ভেক্টর

এখানে, P = Q = A, লব্ধি R = 0
আমরা জানি, R = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ 0 = 2A² + 2A² cosα, বা cosα = −1
∴ α = 180°
সমান মানের দুটি ভেক্টর পরস্পর বিপরীতমুখী হলে লব্ধি শূন্য ভেক্টর হয়।

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র: তিনটি ভেক্টর ত্রিভুজের তিন বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশিত হলে তাদের লব্ধি শূন্য, অর্থাৎ P + Q + R = 0।
একটির শীর্ষবিন্দু থেকে পরেরটি শুরু করে ঘুরে পাদবিন্দুতে ফিরে আসায় মোট সরণ শূন্য।
কোনো কণায় এমন তিনটি বল ক্রিয়া করলে কণাটি সাম্যাবস্থায় থাকে।
দুই বাহু একই ক্রমে এবং তৃতীয়টি বিপরীত ক্রমে নিলে তৃতীয়টি প্রথম দুটির লব্ধি হয়।

দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে একটি অপরটির স্কেলার গুণিতক হয় (B = mA), অর্থাৎ উপাংশগুলোর অনুপাত সমান।
2i + 2j = 2(i + j) = 2A, তাই এটি A-এর সমান্তরাল (A × B = 0)।
i + k, j + k ও 2i + 2k-এ k উপাংশ আছে কিন্তু A-এ নেই, তাই এগুলো A-এর স্কেলার গুণিতক নয়।

কাজ দুটি ভেক্টরের স্কেলার (ডট) গুণফল: W = F · s = Fs cosθ, তাই কাজ একটি স্কেলার রাশি।
স্কেলার গুণনের অন্যান্য উদাহরণ: ক্ষমতা P = F · v, তড়িৎ ফ্লাক্স φ = E · A, চৌম্বক ফ্লাক্স φ = B · A।
টর্ক τ = r × F ও কৌণিক ভরবেগ L = r × p হলো ভেক্টর (ক্রস) গুণনের উদাহরণ।
বল F = ma একটি ভেক্টর রাশি, এটি স্কেলার (m) ও ভেক্টরের (a) গুণফল — স্কেলার গুণন নয়।

এখানে, P = 4i + mj + 0k, Q = 8i − 4j + 9k
আমরা জানি, লম্ব হলে P · Q = P_xQ_x + P_yQ_y + P_zQ_z = 0
∴ (4 × 8) + (m × −4) + (0 × 9) = 0 ⇒ 32 − 4m = 0 ⇒ m = 8

এখানে, ভেক্টর দুটি (j + k) ও k
আমরা জানি, j × k = i, k × k = 0 (একই দিকের একক ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য)
∴ (j + k) × k = j × k + k × k = i + 0 = i
চক্রক্রম i, j, k (চক্রাকারে) অনুসারে: i × j = k, j × k = i, k × i = j; উল্টো ক্রমে গুণ করলে ঋণাত্মক চিহ্ন আসে।

প্রতিটির মান বের করে দেখি কোনটি i বা −i-এর সমান (x-অক্ষের সমান্তরাল)।
আমরা জানি, i × j = k, j × k = i, k × i = j এবং বিপরীত ক্রমে ঋণাত্মক
∴ (i × j) × j = k × j = −i — x-অক্ষের সমান্তরাল
অন্যগুলো: (i × j) × i = k × i = j; (i × j) × k = k × k = 0; (k × j) × k = (−i) × k = j।

A ও B-কে সন্নিহিত বাহু ধরে অঙ্কিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = |A × B| = AB sinθ।
ঐ দুই বাহু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সামান্তরিকের অর্ধেক, তাই ক্ষেত্রফল = 12|A × B|।
ক্ষেত্রফল ভেক্টরের দিক তলের লম্ব বরাবর; ডট গুণফল A · B ক্ষেত্রফল নয়, এটি স্কেলার গুণফল।

এখানে, A × B = B × A
আমরা জানি, B × A = −A × B
∴ A × B = −A × B, অর্থাৎ 2A × B = 0, তাই AB sinθ = 0
∴ sinθ = 0, θ = 0 বা π; অপশনে আছে π
অর্থাৎ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল বা বিপরীত সমান্তরাল হলে ক্রস গুণফল শূন্য হয় এবং তখনই A × B = B × A।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র V-এর ডাইভারজেন্স ∇ · V = ∂V_x∂x + ∂V_y∂y + ∂V_z∂z, এটি স্কেলার, তাই ফলটি একটি স্কেলার ক্ষেত্র।
ডাইভারজেন্স কোনো বিন্দু থেকে ক্ষেত্রের নির্গত (বা অভিসারী) ফ্লাক্সের হার নির্দেশ করে।
গ্রেডিয়েন্ট ∇φ স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপ দেয় (নতিমাত্রা), কার্ল ∇ × V ভেক্টর ক্ষেত্র দেয়।
কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational), ডাইভারজেন্স শূন্য হলে সলিনয়ডাল।

স্কেলার রাশির সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার ও গ্রেডিয়েন্টের মান সমান (Equal)।
স্কেলার ক্ষেত্র φ-এর গ্রেডিয়েন্ট ∇φ একটি ভেক্টর, যার দিক φ-এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির দিক এবং মান |∇φ| = দূরত্বের সাপেক্ষে φ-এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার (dφdr)_max।
অন্য যেকোনো দিকে φ-এর বৃদ্ধির হার = ∇φ · n = |∇φ| cosθ, যা |∇φ|-এর চেয়ে কম।
যেমন বিভব V-এর গ্রেডিয়েন্টের মান তড়িৎক্ষেত্রের মানের সমান: E = −∇V।

তড়িৎ ক্ষেত্র (E = Fq) ও বল (F = ma) — দুটিরই মান ও দিক আছে, তাই দুটিই ভেক্টর রাশি।
গতিশক্তি, তড়িৎ বিভব ও তাপমাত্রা স্কেলার রাশি — শুধু মান আছে, দিক নেই।
বেগ, ত্বরণ ও কেন্দ্রমুখী ত্বরণ ভেক্টর রাশি; তাই অন্য প্রতিটি জোড়ায় একটি স্কেলার ও একটি ভেক্টর।
অন্যান্য ভেক্টর রাশি: সরণ, ভরবেগ, টর্ক, কৌণিক ভরবেগ, চৌম্বক ক্ষেত্র; স্কেলার: ভর, কাজ, শক্তি, ক্ষমতা, চাপ।

এখানে, P = Q = A, লব্ধি R = A
আমরা জানি, R² = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ A² = A² + A² + 2A² cosα, বা cosα = −12
∴ α = 120°
দুটি সমান ভেক্টর 60° কোণে থাকলে লব্ধি A3, 90°-এ A2, 120°-এ A এবং 180°-এ শূন্য।

এখানে, F = 19.6 N, অনুভূমিকের সাথে কোণ θ = 30°, g = 9.8 m s⁻²
আমরা জানি, টানার সময় বলের উল্লম্ব উপাংশ F_y = F sinθ ওপরের দিকে কাজ করে, এবং ওজনের হ্রাস = F_yg
∴ F_y = 19.6 × sin30° = 19.6 × 0.5 = 9.8 N
∴ ওজনের হ্রাস = 9.89.8 = 1 kg (অর্থাৎ 1 kg-wt)
ঠেলার সময় উল্লম্ব উপাংশ নিচের দিকে কাজ করে, তাই তখন কার্যকর ওজন সমপরিমাণ বাড়ে।

এখানে, A = 2i + j − 3k, B = 0i + 4j − k
আমরা জানি, A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z
∴ A · B = (2 × 0) + (1 × 4) + (−3 × −1) = 0 + 4 + 3 = 7
স্কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি; A · B = AB cosθ।

এখানে, r = xi + yj + zk
আমরা জানি, ∇ · r = ∂x∂x + ∂y∂y + ∂z∂z
∴ ∇ · r = 1 + 1 + 1 = 3
অবস্থান ভেক্টরের ডাইভারজেন্স 3 (ধনাত্মক), আর কার্ল ∇ × r = 0, অর্থাৎ r অঘূর্ণনশীল।

ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না: B × A = −(A × B)।
তাই D = −C — মান সমান, দিক ঠিক বিপরীত, ফলে মধ্যবর্তী কোণ 180°।
A × B-এর দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত হয়; গুণের ক্রম উল্টালে দিক উল্টে যায়।
ডট গুণন বিনিময় সূত্র মানে: A · B = B · A।

যে দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়াশীল এবং একটির মান অপরটির মানের বিপরীত সংখ্যা (A = 1B), তাদের বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।
A = 4i ও B = (14)i — দুটিই +X দিকে এবং 4 × 14 = 1, তাই এরা বিপ্রতীপ।
4i ও 8i বা 8i ও 4i শুধু সমান্তরাল (সমমুখী) ভেক্টর; 4i ও 4i সমান ভেক্টর।
বিপরীত ভেক্টর: মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত, যেমন A ও −A।

এখানে, P = 4i + 2j, প্রদত্ত ভেক্টর 5k = 0i + 0j + 5k
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর লম্ব হলে P · Q = P_xQ_x + P_yQ_y + P_zQ_z = 0
∴ P · (5k) = (4 × 0) + (2 × 0) + (0 × 5) = 0, তাই 5k লম্ব
∴ অন্যগুলো: P · (3i + 4j) = 12 + 8 = 20, P · (6i) = 24, P · (4j) = 8 — কোনোটিই শূন্য নয়
XY তলে থাকা যেকোনো ভেক্টর Z-অক্ষ বরাবর ভেক্টরের ওপর লম্ব।

যে ভেক্টরের পাদবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু একই, তার মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট — একে নাল বা শূন্য ভেক্টর (0) বলে।
যেমন A + (−A) = 0; বৃত্তপথে একবার ঘুরে আসলে সরণ শূন্য ভেক্টর।
স্বাধীন ভেক্টর: পাদবিন্দু যেকোনো জায়গায় নেওয়া যায়; বিপরীত ভেক্টর: মান সমান, দিক বিপরীত।
সমরেখ ভেক্টর: একই রেখা বা সমান্তরাল রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল ভেক্টর।