ভেক্টর

এখানে, |A × B| = A · B
আমরা জানি, |A × B| = AB sinθ, A · B = AB cosθ
∴ AB sinθ = AB cosθ বা tanθ = 1 বা θ = 45° = π4
θ = π2 হলে ডট গুণফল শূন্য, θ = 0, π বা 2π হলে ক্রস গুণফল শূন্য।

গ্রেডিয়েন্ট (∇φ) একটি স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে: ∇φ = (∂φ∂x)i + (∂φ∂y)j + (∂φ∂z)k।
যেমন তড়িৎ বিভব V (স্কেলার) থেকে তড়িৎ ক্ষেত্র E = −∇V (ভেক্টর)।
ডাইভারজেন্স (∇ · V) ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার দেয়; কার্ল (∇ × V) ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়।
ডট গুণন দুটি ভেক্টর থেকে স্কেলার, ক্রস গুণন দুটি ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়।

এখানে, F = 5i + 2j − 3k; XZ তলে উপাংশ F′ = 5i − 3k
আমরা জানি, |F′| = F_x² + F_z²
∴ |F′| = 5² + (−3)² = 25 + 9 = 34 একক
XY তলে উপাংশের মান 25 + 4 = 29 এবং YZ তলে 4 + 9 = 13; পূর্ণ মান 38।

কোনো ভেক্টর ও তার একক ভেক্টর সবসময় একই দিকে থাকে, তাই মধ্যবর্তী কোণ 0°।
একক ভেক্টর a = A|A|, এর মান 1 এবং দিক A-এর দিক।
অর্থাৎ A = A a; ধনাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করলে ভেক্টরের দিক বদলায় না।
a · a = 1 এবং a × a = 0।

A · B = AB cosθ = 0 হলে (A ≠ 0, B ≠ 0) cosθ = 0, অর্থাৎ θ = 90° — ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।
দুটি অশূন্য ভেক্টরের লম্বতার শর্ত A · B = 0 এবং সমান্তরালতার শর্ত A × B = 0।
যেমন i · j = 0, কারণ X ও Y অক্ষ পরস্পর লম্ব।
সমান্তরাল হলে A · B = AB (সর্বোচ্চ), শূন্য নয়।

যে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য (∇ · V = 0), তাকে সলিনয়ডাল ক্ষেত্র বলে।
এতে কোনো উৎস বা সিঙ্ক নেই; আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান — যেমন চৌম্বক ক্ষেত্র, অসংকোচনীয় তরলের বেগক্ষেত্র।
∇ × V = 0 হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational) বা সংরক্ষণশীল, যেমন স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র।
∇ একা একটি ভেক্টর অপারেটর; কোনো ফাংশনের ওপর প্রয়োগ না করলে এর মান অর্থহীন।

জড়তার ভ্রামক I = Σmr² — এটি ভর ও দূরত্বের বর্গের ওপর নির্ভর করে, দিকের ওপর নয়; তাই পাঠ্যবই অনুযায়ী স্কেলার রাশি।
বলের ভ্রামক বা টর্ক τ = r × F এবং কৌণিক ভরবেগ L = r × p — দুটিই ক্রস গুণফল, তাই ভেক্টর।
কেন্দ্রমুখী বল F = mv²r বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে, তাই ভেক্টর।
জড়তার ভ্রামকের একক kg m², মাত্রা [ML²]।

একটি ভেক্টরকে অসংখ্য উপাংশে বিভাজন করা যায় — কারণ একই লব্ধি পাওয়ার মতো অসংখ্য উপাংশ-সমষ্টি গঠন করা সম্ভব।
তবে একটি সমতলে পরস্পর লম্ব উপাংশ সর্বোচ্চ দুটি (A_x, A_y) এবং ত্রিমাত্রিক জগতে পরস্পর লম্ব উপাংশ সর্বোচ্চ তিনটি (A_x, A_y, A_z)।
লম্ব উপাংশ: A_x = A cosθ, A_y = A sinθ (θ হলো x-অক্ষের সাথে কোণ)।

লব্ধি R = P² + Q² + 2PQ cosα; cosα-এর সর্বোচ্চ মান 1, যখন α = 0°।
তখন R_max = (P + Q)² = P + Q, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি একই দিকে ক্রিয়া করলে লব্ধি সর্বোচ্চ।
α = 180° হলে লব্ধি সর্বনিম্ন: R_min = |P − Q|।
α = 90° হলে R = P² + Q²। কোণ বাড়ার সাথে সাথে লব্ধির মান কমতে থাকে।

এখানে, m = 7 kg, F = (2i − 3j + 6k) N
আমরা জানি, |F| = F_x² + F_y² + F_z² এবং a = Fm
∴ |F| = 4 + 9 + 36 = 49 = 7 N
∴ a = 77 = 1.0 ms⁻²
ত্বরণের দিক বলের দিকেই: a = Fm = (2i − 3j + 6k7) ms⁻²।

সমান্তরাল ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ θ = 0° (বা বিপরীত সমান্তরালে 180°), তাই |A × B| = AB sinθ = 0, অর্থাৎ A × B = 0।
এক্ষেত্রে A · B = AB cos0° = AB (1 নয়)।
A · B = 0 হয় ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হলে।
দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত: A × B = 0 অথবা A_xB_x = A_yB_y = A_zB_z।

i ও j xy-তলে অবস্থিত; এই তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর k, এবং i × j = k।
j × k = i (yz-তলের লম্ব), k × i = j (zx-তলের লম্ব), i × k = −j।
সাধারণভাবে দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল সবসময় ঐ ভেক্টরদ্বয়ের তলের ওপর লম্ব।

i × j = |i||j| sin90° k = k — ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে i থেকে j-এর দিকে ঘোরালে স্ক্রু +z দিকে অগ্রসর হয়।
j × i = −k, তাই i × j ≠ j × i।
একই একক ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য: i × i = j × j = k × k = 0।

সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুটি A ও B হলে ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = A × B sinθ = |A × B|।
অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ভেক্টর দুটির ভেক্টর গুণফলের মানের সমান।
ঐ বাহু দুটি দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12|A × B|।
তিনটি সন্নিহিত বাহু A, B, C হলে সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন = A · (B × C)।

sinθ কোনো অপারেটর নয়, এটি θ কোণের ওপর sin অপারেটর প্রয়োগের ফলাফল (একটি সংখ্যা/অপেক্ষক)।
অপারেটর হলো এমন গাণিতিক চিহ্ন যা কোনো রাশির ওপর প্রয়োগ করলে নতুন রাশি পাওয়া যায় — যেমন sin, cos, log, , ddx, ∫, ∇।
বর্গমূল অপারেটর, log লগারিদম অপারেটর, ddx অন্তরীকরণ অপারেটর।
∇ = i(∂∂x) + j(∂∂y) + k∂∂z হলো ভেক্টর অপারেটর (ডেল/নাবলা)।

ভেক্টর অপেক্ষক V-এর কার্ল = ∇ × V (ডেল অপারেটর ও ভেক্টরের ক্রস গুণন), এটি একটি ভেক্টর রাশি।
ডাইভারজেন্স = ∇ · V (স্কেলার), গ্রেডিয়েন্ট = ∇φ (স্কেলার অপেক্ষকের ওপর, ফল ভেক্টর)।
V · ∇ = V_x(∂∂x) + V_y(∂∂y) + V_z(∂∂z) একটি স্কেলার অপারেটর, কার্ল নয়।
∇ × V = 0 হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (সংরক্ষণশীল)।

স্কেলার অপেক্ষক φ-এর গ্রেডিয়েন্ট = ∇φ = i(∂φ∂x) + j(∂φ∂y) + k∂φ∂z, যা একটি ভেক্টর।
গ্রেডিয়েন্টের দিক φ-এর সর্বাধিক বৃদ্ধির দিক, মান ঐ বৃদ্ধির হার; যেমন E = −∇V।
∇ · V ডাইভারজেন্স, ∇ × V কার্ল — দুটিই ভেক্টর অপেক্ষকের ওপর প্রযোজ্য।
φ স্কেলার বলে ∇ · φ লেখা অর্থহীন।

এখানে, |A + B| = |A − B|, মধ্যবর্তী কোণ θ
আমরা জানি, |A + B|² = A² + B² + 2AB cosθ, |A − B|² = A² + B² − 2AB cosθ
∴ A² + B² + 2AB cosθ = A² + B² − 2AB cosθ বা, 4AB cosθ = 0 বা, cosθ = 0
∴ θ = 90°
জ্যামিতিকভাবে: আয়তক্ষেত্রের দুই কর্ণ সমান, তাই সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সমান হলে বাহু দুটি পরস্পর লম্ব।

একই পাদবিন্দু (আদি বিন্দু) থেকে শুরু হওয়া ভেক্টরসমূহকে সম-প্রারম্ভিক ভেক্টর বলে।
সমতলীয় ভেক্টর: যেসব ভেক্টর একই তলে অবস্থিত।
সমরেখ ভেক্টর: যেসব ভেক্টর একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় ক্রিয়া করে।
সীমাবদ্ধ ভেক্টর: যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট (যেমন অবস্থান ভেক্টর); পাদবিন্দু নির্দিষ্ট না হলে স্বাধীন ভেক্টর।

এখানে, P(3, −2, 1), Q(3, −4, 5)
আমরা জানি, PQ = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²
∴ PQ = (3 − 3)² + (−4 + 2)² + (5 − 1)² = 0 + 4 + 16 = 20 একক
PQ = 0i − 2j + 4k।