটি ভেক্টর ক্রিয়া করলে তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে তাদের লব্ধি নির্দেশ করে।

একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় ভেক্টরকে কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশ করা গেলে তাদের লব্ধি শূন্য হয়।

সামান্তরিক সূত্র: সামান্তরিকের একই বিন্দু হতে অঙ্কিত সন্নিহিত বাহু দুটি যদি দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করে, তবে ওই বিন্দু হতে অঙ্কিত কর্ণ তাদের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে।

দুই বা ততোধিক ভেক্টরের যোগফলকে লব্ধি এবং রাশিগুলোকে লব্ধির অংশক বা উপাংশ বলে।

দুটি ভেক্টরের লব্ধি তাদের মান এবং মধ্যবর্তী কোণের ওপর নির্ভর করে; মধ্যবর্তী কোণ বাড়লে লব্ধির মান কমে।

দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়া করলে (মধ্যবর্তী কোণ 0°) লব্ধি সর্বোচ্চ এবং তা ভেক্টর দুটির যোগফলের সমান; দুটি ভেক্টরের লব্ধি তাদের যোগফলের চেয়ে বড় হতে পারে না। মেডি ০৫

দুটি ভেক্টর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে (মধ্যবর্তী কোণ 180°) লব্ধি সর্বনিম্ন এবং তা ভেক্টর দুটির বিয়োগফলের সমান।

দুটি অসমান ভেক্টরের লব্ধি কখনোই শূন্য হতে পারে না; দুটি সমান ও বিপরীতমুখী ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হয়।

দুটি সমান ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 120° হলে তাদের লব্ধি প্রত্যেক ভেক্টরের সমান হয়।

দুটি সমান ভেক্টরের লব্ধি ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

দুটি সমান বলের মধ্যবর্তী কোণ 60° হলে লব্ধির বর্গ প্রত্যেক বলের মানের বর্গের 3 গুণ হয়।

দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ 90°। AFMC ১৭

(A⃗ + B⃗) ও (A⃗ − B⃗) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো A ও B এর মান সমান।

পূর্ব দিকে 12 m যাওয়ার পর উত্তর দিকে 5 m গেলে লম্ব দুই সরণের লব্ধি হিসেবে মোট সরণ 13 m। মেডি ২০

দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ 120° এবং বিয়োগফলের মান √3।

P⃗ + Q⃗ + R⃗ = 0 এবং P⃗ + Q⃗ = R⃗ সম্পর্ক দুটি ত্রিভুজের সাহায্যে চিত্রে প্রকাশ করা যায়।

বিনিময় সূত্র: P⃗ + Q⃗ = Q⃗ + P⃗ — অর্থাৎ ভেক্টর যোগ বিনিময় সূত্র মেনে চলে; স্কেলার রাশিও বিনিময় সূত্র মেনে চলে। মেডি ১৮

সংযোজন সূত্র: (P⃗ + Q⃗) + R⃗ = P⃗ + (Q⃗ + R⃗)।

বণ্টন সূত্র: m(P⃗ + Q⃗) = mP⃗ + mQ⃗।

একটি ভেক্টরকে দুই বা ততোধিক ভেক্টরে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টরের বিভাজন এবং বিভক্ত ভেক্টরগুলোকে উপাংশ বা অংশক বলে।

অনুভূমিকের সাথে θ কোণে F বলে টানলে অনুভূমিক উপাংশ F cos θ এবং উল্লম্ব উপাংশ F sin θ। AFMC ২৩

θ = 45° হলে কোনো ভেক্টরের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ সমান হয়।

নৌকার গুণ টানা ভেক্টর বিভাজনের দৃষ্টান্ত; গুণের রশি যত লম্বা হয় θ তত কমে এবং অনুভূমিক উপাংশ F cos θ বাড়ে, ফলে নৌকা দ্রুত চলে।

নৌকার গুণ টানার উল্লম্ব উপাংশ T sin θ নৌকার হাল দ্বারা প্রশমিত হয়।

লন রোলার ঠেলার সময় বলের উল্লম্ব উপাংশ নিচের দিকে ক্রিয়া করে কার্যকর ওজন বাড়ায়, তাই ঠেলার চেয়ে টানা সহজ।

বৃষ্টি লম্বভাবে পড়লে চলন্ত ব্যক্তির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ তির্যকভাবে ক্রিয়া করে; ব্যক্তির বেগ ও বৃষ্টির বেগ সমান হলে ছাতা উল্লম্বের সাথে 45° কোণে ধরতে হয়। ডেন্টাল ০৮

চলন্ত গাড়ির পিছনের কাচ বৃষ্টিতে ভেজে না, কারণ গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ তির্যকভাবে ক্রিয়াশীল। AFMC ১৮

স্রোতের বেগ নৌকার বেগের অর্ধেক হলে নৌকাকে স্রোতের সাথে 120° কোণে চালালে নৌকা অপর পারে ঠিক সোজাসুজি পৌঁছায়। মেডি ০৫

W ওজনের ফ্রেম দুই সুতায় θ কোণে ঝোলানো থাকলে W = 2T cos θ।

দুটি দিক রাশির গুণফল দুই প্রকার — স্কেলার বা ডট গুণন এবং ভেক্টর বা ক্রস গুণন।

দুটি ভেক্টরের গুণফল স্কেলার রাশি হলে তাকে স্কেলার গুণন বলে; এর মান ভেক্টর দুটির মানের গুণফল ও মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান।

বল ও সরণ উভয়ই ভেক্টর রাশি, কিন্তু তাদের স্কেলার গুণফল কাজ একটি স্কেলার রাশি; বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে কাজ শূন্য হয়।

পরস্পর লম্ব দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্য এবং সমান্তরাল দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল তাদের মানের গুণফলের সমান।

একই ভেক্টরকে দুবার নিয়ে স্কেলার গুণ করলে ভেক্টরটির মানের বর্গ পাওয়া যায়।

স্কেলার গুণফল বিনিময় সূত্র মেনে চলে: A⃗·B⃗ = B⃗·A⃗।

î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1 এবং î·ĵ = ĵ·k̂ = k̂·î = 0।

A⃗ বরাবর B⃗ এর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ B cos θ।

A⃗·B⃗ = 0 হলে বোঝায় A⃗ শূন্য অথবা B⃗ শূন্য অথবা A⃗ ও B⃗ পরস্পর লম্ব।

কোনো ভেক্টর ও তার একক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 0°।

দুটি স্কেলার রাশির গুণফল শূন্য হতে হলে অন্তত একটির মান শূন্য হতে হবে; কোণের কারণে স্কেলার রাশির গুণফল শূন্য হয় না। মেডি ১৩

(A⃗·B⃗)² = A²B² হলে ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ 0°, অর্থাৎ তারা সমান্তরাল।

দুটি ভেক্টরের গুণফল ভেক্টর রাশি হলে তাকে ভেক্টর বা ক্রস গুণন বলে; এর মান ভেক্টর দুটির মানের গুণফল ও মধ্যবর্তী কোণের সাইনের গুণফলের সমান।

A ও B এর মান 5 ও 6 একক এবং মধ্যবর্তী কোণ 60° হলে A⃗ × B⃗ এর মান 15√3। মেডি ১৩

ভেক্টর গুণফলের দিক উভয় ভেক্টরের তলের ওপর লম্ব এবং এই দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ণয় করা হয়।

ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম: প্রথম ভেক্টর হতে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে স্ক্রু ঘোরালে স্ক্রুটি যেদিকে অগ্রসর হয় সেটিই গুণফলের দিক।

ভেক্টর গুণফল বিনিময় সূত্র মেনে চলে না: A⃗ × B⃗ = −B⃗ × A⃗; তাই A⃗ × B⃗ ও B⃗ × A⃗ এর মধ্যবর্তী কোণ 180°।

একই ভেক্টরকে দুবার নিলে বা দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল শূন্য হয়; A⃗ × B⃗ = 0 হলে ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল।

î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0 এবং î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ।

আয়ত একক ভেক্টরের মিশ্র গুণে î·(ĵ × k̂) = 1 এবং i, j, k এর ক্রম বিপরীত হলে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়। AFMC ১৮

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সন্নিহিত বাহু দুটির ভেক্টরের ক্রস গুণফলের মানের সমান এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার অর্ধেক।

দুটি ভেক্টর পরস্পর 45° কোণে ক্রিয়া করলে তাদের স্কেলার ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হয়।

তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রিগুণফল A⃗·(B⃗ × C⃗) শূন্য।

A⃗ × B⃗ ভেক্টরটি A⃗ ও B⃗ উভয়ের ওপর লম্ব, তাই (A⃗ + B⃗) এর সাথে এর মধ্যবর্তী কোণ 90°।

স্কেলার বা ভেক্টর গুণনে দুটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ 0° থেকে 180° এর মধ্যে নেওয়া হয়।

যে কোনো দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের বর্গ ও ভেক্টর গুণফলের বর্গের যোগফল তাদের মানের গুণফলের বর্গের সমান।

ক্যালকুলাস পরিবর্তনের গাণিতিক অধ্যয়ন; এর দুটি শাখা — অন্তরীকরণ বা ডিফারেনশিয়াল এবং যোগজীকরণ বা ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস।

নিউটন সর্বপ্রথম তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস প্রয়োগ করেন।

বেগ, ত্বরণ ও বক্ররেখার ঢাল হিসাবে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং ক্ষেত্রফল, আয়তন, ভরকেন্দ্র ও কাজ হিসাবে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়।

যে গাণিতিক চিহ্নের দ্বারা একটি রাশিকে অন্য রাশিতে রূপান্তর করা যায় তাকে অপারেটর বলে; অপারেটরের নিজস্ব কোনো মান নেই।

ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর ∇ স্যার হ্যামিলটন আবিষ্কার করেন; গিবস একে 'ডেল' নাম দেন এবং এর অন্য নাম ন্যাবলা।

ক্ষেত্রের সাথে যুক্ত ভৌত গুণ স্কেলার হলে তাকে স্কেলার ক্ষেত্র বলে, যেমন ঘনত্ব, তাপমাত্রা, বিভব; আর ভেক্টর হলে ভেক্টর ক্ষেত্র, যেমন বেগ, তড়িৎ প্রাবল্য, মহাকর্ষ প্রাবল্য।

গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে; গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর ক্ষেত্র। ডেন্টাল ২১

গ্রেডিয়েন্টের মান স্কেলার রাশির সর্বাধিক বৃদ্ধির হারের সমান। AFMC ২২

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি বা স্কেলার ক্ষেত্র; এর দ্বারা কোনো বিন্দুতে ফ্লাক্সের প্রকৃতি জানা যায়। AFMC ২৩

ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে ফ্লাক্স বহির্মুখী, ঋণাত্মক হলে অন্তর্মুখী এবং শূন্য হলে আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান — এরূপ ভেক্টর ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল বলে।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি এবং এটি ক্ষেত্রের ঘূর্ণন নির্দেশ করে।

কোনো ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল ও সংরক্ষণশীল এবং কার্ল শূন্য না হলে ঘূর্ণনশীল ও অসংরক্ষণশীল।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স সর্বদা শূন্য।

অবস্থান ভেক্টর r⃗ = xî + yĵ + zk̂ হলে এর ডাইভারজেন্সের মান 3।

ডেল অপারেটর স্কেলার ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট, ভেক্টর ফাংশনের ডাইভারজেন্স এবং ভেক্টর ফাংশনের কার্ল নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।