ভেক্টর

এখানে, A = i − j, B = i + k
আমরা জানি, cosθ = A · BAB
∴ cosθ = 1 × 1 + (−1) × 0 + 0 × 12 × 2 = 12 ⇒ θ = 60°

এখানে, A = 4i + 3j − k
আমরা জানি, A = A_x² + A_y² + A_z²
∴ A = 4² + 3² + (−1)² = 16 + 9 + 1 = 26 একক

এখানে, A = 2i + 3j, A_x = 2, A_y = 3, A = 2² + 3² = 13
আমরা জানি, X-অক্ষের সাথে কোণ α হলে দিক-কোসাইন cosα = A_xA
∴ cosα = 213, α = cos⁻¹(213) ≈ 56.3°
একই কোণ tan⁻¹(A_yA_x) = tan⁻¹(32) আকারেও লেখা যায়; Y-অক্ষের সাথে কোণ cos⁻¹(313) = tan⁻¹(23) ≈ 33.7°।

এখানে, a = b = 1, লব্ধি R = |a + b| = 1
আমরা জানি, R² = a² + b² + 2ab cosθ এবং |a − b| = a² + b² − 2ab cosθ
∴ 1 = 1 + 1 + 2cosθ ⇒ cosθ = −12 ⇒ θ = 120°
∴ |a − b| = 1 + 1 − 2 × cos120° = 1 + 1 + 1 = 3

এখানে, (a · b)² = a²b²
আমরা জানি, a · b = ab cosθ
∴ a²b² cos²θ = a²b² ⇒ cos²θ = 1 ⇒ θ = 0° (অথবা 180°)
অর্থাৎ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল; অপশনে 0° আছে। লম্ব (90°) হলে a · b = 0 হতো।

ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মানে না: A × B = −B × A (anti-commutative)।
A × B = AB sinθ n একটি ভেক্টর; শুধু AB sinθ হলো এর মান, আর AB cosθ হলো স্কেলার গুণফল A · B।
স্কেলার গুণন বিনিময় সূত্র মানে: A · B = B · A।
n-এর দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত হয়।

এখানে, |A × B| = AB sinθ, A · B = AB cosθ
আমরা জানি, sin²θ = 1 − cos²θ
∴ |A × B|² = A²B² sin²θ = A²B² − A²B² cos²θ = A²B² − (A · B)²
এটি ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদ নামে পরিচিত: |A × B|² + (A · B)² = A²B²।

দুটি ভেক্টর লম্ব হওয়ার শর্ত: P · Q = PQ cos90° = 0।
সমান্তরাল (বা বিপরীত সমান্তরাল) হওয়ার শর্ত: P × Q = 0, অর্থাৎ P_xQ_x = P_yQ_y = P_zQ_z।
P · Q = PQ হয় সমান্তরাল অবস্থায়; P · Q = 1 বা P × Q = 1 কোনো আদর্শ শর্ত নয়।
লম্ব একক ভেক্টরের উদাহরণ: i · j = j · k = k · i = 0।

এখানে, A = (px + y)i + (y − 2z)j + (x + 3z)k
আমরা জানি, সলিনয়েডাল হলে ∇ · A = ∂A_x∂x + ∂A_y∂y + ∂A_z∂z = 0
∴ ∇ · A = p + 1 + 3 = 0 ⇒ p = −4
ডাইভারজেন্স শূন্য মানে ক্ষেত্রে কোনো উৎস বা শোষক sourcesink নেই; কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational)।

এখানে, i × k = −j এবং j × k = i
আমরা জানি, j × i = −k
∴ (i × k) × (j × k) = (−j) × i = −(j × i) = −(−k) = k
চক্রক্রম (i, j, k, i …) মেনে গুণ করলে ফল ধনাত্মক (i × j = k, j × k = i, k × i = j), উল্টো ক্রমে ঋণাত্মক।

এখানে, r = 4i + 0j − 4k, r = 16 + 0 + 16 = 42
আমরা জানি, Y-অক্ষের সাথে কোণ β হলে cosβ = r_yr
∴ cosβ = 042 = 0 ⇒ β = 90°
j উপাংশ নেই বলে ভেক্টরটি XZ তলে অবস্থিত, তাই Y-অক্ষের সাথে লম্ব। X-অক্ষের সাথে কোণ 45°, Z-অক্ষের সাথে 135°।

এখানে, P ⊥ Q, P × P = Q × Q = 0
আমরা জানি, P × Q = −Q × P
∴ (P + Q) × (P − Q) = P × P − P × Q + Q × P − Q × Q = 0 + Q × P + Q × P − 0 = 2(Q × P)
লম্ব হওয়ায় এর মান 2PQ sin90° = 2PQ; −2(Q × P) = 2(P × Q) হলো বিপরীত দিকের ভেক্টর।

এখানে, F = (2i + 2j + k) N, r = (6i − 3j − 2k) m
আমরা জানি, W = F · r = F_xr_x + F_yr_y + F_zr_z
∴ W = (2 × 6) + (2 × −3) + (1 × −2) = 12 − 6 − 2 = 4 J
কাজ স্কেলার রাশি, তাই i, j, k যুক্ত ফল (ভেক্টর) কাজ হতে পারে না।

ডাইভারজেন্স স্কেলার রাশি: ∇ · V = ∂V_x∂x + ∂V_y∂y + ∂V_z∂z (ভেক্টর ক্ষেত্রের ওপর ডট অপারেশন)।
গ্রেডিয়েন্ট ∇φ ভেক্টর — স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের দিক ও মান নির্দেশ করে।
কার্ল ∇ × V ভেক্টর — ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন নির্দেশ করে।
সরণ ভেক্টর রাশি (মান ও দিক উভয় আছে); দূরত্ব হলো স্কেলার।

এখানে, (A + B) ⊥ (A − B)
আমরা জানি, লম্ব হলে (A + B) · (A − B) = 0
∴ A · A − A · B + B · A − B · B = A² − B² = 0 ⇒ A = B
জ্যামিতিকভাবে: সমান বাহুর সামান্তরিক (রম্বস) এর কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব।

এখানে, P = Q = 5 একক, মধ্যবর্তী কোণ α = 120°
আমরা জানি, R = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ R = 25 + 25 + 2 × 5 × 5 × cos120° = 50 − 25 = 25 = 5 একক
সমান মানের দুটি ভেক্টর 120° কোণে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান প্রতিটির মানের সমান হয়।

এখানে, A = 2i + xj − 4k, B = yi + 6j − 8k
আমরা জানি, সমান্তরাল হলে A_xB_x = A_yB_y = A_zB_z
∴ 2y = x6 = −4−8 = 12 ⇒ y = 4, x = 3
তখন A = (12)B, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি একই দিকে সমান্তরাল।

এখানে, A = 2i + 2j + k, B = 6i − 3j + 2k
আমরা জানি, B বরাবর A-এর অভিক্ষেপ = A cosθ = A · BB
∴ A · B = (2 × 6) + (2 × −3) + (1 × 2) = 12 − 6 + 2 = 8, B = 36 + 9 + 4 = 49 = 7
∴ অভিক্ষেপ = 87 একক

এখানে, বৃহত্তর লব্ধি P + Q = 28 একক, ক্ষুদ্রতর লব্ধি P − Q = 4 একক, α = 90°
আমরা জানি, R = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ P = 28 + 42 = 16 একক, Q = 28 − 42 = 12 একক
∴ R = 16² + 12² + 2 × 16 × 12 × cos90° = 256 + 144 = 400 = 20 একক

গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে: ∇φ = i(∂φ∂x) + j(∂φ∂y) + k∂φ∂z।
∇φ-এর দিক φ-এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের দিক এবং মান সেই সর্বোচ্চ হার; যেমন বিভব থেকে তড়িৎক্ষেত্র E = −∇V।
ডাইভারজেন্স (∇ · V) ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার দেয়; কার্ল (∇ × V) ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়।
সলিনয়ডাল বলতে এমন ভেক্টর ক্ষেত্র বোঝায় যার ডাইভারজেন্স শূন্য।