ভেক্টর

এখানে, (A + B) ⊥ (A − B)
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য
∴ (A + B) · (A − B) = A² − A · B + B · A − B² = A² − B² = 0
∴ A² = B², অর্থাৎ |A| = |B|
এক্ষেত্রে A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ যেকোনো হতে পারে, তাই A · B = 0 বা A × B = 0 অবশ্যই সত্য নয়; A = −2B হলে |A| = 2|B|, যা শর্তের সাথে মেলে না।

এখানে, স্রোতের বেগ u = 4 kmh⁻¹, নৌকার বেগ v = 5 kmh⁻¹, স্রোতের সাথে নৌকার কোণ α
আমরা জানি, ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগ স্রোতের লম্ব বরাবর হবে, অর্থাৎ u + v cosα = 0
∴ cosα = −uv = −45 = −0.8
∴ α = cos⁻¹(−0.8) ≈ 143.13°
অর্থাৎ স্রোতের বিপরীত দিকের সাথে 36.87° কোণে (অপর পাড়ের লম্বের সাথে উজানে) নৌকা চালাতে হবে।

একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় ভেক্টরকে কোনো ত্রিভুজের তিন বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশ করা গেলে তাদের লব্ধি শূন্য (A + B + C = 0)।
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী দুটি বাহু একই ক্রমে নিলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে লব্ধি নির্দেশ করে; তৃতীয়টিও একই ক্রমে নিলে বদ্ধ ত্রিভুজ হয়, লব্ধি শূন্য।
এ অবস্থায় বস্তুকণাটি সাম্যাবস্থায় থাকে (বলের ত্রিভুজ সূত্র)।
একইভাবে বহুভুজের বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশিত বহু ভেক্টরের লব্ধিও শূন্য।

এখানে, A = i + j, B = i
আমরা জানি, cosθ = A · BAB
∴ cosθ = 1 × 1 + 1 × 02 × 1 = 12
∴ θ = 45°
i + j ভেক্টরটি XY তলে X ও Y অক্ষের ঠিক মাঝে, অর্থাৎ দুই অক্ষের সাথেই 45°।

সমকোণে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান রাশিদ্বয়ের বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান: R = P² + Q²।
সাধারণ সূত্র R = P² + Q² + 2PQ cosα-এ α = 90° বসালে cos90° = 0, তাই R = P² + Q²।
লব্ধির দিক: P-এর সাথে কোণ θ হলে tanθ = QP।
যেমন 3 ও 4 মানের দুটি ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে R = 9 + 16 = 5।

এখানে, ভেক্টর (j + k) এবং k
আমরা জানি, j × k = i এবং k × k = 0
∴ (j + k) × k = j × k + k × k = i + 0 = i
চক্রক্রম i × j = k, j × k = i, k × i = j; উল্টো ক্রমে নিলে ঋণাত্মক চিহ্ন আসে।

এখানে, P = Q, লব্ধি R = 0
আমরা জানি, R² = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ 0 = P² + P² + 2P² cosα = 2P²(1 + cosα)
∴ cosα = −1, α = 180°
অর্থাৎ সমান মানের দুটি ভেক্টর বিপরীতমুখী হলেই লব্ধি নাল ভেক্টর হয়; α = 0° হলে লব্ধি সর্বোচ্চ 2P।

এখানে, P = 50, Q = 20
আমরা জানি, |P − Q| ≤ R ≤ P + Q
∴ 50 − 20 ≤ R ≤ 50 + 20, অর্থাৎ 30 ≤ R ≤ 70
∴ অপশনের মধ্যে কেবল 40 এই সীমার ভেতরে; 10 ও 20 সর্বনিম্ন মানের চেয়ে কম, 80 সর্বোচ্চ মানের চেয়ে বেশি।

মান শূন্য নয় এমন কোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায়: a = A|A|, যার মান 1।
একক ভেক্টর শুধু দিক নির্দেশ করে; i, j, k হলো যথাক্রমে X, Y, Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।
নাল ভেক্টরের মান শূন্য ও দিক অনির্দিষ্ট; অবস্থান ভেক্টর মূলবিন্দু থেকে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করে (r = xi + yj + zk);
একই সমতলে অবস্থিত ভেক্টরগুলো সমতলীয় ভেক্টর।

যে ভেক্টরের পাদবিন্দু (আদিবিন্দু) সুনির্দিষ্ট নয়, মান ও দিক ঠিক রেখে যেকোনো স্থানে সরানো যায়, তাকে স্বাধীন ভেক্টর বলে; যেমন কোনো দৃঢ় বস্তুর সরণ।
সীমাবদ্ধ (বদ্ধ) ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট থাকে, যেমন অবস্থান ভেক্টর।
সমরেখ ভেক্টর একই রেখা বা সমান্তরাল রেখা বরাবর ক্রিয়া করে।
নাল ভেক্টরের মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট।

হাঁটা লোকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ = বৃষ্টির বেগ − লোকের বেগ; উল্লম্ব ও অনুভূমিক বেগ পরস্পর লম্ব।
এখানে, বৃষ্টির বেগ v_r = 6 kmh⁻¹ (উল্লম্ব), লোকের বেগ v_m = 4 kmh⁻¹ (অনুভূমিক)
আমরা জানি, v_rm = v_r² + v_m²
∴ v_rm = 6² + 4² = 52 = 7.21 kmh⁻¹
দিক: উল্লম্বের সাথে tanθ = 46 বা θ ≈ 33.7° কোণে সামনের দিক থেকে; তাই লোকটিকে ছাতা সামনের দিকে হেলিয়ে ধরতে হয়। সাইকেল আরোহীর ক্ষেত্রে 6² + 8² = 10 kmh⁻¹।

এখানে, F = (5i − 3j − 2k) N, v = (3i + 2j + k) m s⁻¹
আমরা জানি, ক্ষমতা P = F · v = F_xv_x + F_yv_y + F_zv_z
∴ P = (5 × 3) + ((−3) × 2) + ((−2) × 1) = 15 − 6 − 2 = 7 W
ক্ষমতা স্কেলার রাশি, একক W = J s⁻¹; প্রদত্ত সময় 7 s এই হিসাবে লাগে না।

ডাইভারজেন্স হলো প্রতিটি উপাংশের নিজ চলকের সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজের যোগফল।
এখানে, r = 3xi − 2yj − 4zk, অর্থাৎ r_x = 3x, r_y = −2y, r_z = −4z
আমরা জানি, ∇ · r = ∂r_x∂x + ∂r_y∂y + ∂r_z∂z
∴ ∇ · r = 3 + (−2) + (−4) = −3
প্রশ্ন অনুযায়ী মান −3, যার সাংখ্যিক মান 3। r = 3xi + 2yj + 4zk হলে ফল হতো 3 + 2 + 4 = 9।

ডাইভারজেন্স (∇ · V) একটি স্কেলার রাশি — ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দু থেকে নিট বহির্মুখী ফ্লাক্সের হার নির্দেশ করে।
গ্রাডিয়েন্ট (∇φ) স্কেলার ক্ষেত্র থেকে পাওয়া ভেক্টর, যার দিক φ-এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের দিক।
কার্ল (∇ × V) ভেক্টর রাশি — ক্ষেত্রের ঘূর্ণন নির্দেশ করে; সরণ মান ও দিক উভয়ই আছে বলে ভেক্টর।
সংক্ষেপে: গ্রাডিয়েন্ট — স্কেলার থেকে ভেক্টর; ডাইভারজেন্স — ভেক্টর থেকে স্কেলার; কার্ল — ভেক্টর থেকে ভেক্টর।

এখানে, A = i + j, B = i − j
আমরা জানি, cosθ = A · BAB
∴ A · B = (1 × 1) + (1 × −1) = 0, তাই cosθ = 0 বা θ = 90°
দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলে তারা পরস্পর লম্ব।

যে ভেক্টরের আদিবিন্দু (পাদবিন্দু) ও শেষবিন্দু (শীর্ষবিন্দু) একই, তার মান শূন্য — একে নাল বা শূন্য ভেক্টর (0) বলে; এর দিক অনির্দিষ্ট।
উদাহরণ: বৃত্তাকার পথে একবার ঘুরে আসার পর সরণ, স্থির বস্তুর বেগ।
বিপ্রতীপ ভেক্টর: একই দিকে কিন্তু মান পরস্পরের বিপরীত (A ও 1A)। স্বাধীন ভেক্টর: পাদবিন্দু ইচ্ছামতো যেকোনো স্থানে নেওয়া যায়।
আয়ত একক ভেক্টর: i, j, k — যথাক্রমে x, y, z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।

কাজ স্কেলার রাশি — বল ও সরণের ডট গুণফল W = F · s, এর কোনো দিক নেই।
কৌণিক ভরবেগ L = r × p এবং টর্ক τ = r × F — ক্রস গুণফল থেকে পাওয়া ভেক্টর রাশি।
বল F = ma ভেক্টর রাশি।
অন্যান্য স্কেলার: শক্তি, ক্ষমতা, তাপমাত্রা, তড়িৎ বিভব, তড়িৎ প্রবাহ।

এখানে, P = 2i + 3j − k, Q = −4i + mj + 4k
আমরা জানি, লম্ব হলে P · Q = P_xQ_x + P_yQ_y + P_zQ_z = 0
∴ (2 × (−4)) + (3 × m) + ((−1) × 4) = 0 বা −8 + 3m − 4 = 0 বা 3m = 12
∴ m = 4
দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলেই তারা পরস্পর লম্ব।

যেসব ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু একই, তাদের সমপ্রারম্ভিক (co-initial) ভেক্টর বলে।
অবস্থান ভেক্টর: মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশক ভেক্টর (r = xi + yj + zk)।
সমতলীয় ভেক্টর: একই তলে অবস্থিত ভেক্টর। সমরেখ ভেক্টর: একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় ক্রিয়াশীল ভেক্টর।

এখানে, P = 2i + nj − 5k, Q = 10i − 5j − 25k
আমরা জানি, সমান্তরাল হলে P_xQ_x = P_yQ_y = P_zQ_z
∴ 210 = n−5 = −5−25 = 15
∴ n = −55 = −1
তখন Q = 5P, অর্থাৎ P × Q = 0।