ভেক্টর

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর যোগের সূত্র চারটি: সাধারণ সূত্র, ত্রিভুজ সূত্র, সামান্তরিক সূত্র ও বহুভুজ সূত্র।
সাধারণ সূত্র: প্রথম ভেক্টরের শীর্ষে দ্বিতীয়টির পাদবিন্দু বসালে প্রথমটির পাদ থেকে দ্বিতীয়টির শীর্ষ পর্যন্ত রেখা লব্ধি।
ত্রিভুজ সূত্র: দুটি ভেক্টরকে ত্রিভুজের দুই সন্নিহিত বাহু দিয়ে একই ক্রমে নির্দেশ করলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে লব্ধি।
সামান্তরিক সূত্র: একই বিন্দু থেকে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টর সামান্তরিকের দুই সন্নিহিত বাহু হলে ঐ বিন্দুগামী কর্ণ লব্ধি; বহুভুজ সূত্র দুইয়ের বেশি ভেক্টরের জন্য।

A = Aa ও A′ = (1A)a — উভয়ের দিক a বরাবর একই, কিন্তু মান পরস্পরের বিপ্রতীপ (A ও 1A); এরকম ভেক্টরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।
বিপ্রতীপ ভেক্টরের মানের গুণফল A × 1A = 1।
বিপরীত ভেক্টর: মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত (A ও −A)। সমান ভেক্টর: মান ও দিক উভয়ই সমান।
বিসদৃশ ভেক্টর: ভিন্ন জাতীয় বা ভিন্ন দিকের ভেক্টর।

এখানে, A(3, 2, 2), B(3, 2, −1)
আমরা জানি, AB = (x₂ − x₁)i + (y₂ − y₁)j + (z₂ − z₁)k, |AB| = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²
∴ AB = 0i + 0j − 3k, |AB| = 0 + 0 + 9 = 3 একক

এখানে, A = 2i + 2j − k, B = 6i − 3j + 2k
আমরা জানি, A-এর উপর B-এর লম্ব অভিক্ষেপ = B cosθ = A · BA
∴ A · B = (2 × 6) + (2 × −3) + (−1 × 2) = 12 − 6 − 2 = 4, A = 4 + 4 + 1 = 3
∴ অভিক্ষেপ = 43 = 1.33 একক
B-এর উপর A-এর অভিক্ষেপ হতো A · BB = 47 = 0.57।

যে ভেক্টরের আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই, তাকে শূন্য বা নাল ভেক্টর (0) বলে; এর মান শূন্য।
শূন্য ভেক্টরের দিক অনির্দিষ্ট; যেমন A + (−A) = 0।
একক ভেক্টর: মান 1। অবস্থান ভেক্টর: মূলবিন্দু থেকে কোনো বিন্দুর দিকে টানা ভেক্টর।
সম ভেক্টর: মান ও দিক উভয়ই সমান।

এখানে, |A + B| = |A − B|
আমরা জানি, |A + B|² = A² + B² + 2AB cosθ, |A − B|² = A² + B² − 2AB cosθ
∴ A² + B² + 2AB cosθ = A² + B² − 2AB cosθ বা 4AB cosθ = 0 বা cosθ = 0
∴ θ = 90°
অর্থাৎ সামান্তরিকের দুই কর্ণ সমান হলে সেটি আয়তক্ষেত্র।

তিনটি ভেক্টর একই তলে (সমতলীয়) থাকার শর্ত: স্কেলার ত্রিগুণন P · (Q × R) = 0।
Q × R ভেক্টরটি Q ও R-এর তলের লম্ব; P ঐ তলে থাকলে P তার উপর লম্ব হয়, ফলে ডট গুণফল শূন্য।
|P · (Q × R)| হলো তিন ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন; সমতলীয় হলে আয়তন শূন্য।
P × (Q × R) হলো ভেক্টর ত্রিগুণন, যার মান ভেক্টর — এটি সমতলীয়তার শর্ত নয়।

ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল ভেক্টর রাশি — dA = dA n, যার দিক তলের লম্ব বরাবর (বহির্মুখী)।
ফ্লাক্স নির্ণয়ে এটি ব্যবহৃত হয়: φ = E · dA বা B · dA।
তড়িৎ প্রবাহের দিক থাকলেও ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে না বলে এটি স্কেলার; বিভব ও কাজ স্কেলার রাশি।
তড়িৎ প্রবাহ ঘনত্ব J অবশ্য ভেক্টর রাশি।

এখানে, A + B = A − B
আমরা জানি, উভয় পাশ থেকে A বাদ দিলে B = −B
∴ 2B = 0 বা B = 0
অর্থাৎ B শূন্য ভেক্টর হলে A-এর মান যা-ই হোক সমীকরণটি সত্য।